Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.
Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.
In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)
simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w1, . . . ,wk.
Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.
Korrektheit:
Der Aufz¨ahlerAdruckt offensichtlich nur W¨orter ausLaus. Aber druckt er auch wirklich alle W¨orter ausL aus?
Es seiwi ein Wort in der SpracheL. Dann wirdwi von der TMM nach einer endlichen Anzahl ti von Schritten akzeptiert.
Deshalb wirdwi in jeder Runde k mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler A ausgedruckt.
Beweis (2): Semi-entscheidbar → rekursiv aufz¨ ahlbar
Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.
Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.
In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)
simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w1, . . . ,wk.
Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.
Korrektheit:
Der Aufz¨ahlerAdruckt offensichtlich nur W¨orter ausLaus.
Aber druckt er auch wirklich alle W¨orter ausL aus?
Es seiwi ein Wort in der SpracheL. Dann wirdwi von der TMM
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
Abschlusseigenschaften
Durchschnitt (1)
Satz
(a) Wenn die beiden SprachenL1undL2entscheidbar sind, so ist auch die SpracheL1∩L2 entscheidbar.
(b) Wenn die beiden SprachenL1undL2rekursiv aufz¨ahlbar sind, so ist auch die SpracheL1∩L2 rekursiv aufz¨ahlbar.
Durchschnitt (2): Beweis von Teil (a)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.
Eine TMM, die L1∩L2entscheidet:
Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
FallsM1 undM2 beide das Wortw akzeptieren, so akzeptiert auch M; andernfalls verwirftM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw akzeptiert.
Durchschnitt (3): Beweis von Teil (b)
Es seien nunM1 undM2 zwei TMen, dieL1 respektiveL2 erkennen.
Wir verwenden die gleiche Konstruktion f¨urM wie in (a).
Eine TMM, die L1∩L2erkennt:
Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
FallsM1 undM2 beide akzeptieren, so akzeptiert auchM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw vonM akzeptiert.
Vereinigung (1)
Satz
(a) Wenn die beiden SprachenL1undL2entscheidbar sind, so ist auch die SpracheL1∪L2 entscheidbar.
(b) Wenn die beiden SprachenL1undL2rekursiv aufz¨ahlbar sind, so ist auch die SpracheL1∪L2 rekursiv aufz¨ahlbar.
Vereinigung (2): Beweis von Teil (a)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.
Eine TMM, die L1∪L2entscheidet:
Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
FallsM1 oderM2das Wortw akzeptiert, so akzeptiert auchM;
andernfalls verwirftM. Korrektheit:
Fallsw ∈L1∪L2, so wirdw vonM1 oder vonM2 und somit auch vonM akzeptiert.
Vereinigung (3): Beweis von Teil (b)
Es seien nunM1 undM2 zwei TMen, dieL1 respektiveL2 erkennen.
Eine TMM, die L1∪L2erkennt
Wir nehmen o.B.d.A. an, dassM ¨uber zwei B¨ander verf¨ugt.
Auf Band 1 wirdM1aufw simuliert.
Auf Band 2 wirdM2aufw simuliert.
Sobald ein Schritt gemacht wird, in dem M1oderM2 akzeptiert, akzeptiert auch die TMM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∪L2, so wirdw vonM1 oder vonM2 und somit auch
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis:
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen. F¨ur ein Eingabewort w simuliert die neue TM M0 das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern. Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0.
WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert;M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein. Damit ist die Terminierung von M0 sichergestellt.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis:
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen.
F¨ur ein Eingabewortw simuliert die neue TMM0das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern.
Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0. WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert;M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein. Damit ist die Terminierung von M0 sichergestellt.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis:
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen.
F¨ur ein Eingabewortw simuliert die neue TMM0das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern.
Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0. WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entwederw ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen
Komplement (2)
Satz 1
Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.
Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.
Satz 2
Wenn die SpracheLrekursiv aufz¨ahlbar ist, so ist ihr KomplementLnicht notwendigerweise rekursiv aufz¨ahlbar.
Beispiel:
Das HalteproblemH ist rekursiv aufz¨ahlbar.
FallsH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨areH entscheidbar. Daher ist H nicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Komplement (2)
Satz 1
Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.
Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.
Satz 2
Wenn die SpracheLrekursiv aufz¨ahlbar ist, so ist ihr KomplementLnicht notwendigerweise rekursiv aufz¨ahlbar.
Beispiel:
Das HalteproblemH ist rekursiv aufz¨ahlbar.
FallsH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨areH entscheidbar. Daher ist H nicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Komplement (2)
Satz 1
Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.
Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.
Satz 2
Wenn die SpracheLrekursiv aufz¨ahlbar ist, so ist ihr KomplementLnicht notwendigerweise rekursiv aufz¨ahlbar.
Beispiel: