In diesem Kapitel wird die Berechnung der oberen Grenze f¨ur die Kopplungskon-stante gaγγ in Abh¨angigkeit von der Axionmasse ma erl¨autert. Dazu wird das er-wartete Axionsignals = sk(gaγγ, ma) der k = 149 verschiedenen 4He-Dichten be-rechnet. Das erwartete Axionsignal ist am gr¨oßten, wenn Axion und Photon in Pha-se schwingen, d.h. ma und die durch das 4He Gas induzierte Photonenmassem2k = 4παNek/me(siehe 1.33) sind gerade gleich, wobei Nek die Elektronendichte des4He Gases bei gegebenem Druck k beschreibt. F¨ur jeden Druckschritt wird eine Like-lihoodfunktion, basierend auf der Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet.
Das f¨ur die Analyse und Berechnung der Kopplungskonstante verwendete Hinter-grundspektrum wurde analysiert und hinsichtlich verschiedener Korrelationen, z.B.
Abh¨angigkeit der Z¨ahlrate von der Magnetposition, in Kapitel 5 untersucht. Die An-zahl erwarteter Hintergrundereignisse im Falle des R¨ontgenteleskops liegt bei0.27± 0.01Ereignissen pro solarer Beobachtung innerhalb der Axionsignalfl¨ache. In den fol-genden Abschnitten wird die Berechnung der Konversionswahrscheinlichkeit beschrie-ben, sowie die Berechnung der Likelihoodfunktionen. Der Einfluss benachbarter Druck-schritte und die daraus resultierende Verst¨arkung des Signals kann mittels Addition der Spektren (Methode I) oder ¨uber Multiplikation der Likelihoodfunktionen (Metho-de II) erfolgen. Auch (Metho-der Einfluss (Metho-der betrachteten Anzahl benachbarter Druckschritte wurde untersucht. Es wurden Monte Carlo Simulationen bez¨uglich der Methode I, II und in Bezug auf die Anzahl benachbarter Druckschritte durchgef¨uhrt. Abschließend werden die systematischen und statistischen Abweichungen der berechneten oberen Grenze angaγγ angegeben. Der Axionruhemassenbereich, der in dieser Arbeit unter-sucht wurde, wird durch die theoretischen Axionmodelle (siehe Kapitel 1) favorisiert.
Die Angabe einer oberen Schranke f¨ur die Kopplungskonstante solarer Axionengaγγ
in diesem Ruhemassenbereich war bisher nicht mit dieser Sensitivit¨at m¨oglich. Das TOKYO Experiment hat eine mittlere obere Schranke an die Kopplungskonstante von gaγγ < 6.8-10.9×10−10GeV−1 im Axionruhemassenbereich von (0.05-0.27)eV/c2 (95%C.L.) angeben k¨onnen [135]. In dieser Arbeit kann eine mittlere obere Schranke vongaγγ <1.6-6.0×10−10GeV−1f¨ur(0.02-0.4)eV/c2(95%C.L.) angegeben werden.
68
6.1. BERECHNUNG DES ERWARTETEN PHOTONENFLUSSES 69
1 2 3 4 5 6 7
0 2 4 6 8
Solar Axion Flux×1010 [cm−2 s−1 keV−1]
Energy [keV]
0 20 40 60 80 100 120
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Pressure [mbar]
Mass mγ [eV]
Abbildung 6.1: Links: Vergleich zwischen dem solaren Axionfluss im Falle einer geo-metrischen Axion-Nachweisfl¨ache von ≈ 9mm2, die sich in 1.6m Entfernung vom Konversionsvolumen befindet (in rot) und dem solaren Axionfluss im Falle eines De-tektorsystems, das direkt hinter dem Konversionsvolumen installiert ist (in schwarz).
Rechts: Effektive Photonenmasse in Abh¨angigkeit des 4He-Druckes (0mbar < p <
120mbar).
6.1 Berechnung des erwarteten Photonenflusses
Die Berechnung der im Magnetfeld konvertierten R¨ontgenphotonen erfolgt ¨uber Glg.-1.36 (Kapitel 1). Der differentielle solare Axionfluss dΦa/dE, der im Detektor nach-gewiesen wird, kann ¨uber Glg. 1.21 berechnet werden. Im Falle des R¨ontgenteleskops wird der Axionfluss innerhalb einer Fl¨ache der Gr¨oße vonAs = 9.4mm2, die deutlich kleiner ist, als die Querschnittsfl¨ache der Magnetr¨ohre, erwartet. Somit kann nicht der gesamte aus der R¨ohre austretende Photonenfluss nachgewiesen werden, sondern der Fluss, der aus den inneren ≈ 41% der Sonne 1 stammt (siehe Abb. 1.1, sowie Kapi-tel 4). Die Effizienz des Teleskops ist in diesen Berechnungen nicht mit einbezogen.
Außerdem ist der erwartete Fluss reduziert, da die Ausdehnung der Axionsignalfl¨ache (Radius r = 11.5Pixel) so gew¨ahlt ist, dass das SNR Verh¨altnis optimal ist (siehe Kapitel 4.4). Es k¨onnen≈82%des erwarteten Axionflusses aus den≈41%des Son-neninneren nachgewiesen werden (siehe Abb. 4.6). Auch in diesem Fall wurde die Effizienz des Systems nicht ber¨ucksichtigt (siehe Abb. 6.1, links). Zur Berechnung der Axion-Photon ¨Ubergangswahrscheinlichkeit wird die Gleichung:
Pa→γ = 1.7018×10−17
BL 9.0T·9.26m
2
gaγγ
10−10GeV−1 2
· |M1|2 (6.1) gel¨ost. Der hier auftretende Faktor1.7018×10−17folgt aus der Umrechnung in nat¨urliche Einheiten.
1entsprechend des Sichtfeldes (FoV) des R¨ontgenteleskops bei einer Magnetfeldl¨ange von9.26m und einem Abstand von1.6m des Teleskops von der Magnetr¨ohre mit Durchmesserd = 43mm; das FoV direkt hinter der R¨ohre ist0.53◦und entspricht100%des Sonnenabbildes.
1 10 0.1
1.0 10.0 100.0
µ/ρ [cm2/g]
Energy [keV]
NIST database Fit function
2 4 6 8 10
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010
Absorption−Coefficient Γ/ [1/cm]
Energy [keV]
p=1 mbar p=2 mbar p=3 mbar p=4 mbar
Abbildung 6.2: Links: Daten der NIST-Datenbank f¨ur den Koeffizienten der Mas-senabsorption im Vergleich zur N¨aherungsfunktion (Polynom 5. Grades). Rechts:
Absorptionskoeffizient Γ f¨ur verschiedene Druckwerte unter Verwendung der N¨aherungsfunktion.
BL 2
2 1 M
2
=
0.98999523·9.0·9.26 2
2
·
1 1×1010
2
= 1.7018×10−17, (6.2) bei einer Magnetfeldst¨arkeB = 9.0T und Magnetfeldl¨angeL = 9.26m, sowie dem Umrechnungsfaktor1T= 0.98999523GeVm .
F¨ur die Axion-Photon Konversion in einem Puffergas, hier4He, gilt [65]:
|M1|2= 1 L2(q2+ Γ2/4)
1 +e−ΓL−2e−ΓL/2cos(qL)
, (6.3)
mit dem Impuls¨ubertrag|~q| (siehe Glg. 1.31). In dieser Analyse wurde die effektive Photonenmasse ¨uber die Glg. 1.33 berechnet. In Abb. 6.1, rechts ist die effektive Pho-tonenmasse in Abh¨angigkeit des4He-Druckes gezeigt. Mit der Gleichung:
Ne = 2p NA
10000R T
mbar·mol−1
cm3 ·mbar·mol−1·K−1·K
(6.4) wird die Elektronendichte berechnet. Die Gaskonstante ist gegeben durch:
R= 8.3144728m3Pa mol−1K−1 = 8.3144728×104cm3mbar mol−1K−1 [136]. Dar-aus folgt entsprechend f¨ur die Photonenmasse (in nat¨urlichen Einheiten):
m2γ = 4παNe·(1.973269602×10−5)3
me·keV [eV]2. (6.5)
Der ParameterΓin Glg. 6.3 beschreibt den D¨ampfungsfaktor bzw. den Absorptions-koeffizienten des Gases und ist ¨uber die inverse Absorptionsl¨angeΓ = 1/λ definiert.
6.1. BERECHNUNG DES ERWARTETEN PHOTONENFLUSSES 71
0 2 4 6 8 10 12 14
0 2 4 6 8 10 12 14
Conversion Probability Pa→γ×10−18
Energy [keV]
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
ma [eV]
Nγx(10−10GeV−1/gaγγ)4
Abbildung 6.3: Links: Axion-Photon-Konversionswahrscheinlichkeit f¨ur einen 4 He-Druck von p = 10mbar, einer Temperatur von 1.8K, einem Magnetfeld der St¨arke 9T und einer Magnetfeldl¨ange von L = 9.26m. Rechts: Erwartete Anzahl konver-tierter R¨ontgenphotonen in Abh¨angigkeit der Axionmasse f¨ur das Teleskop, bei einer Messzeit von3600s und f¨ur den Energiebereich von1-7keV. Die dargestellten Kurven unterscheiden sich durch den angenommenen4He-Druck, wobei die hier angenomme-ne Schrittweite0.08mbar betr¨agt (von0.0-0.72mbar).
F¨ur die Absorptionsl¨ange folgt λ = 1/(µaρ), wobei µa die Summe der Wirkungs-querschnitte der atomaren Photoabsorption, der inelastischen Streuung als auch der Rayleigh Streuung ist. F¨ur die Absorptionsl¨ange ergibt sich:
λSTP = 1 ΓSTP
= 1
ρSTPµa
, (6.6)
mit der Dichte ρSTP bei Standarddruck und Standardtemperatur (TSTP = 273.15K, PSTP = 101325Pa). Die Werte f¨urρSTP wurden der NIST Datenbank [113] entnom-men. Um die ben¨otigten Werte des Absorptionskoeffizienten bei verschiedenen Tem-peraturen und Druckwerten berechnen zu k¨onnen, wird Glg. 6.6 mit Hilfe der idealen Gasgleichung umgeformt zu:
ρSTP = pSTPT
TSTPp ρ mit ρ= pM
RT. (6.7)
Die atomare Masse ist durchM =Amu gegeben. Umµa(E)in [cm2/g] f¨ur beliebige Energien berechnen zu k¨onnen, wurden die Daten mittels eines Polynoms 5.Grades angen¨ahert:
µa = µ
ρ = 10µf (6.8)
und mitx=log(E)folgt [130]:
µf = 1.8101−3.2108x−0.007392x2−1.8815x3+ 4.8621x4−2.1921x5. (6.9)
2 4 6 8 10 12 14 0
200 400 600
Flux [× 10−10 counts s−1 keV −1]
Energy [keV]
2 4 6 8 10 12 14
0 5 10 15 20
Flux [× 10−10 counts s−1 keV −1]
Energy [keV]
Abbildung 6.4: Spektren des durch Axion-Photon-Konversion erwarteten Photonen-flusses. Axion und Photon schwingen nicht in Phase. Es wurde jeweils p = 2mbar und eine Messzeit von 5675s angenommen. Links: Spektrum mit m2a 6= m2γ bzw.
|m2a−m2γ| ≈ 0.00357 [eV2]. Rechts: Spektrum mit|m2a−m2γ| ≈ 0.01898 [eV2]. Der Einfluss der Responsefunktion (in schwarz) zeigt sich erst, wenn∆m2 ∼ 0.02eV.
Die Abweichung zwischen der N¨aherungsformel und den Daten der NIST-Datenbank ist<0.1%(siehe Abb. 6.2, links). F¨ur den Absorptionskoeffizienten folgt bei gegebe-nem Druck und Temperatur [85]:
Γ = 1 λ = 1
λSTP
TSTPp
PSTPT. (6.10)
In Abb. 6.2, rechts ist der Absorptionskoeffizient f¨ur verschiedene Druckwerte in [mbar]
gezeigt. Mit steigendem 4He-Druck nimmt die Absorption zu und die Konversions-wahrscheinlichkeit wird geringer. In Abb. 6.3, links ist die Konversionswahrschein-lichkeit dargestellt. Wird ¨uber die Energie integriert, so ergibt sich die Anzahl erwarte-ter Photonen in Abh¨angigkeit von der Axionmasse (siehe Abb. 6.3, rechts). Die Anzahl erwarteter Photonen wird mit gr¨oßer werdendem4He-Druck, aufgrund der zunehmen-den Absorption durch das Gas, kleiner. Die Schrittweite wurde so gew¨ahlt, dass alle 160verschiedenen Druckschritte von den einzelnen Detektorsystemen innerhalb eines Zeitraumes von∼ 12Monaten gemessen werden konnten. Die Wahl der Schrittweite erm¨oglicht es, dass auch im Falle nicht gemessener Druckschritte eine obere Grenze angegeben werden kann, da das Signal benachbarter Druckschritte zum gesamten er-warteten Axionsignal beitr¨agt.
Des Weiteren wurde der Einfluss der Responsefunktion auf den erwarteten Photo-nenfluss untersucht. Jedoch ist deren Einfluss auf die erwartete Anzahl konvertierter Photonen vernachl¨assigbar. Schwingen Axion und Photon nicht mehr in Phase, so wird der Effekt der Responsefunktion sichtbar (siehe Kap. 1.8.1 und Abb. 6.4, rechts).
Aus diesem Grunde wurde die Responsefunktion in den folgenden Rechnungen nicht ber¨ucksichtigt.
6.2. MAXIMUM LIKELIHOOD METHODE 73
−50 0 50 100 150 200 250
0 20 40 60 80
χ2
(gαγγ×10−10GeV−1)4
0 50 100 150 200 250
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006
e−χ2/2 dgαγγ4
(gαγγ×10−10GeV−1)4
Abbildung 6.5: Links: Dargestellt ist dieχ2k =−2lnLkFunktion in Abh¨angigkeit von gαγγ4 f¨ur den Druckp= 0.25mbar, entsprechend der Axionmassema = 0.20eV (Ma-ximum Likelihood Methode). Es wurden zwei Ereignisse in der Axionsignalfl¨ache de-tektiert. Rechts: Integrierte Bayesische Wahrscheinlichkeit (pdf) ¨uber den physikali-schen Bereich (positive Werte) in rot, das 95%Konfidenzlevel ist in schwarz markiert.
6.1.1 Magnetfeld
Zur Berechnung der Kopplungskonstante muss der Wert des tats¨achlich angelegten Magnetfeldes berechnet werden (bisher wurde ein Wert von9.0T angenommen). Aus-gehend vom angelegten Strom wird die St¨arke des Magnetfeldes f¨ur jedes einzelne Druckintervall bestimmt. In Phase II wurde w¨ahrend jeder solaren Beobachtung (als auch w¨ahrend der gesamten Hintergrundmessungen) ein Strom von 13000A an den Magneten angelegt. Um das daraus resultierende Magnetfeld zu bestimmen, kann ein Polynom 1.Ordnung (y = a + bx) verwendet werden. In dieser Arbeit wurde eine Magnetfeldst¨arke vonB = 8.805±0.037T verwendet.
6.2 Maximum Likelihood Methode
Motivation
Bei der ’Maximum Likelihood Methode’ wird das Ziel verfolgt, die unbekannten Para-meter einer statistischen Verteilung so zu sch¨atzen, daß eine m¨oglichst genaue Anpas-sung der Modellcharakteristiken an die gemessenen Daten erreicht wird (so genanntes Prinzip der Parametersch¨atzung). Allgemein wird unter einer Parametersch¨atzung die bestm¨ogliche Bestimmung physikalischer Parameter, sowie deren Unsicherheiten, aus einer Messung, die selbst mit Unsicherheiten (Fehlern) behaftet sind, verstanden. Der Estimator der ’Maximum Likelihood Methode’ wird so definiert, dass die Wahrschein-lichkeit, dass der gesch¨atzte Kennwert die in der Stichprobe beobachteten Ereignisse verursacht hat, maximiert wird. Folgende Annahmen werden gemacht: es liege eine Stichprobe auszMessungen einer (oder mehrerer) Zufallsvariablenxvor und die
−100 0 100 200 300 400 0
20 40 60 80
χ2
(gαγγ×10−10GeV−1)4
0 100 200 300 400
0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025
e−χ2/2 dgαγγ4
(gαγγ×10−10GeV−1)4
Abbildung 6.6: Links: Dargestellt ist dieχ2k = −2lnLkFunktion f¨ur die N¨aherung an die Beobachtungsdaten bei dem Druckp= 3.4137mbar, entsprechend der Axionmas-se ma = 0.052eV. Es wurde kein Ereignis in der Axionsignalfl¨ache detektiert, da-her entspricht dieχ2 Verteilung einer Geraden. Ein Minimum dieser Verteilung wird zug410 = 0 festgelegt. Rechts: Zugeh¨orige integrierte Bayesische Wahrscheinlichkeit (pdf) ¨uber den physikalischen Bereich (positive Werte) in rot, das 95%Konfidenzlevel ist in schwarz markiert.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) der Zufallsvariablen, die von einem (oder meh-reren) unbekannten Parameterna abh¨angt, sei bekannt [138]. Im Gegensatz zur Aus-wertung der pdf f¨ur einen festen (unbekannten) Parametera, kann die pdf f¨ur beobach-tete (und somit feste Realisationen) als Funktion vonabetrachtet werden:f(x, a). Die Likelihoodfunktion ist definiert als die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablenxi:
L(a) =
z
Y
i=1
f(xi;a). (6.11)
Der Maximum Estimator entspricht dem Wert, bei dem die Likelihood-funktion ihr Maximum besitzt, d.h. es wird der Wert vonagesucht, bei dem die Stich-probenwerte die gr¨oßte Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzen. Die Ma-ximierung erfolgt durch Nullsetzen der ersten Ableitung nach a. Das kann bei kom-plizierten Dichtefunktionen aufwendig werden, so dass die logarithmierte Likelihood-Funktion verwendet wird. Diese besitzt an derselben Stelle wie die nicht-logarithmierte Dichtefunktion ein Maximum:
l(a) =−lnL(a) =ln
z
Y
i=1
f(xi;a) =−
z
X
i=1
lnf(xi;a). (6.12) Anwendung
Aufgrund der kleinen Anzahl erwarteter Ereignisse (Hintergrund und Axionsignal) kann in dieser Analyse die Poissonstatistik zugrunde gelegt werden. Dies wurde in Kapitel 5 bez¨uglich der Hintergrunddaten ausf¨uhrlich diskutiert und es konnte ein
6.2. MAXIMUM LIKELIHOOD METHODE 75 (Poisson) Erwartungswert von 0.27 ±0.01Ereignissen pro solarer Beobachtung in-nerhalb der Signalfl¨ache bestimmt werden. Die Annahme, dass kein Signal gemes-sen wurde, wird anhand des Verhaltens des besten Estimators (g10)4bestfit=(gaγγ)4bestfit -/(10−10GeV−1) bez¨uglich der Likelihoodfunktion f¨ur die Summe aus Hintergrund-ereignissen und erwarteten SignalHintergrund-ereignissen, getestet (siehe Glg. 6.15). Dazu wurde in dieser Analyse die gebinnte Likelihood Methode angewandt, die im Folgenden be-schrieben wird. Vor- und Nachteile dieser Anwendung wurden in [6, 137] untersucht und werden hier nicht weiter diskutiert.
F¨ur jedes einzelne Druckintervall wird eine Likelihoodfunktion entsprechend der Glg.-6.13 berechnet. Durch Maximierung dieser Likelihoodfunktion kann der beste Estima-tor f¨ur (g10)4bestfit bestimmt werden. Im Folgenden stehen die Indizes k, if¨ur ein dis-kretes Druckintervall und Energieintervall. Insgesamt wurdenk = 1500verschiedene Druckintervalle mit einer Schrittweite von 0.01mbar im Bereich p = 0.0-15.0mbar gew¨ahlt, sowiei = 20diskrete Energieschritte mit einer Schrittweite von0.3keV im Bereich von 1-7keV. Die Anzahl gemessener Ereignisse, d.h. Ereignisse, die in der Axionsignalfl¨ache detektiert wurden, pro Energieintervalliim jeweiligen Druckinter-vallk ist durchnik gegeben. Die Anzahl an Hintergrundereignissen ist entsprechend bik undsik entspricht den Signalereignissen, die aufgrund von Axion-Photon Konver-sion erwartet werden.
F¨ur die Likelihoodfunktion eines einzelnen Druckschrittes gilt unter Anwendung der Poissonstatistik [138]:
Lk = 1 L0k
Πie−µikµnikik
nik!, (6.13)
mit dem Normierungsfaktor:
L0k = Πie−niknnikik
nik!. (6.14)
Dabei sind:
µik =bik+sik((g10)4, ma) (6.15) und sikdie Anzahl der erwarteten Signalereignisse:
sik =
Z E′i+∆E′
E′i
dE′ Z ∞
0
R(E′, E)A(E)dφa
dE Pa→γ∆tkdE. (6.16) Die Maximierung der Likelihoodfunktion erfolgt ¨uber die logarithmierte Likelihood-funktion [138]:
χ2k =−2 lnLk. (6.17)
Eineχ2- Verteilung ergibt sich durch Berechnung derχ2- Werte f¨ur verschiedene Werte von(g10)4. Daraus kann mittels Integration ¨uber die Bayesische Wahrscheinlichkeits-funktion von (g10)4 ¨uber den physikalischen Bereich, d.h. positive Werte von (g10)4,
20 40 60 80 100 120 140 10−6
10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
Nγ×(10−10GeV−1/gαγγ)4
Number of pressure settings
20 40 60 80 100 120 140
10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
Nγ×(10−10GeV−1/gαγγ)4
Number of pressure settings
Abbildung 6.7: Links: Anzahl erwarteter Photonen aufgrund von Axion-Photon-Konversion im Falle der gemessenen Druckschritte, bei einer angenommenen kon-stanten Messzeit vont = 5700s f¨ur den Fall, dass Druckschritt 70 untersucht wird.
Rechts ist die Anzahl erwarteter Photonen aufgrund von Axion-Photon-Konversion f¨ur den Druckschritt70gezeigt, jedoch unter Verwendung der tats¨achlich gemessenen Messzeit der Druckschritte. Wurde ein Druckschritt w¨ahrend mehr als einer solaren Beobachtung gemessen, so ergibt sich ein Anstieg der erwarteten Signalphotonen.
bis zum gew¨unschten Konfidenzintervall eine obere Grenze f¨ur (g10)4 bzw. f¨ur die Kopplungskonstantegαγγ berechnet werden:
Z 95%
0
exp−χ2k(g10)4/2 d(g10)4. (6.18) Aufgrund der Tatsache, dass im Falle des R¨ontgenteleskops gr¨oßtenteils keine Ereig-nisse in der Axionsignalfl¨ache detektiert wurden, also nik = 0 ist, entspricht die Li-kelihoodfunktion einem Polynom 1. Grades und ein Maximum vonLk, bzw. ein Mi-nimum derχ2-Funktion wurde in diesen F¨allen an der Stelle(g10)4 = 0festgelegt, da der Bereich(g10)4 >0dem physikalisch sinnvollem Bereich entspricht.
6.3 Einfluss benachbarter Druckschritte
Die Schrittweite der gemessenen Druckintervalle wurde so gew¨ahlt, dass sich die ein-zelnen Kurven der erwarteten konvertierten Photonen ¨uberlappen (siehe Kapitel 1.8.1).
Aus diesem Grunde wird die St¨arke des Signals, das f¨ur einen bestimmten Druckschritt erwartet wird, vom Signal der benachbarten Druckschritte beeinflusst. Der Beitrag an konvertierten Photonen aufgrund der benachbarten Druckintervalle ist in Abb. 6.7 dargestellt. Um den Einfluss der benachbarten Druckschritte in die Berechnung ei-ner oberen Grenze f¨urgaγγ einzubeziehen, k¨onnen verschiedene Methoden angewandt werden. In dieser Arbeit wurden zwei Methoden untersucht: zum einen k¨onnen die Hintergrundspektren und die Spektren der solaren Beobachtungen der benachbarten
6.3. EINFLUSS BENACHBARTER DRUCKSCHRITTE 77 Druckschritte aufaddiert werden, um aus der Summe dieser Spektren eine einzelne Likelihoodfunktion zu berechnen (Methode I), zum anderen k¨onnen die einzelnen Li-kelihoodfunktionen der benachbarten Druckschritte multipliziert werden (Methode II).
Die beiden Methoden wurden mittels MC Simulationen, die im Folgenden genauer be-schrieben werden, auf ihre Sensitivit¨at hin untersucht. Als Ergebnis wird erwartet, dass die Sensitivit¨at unter Verwendung der Methode I nicht ausreichend ist, im Gegensatz zur Methode II.
6.3.1 Simulation bez ¨uglich des Einflusses benachbarter Druckschrit-te auf g
aγγDie in diesem Abschnitt beschriebenen Simulationen wurden inhaltlich aus [137] ¨uber-nommen und sollen zeigen, dass die Sensitivit¨at bez¨uglich der Kopplungskonstante unter Ber¨ucksichtigung des erwarteten Signals benachbarter Druckschritte im Falle ei-ner Multiplikation der einzelnen Likelihoodfunktionen der betrachteten Druckschritte verbessert ist. Die Methode, bei der die einzelnen Spektren addiert werden, ist weniger sensitiv. Nach Erkl¨arung der Vorgehensweise werden die beiden Methoden genauer er-kl¨art, sowie die Ergebnisse interpretiert und mit den analysierten Daten verglichen. Im letzten Teil dieses Abschnitts werden Simulationen vorgestellt, die der Untersuchung der Anzahl der ber¨ucksichtigten benachbarten Druckschritte im Falle der Anwendung der Methode II dienen sollen. Die Ergebnisse dieser Simulationen werden abschlie-ßend mit den analysierten Daten verglichen.
Vorgehensweise
Jede der Simulationen entspricht 10000 Experimenten, wobei 1 Experiment die Mes-sungen 149 verschiedener Druckschritte enth¨alt. Um die Ergebnisse der Simulatio-nen direkt mit den Ergebnissen der analysierten Daten vergleichen zu k¨onSimulatio-nen, wur-den m¨oglichst iwur-dentische Bedingungen gew¨ahlt. Insgesamt wurwur-den in Phase II430 Er-eignisse innerhalb der Axionsignalfl¨ache w¨ahrend Hintergrundmessungen (Messzeit:
TB = 9929245.04s) detektiert. W¨ahrend einer solaren Beobachtung wurden ≈ 0.24 Ereignisse erwartet, bei einer Messzeit von≈6000s (TA= 6000s). F¨ur jedes Experi-ment wurden 2 Datens¨atze generiert: ein Datensatz f¨ur Hintergrunddaten und ein Da-tensatz f¨ur Daten solarer Beobachtungen. Die Hintergrunddaten wurden entsprechend einer Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert430 generiert, d.h.NB ∼ P(µ = 430).
Der Datensatz f¨ur die solaren Beobachtungen (NA) besteht aus Hintergrundereignis-sen (nb) sowie aus Signalereignissen (na). Die Anzahl der Hintergrundereignisse (nb) im generierten Datensatz wird entsprechend einer Poisson-Verteilung mit dem Erwar-tungswert (µB) gew¨ahlt, der den erwarteten Hintergrundereignissen w¨ahrend einer so-laren Beobachtung entspricht, d.h. µB = NB · TTAB. Die Signalereignisse (na) wurden unter Verwendung einer Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert µA generiert, wobei µA den theoretisch erwarteten Ereignissen entspricht, die von einer
Axion-Photon-Konversion stammen (siehe Glg. 6.16):
µA=TA· Z 7
1
A(E)dΦa(E,(g10)4)
dE Pa→γdE. (6.19)
Die statistischen Eigenschaften der beiden zu untersuchenden Methoden werden an-hand der Verteilungsfunktion des Estimators(g10)4, unter Verwendung der Maximum Likelihood Methode, demonstriert. Der Mittelwert dieser Verteilung sollte dem wah-ren Wert der Kopplungskonstante{(g10)4}0 entsprechen und die Breite der Verteilung beschreibt die Genauigkeit (der Methode), mit der der wahre Wert abgesch¨atzt werden kann.
Seik = 20die Anzahl der Energieintervalle undbi die Anzahl der Ereignisse imi-ten Intervall w¨ahrend Hintergrundmessungen (Pk
i=1bi = NB), sowie ni sei die Anzahl der Ereignisse imi-ten Intervall w¨ahrend einer solaren Beobachtung (Pk
i=1ni =NA).
Wenn mbi die Anzahl erwarteter Ereignisse im i-ten Intervall w¨ahrend Hintergrund-messungen ist, dann entspricht
µBi =mbiTA
TB
(6.20) den erwarteten Hintergrundereignissen w¨ahrend einer solaren Beobachtung. Die An-zahl an Signalereignissen imi-ten Energieintervall, die aufgrund von Axion-Photon-Konversion erwartetet werden, folgt aus:
fi =TA· Z
∆Ei
A(E)dΦa(E,(g10)4)
dE Pa→γdE. (6.21)
Dann ist die erwartete Anzahl an Ereignissen pro Energieintervall f¨ur eine solare Be-obachtungµi =fi+µBi und die Likelihoodfunktion lautet:
L=
K
Y
i=1
e−µiµnii ni! =
K
Y
i=1
e−(fi+µBi)(fi+µBi )ni ni! =
K
Y
i=1
e−(fi+miTBTA)(fi+miTTA
B)ni ni! .
(6.22) Da bi klein ist (bi ≈ 20), muss die Likelihoodfunktion mit der Wahrscheinlichkeit P(mi;bi) multipliziert und anschließend ¨uber alle mi integriert werden. Die Wahr-scheinlichkeitP(mi;bi)bedeutet, dass die erwartete Anzahl an Hintergrundereignis-sen pro Energieintervallmientspricht, wennbiEreignisse gemessen wurden:
L=
K
Y
i=1
Z ∞
0
e−(fi+miTATB)
fi+miTA
TB
ni
ni! P(mi;bi)dmi. (6.23) Da P(mi;bi) = P(bi;mi) gilt, kann die Likelihoodfunktion umgeschrieben werden zu:
L=
K
Y
i=1
Z ∞
0
e−(fi+miTATB)
fi+miTA
TB
ni
ni!
1
bi!mbiie−midmi. (6.24)
6.3. EINFLUSS BENACHBARTER DRUCKSCHRITTE 79 Unter Anwendung der richtigen NormierungR∞
0 1
n!xne−xdx= 1folgt:
L=
K
Y
j=1 nj
X
i=0
fjie−fj
TA
TB
nj−i
Qnj−i
k=1 (bj+k)Qnj−i
k=1 (nj −k+ 1) TA
TB + 1bj+1+nj−i
(nj−i)!nj!
. (6.25)
Der Estimator des unbekannten Parameters (g10)4 kann analytisch bestimmt werden, indem die erste Ableitung der Glg. 6.25 nach(g10)4zu Null gesetzt wird.
In den folgenden Simulationen wurde lediglich ein Druckschritt der 1500 in der Ana-lyse verwendeten Druckschritte gew¨ahlt und untersucht:p= 3.04mbar, entsprechend einer Axionmasse von ma = 0.183eV. Die ¨Anderung ing10 f¨ur die restlichen 1499 Druckschritte bzw. Axionmassen ist ¨aquivalent dem hier untersuchten Verhalten einer einzelnen Axionmasse. Außerdem wurden alle Zeiten TA = 6000s gew¨ahlt, d.h. der Einfluss nicht gemessener Druckschritte oder der Einfluss einer l¨angeren Messzeit f¨ur einen Druckschritt wurde in den Simulationen nicht untersucht.
Methode I: Addition der Spektren benachbarter Druckschritte
Um den Einfluss benachbarter Druckschritte zu untersuchen, werden die Hintergrund-spektren und die Spektren der solaren Beobachtungen w¨ahrend der betrachteten Druck-schritte addiert. Das aufgrund von Axion-Photon-Konversion erwartete Signalspek-trum entspricht der Summe der einzelnen Beitr¨age der betrachteten Druckschritte.
Aus Abb. 6.7 wird deutlich, dass der Hauptbeitrag an Signalereignissen von den am n¨achsten liegenden Druckschritten kommt (10−2Ereignisse); das Signal von weit ent-fernten Druckschritten liegt bei10−6Ereignissen. Nach der Addition der Spektren wird die zugeh¨orige Likelihoodfunktion unter Verwendung der Glg. 6.25 berechnet. Um ei-ne direkte Aussage ¨uber den Wert der Kopplungskonstante angeben zu k¨onei-nen, wurde in diesem Falle dieχ2-Funktion (siehe Glg. 6.17) aus der Likelihoodfunktion berech-net und anschließend integriert bis zum 95%-Konvidenzlevel (siehe Glg. 6.18). Die so bestimmten Werte von(g10)4 und g10 sind in Tab. C.1 zusammen gefasst. Es wur-den 3,5,7,9 und 15 Druckschritte betrachtet, d.h. zum Beispiel im Falle von 3 Druck-schritten, dass die Spektren des betrachteten Druckes und der beiden Nachbarn links (n¨achst kleinerer Druck) und rechts (n¨achst gr¨oßerer Druck) addiert wurden. Aufgrund der Tatsache, dass der Signalbeitrag der Nachbarschritte kleiner wird, jedoch die Hin-tergrundspektren und Spektren der solaren Beobachtungen keiner Gewichtung unter-liegen, f¨uhrt diese Methode zu einem Sensitivit¨atsverlust in g10. Unter Gewichtung wird hier die Tatsache verstanden, dass die Messung eines Hintergrundspektrums des benachbarten Druckes der gleichen Wahrscheinlichkeit unterliegt, wie das Spektrum des zu untersuchenden Druckes. Deswegen wird der erwartete Wert der Kopplungs-konstante umso gr¨oßer, d.h. die Sensitivit¨at nimmt ab, je mehr Nachbardr¨ucke in die Rechnung eingehen.
Interpretation der Ergebnisse f ¨ur Methode I
Durch die Addition der Spektren, die in der Berechnung ber¨ucksichtigt werden, liegt der Erwartungswert detektierter Ereignisse w¨ahrend einer solaren Beobachtung nicht mehr bei≈0.27Ereignissen, sondern bein·0.27Ereignissen, wobeindie Anzahl der
g4min15 Entries 10000 Mean 613.6 RMS 76.45
4 g10
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Repetitions
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
g4min15 Entries 10000 Mean 613.6 RMS 76.45
g4 Entries 10000 Mean 60.39 RMS 20.8 g4
Entries 10000 Mean 103.6 RMS 32.63
g4 Entries 10000 Mean 168.4 RMS 42.65
g4 Entries 10000 Mean 251.8 RMS 52.29 g4min15
g4min15 Entries 10000 Mean 4.97 RMS 0.1574
g10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Repetitions
0 200 400 600 800 1000 1200
1400 g4min15
Entries 10000 Mean 4.97 RMS 0.1574 g
Entries 10000 Mean 2.758 RMS 0.2356
g Entries 10000 Mean 3.159 RMS 0.2583
g Entries 10000 Mean 3.58 RMS 0.2359
g Entries 10000 Mean 3.967 RMS 0.2116 g4min15
Abbildung 6.8: Links: Simulierte Verteilungen des Estimators(g10)4 (Methode I). Es wurde jeweils eine unterschiedliche Anzahl an benachbarten Druckschritten unter-sucht: 3 (schwarz), 5 (rot), 7 (blau), 9 (lila) und 15 (gr¨un) Druckschritte. Je gr¨oßer die Anzahl der Nachbarschritte ist, desto mehr verschiebt sich die Verteilung zu h¨oheren Werten des Estimators(g10)4. Rechts: Zugeh¨orige Verteilungen f¨urg10. Diese Vertei-lungen verschieben sich entsprechend der steigenden Anzahl betrachteter Nachbar-schritte, zu h¨oheren Werten ing10.
benachbarten Druckschritte sei; entsprechend gilt dies f¨ur die erwarteten Hintergrunder-eignisse. Aufgrund der gr¨oßeren Statistik folgt eine Gaussverteilung der Werte f¨urg10, unter der Annahme, dass mehr als 3 Druckschritte ber¨ucksichtigt werden. Im Falle von 3 betrachteten Druckschritten fluktuiert die Verteilung sehr stark (siehe Abb. 6.8) und ein Mittelwert (gauss-verteilt) kann nicht angegeben werden. Die Ergebnisse ei-ner N¨aherung mittels eiei-ner Gaussverteilung sind in Tab. C.1 aufgelistet. Die Werte f¨ur (g10)4 k¨onnen hingegen nicht mit einer Gausskurve angen¨ahert werden, doch ist an-hand der Abb. 6.8 erkennbar, dass sich der Mittelwert dieser Verteilung zu h¨oheren Werten hin verschiebt, je mehr benachbarte Druckschritte in die Rechnung eingehen, was dazu f¨uhrt, dass der Wert der Kopplungskonstanteg10gr¨oßer wird und die Sensi-tivit¨at f¨urg10 abnimmt. Diese Methode wird daher in dieser Arbeit nicht angewandt, um die Konturlinie f¨urg10zu berechnen.
Methode II: Multiplikation der Likelihoodfunktionen benachbarter Druckschrit-te
Eine andere Methode zur Berechnung des Einflusses benachbarter Druckschritte ba-siert auf der Multiplikation der Likelihoodfunktionen, die f¨ur jeden einzelnen Druck-schritt berechnet werden. Um den Einfluss benachbarter DruckDruck-schritte in die Berech-nung zu integrieren, werden die Likelihoodfunktionen f¨ur jeden Druckschritt k bei einer spezifischen Axionmasse ma einzeln berechnet und dann miteinander multi-pliziert. Die Likelihoodfunktionen der einzelnen Druckschritte werden multipliziert, bevor dieχ2 Funktion in Abh¨angigkeit der 4. Potenz der Kopplungskonstante(g10)4 berechnet wird. In Abb. 6.9, links ist ein Beispiel zur Multiplikation von drei benach-barten Druckschritten gezeigt. Aufgrund der Multiplikation ¨andert sich die Steigung der gemeinsamenχ2-Funktion; die Steigung wird umso gr¨oßer, je mehr Likelihood-funktionen in die Berechnung eingehen. Dadurch f¨allt die integrierte pdf schneller ab,
6.3. EINFLUSS BENACHBARTER DRUCKSCHRITTE 81
−100 0 100 200 300 400 500
0 10 20 30 40 50 60
χ2
(gαγγ×10−10GeV−1)4
0 20 40 60 80 100
0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025
e−χ2/2 dgαγγ4
(gαγγ×10−10GeV−1)4
Abbildung 6.9: Links: Multiplizierte Likelihoodfunktionen f¨ur drei verschiedene F¨alle:
die unterste Gerade entspricht der Multiplikation aus 3 Druckschritten (blau), die mitt-lere aus 5 Schritten (gr¨un) und die oberste beschreibt die Gerade, die durch Multi-plikation von 7 Druckschritten (rot) entsteht. Die Steigung der Geraden nimmt mit steigender Anzahl betrachteter Nachbarn zu. Rechts sind die zugeh¨origen integrierten χ2-Verteilungen (pdf’s) gezeigt. Das 95% Konfidenzlevel ist in den entsprechenden Farben als Gerade dargestellt. Es ist erkennbar, dass das Erreichen des Konfidenzle-vels im Falle von 7 betrachteten Druckschritten bei einem kleineren Wert stattfindet als im Falle von 3 betrachteten Druckschritten.
bzw. deren Steigung wird negativer, so dass das95%Konfidenzlevel f¨ur kleinere Wer-te von(g10)4 erreicht wird (siehe Abb. 6.9, rechts). Mit dieser Methode ergibt sich im Vergleich zu Methode I kein Verlust, sondern ein Gewinn an Sensitivit¨at bez¨uglich der Kopplungskonstante g10. Werden die Likelihoodfunktionen multipliziert, stammt der Hauptbeitrag vom betrachteten Druckschritt und die Beitr¨age der Nachbarn werden umso kleiner, je weiter der Nachbarschritt entfernt ist.
Interpretation der Ergebnisse f ¨ur Methode II
Die Simulationen best¨atigen eine erh¨ohte Sensitivit¨at unter Anwendung der Methode II. Die Ergebnisse f¨ur(g10)4undg10sind in Abb. 6.10 zusammen gefasst. Der Einfluss von 3,5,7,9 und 15 benachbarten Druckschritten wurde in der gleichen Weise und unter gleichen Voraussetzungen simuliert, wie in Methode I beschrieben, d.h. dieχ2-Kurven wurden ¨uber (g10)4 integriert bis zum 95% Konfidenzlevel. Aufgrund der sehr gerin-gen Statistik der einzelnen Druckschritte (haupts¨achlich Null Ereignisse w¨ahrend einer solaren Beobachtung) ergibt sich keine Gaussverteilung f¨urg10, wie im Falle der Me-thode I. Die Maxima der Verteilungen sind in Tab. 6.1 aufgelistet. Deutlich erkennbar ist, dass die Verteilungen f¨ur g10 bzw. (g10)4 bei zunehmender Anzahl der Nachbar-schritte, im Gegensatz zu Methode I, keinen Fluktuationen oder Verschiebungen zu h¨oheren Werten hin unterliegen. Die Werte der Maxima liegen bei(g10)4 ∼38×10−40 und f¨urg10 ∼2.5×10−10. Die Verteilungen zeigen ein weiteres lokales Maximum, das damit erkl¨art werden kann, dass ein Ereignis w¨ahrend einer solaren Beobachtung de-tektiert (bzw. simuliert) wurde. Der Hauptbeitrag stammt jedoch von Null dede-tektierten (simulierten) Ereignissen in der Axionsignalfl¨ache.
4
g10
30 40 50 60 70
Repetitions
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
g4min3 Entries 10000 Mean 38.21 RMS 9.118 g4
Entries 10000 Mean 38.32 RMS 9.839 g4min3
g10
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
Repetitions
0 1000 2000 3000 4000 5000
g4min3 Entries 10000 Mean 2.483 RMS g 0.1404 Entries 10000 Mean 2.475 RMS 0.1444 g4min3
Abbildung 6.10: Links sind die simulierten Verteilungen f¨ur den Estimator(g10)4 un-ter Verwendung der Methode II dargestellt. Es wurde der Einfluss von 3 (schwarz), 5 (rot), 7 (blau), 9 (lila) und 15 (gr¨un) benachbarten Druckschritten untersucht. Die einzelnen Verteilungen zeigen keinen signifikanten Unterschied, jedoch eine leichte Verschiebung zu kleineren Werten f¨ur den Estimator(g10)4 mit zunehmender Anzahl betrachter Druckschritte. Das Minimum liegt bei der Verteilung f¨ur 15 benachbarte Druckschritte. Rechts sind die zugeh¨origen Verteilungen f¨ur die Kopplungskonstante g10dargestellt.
Des Weiteren ist erkennbar, dass die Sensitivit¨at mit zunehmender Anzahl an Nachbar-schritten zunimmt, also der Wert der Kopplungskonstante kleiner wird. Somit kann ein gr¨oßerer Bereich in der gaγγ-ma Ebene ausgeschlossen werden. Im Folgenden wird in der Datenanalyse die Methode II zur Bestimmung der oberen Grenze an g10(ma) angewandt.
6.3.2 Anzahl benachbarter Druckschritte
In diesem Abschnitt wird der Einfluss der Anzahl der benachbarten Druckschritte, die in die Berechnung unter Anwendung der Methode II, eingehen, untersucht. Dazu wur-de das Maximum wur-der Likelihoodfunktion, bzw. das Minimum wur-der ersten Ableitung wur-der
Tabelle 6.1: Ergebnisse f¨urg10und(g10)4 Methode II Drucknachbarn Mittelwertg10 Mittelwert(g10)4 3 2.482±0.141 38.75±9.72 5 2.473±0.141 38.20±9.60 7 2.475±0.144 38.32±9.84 9 2.475±0.145 38.30±9.85 15 2.476±0.145 38.41±9.88
6.3. EINFLUSS BENACHBARTER DRUCKSCHRITTE 83
g4min
Entries 10000
Mean -14.32 ± 0.4306 RMS 30.92 ± 0.3044
Underflow 4841
Overflow 0
Integral 5159
4=0 10 k/dg dL
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40
Repetitions
0 20 40 60 80 100 120 140
160 g4min
Entries 10000
Mean -14.32 ± 0.4306 RMS 30.92 ± 0.3044
Underflow 4841
Overflow 0
Integral 5159
g4min
g4min Entries 10000 Mean -13.55 RMS 30.57
4=0 /dg10 dLk
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40
Repetitions
0 20 40 60 80 100 120 140
160 g4min
Entries 10000 Mean -13.55 RMS 30.57 g4min
g4min Entries 10000 Mean -13.44 RMS 30.05 g4min Entries 10000 Mean -13.97 RMS 30.16 g4min Entries 10000 Mean -13.19 RMS 30.39 g4min Entries 10000 Mean -14.32 RMS 30.92
Abbildung 6.11: Links ist die Simulation f¨ur 33 benachbarte Druckschritte gezeigt. Es wurde die Gleichung dLk/dg410 = 0gel¨ost, wobei Lk ¨uber die Glg. 6.25 gegeben ist.
Aufgetragen sind die Werte f¨ur(g10)4. Rechts sind die Verteilungen aller Simulationen f¨ur Nachbardruckschritte von 3, 5, 9, 11, 13, 15 sowie 33 benachbarte Druckschritte gezeigt. Diese Verteilungen zeigen keinen signifikanten Unterschied untereinander.
Likelihoodfunktion bez¨uglich(g10)4 bestimmt; d.h. dLk/dg410 = 0, wobeiLk ¨uber die Glg. 6.25 gegeben ist. In den Abb. 6.11 sind die zugeh¨origen Verteilungen dargestellt.
Die Mittelwerte der Verteilungen sind Tab. 6.2 zusammengefasst.
Ergebnis
Aus den Simulationen kann geschlussfolgert werden, dass f¨ur>4benachbarte Schritte ein Minimum bei 14 Nachbarschritten liegt; in Tab. 6.2 entspricht das den Werten f¨ur 15 Schritte (also die 7 n¨achst kleineren und die 7 n¨achst gr¨oßeren, sowie der betrach-tete Druckschritt). Jedoch sind die Unterschiede zu den anderen Mittelwerten gering;
auch die Verteilungen weisen keine signifikanten Unterschiede auf (siehe Abb. 6.11, rechts). Die Abweichungen der Mittelwerte bei Nachbarschritten< 4kann damit er-kl¨art werden, dass die Statistik sehr gering ist, d.h. die Anzahl erwarteter Ereignisse in der Signalfl¨ache, die detektiert werden k¨onnen, liegt bei≈1. Es kann keine eindeutige Aussage anhand dieser Werte gemacht werden.
6.3.3 Zusammenfassung der Ergebnisse
Die Simulationen haben gezeigt, dass die Multiplikation der Likelihoodfunktionen be-nachbarter Druckschritte zu einer erh¨ohten Sensitivit¨at f¨uhrt. Die folgende Analyse der Daten des R¨ontgenteleskops (Phase II) bez¨uglich der Kopplungskonstante wird daher unter Verwendung dieser Methode durchgef¨uhrt. Des Weiteren haben die Simulationen gezeigt, dass die Sensitivit¨at unter Betrachtung von14benachbarten Druckschritten am gr¨oßten ist.
6.3.4 Berechnung der oberen Grenze f ¨ur alle Axionmassen
Unter Verwendung der Methode II wird in diesem Abschnitt die obere Grenze f¨ur gaγγ(ma) der mit dem R¨ontgenteleskop in Phase II genommenen Daten, berechnet.