2 MATERIAL UND METHODEN
2.2 Berechnung von Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum
Im folgenden soll die Berechnung der Autokorrelationsfunktion und des Leistungsspektrums einer Zeitreihe mit Hilfe der Fouriertransformation skizziert werden in Anlehnung an die Darstellungen in [51] und [52].
Zur Analyse bei der FCS wird aus den Fluoreszenz-Zeit-Daten (h(t)) die Autokorrelati-onsfunktion berechnet. Formal ist die KorrelatiAutokorrelati-onsfunktion zweier Funktionen g(t) und h(t) folgendermaßen definiert:
+¥
ò
¥
-+
= g t h t t h
g, ) ( ) ( )d (
Korr J (14)
Korreliert man eine Funktion mit sich selbst, erhält man den Spezialfall der Autokorrelations-funktion (G(t)):
ò
+=
= ®¥
T
T h t h t t
h T h G
0
d ) ( ) 1 ( lim ) , ( Korr )
(J J (15)
(G(t): Autokorrelationsfunktion; t: Autokorrelationszeit; h(t): Probe zur Zeit t; T: Beobach-tungsdauer).
Eine weitere wichtige Operation zwischen zwei Funktionen ist die Faltung (ausgedrückt durch das Zeichen Ä):
+¥
ò
Nach dem Faltungs-Theorem ist die Fouriertransformation der Faltung gleich dem Produkt der individuellen Fouriertransformierten:
)
Transformiert man die Funktion (h(t)) mit Hilfe der Fouriertransformation (FT) in die Fre-quenzebene, so erhält man eine Funktion H(f), die eine Funktion der Frequenz f ist. Durch inverse Fouriertransformation (iFT) erhält man wieder die ursprüngliche Funktion:
)
Der Doppelpfeil (Û) drückt dabei aus, daß es sich auf beiden Seiten um Transformati-onspaare handelt.
Die FT und die iFT sind gemäß folgender Formeln definiert:
FT: H(f)=+¥-
ò
¥h(t)e2Fiftdt (19)iFT: h(t)=+¥-
ò
¥H(f)e-2Fiftdf (20)Die Korrelationsfunktion zweier Funktionen Korr(g, h) stehen mit den fouriertransformierten Einzelfunktionen nach dem Korrelations-Theorem in der folgenden Beziehung zueinander:
)
Oder in Worten ausgedrückt: Multipliziert man die Fouriertransformation einer Funktion mit der komplexkonjugierten einer zweiten Fouriertransformierten so entspricht dies der Fourier-transformation ihrer Korrelationsfunktion. Da im folgenden immer von realen Funktionen die Rede sein wird, gilt folgende Vereinfachung:
) ( )
*(f H f
H = - (22)
Als Spezialfall des Korrelations-Theorems kann das Wiener-Khinchin-Theorem betrachtet werden, welches die Beziehung zwischen der Autokorrelationsfunktion und der Fouriertrans-formierten einer Funktion beschreibt:
)2
Die Gesamtenergien in der Zeit- als auch in der Frequenzebene sind gleich. Dies wird im Parseval-Theorem zwischen den Transformationspaaren h(t) und H(f) ausgedrückt:
ò
Für den häufig auftretenden Fall nur positiver Frequenzen integriert man f nur zwischen 0 und +¥ und gelangt so zur einseitigen spektralen Verteilung (Leistungsspektrum):
¥
bzw. im Fall einer realen Funktion h(t):
¥
Berechnet man also aus einer Funktion h(t) zunächst das Leistungsspektrum Ph(f) gemäß Gl.
26, so läßt sich hieraus durch inverse Fouriertransformation (Gl. 23) die Autokorrelations-funktion Korr(h,h) berechnen.
Bei der Funktion h(t) handelt es sich aber bei physikalischen Messungen häufig nicht um eine kontinuierliche Funktion, sondern die Funktion besteht meistens aus gemessenen Werten, die in konstanten Zeitintervallen (,) aufgenommen werden:
1
Wenn die Daten mit einer Aufnahmefrequenz von (1/,) aufzeichnet wurden, lassen sich nach dem Nyquist-Theorem hiermit Prozesse mit einer maximalen Frequenz von
f ∆ 2
1
c = (28)
beobachten. Diese Frequenz fc nennt man auch Nyquist-Frequenz. Man erhält hiernach die gesamten Informationen über einen beobachteten Prozeß, wenn man ihn mit Frequenz auf-zeichnet, die zweimal schneller ist als die maximale Frequenz des zu untersuchenden Prozes-ses. Alle Prozesse, die schneller als die Nyquist-Frequenz ablaufen, führen zur Verfälschung des Leistungsspektrums.
Die Fouriertransformation einer diskret aufgezeichneten Funktion läßt sich über die dis-krete Fouriertransformation (DFT, Hn) berechnen:
()(JJhtg+
å
=-Entsprechendes gilt für die diskrete inverse Fouriertransformation, die den ursprünglichen Datensatz exakt wieder herstellt:
å
Das Leistungsspektrum für diskret aufgenommene Daten wird durch das sogenannte Periodo-gramm angenähert:
Bei der Berechnung des Periodogramms ist zu berücksichtigen, daß man den Datensatz mit N Punkten formal mit einer rechteckigen Fensterfunktion multipliziert, deren Wert außerhalb des Datensatzes 0 beträgt und sonst den Wert 1 besitzt. Die gemeinsame Fouriertransformation aus dem Datensatz multipliziert mit der Fensterfunktion ist nach dem Faltungstheorem (Gl. 17) die Faltung aus der Fouriertransformation des Datensatzes mit der Fouriertransformation der Fensterfunktion (wj):
å
[ ]
Die Faltung bedeutet, daß jeder Punkt im Periodogramm P(fn) mit der Fouriertransfor-mierten der Fensterfunktion multipliziert wird. Der Punkt P(fn) ist also eine Abschätzung der kontinuierlichen Funktion P(f), die durch das Verhalten der Fensterfunktion mitbestimmt wird.
Das Problem der rechteckigen Fensterfunktion ist, daß sie am Anfang des Datensatzes sprunghaft auf 1 ansteigt, am Ende des Datensatzes genau so schnell wieder auf 0 abfällt, und deshalb die fouriertransformierte Fensterfunktion nur langsam auf Null abklingt. Dies kann aber umgangen werden, wenn man die rechteckige Fensterfunktion durch eine ersetzt, deren Anstieg und Abfall nicht so schnell ist. Hierfür gibt es eine Vielzahl von Fensterfunktionen, deren Eigenschaften z.B. in [53] diskutiert werden. Zusammenfassend geht es bei den Eigen-schaften der Fensterfunktionen darum, den zentralen Peak der fouriertransformierten Fenster-funktion so schmal wie möglich zu machen und den Rest der Funktion so schnell als möglich auf Null abklingen zu lassen. Der Nachteil dieser Fensterfunktionen ist aber, daß ein großer Teil des Datensatzes mit stark verminderter Amplitude in die Berechnung des Periodogramms eingeht. Aus diesem Grund wurde zur Berechnung des Periodogramms eine Fensterfunktion gewählt, die über einen großen Bereich des Datensatzes den Wert 1 besitzt und innerhalb von 10% des Datensatzes am Rand auf Null abfällt (20% cosine tapered window oder Tukey-Fenster; s. Abbildung 8) [52-54].
Zur Elimination langsamer Trends wurden die gemessenen Fluoreszenzdaten vor der Analyse ggf. mit 0,05 Hz hochpassgefiltert. Dazu wurde in der Frequenzdomäne ein FIR (finite impulse response)-Filter auf der Basis eines Hamming-Fensters auf den Datensatz angewandt.
Nach der Rücktransformation des Datensatzes von der Frequenz- in die Zeitdomäne fehlten die langsamen Fluktuationen des ursprünglichen (ungefilterten) Datensatzes. Allerdings wird nicht nur der Datensatz, sondern auch die Filterfunktion mit zurücktransformiert. Die Fluores-zenzdaten in der Zeitebene sind überlagert mit der inversen Fouriertransformation der ver-wendeten Filterfunktion. Analysiert man die gefilterten Fluoreszenzdaten mit Hilfe der Autokorrelationsfunktion, so wird die zusätzliche Komponente des Filters auch in der Auto-korrelationsfunktion gefunden. Eine vernünftige Interpretation der AutoAuto-korrelationsfunktion wird dadurch erschwert. In der Frequenzdomäne liegen die Verhältnisse anders, da der
Fre-quenzgang des Filters bekannt ist. Aus diesem Grunde wurde zur Analyse von gefilterten Fluoreszenzdaten das Leistungsspektrum verwendet.
1.0
Abbildung 8: Verwendetes Cosinusfenster zur Berechnung des Periodogramms.
Die Berechnung des Leistungsspektrums eines Datensatzes erfolgte also in Anlehnung an Gl.
33 und 34. Die Autokorrelationsfunktion eines Datensatzes der Größe N wurde nach folgen-dem Algorithmus berechnet [52]:
1) Anfügen von N Nullen an den Datensatz.
2) Berechnung der DFT des Datensatzes gemäß Gl. 30.
3) Berechnung des Periodogramms (Gl. 32).
4) Berechnung der inversen DFT (Gl. 31).