Beispiel 1: unabgeschlossene Touren

Im ersten Beispiel werden unabgeschlossene Touren und die Auslastungsrestriktion

verwendet. Fahrzeugfixkosten werden nicht einberechnet. Das Beispiel wird nach den in 3.4 genannten Schritten I-III gelöst.

I. Schaffung der Voraussetzungen

Ausganspunkt ist die 2x2 Matrix eines klassischen Transportproblems (Abb. 28), welche die Kosten pro Fahrzeug k yj, sowie die Angebote a i 0 und Bedarfe b j 0 der Standorte anzeigt.

Abbildung 28: Beispielhaftes Transportproblem mit Kosten k yj

Da die einfache Matrix nur die Kosten für die Direktverbindungen von Quelle zu Senke beinhaltet, reicht diese Matrix nicht als Grundlage aus. Benötigt wird zusätzlich die in Abb.

29 dargestellte Kostenmatrix, welche die Kosten für sämtliche Einzelverbindungen k ij, k yj, k

jz und k zi enthält. Neben dieser symmetrischen Kostenmatrix muss auch die maximale Transportkapazität gegeben sein, welche in diesem Beispiel mit t=10 ME festgelegt wird.

Q

₁

Q

₂ ^Bedarf

S

₁

2 5 15

S

₂

4 7 5

Angebot

7 13 20

45 Abbildung 29: Symmetrische Kostenmatrix für das beispielhafte Transportproblem

Die grau hinterlegten Felder sind in diesem Beispiel nicht benötigt, da es sich um

unabgeschlossene Touren handelt. Mithilfe der Transportkosten für die einzelnen Strecken, können nun die Transportkosten k iyjz, sowie die anfänglichen Angebote a iy 0 und Bedarfe b jz 0

für alle Touren bestimmt werden. Die Werte für a 11 0 , a 12 0 und k 1211 werden hier mit den in Teil 3.4.1 angegebenen Formeln beispielhaft errechnet:

Für a _{11 0}: i=1; y=1 ⇒ i=y ; a 11 0 = a _{1 0} = 7 ME

Für a _{12 0}: i=1; y=1 ⇒ i≠y ; a _{11 0} = a _{1 0} + a _{2 0} = 7+13 = 20 ME Für k ₁₂₁₁: k ₁₂₁₁= k ₁₂ (k _iy)+ k ₂₁(k _yj) + k ₁₁(k _jz) = 4+5+0 = 9 GE

Als Ergebnis entsteht die in Abb. 30 dargestellte Matrix, anhand welcher die nachfolgenden Iterationsschritte durchgeführt werden können. Die abgebildeten Touren haben immer genau einen Startpunkt, einen Zielpunkt und zwei Zwischenstopps. Der Startpunkt kann dabei dem ersten Zwischenstopp und der Zielpunkt dem zweiten Zwischenstopp entsprechen. Somit ergeben sich Touren mit zwei (rot hinterlegt), drei (gelb hinterlegt) oder vier (grün hinterlegt) beteiligten Standorten. Der in rot umrandete Bereich in Abb. 30 entspricht der ursprünglichen Matrix, also einem Transportproblem, welches keine Touren zulässt. Wie im Teil 3.3.3

beschrieben, werden nur Touren zugelassen, welche zuerst zwei Quellen und dann erst zwei Senken anfahren. In diesem Beispiel wären ansonsten 48 weitere Touren möglich, also die vierfache Anzahl. Der Mehrwert der neu verfügbaren Touren könnte den Mehraufwand daher kaum rechtfertigen.

Q

₁

Q

₂

S

₁

S

₂

S

₁

2 5 0 4

S

₂

4 7 4 0

Q

₁

0 4 2 4

Q

₂

4 0 5 7

Von

Nach

46 Abbildung 30: Ausgansmatrix für Beispiel 1

II. Bearbeitung der Methode in endlich vielen Iterationsschritten 1. Durchführung von Iterationsschritt s=1:

1.1 Bestimmung der maximal transportierbaren Menge 𝑥_{iyjz max 1} für jede Tour unter Berücksichtigung der Auslastungsrestriktion:

Die Berechnung wird erneut beispielhaft für 𝑥_{1111 max 1}und 𝑥_{1211 max 1} durchgeführt:

𝑥_{1111 max 1}= ⌊min(𝑎_{11 0}, 𝑏_{11 0})

𝑡 ⌋ ∗ 𝑡 = ⌊min(7, 15)

10 ⌋ ∗ 10 = ⌊7

10⌋ ∗ 10 = 0 ∗ 10 = 0

𝑥_{1211 max 1}= ⌊min(𝑎_{12 0}, 𝑏_{11 0})

𝑡 ⌋ ∗ 𝑡 = ⌊min(20, 15)

10 ⌋ ∗ 10 = ⌊15

10⌋ ∗ 10 = 1 ∗ 10 = 10 Startpunkt

Q

₁

Q

₂

Q

₁

Q

₂

1. Zwi-

schenstopp

Q

₁

Q

₂

Q

₂

Q

₁

2. Zwi-

schenstopp Zielpunkt

Q1Q1 Q2Q2 Q1Q2 Q2Q1 Bedarf

S

₁

S

₁

^{S1S1 2 5 9 6 15}

S

₂

S

₂

^{S2S2 4 7 11 8 5}

S

₁

S

₂

^{S1S2 6 9 13 10 20}

S

₂

S

₁

^{S2S1 8 11 15 12 20}

Angebot 7 13 20 20 ²⁰

47 Abbildung 31: Maximale Transportmengen x iyjz max 1 im ersten Iterationsschritt

1.2 Berechnung der Kosten pro transportierter Einheit 𝑣_{𝑖𝑦𝑗𝑧 1} für alle zulässigen Touren:

Der beispielhafte Wert für 𝑣_{1211 1} berechnet sich wie folgt:

𝑣_{1211 1}= ^(⌈

𝑥1211 max 1 t ⌉∗𝑘1211) 𝑥1211 max 1 = ^(⌈

1 1⌉∗ 9)

10 = 0,9

Abbildung 32: Kosten v _{iyjz 1} pro Mengeneinheit im ersten Iterationsschritt

1.3 Bestimmung der minimalen Transportkosten je transportierter Einheit für jede Quelle und jede Senke, sowie der Differenz zur jeweils günstigsten Alternative:

Q1Q1 Q2Q2 Q1Q2 Q2Q1 Bedarf

S1S1 0 10 10 10 15

S2S2 0 0 0 0 5

S1S2 0 10 20 20 20

S2S1 0 10 20 20 20

Angebot 7 13 20 20 20

Q1Q1 Q2Q2 Q1Q2 Q2Q1 Bedarf S1S1 / 0,5 0,9 0,6 15

S2S2 / / / / 5

S1S2 / 0,9 1,3 1 20

S2S1 / 1,1 1,5 1,2 20

Angebot 7 13 20 20 20

48 Abbildung 33: Abgleich der Kostendifferenzen im ersten Iterationsschritt

Da die Differenz zur günstigsten Alternative am höchsten ist, wird das Feld mit 𝑣_{2111 1}= 0,6 gewählt. Der Wert x 2111 wird somit als 10 bekannt und kann in das finale Transporttableau eingetragen werden. Zusätzlich wird Quelle 1 vermerkt.

1.4 Eintragung der bekannt gewordenen Werte in das Transporttableau und Bestimmung der verbleibenden Angebote und Bedarfe:

Abbildung 34: Transporttableau nach dem ersten Iterationsschritt

Der Wert für x ₂₁₁₁ = 10 wird eingetragen. Da die größte Differenz in Schritt 1.3 bei Q1 entstanden ist, wird das Angebot von Q1 so weit wie möglich getilgt. Das Angebot a 1 1

beträgt somit 0 ME im Vergleich zu a _{1 0} mit 7 ME. Die verbleibenden 3 ME, welche dem Feld x 2111 zugeordnet worden sind, werden nun vom Angebot der anderen, an der Tour beteiligten Quelle Q2 entnommen. Somit sinkt das Angebot von a 2 0 = 13 ME auf a 2 1 =10 ME. Da die Tour x 2111 nur die Senke S1 beliefern kann, reduziert sich dessen Bedarf von b 1 0 =15 ME auf b 1 1 =5 ME. Der verbleibende Bedarf b 1 1 bleibt unverändert. Somit

Q

₁

Q

₂

S

₁

S

₂

Minimum

0,6 0,5 0,5 0,9

günstigste

Alternative

0,9 0,6 0,6 1

Differenz

0,3 0,1 0,1 0,1

i=1; y=1 i=2; y=2 i=1; y=2 i=2; y=1

Q1Q1 Q2Q2 Q1Q2 Q2Q1 Bedarf

j=1; z=1

S1S1 0 0 10 5

j=2; z=2

S2S2 0 0 0 5

j=1; z=2

S1S2 0 0 0 10

j=2; z=1

S2S1 0 0 0 10

Angebot 0 10 10 10 10

49 können die Angebote a iy 1 und Bedarfe b jz 1 der Touren nach den in Teil 3.4 genannten Formeln berechnet werden. Diese sind in der Angebotszeile und der Bedarfsspalte von Abb. 34 aufgeführt.

Da das Angebot a _{1 1} von Q1auf 0 ME gesunken ist, werden allen Touren X _iyjz, an denen Q1 beteiligt ist und deren Transportmenge x _iyjz noch unbekannt ist, mit 0 ME belegt. Das betrifft alle x_1yjz und x_i1jz außer x _2111, da dieses Feld bereits belegt ist.

2. Mit den neuen Angeboten a _{iy 1} und Bedarfen b _{jz 1} wird der nächste Iterationsschritt s=2 durchgeführt.

2.1 Bestimmung von 𝑥_{iyjz max 2}:

Da sowohl noch Angebote a iy 1und Bedarfe b jz 1 vorhanden sind, welche die maximale Transportmenge t übersteigen oder gleich dieser sind, gilt weiterhin die

Auslastungsrestriktion.

Abbildung 35: Maximale Transportmengen x iyjz max 2 im zweiten Iterationsschritt

Die grau hinterlegten Touren in Abb. 35 erfüllen zwar die Auslastungsrestriktion, ihre Transportmenge x iyjz wurde allerdings bereits in Schritt 1.4 bestimmt. Daher werden sie im Folgenden nicht beachtet.

Q1Q1 Q2Q2 Q1Q2 Q2Q1 Bedarf

S1S1 0 0 0 0 5

S2S2 0 0 0 0 5

S1S2 0 10 10 10 10

S2S1 0 10 10 10 10

Angebot 0 10 10 10 10

50 2.2 Berechnung von 𝑣_{𝑖𝑦𝑗𝑧 2}:

Abbildung 36: Kosten v iyjz 2 pro Mengeneinheit im zweiten Iterationsschritt

2.3 Da, wie in Abbildung 36 erkenntlich, nur zwei Touren zur Wahl stehen, kann direkt das Feld v 2212 ausgewählt werden, da es die geringen Kosten aufweist. Somit wird x 2212 = 10 bekannt.

2.4 Als finales Transporttableau ergibt sich:

Abbildung 37: Finales Transporttableau nach dem zweiten Iterationsschritt

Die Angebote und Bedarfe werden komplett durch die Tour X 2212 aufgebraucht. Somit werden die übrigen Transportmengen mit 0 ME bestimmt.

Q1Q1 Q2Q2 Q1Q2 Q2Q1 Bedarf

S1S1 / / / / 5

S2S2 / / / / 5

S1S2 / 0,9 1,3 1 10

S2S1 / 1,1 1,5 1,2 10 Angebot 0 10 10 10 10

i=1; y=1 i=2; y=2 i=1; y=2 i=2; y=1

Q1Q1 Q2Q2 Q1Q2 Q2Q1 Bedarf

j=1; z=1

S1S1 0 0 0 10 0

j=2; z=2

S2S2 0 0 0 0 0

j=1; z=2

S1S2 0 10 0 0 0

j=2; z=1

S2S1 0 0 0 0 0

Angebot 0 0 0 0 0

51 III. Errechnung der summierten Gesamtkosten

Die gesamten Transportkosten Z können mithilfe des finalen Transporttableaus wie folgt errechnet werden:

Z=∑²_𝑖=1∑²_𝑦=1∑²_𝑗=1∑²_𝑧=1𝑘_{𝑖𝑦𝑗𝑧}∗ ⌈^𝑥iyjzt ⌉ = 6 ∗ ⌈¹⁰10⌉ + 9 ∗ ⌈¹⁰10⌉ = 15 GE

Aufgrund der Auslastungsrestriktion wird primär die Fahrzeuganzahl minimiert, wodurch nur zwei Fahrzeuge für den Transport genutzt werden. Da allerdings unabgeschlossene Touren gefahren werden, hat eine Tour nicht zwangsläufig einen Vorteil gegenüber den

entsprechenden Einzelfahrten. In diesem Beispiel sind die Kosten für den direkten Transport von einer Quelle zu einer Senke sehr gering gewählt. Daher ist die mit dieser Methode

errechnete Lösung nicht ideal. Eine Lösung mit mehr genutzten Fahrzeugen kann hier bessere Ergebnisse liefern. So kommt der folgende beispielhafte Transportplan (Abb. 38) mit 14 GE auf ein besseres Ergebnis:

Z=∑²_𝑖=1∑²_𝑦=1∑²_𝑗=1∑²_𝑧=1𝑘_{𝑖𝑦𝑗𝑧}∗ ⌈^𝑥iyjzt ⌉ = 2 ∗ ⌈10⁷⌉ + 5 ∗ ⌈10⁸⌉ + 7 ∗ ⌈₁₀⁵⌉= 14 GE

Abbildung 38: Beispielhafter Transportplan mit den Transportmengen x iyjz

i=1; y=1 i=2; y=2 i=1; y=2 i=2; y=1

Q1Q1 Q2Q2 Q1Q2 Q2Q1 Bedarf

j=1; z=1

S1S1 7 8 0 0 0

j=2; z=2

S2S2 0 5 0 0 0

j=1; z=2

S1S2 0 0 0 0 0

j=2; z=1

S2S1 0 0 0 0 0

Angebot 0 0 0 0 0

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Im Dokument Entwicklung einer Methode zur Lösung eines Transportproblems mit Fahrzeugkapazitäten unter Verwendung von Tourenplanung (Seite 51-59)