Beispiel: Fadenpendel

19.2 Beispiel: Fadenpendel

Sicht aus Inertialsystemen

Beschleunigung der Pendelmasse wird durch die horizontale Komponente der Scheinkraft aufge-bracht.

Sicht aus beschleunigtem System

Pendel ist in Ruhe aber schief!F~Schein=−m~anötig, damitP

iF~i= 0

19.3 Scheinkräfte in rotierenden Nicht-Inertialsystemen

Wir beschränken uns aufω= 0, bei gleichmäÿiger Kreisbewegung des Bezugsystems.

19.3.1 Zentrifugalkraft

Ruhendes Objekt im rotierenden System.v⁰= 0.

Sicht aus Inertialsystemen

20 ERHALTUNGSSÄTZE ZentripetalkraftF~ZP =−mω²~r. Wird durch die horizontale Komponente der Seilkraft aufgebracht:

F~Seil+F~G=F~ZP

Sicht aus beschleunigtem System Pendel ruht, aber schief!F~ZF so, dassP

iF~i= 0.F~ZF =mω²~r² heiÿt Zentrifugalkraft 19.3.2 Corioliskraft

Bewegtes Objekt im rotierenden System (v⁰ 6= 0) ⇒Zentrifugalkraft + Corioliskraft. Ablenkende Scheinkraft ohne Herleitung:

F~C = 2m(~v⁰×ω)

= 2mv⁰ωsin∠(~v⁰, ~ω) TODO: Add Foucaultsches Pendel

20 Erhaltungssätze

20.1 Arbeit

Denition 16. Arbeit (physikalische Denition). Wirkt eine KraftF~ auf einen materiellen Punkt oder Körper und verschiebt ihn dabei um eine Weglänge ∆~r, so hat die Kraft den Zustand des Körpers verändert, sie hat Arbeit verrichtet.

Denition 17. Arbeit (mechanische Denition).

∆W = |F~| · |∆~r| ·cos∠ F ,~ ∆~r dW = F~ ·d~r

20.1 Arbeit 20 ERHALTUNGSSÄTZE 20.1.1 Wegintegral

dierentielle Formulierung ist nötig, wenn sich

F~

oder Winkel zwischen Kraft und Weg sich ändern.

Arbeit eines Wegs von~r₁nach~r₂

W12 = ˆ ~r₂

~ r1

dW

= ˆ ~r2

~ r1

F~d~r

[W] = Nm=^kg·m_s2 ² =J Dieses Integral wird auch als Wegintegral bezeichnet.

20.1.2 Hubarbeit gegen Gewichtskraft Direktes lotrechtes Heben

F = mg h = h2−h1

W12 = ˆ h2

h1

mgdh

= mgh Heben auf reibungsfreier schiefen Ebene

20.2 Leistung 20 ERHALTUNGSSÄTZE

F = mgsinα

∆r = h₂−h₁ sinα

⇒W₁₂ = mgh Absichtlich komplizierter Weg im Halbkreis

Parametrisierung des Weges tist hierbei nicht unbedingt die Zeit.

d~r Denition 18. Parametrisches Wegintegral

W12= Aus der Denition des parametrischen Wegintegrals undF~ = 0 0 mg

folgt

Note 19. Das Arbeitsintegral ist wegunabhängig für konservative Kraftfelder.

Add Ortsunabhängige Kräfte wie Federrückstellkraft.

20.2 Leistung

Leistung ist deniert als Arbeit pro ZeiteinheitP = ^∆W_∆t.

20.3 Kinetische Energie 20 ERHALTUNGSSÄTZE

Verknüpfung von Arbeit mit dem 2. Newtonschen Axiom. Massepunkt hat momentan am Ort~r den Impuls~p=m~v. Kraft bewirkt Impulsänderung

d~p=Fdt~ Positionsänderung istd~r=~vdt. Eliminierung vondt:

~v·d~p−F~d~r = 0 Zwei dierentielle Gröÿen, deren Summe konstant bleibt.

Denition 21. Kinetische Energie

E_kin= p² 2m = 1

2mv² dE_kin= d_p2

2m

ist die Änderung der kinetischen Energie längs der Wegstrecked~rbei Einwirkung der KraftF~.

20.4 Potentielle Energie

Man könnte die bei obigen Beispielen eingesetzte Arbeit zur Beschleunigung einer Masse nutzen Gespannte Feder kann die Arbeit´

−Dxdxverrichten Angehobene Masse kann die Arbeit´

−mgdz

Oenbar besitzen die beide Systeme durch die von auÿen an ihnen verrichtete Arbeit die Eigen-schaft, selbst wieder Arbeit verrichten zu können. Diese Eigenschaft heiÿt potentielle Energie.

Angehobene Masse E_pot=mgh gespannte Feder Epot=¹₂Dx²

20.5 Energieerhaltungssatz

Die verschiedenen Energieformen können ineinander umgewandelt werden.

Denition 22. Energieerhaltungssatz der Mechanik E_kin+E_pot=const.

Verluste durch Reibung sind nicht berücksichtigt, bzw. in einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie eine Erhaltungsgröÿe. Dies schlieÿt die durch Reibungsverluste entstehende Wärmeen-ergie mit ein.

20.5 Energieerhaltungssatz 20 ERHALTUNGSSÄTZE

Beispiel: harmonischer Oszillator

E_pot = 1 2Dx² E_kin = 1

2mv²

Egesamt = Epot+Ekin=const.

x₀ ist die maximale Auslenkung (Amplitude) E_ges= 1

2Dx₀=E_pot,max=E_kin,max

Energieerhaltungssatz ist ein mächtiges Prinzip, erlaubt oft erhebliche Vereinfachung bei Berech-nung von Bewegungsabläufen.

Note 23. Energieerhaltung⇔konservative Kräfte⇔rotF~ = 0⇔F(~~ r) =−gradE_pot Beispiel: Gewichtskraft

F~ = F~G = 0 0 −mg rotF~ = 0

F~ = −grad(mgz

| {z }

=E_pot

)

→ konservatives Kraftfeld Beispiel: Gravitationskraft Siehe mathematischen Einschub.

F~ = −γm1m2

r² ·rˆ rotF~ = 0

F~ = −grad(−γm1m2

r

| {z }

=Epot

)

→ konservatives Kraftfeld

Beispiel: Reibungskraft ist nicht konservativ, hängt nicht in eindeutiger Weise vom Ort ab, lässt sich nicht als Gradientenfeld eines skalaren Potentials darstellen.

20.6 Mathematischer Einschub: Gradient, Rotation, Divergenz 21 GRAVIATION II

20.6 Mathematischer Einschub: Gradient, Rotation, Divergenz

To be continued; momentarily please refer to the mighty Nolting :)

20.7 Äquipotentialächen

Äquipotentialächen bezeichnen Orte gleicher potentieller Energie. Deniert durchEpot(~r) =const.

Beispiel: Gravitationspotential z.B. der Sonne (auch Coulomb-Potential) Epot = −γm_Sonnem_{P lanet}

r φSonne = Epot

m_{P lanet}

= −γmSonne

r φ, E_pot ∝ −1

r

Richtung der KraftF~ =−gradE_potist stets senkrecht zu den Äquipotentialächen/-linien→Kraftlinien

21 Gravitation II - ausgedehnte Masseverteilungen

Potentielle Energie einer Masem₀im Feld vonN anderen Massen ist berechenbar als Arbeit, die verrichtet werden muss, um m₀ aus der Umgebung der N Massen nach Unendlich zu bringen.

21.1 Kugelschale der Masse M 21 GRAVIATION II

bei kontinuierlicher Massenverteilung (Massenelementedmim Abstandr) Epot,m₀=−m0γ

ˆ dm r oder

Denition 24. Gravitationspotential der Massenverteilungρ(~r) Epot,m₀ =−m0γ

ˆ

V

ρ(~r) r dV

Dichteρ(~r)ist ortsabhängig. Auswertung eines solchen Integrals erfordert Computer. Analytisch geht es nur bei einfachen Geometrien.

21.1 Kugelschale der Masse M

Beitrag eines Ringes der Massedmim Abstand vonsvon m0

dE_pot = −γm₀dm s dm = M

F dF

21.2 Vollkugel der Masse M 21 GRAVIATION II

FlächedF des Rings (Breite: Umfang)

dF = Rdθ2πRsinθ

= 2πR²sinθdθ F = 4πR²

→dm = Msinθdθ 2

→dEpot = −γm0M

2 ·sinθdθ s mit s variabel. Ganze Kugelschale

E_pot=−γm₀M 2

ˆ π θ=0

sinθ s dθ

mit Kosinussatzs²=R²+r²−2Rrcosθfolgt mit dierenzieren2sds= 2Rrsinθdθund einsetzen E_pot = −γm₀M

2Rr

ˆ s(θ=π) s(θ=0)

ds

= −γm0M

2Rr [s(π)−s(0)]

Wir unterscheiden zwei Fälle.

r>R: m0 auÿerhalb der Kugelschale.s(π) =r+R unds(0) =r−R.Epot=−γ^m0_r^M. Dies ist so, als sei die gesamte Masse der Kugelschale im Mittelpunkt konzentriert worden.

r≤R: m₀ innerhalb der Kugelschale. s(π) =r+R unds(0) =R−r. E_pot =−γ^m_R^0M. E_pot ist also unabhängig vom Ort! Es ist keine Arbeit erforderlich, umm₀ zu verschieben, das Innere ist kräftefrei. (gradE_pot= 0).

Ebenso: In einer geladenen Hohlkugel gibt es keine elektrischen Kräfte.

21.2 Vollkugel der Masse M

Vollkugel der MasseM mit ρ=const. Rechnung: Kugelschalen auntegrieren.

22 IMPULSERHALTUNG r>R: Epot=−γ^m0_r^M

r≤R: Epot=−γ^m_2R^0M3 3R²−r²

Zur Rechnung ist Gauÿscher Integralsatz eine elegante Hilfe. (s. Elektrodynamik)

22 Impulserhaltung

Denition 25. In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgröÿe.

Eng verknüpft damit ist das 3. Newtonsche Axiom actio=reactio.

Beispiel: zwei Massepunkte SeiF~₂₁ die Kraft die m₁ auf m₂ ausübt. So istF~₁₂ = −F~₂₁ oder F~₁₂+F~₂₁= 0

Kräfte bedeuten Impulsänderungen

F~₁₂+F~₂₁ = d~p1

dt +d~p2

dt = 0 (Integration)

~

p1+~p2 = p~ges

Wechselwirkung ist i.A. ein komplizierter Vorgang.F~ =F~(t)ausF~ =^d~_dt^p.

22.1 Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt 22 IMPULSERHALTUNG Denition 26. Kraftstoÿ

ˆ t₂ t₁

F~(t) dt= ˆ ~p₂

~ p₁

d~p=~p2−~p1= ∆~p

Im einfachsten Fall istFwärend∆tkonstant. Der Impulserhaltungssatz ermöglicht die Bahndlung von Wechselwirkungen, auch wenn der genaue Verlauf der Kraftübertragung nicht bekannt ist.

22.1 Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt

Denition 27. Der Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt eines Systems materieller Punkte

~rs= Pn

i=1mi·~ri(t)

m mitm=

n

X

i=1

mi

~r_i Ort des Massepunktesi

m Gesamtmasse

23 STOßPROZESSE

Falls äuÿere Kräfte auf das System wirken ist die resultierende KraftF~a=Pn i=1F~ia. Denition 28. SchwerpunktsatzF~a =^d~_dt^ps

Massenmittelpunkt verhält sich so, als sei in ihm die Gesamtmasse des Systems vereint und als würden die äuÿeren Kräfte dort angreifen.

23 Stoÿprozesse

Allgemein: Wechselwirkung zwischen Körpern mit Impulsaustausch.

Elastische Stöÿe Sowohl die mechanische Energie, als auch der Gesamtimpuls, bleibt erhalten.

Beispiel zwei Stahlkugeln.

Inelastischer Stoÿ Gesamtenergie bleibt auch hier erhalten, aber nicht die mechanische Energie.

Gesamtimpuls bleibt erhalten. Beispiel: Kugeln aus Knetgummi.

23.1 Gerader, zentraler Stoÿ

v⁰₁undv⁰₂nach dem Stoÿ gesucht. Nach der Impulserhaltung folgt m1v1+m2v2 = m1v₁⁰ +m2v₂⁰

⇔m₁(v₁−v⁰₁) = m₂(v₂⁰ −v₂) 23.1.1 Elastischer Stoÿ

Es gilt zusätzlich die Energieerhaltung 1 Durch teilen der letzten Aussage durch die Impulserhaltung folgt

v1+v⁰₁=v⁰₂+v2

Mit einsetzen in Impulserhaltung

v₁⁰ = m1−m2

23.2 Nicht zentraler Stoÿ zweier elastischer Körper 23 STOßPROZESSE Beispiele: Gegen ruhende Wand m1m2,v2= 0 folgtv₁⁰ = ^m_m^1−m2

1+m₂v1= ^−m_m²

2 v1≈ −v1

23.1.2 Inelastischer Stoÿ

Energieerhaltung modiziert ¹₂m₁v²₁+¹₂m₂v₂²=¹₂m₁v⁰²₁ +¹₂m₂v⁰²₂ + ∆W. Dabei ist∆W der Anteil der mechanischen Energie der in innere Freiheitsgrade der beteiligten Körper, z.B. Wärme übergeht.

i.A. schwierig zu bestimmen.

23.1.3 Total inelastischer Stoÿ

v⁰₁=v⁰₂=v⁰; aus Impulserhaltungv⁰= ^m1_m^v1+m2v2

1+m₂ und∆W =_2(m^m1m2

1+m₂)(v1+v2)²

Beispiel: m1 m2 und v2 = 0 z.B. Ei fällt auf Tischplatte. Vorher Eges = Ekin,1. Nacher:

v⁰ = 0,∆W =Eges

Beispiel:m₁=m₂,v₂= 0 VorherE_ges=E_kin,1. Nacherv⁰ =^v₂¹.∆W =¹₄m₁v₁²= ¹₂E_ges Beispiel: ballistisches Pendel Ziel ist die Bestimmung von Geschossgeschwindikeiten. Es han-delt sich um einen inelastischen Stoÿ, bei dem die kinetische Energie in potentielle Höhenenergie umgewandelt wird.

23.2 Nicht zentraler Stoÿ zweier elastischer Körper

Alle Geschwindigkeitsvektoren liegen in einer Ebene⇒Problem in 2 Dimensionen. 4 Unbekannte:

:v⁰_1x, v_1y⁰ , v_2x⁰ , v⁰_2y oderv⁰₁, ϑ₁, v₂⁰, ϑ₂. 4 Gleichungen:

• Impulssatz, x-Richtung

• Impulssatz, y-Richtung

• Energieerhaltung

• Art der Kräfte, Stoÿparameter

23.3 Stöÿe im Schwerpunktsystem 23 STOßPROZESSE Beispiel m1 = m2 Impulserhaltung (~v1 = ~v⁰₁+~v₂⁰) und Energieerhaltung v₁² = v₁⁰²+v₂⁰² sind erfüllt, wenn Pythagoras gilt.

23.3 Stöÿe im Schwerpunktsystem

Wir betrachten zwei Massepunkte. Geschwindigkeit des Schwerpunktes im Laborsystem

~

v_s = m1~v1+m2~v2

m₁+m₂

~

p_s = const.

Im Schwerpunktsystem ruht der Schwerpunkt. ~p^S_S = 0. Vor dem Stoÿ ~p^S₁ =−~p^S₂ und nach dem Stoÿ~p^0S₁ =−~p^0S₂

Impulse sind vor und nach dem Stoÿ entgegengesetzt gleich, beim elastischen Stoÿ sind die Beträge aller Impulse gleich. Der Streuwinkelϑ

23.4 Kontinuierlicher Impulsaustausch 24 ENERGIE- UND DREHIMPULSERHALTUNG

x⁰₂ bewegt sich vom Schwerpunk aus gesehen mit der gleichen Geschwindigkeit wie x2 nur in entgegengesetzter Richtung.

23.4 Kontinuierlicher Impulsaustausch

Treibstoelementdm wird mit Relativgeschwindigeschwindigkeitv_rel ausgestoÿen.

dp_T = −dp_R vrel dm

|{z}

=−dM

= −M(t) dv

v_reldM

M = dv

Raketengeschwindigkeit

ˆ v(t) 0

dv = vrel

ˆ M(t) M₀

dM⁰ M⁰ v(t) = vrellnM(t)

M₀ Endgeschwindigkeit

v_e=v_rellnM_e M0

Das, was die Rakete an Masse verliert, muss mit groÿer Geschwindigkeit ausgestoÿen werden, damit v_egroÿ wird.

24 Energie- und Drehimpulserhaltung im Gravitationspotential

Potentielle Energie Massemim Gravitationsfeld der Masse M. Dann ist die potentielle Energie E_pot=−γ^mM_r =−γ^M_rM mitγ^M_r =Gravitationspotentialϕ_g(r)des Körper mit der Masse M.

24 ENERGIE- UND DREHIMPULSERHALTUNG Kinetische Energie

Geschwindigkeit hat einen radialen und einen Winkelanteil.vr= ˙rundvϕ=rϕ˙. Ekin = 1

2mv²

= 1 2mr˙²

| {z } radiale

+ 1 2mr²ϕ˙²

| {z }

=Erot

Rotations-Bewegung

Drehimpuls Drehimpuls ist Erhaltungsgröÿe, weil kein äuÿeres Drehmoment angreift.

~L = ~r×~p L = mrvϕ

damitErot=¹₂mr²_m^L2²r⁴ = _2mr^L22. D.h. für gegebenen Drehimpuls istEkin-Anteil der Rotationsbe-wegung proportional zu _r¹2

Gesamtenergie

E_kin = 1 2mv²

= 1 2mr˙²

| {z } radiale

+ 1 2mr²ϕ˙²

| {z }

=E_rot

Rotations-Bewegung

25 KRÄFTE AM STARREN KÖRPER Zusammenfassung

E >0 freie Zustände. Hyperbelbahnen, Streuprozesse (auch bei Coulombfeld) E= 0 Prabelbahn (gerade nicht mehr geschlossen)

E <0 gebundene Zustände (Ellipsenbahnen)

Teil IV

Mechanik starrer Körper

Bewegungen eines ausgedehnten starren Körpers ist aus Translation und Rotation zusammenge-setzt.

Bisher hatten wir nur Massepunkte betrachtet mit der Ausdehnung Null. Dabei haben wir gelernt:

Drehimpuls L~ =~r×~p,L~ =mr²~ω= Θ~ω Trägheitsmoment Θ =mr²

Rotationsenergie Erot= ¹₂mr²ϕ˙ =¹₂Θω² Drehmoment M~ =~r×F~

Dynamik ^d_dt^~L =M~

Jetzt viele Massepunkte, die starr verbunden sind, Form ändert sich nicht unter Einuss der Kräfte.

25 Kräfte am starren Körper

Der AngrispunktP einer KraftF kann beliebig entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden.

Fact 29. Kräfte, die am starren Körper angreifen, sind linienüchtig.

25.1 Kräftepaare 25 KRÄFTE AM STARREN KÖRPER

25.1 Kräftepaare

F~1 =F~2 mit F~1+F~2 = 0. Kräftepaar erzeugt keine Translationsbewegung, da P

iF~i = ^d~_dt^p = 0, übt aber ein Drehmoment aus.

M~₁ = ~r₁×F~₁ M~2 = ~r2×F~2

bezüglich beliebigen Nullpunkt mitF~2=−F~1

M = M~₁+M~₂

= ~r1×F~1−~r2×F~1

M = (~r₁−~r₂)×F~₁

Die Richtung von M zeigt in die Zeichenebene hinein. Betrag M = F ·s mit s =Abstand der beiden Wirkungslinien

Fact 30. Das Kräftepaar darf am starren Körper beliebig verschoben werden. Das Drehmoment und seine Wirkung ändern sich dabei nicht.

• M~ ist nicht an einen bestimmten Punkt gebunden

• M~ ist ein freier Vektor

• F~, linienüchtig, ist ein gebundener Vektor

• M~ bewirkt eine Winkelbeschleunigung des Körpers um seinen Schwerpunkt.

25.2 Gleichgewichtsbedingung der Statik

Denition 31. Resultierende äuÿere Kraft und resultierendes Drehmoment müssen Null sein.

XF~a = 0 XM~a = 0

25.3 Mechanische Energie eines starren Körpers

Schwerpunkt~rs=

P

imi·~ri

P

imi , Massenelementemibei kontinuierlicher Massenverteilung

~rs =

˝ ρ(~r)·~rdxdydz m

m =

˚

ρ(~r) dxdydz (Körper)

25.4 Potentielle Energie bezgl. Erdanziehung 26 KINETISCHE ENERGIE falls Dichte homogenρ(~r) =ρ

~ rs= 1

V ˆ

v

~ rdV

ˆ dV =

˚

dxdydz= ˆ

d³x

25.4 Potentielle Energie bezgl. Erdanziehung

Lageenergie bezüglich des SchwerpunktsS Epot=X

i

migzi =mgzs

25.5 Gleichgewichtslagen ( x

₀

)

Bei kleinen Auslenkungen

Stabile Lage Körper kehrt zurück, S wird angehoben.

Labile Lage Körper entfernt sich weiter, S senkt sich.

26 Kinetische Energie

~

vi = d~r_i dt

= ~vs+~v_i⁰

~

vi = d~r_s dt +d~r⁰_i

dt

Die Geschwindigkeit eines Massepunktsmi setzt sich also aus der Bewegung des Schwerpunktsrs

und der Relativgeschwindigeschwindigkeit des Massepunktsm_i zu diesem zusammen.

26.1 Berechnung der Rotationsenergie 26 KINETISCHE ENERGIE

26.1 Berechnung der Rotationsenergie

Massepunktemi drehen sich um eine Achse durch P mit gleicher Winkelgeschwindigkeit ω d.h.

viP = ωriP damit M_kin^rot = ¹₂ P

imir_iP²

ω² mit (Massen-)Trägheitsmoment ΘP des Körpers bezüglich der Drehachse

Das TrägheitsmomentΘgibt die Massenverteilung des Körpers bzgl. einer Drehachse an und damit die Trägheit gegenüber der Winkelbeschleunigung.

Θkann in dynamischen Experimenten bestimmt werden gemäÿ der Bewegungsgleichung M = dL

Beispiel Schneckenfeder bei Hookeschem Gesetz→rückstellendes Moment.

M =−D^∗ϕ D^∗ ist Winkelrichtgröÿe

Denition 32. Drehschwingung

→D^∗ϕ= Θ ¨ϕ

26.2 Harmonischer Oszillator 27 TRÄGHEITSMOMENTEN EINFACHER KÖRPER

26.2 Harmonischer Oszillator für Drehbewegungen

Lösung der Dierentialgleichung für die Drehschwingung

−D^∗ϕ= Θ ¨ϕ ergibt die Lösungen:

ϕ = ϕ₀sin (ω₀t+. . .) ϕ = ϕ0cos (ω0t+. . .)

ω0 = rD^∗

Θ T = 2π

r Θ D^∗ Hantelform →siehe Übungen

Kreisschreibenform Finish this small part...

27 Beispiele von Trägheitsmomenten einfacher Körper

27.1 Vollzylinder

27.1.1 Symmetrieachse

27.2 Rohr 27 TRÄGHEITSMOMENTEN EINFACHER KÖRPER

dV = rdϕdrdh(Zylinderkoordinaten)

Θ = ρ

ΘVollzylinder,z= 1

2mR²= ΘKreisscheibe,z

27.3 Hohlzylinder 27 TRÄGHEITSMOMENTEN EINFACHER KÖRPER

Θx= Θy =1

2mR²+1 2mh²

27.3 Hohlzylinder

Θ_z = 1

2m(r_a−r_i)² Θx= Θy = 1

4m

r²_a+r_i²+1 3h²

27.4 Kugel

27.4.1 Vollkugel

Diese Rechnung ist von mir vom Übungsblatt 10 Θ =ρ

ˆ

V

x²+y² dV Einsetzen der Kugelkoordinaten

x = rsinϑcosϕ y = rsinϑsinϕ z = rcosϑ und der Funktionsdeterminaten

dV =r²sinϑdrdϑdϕ einsetzen inx²+y² ergibt

r²sin²ϑcos²ϕ+r²sin²ϑsin²ϕ=r²sin²ϑ

27.5 Quader 27 TRÄGHEITSMOMENTEN EINFACHER KÖRPER daher gilt für das Integral

Θ = ρ

28 SATZ VON STEINER

Θx = 1

12m b²+h² Θy = 1

12m l²+h² Θz = 1

12m l²+b²

28 Satz von Steiner

Denition 33. Satz von Steiner

IstΘs das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer AchseA durch seinen Schwerpunkts, so ist das Trägheitsmoment ΘB bezüglich einer dazu parallel liegenden Achse B die Summe Θs

plus dem Trägheitsmoment der inS vereinten Gesamtmasse bezüglichB.

Θ_B = ˆ

~r_B² dm

= ˆ

(~rA+~a)² dm

= ˆ

~r_A² dm+ 2 ˆ

~rA~adm+ ˆ

a²dm

= Θs+ 2~a ˆ

rAdm

| {z }

=0def. S.P.

+a²m

Θ_B = Θ_S+ma²

28.1 Beispiel: Kreisscheibe

29 TRÄGHEITSTENSOR

Θ_s = 1 2mR² Θ_B = 1

2mR²+mR²

= 3

2mR³+ 3Θ_s

29 Trägheitstensor

Bei Drehbewegungen von Massepunkten oder bei rotationssymmetrischen Körpern gilt

~L= Θ~ω ,Θ =mr² oder

Θ = ˆ

V

ρ(~r)r²dV

d.h.L~ und~ω sind parallel (bei geeigneter Wahl des Koordinatenssytems). Dies ist im Allgemeinen nicht der Fall.

z.B. schiefe Hantel, rotiert mit Winkelαgekippt gegen~ω-Vektor L~ =~r1×~p1+~r2×~p2

~Lläuft auf einem Kegel um~ω.L~ ist somit nicht konstant, dies erfordert entsprechende Lagerkräfte, bzw. Drehmomente.

Der Trägheitstensor beschreibt die Körperträgheit so, dass sein Drehimpuls für beliebige Rotation-sachsen berechnet werden kann.

29.1 Starre Körper ausmi Massepunkten 29 TRÄGHEITSTENSOR

29.1 Starre Körper aus m

_i

Massepunkten

L~ = X

29.2 Starrer, kontinuierlicher Körper

L~ =

Θ= ist eine 3x3 Matrix mit axialen Trägheitsmomenten (Diagonalelemente) Θ_xx,Θ_yy,Θ_zz

29.3 Trägheitsmoment eines Quaders 29 TRÄGHEITSTENSOR

und Deviationsmomenten

Θxy = Θyx

Θ_yz = Θ_zy Θxz = Θzx

Θ= ist eine symmetrische Matrix, kann durch Hauptachsentransformation in Diagonalform¹ ge-bracht werden.

29.3 Trägheitsmoment eines Quaders

Achsen durch den Schwerpunkt

Θxx = ρ

1Nichtdiagonalelemente = 0

29.4 Wahl beliebiger Achsen 29 TRÄGHEITSTENSOR bei der Wahl des Koordinatensystems der Achsen wird der Trägheitstensor diagonal

Θ== m

Die gewählten Achsen sind Hauptträgheitsachen. Für Rotation um Hauptträgheitsachsen gilt L~ = Θ

=~ω, ~Lk~ω und diese~ω sind Eigenvektoren vonΘ

= z.B.~ω in y-Richtung

Stabile, freie Rotation ist nur möglich um die Achse des gröÿten oder kleinsten Trägheitsmoment.

29.3.1 Experiment: Schuhkarton in freier Rotation Finish experiments

29.4 Wahl beliebiger Achsen

Der Trägheitstensor hängt von der Wahl der Achsen ab:

Θxx = ρ Satz von Steiner, zur Übung

30 ROTATIONSENERGIE

Θ= ist hier nicht diagonalisiert, aber symmetrisch, lässt sich daher diagonalisieren.

Fact 34. Der Trägheitstensor eines beliebig geformten, starren Körpers lässt sich diagonalisieren und besitzt drei aufeinander senkrechte Hauptachsen.

30 Rotationsenergie

Die Flächen konstanter Energie E_kin^rot dargestellt im ~ω-Raum sind Ellipsoide. Dies ist besonders klar, fallsΘ

Durch die HauptträgheitsmomenteΘa,Θb,Θc (Trägheitsellipsoid) sind die Rotationseigenschaften eines Körpers vollständig beschreiben.

Es kann zwischen drei Fällen unterschieden werden:

31 KREISELBEWEGUNG 1. FallsΘa6= Θb 6= Θc handelt es sich um einen unsymetrischen Körper

2. zwei Hauptachsenmomente sind gleich⇒Körper hat Figurenachsen. Besitzt eine ausgeze-ichnete Haupträgheitsachse.

3. Falls Θa = Θb = Θc handelt es sich um einen bezüglich der Drehbewegung kugelssym-metrischen Körper. Jede Achse durch seinen Schwerpunkt ist Hauptträgheitsachse.

31 Kreiselbewegung

Wir betrachten Drehbewegungen, bei denen sich die Drehachse frei bewegen kann. Hier nur sym-metrische Kreisel. Figurenachse sei~c-Achse.

Θ= =





Θa 0 0 0 Θb 0 0 0 Θc





31.1 Kräftefreier Kreisel

bei Unterstützung im Schwerpunkt S treten keine Drehmomente auf.

dL~

dt =M~ = 0→~L=const.

31.1.1 Spezialfall paralleler Drehimpuls und Achse Figurenachse~ck~Loder~ck~ω

Anwendungfall zum Beispiel im Kreiselkompass.

Im allgemeiner Fall sind~ω nicht nicht parallel zu ~c →~c und ~ω zeigt dasssind nicht raumfest.

Es gilt aber:L~ =const.,E_rot =const.

Spezialfall:~ω und~c rotieren um festeL~-Achse →Nutation (Taumelbewegung)

31.2 Nutation

Kräftefreier Kreisel,M = 0→L~ =const.

~L=const.→Daher|L|~ ²=const. undL²_a+L²_b+L²_c =const

31.2 Nutation 31 KREISELBEWEGUNG Drehimpulskugel Epot=const. Energieellipsoid.

~Lmuss beide Figuren gleichzeitig erfüllen.L~ liegt auf Schnittkurve.

Energieellipsoid im Hauptachsensystem des Kreisels.L~ ist fest, also muss der Kreisel so rotieren, dass der Trägheitstensor und damit die Figurenachse~c umL~ rotiert.

Aus der Energieerhaltung folgt:

E_rot = const.

= 1 2~ω·L~

Skalarprodukt: Projektion von~ωauf ~L, wobei Richtung von~Lkonstant ist.

→momentane Drehachse~ω läuft auf einem Kegel umL~.

31.3 Bewegung im rotierenden System 31 KREISELBEWEGUNG Gangpolkegel, rollt auf Rastpolkegel ab. Berührungslinie ist~ω-Achse. Rotation der Figurenachse um den festen DrehimpulsvektorL~ heiÿt Nutation.

31.3 Kreiselbewegung im rotierenden Bezugsystem

Im Inertialsystem war die Bewegunsgleichung ^d_dt^~L =M~. Bewegungsgleichung im Kreiselsystem?

31.3.1 Transformation Denition 35. In Komponenten, Eulersche Kreiselgleichung

Ma = Θaω˙a+ (Θc−Θb)ωbωc

31.4 Kreisel mit äuÿerem Drehmoment, Präzession 31 KREISELBEWEGUNG

mit AbkürzungΩ≡_Θ

c

Θa−1 ω_c

˙

ωa = −Ωωb

˙

ω_b = Ωω_a

˙

ωc = 0 Dies sind die Bewegungsgleichungen. Ansatz mit

ω_a = Acos Ωt ωb = Asin Ωt ω_c = c

Einsetzen zeigt, dass dies eine Lösung ist. Im rotierenden Bewegungssystem, vom Kreisel aus gesehen, dreht sichω~ undL~ um diec-Achse, also um die Figurenachse. Daωc=const., müssen ~ω und~c relativ zueinander fest stehen.

InO⁰:

Im Inertialsystem ist~L=const.~ω und~cdrehen sich gemeinsam um~L Nutation

31.4 Kreisel mit äuÿerem Drehmoment, Präzession

M~ 6= 0→L~ nicht konstant. Insbesondere durch Gravitation.

Beispiel Rad

31.4 Kreisel mit äuÿerem Drehmoment, Präzession 31 KREISELBEWEGUNG

Drehmoment durch einseitige Aufhängung

M~ = ~r×F~G

M~ ⊥ ~L

L~

= const.

aber Richtung von~Ländert sich.

dL

L = dϕ dL

dt · 1

L = dϕ dt =ωp Präzessionsfrequenz

ω_p= M L = M

Θω M~ =~ω_p×~L

31.5 Elementarer Drehimpuls 31 KREISELBEWEGUNG 31.4.1 Präzession der Erde

Massewulst infolge vonωE. Wegen F1 > F2 resultiert ein Drehmoment, das die Erdoberäche ausrichten will.yPräzession mit _2π^ω ≈26000 a→verschiebt den Frühlingspunkt. Schon verschoben sind die Sternbilder der Tierkreiszeichen. Seit der Benennung vor ≈ 2000 a um ₂₆₀₀₀²⁰⁰⁰ ≈ ₁₃¹ ≈ 1 Monat. Problem für Astrologen?

31.5 Die kleinste Einheit des Drehimpulses in der Natur

Drehimpuls treten nur in halb- oder ganzahligen Vielfachen der Einheit~= _2π^h = 1,054·10⁻³⁴kg^m_s². Drehimpulsquantisierung,h=Planck'sche Konstante/Wirkungsquantum.

Beispiel Molekülrotation (ganzzahlige~).

31.5.1 Bahnimpuls des Elektrons im Atom.

Ganzzahlige Vielfache von~.

Finish...

31.5.2 Eigenimpuls von Elementarteilchen, Spin

Proton, Elektron, Neutron, . . . →halbzahlig:|sz|=¹₂~. Einstellungen: ¹₂~oder−¹₂~

31.5.3 Drehimpulsänderung

sind nur in Einheiten von~möglich! Durch Einstrahlung von elektromagnetischen Wellen (Licht, Mikrowelle), das Strahlungselementarteilchen Proton hat Drehimpuls1~.

In abgeschlossenen Systemen ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröÿe.

In der Mikrowelt z.B.β-Zerfall des Neutrons.

n → p+e⁻+Neutrino Drehimpuls

1 2

1 2 +1

2 −1 2

32 GENERELLE EIGENSCHAFTEN

Teil V

Mechanik deformierbarer Körper

32 Generelle Eigenschaften

32.1 Festkörper

makroskopisch Volumen und Form eines Festkörpers bestimmt. Volumen- und formelastisch bei kleinen Kräften.

mikroskopisch Atom, Ionen sind dicht gepackt und meist regelmäÿig angeordnet. d.h. kristalline Festkörper. z.B. Metalle, Ionenkristalle oder Quarz (SiO2).

Unregelmäÿige Anordnung: Amorphe Festkörper z.B. Gläser (SiO2) auch metallische (z.B. Zr59Ti3Cu20Ni8Al10

oder Pd30Zr70)

32.2 Flüssigkeiten

makroskopisch bestimmtes Volumen, Form unbestimmt. Volumenelastisch, aber kann keine Scherkräfte aufnehmen.

mikroskopisch Atome, Moleküle sind unregelmäÿig angeordnet, häuge Platzwechsel, fast so dicht wie Festkörper.

32.3 Gase

makroskopisch kein Eigenvolumen, keine Form, stark kompressibel.

mikroskopisch Atome, Moleküle haben sehr groÿe Abstände und hohe Geschwindigkeiten

32.4 Kristaline Festkörper

sind aus geometrisch regelmetrisch angeordneten Bausteinen aufgebaut. Sogenannte Elemen-tarzellen

Bild 13, Elementarzelle 3-diemensional regelmäÿig fortgesetzt.

je nach Symmetrie unterscheidet man 7 Kristallsysteme (s. Übung)

• kubisch (a=b=c, α=β=γ= 90^◦ )

• tetragonal

• orthorhombisch

• hexagonal (a=b,α=β= 90^◦,γ= 60^◦)

• monoklin

• trigonal (rhomboedrisch)

• triklin

32.5 Eigenschaften 33 SPANNUNG UND DREHNUNG Elementarzellen enthalten

wenige (1. . . einige (5. . . 20) viele (1000. . .

Atome. Anordnung kann weitere Symmetrieelemente enthalten (Drehungen, Spiegelungen. . . ). In-sgesamt 230 verschiedene Kombinationen - die 230 Raumgruppen

32.5 Eigenschaften

(Elektrisch, dielektrisch, magnetisch, optisch, thermische und elektrische Leitfähigkeit) einkristalline Festkörper sind anisotrop.

meistens sind Festkörper aus vielen kleinen Kristalliten aufgebaut mit unterscheidlichen Orien-tierungen.

Makroskopische Eigenschaften von polykristallinen Festkörpern oder amorphen Festkörpern sind isotrop.

33 Spannung und Drehnung

Kurzer Ausug in die Kontinuumsmechanik.

33.1 Spannung

Spannung = KraftFläche, mit Beachtung der Richtungen

NormalkomponentendFn ergibt Normalpannung σ= dFn

dA

TangentialkomponentedFz ergibt Tangentialspannung/Schubspannung τ= dF_t

dA

33.1 Spannung 33 SPANNUNG UND DREHNUNG 33.1.1 3-dimensionaler Festkörper

Würfelförmiges Körperelement

Drei Normalspannungenσx, σy, σzauch gegeüberliegende F alleine bringt nichts, erstF !F).

Sechs Schubspannungenτxy, τxz, τyx, τyz, τzx, τzy auch gegenüberliegenend.

Erster Index: Schnittebene Zweiter Index: Wirkungsrichtung

damit der Würfel nicht rotiert, muss das resultierende Drehmoment verschwinden.

τ_xy = τ_yx τxz = τzx

τ_yz = τ_zy Spannungszustand als Matrix geschrieben

S==σij =





σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz





Dies ist der Spannungstensor (symmetrisch) (eng. stress-tensor). Aus Schreibsymmetrie:

τxy → σxy usw σ_x → σ_xx usw

33.2 Drehung 33 SPANNUNG UND DREHNUNG

33.2 Drehung

ε_xx = δx x εzz = δz z

33.3 Scherung

z.B. Verschiebung der z-ortientierten Fläche umδy εzy =δy

z = tanα≈α reltative Gröÿe, dimensionslos.

33.4 Verzerrungs- oder Deformationstensor

Deformationszustand als Matrix geschrieben:

ε_kl =





ε_xx ε_xy ε_xz εyx εyy εyz

εzx εzy εzz





(Symmetrisch⇔ohne starre Rotation oder Verschiebung) (eng. strain-tensor)

33.5 Spannung und Deformation 34 IN DER PRAXIS

33.5 Verknüpfung von Spannung und Deformation

im lineraren Bereich, d.h. interatomares Potential ist harmonisch.

33.5.1 Hookesches Gesetz

Spannung = Elastizitätsmodule

(Stetigkeit) ·Deformation σij = Cijkl·εkl

C ist Tensor 4. Stufe,81 = 9×9 Elemente

rechte Seite Einsteinsche Summenkonvention: Über doppelt auftretende Indizes wird summiert.

z.B.σ₁₂=P3 k=1

P3

l=1C_12klε_kl. σ_ij undε_kl sind symmetrische Tensoren (2. Stufe)

• →jeweils 6 verschiedene Elemente

• →C_ijkl lässt sich als6×6 Matrix darstellen, die wiederum symmetrisch ist (Voigt'sche No-tation)

• →Cijklkann 21 verschiedene Moduln haben. Nötig für trikline Festkörper.

Reduktion durch Symmetrie auf

• 3 verschiedene Elastizitätsmodul bei kubischen Kristallen.

• 2 verschiedene bei isotropen Festkörpern

34 In der Praxis

In der Praxis (Werkstokunde) unterscheidet man folgende Verformungsarten: Dehnung, Querdehnung, allseitige Komposition, Scherung.

Werkstoeigenschaften sind im Allgemeinen isotrop, d.h. 2 unabhängige elastische Module.

34.1 Dehnung 34 IN DER PRAXIS

34.1 Dehnung

σ = F_n A = δl l σ = Eε

E ist der Elastizitätsmodul oder E-Modul (eng. Young's modulus). Gröÿenordnung:E= 10¹⁰· · ·10^{11 N}_m2

34.1.1 Querdehnung

_q =δd d relative Dickenänderung, ist proportional zur Dehnung

_q =−µ

µ ist Querdehnungs- oder Poisson-Zahl.µist positiv und<0.5. Im E-Modul ist Querdehnung enthalten.

34.2 Allseitige Kompression 34 IN DER PRAXIS Betrachte VolumenänderungδV eines Stabs mit quadratischem Querschnitt (d×d)und Längel

δV = (d−δd)²·(l+δl)−d²l

=

d²−2dδd+ (δd)²

≈0

·(l+δl)−d²l

= d²δl−2dlδd−2dδdδl

≈0

Relative Volumenänderung

δV

V = δV d²l =δl

l −2δd d

= δl l

1−2δd

d l δl

= ε(2−2µ) damit ^δV_V ≥0bei Zugspannung, mussµ≤0,5sein.

34.2 Allseitige Kompression

(auch für Flüssigkeiten und Gase)

Isotrope Druckbeanspruchung

σ=−δp

aus δV

V = 3(1−2µ)

34.3 Scherung 34 IN DER PRAXIS folgt mit=_E^σ =−^δp_E

δV

V = −3 (1−2µ)

δp

= −1 Kδp

= −κδp

δp=−KδV V Dies ist das Hookesche Gesetz

K Kompressionsmodul, beschreibt Druckänderung δp, die für eine relative Volumenän-derung−^δV_V nötig ist.

κ = _K¹

34.3 Scherung

Schubspannung τ= ^F_A^t Scherwinkel α(im Bogenmaÿ) Hookes Gesetz

τ=Gα Es gilt

G= E

2 (1 +µ) mit0< µ <0,5 folgt

E

3 < G < E 2

Die elastischen Moduln (E, G, . . . ) und Festigkeitskennzahlen (σ_B,_B,. . . ) sind materialspezisch und hängen im Allgemeinen von der Vorbehandlung des Werkstos ab.

Beispiele

E µ K G εB2 σB3

Einheiten GN/m GN/m^2 GN/m^2 GN/m^2

Al (rein) 72 0,34 75 27 0,5 0.013

Messing 100 0,38 125 36 0,05 0,55

V2A Stahl 195 0,28 170 80 0,45 0,7

E,µ, K, G sind angegeben bei Gültigkeit des Hookschen Gesetzes

34.4 Plastische Verformung 34 IN DER PRAXIS

34.4 Plastische Verformung

Spannungs-Dehnungs-Diagramm

A Proportionalitätsgrenze, bis dahin gilt Hooksches Gesetz, Steigung ^dσ_dε =E A-B nichtlinearer, elastischer Bereich

B Elastizitätsgrenze

B-C plastischer Bereich, nach Entlastung bleibt Dehnung näherungsweise erhalten.

C Streckgrenze. Maximal erreichbare Spannung heiÿt Zugfestigkeit σG (danach geht's bergab) D Bruch, Bruchdehnung ε_B

plastische Verformung erfolgt ohne Volumenänderung. Mechanismus: Wandern bestimmter Gitter-defekte, sog. Versetzungen.

34.4.1 Relaxation

anelastischer Eekt durch Nachwirkung innerer Freiheitsgrade. z.B. Nylonfaden.

34.5 Elastische Energie 34 IN DER PRAXIS

Relaxation lässt sich im einfachten Fall durch Anteilrel ∝e^−t/τ beschreiben mit Zeitkonstanten τ

Ursache Umorientierung von Atomen, Molekülen.τist i.A. stark temperaturabhängig. z.B.

Ursache Umorientierung von Atomen, Molekülen.τist i.A. stark temperaturabhängig. z.B.

Im Dokument Karlsruhe, 19. Februar 2009 (Seite 37-0)