Zum Begriff der hydrodynamischen Mode

”hydrodynamischen“ Moden einerseits und ”akustischen“ beziehungsweise Oberfl¨achenmoden andererseits ist im Mo-dell des Abschnittes 3.1 klar erkennbar.

Tabelle 3.2 zeigt, daß zwei L¨osungen—darunter die Instabilit¨atsmode—ohne Str¨omung (und nachgiebige W¨ande) nicht existieren, im Grenzfall verschwinden-der Frequenz in station¨are Str¨omungen ¨ubergehen und ihre Phasenfronten mit einer Geschwindigkeit laufen, die in der Gr¨oßenordnung von u liegt. Sie entspre-chen also recht genau der Vorstellung, die man sich von einer hydrodynamisentspre-chen Welle macht.

Im Falle der Kan¨ale aus den Abschnitten 3.2.2 und 3.2.3 ist eine strikte Unter-scheidung nicht mehr m¨oglich.

Das wichtigste Kriterium ist sicherlich, ob die Mode auch f¨ur verschwindende Grundstr¨omung noch existiert. Dazu habe ich in Abbildung 3.13den Verlauf der Wellenzahlen zweier L¨osungen bei je zwei festen Frequenzen f¨uru→0, beginnend mit u= 60 m·s⁻¹, in die komplexe Ebene eingezeichnet. Der Deutlichkeit halber sind zwei Ausschnitte noch einmal vergr¨oßert dargestellt.

Wie man sieht, h¨angt die Konvergenz f¨ur u → 0 von der Frequenz ab: F¨ur niedrige divergieren die Wellenzahlen der Instabilit¨ats- und der ersten h¨oheren Mode, f¨ur hohe Frequenzen bleiben sie endlich. Die kritische Frequenz scheint nahe der Tiefenresonanz der Wand zu liegen, falls es nicht die Resonanzfrequenz

−400

Abbildung 3.13: Ausbreitungswellenzahlen der Instabilit¨atsmode (gr¨un) und der er-sten h¨oheren, stromab laufenden Mode (rot) im Rohr f¨ur sinkende Str¨ omungsgeschwin-digkeit, beginnend bei 60 m·s⁻¹

selbst ist.

Ebenso ¨uberraschend ist die Beobachtung, daß nicht etwa die der stabilen hy-drodynamischen Mode −(+) ¨ahnlichste L¨osung divergentes Verhalten f¨uru→0 zeigt, sondern eine h¨ohere Mode.

Daß die Verh¨altnisse in ausgekleideten Kan¨alen—ob Rohr oder Flachkanal—

anders sind als vor einer einzelnen Wand, zeigt sich auch in den Betr¨agen der bereits eingef¨uhrten Geschwindigkeit v_ph , wie Abbildung 3.14 zeigt. Der Unter-schied zwischen den urspr¨unglich als

”hydrodynamisch“ und als

”akustisch“ an-gesehenen Moden ist l¨angst nicht so groß wie bei einer ebenen Wand (Abb.3.3).

Dieser geringe Unterschied in der Geschwindigkeitsskala und die Beobachtungen aus dem Grenzfall u→ 0 lassen sich meiner Ansicht nach so interpretieren, daß eine strenge Trennung zwischen hydrodynamischen und akustischen beziehungs-weise Oberfl¨achenwellen in Kan¨alen mit einer engen Wechselwirkung zwischen Medium, Str¨omung und nachgiebiger Wand nicht m¨oglich ist.

3.2.5 Zusammenfassung

Die in diesem Abschnitt diskutierten Abwandlungen des Modells aus Ab-schnitt 3.1 ergeben folgendes Bild:

• Die Kompressibilit¨at der Luft hat auf die Dispersionsbeziehungen nur ge-ringen Einfluß, wenn man sich auf die experimentell erreichten Str¨ omungs-geschwindigkeiten beschr¨ankt. Ein einfaches Modell sollte daher ohne Kom-pressibilit¨at auskommen und die Str¨omungsgeschwindigkeitusollte die maß-gebliche Geschwindigkeit sein. cginge in die Gleichungen nur indirekt ¨uber die Wandimpedanz ein.

• Das Verhalten der Moden im Rohr weicht erheblich von den L¨osungen an einer ebenen Wand ab. Das gilt auch f¨ur die instabile L¨osung, die zur Ka-nalmitte hin nur wenig abf¨allt.

• In keinem der gerechneten Modelle ist ein Anhaltspunkt daf¨ur zu finden, warum die Verst¨arkung bei hohen Frequenzen zusammenbricht. Die Insta-bilit¨atsmode scheint auch noch f¨ur weit h¨ohere Frequenzen angefacht zu sein. Weiterhin f¨allt der Realteil der Wellenzahl dort mit steigender Fre-quenz ab, ein Verhalten, das man aufgrund der Drucksondenmessungen von Brandes (siehe [3], Abb. 4.16b) so nicht erwarten w¨urde.

• In allen Modellen nimmt die r¨aumliche Anfachung ab, wenn die Str¨ omungs-geschwindigkeit erh¨oht wird.

400 600 800 1000 1200

400 600 800 1000 1200 50

100 150 200 250 400 600 800 1000 1200

50 100 150 200 250

400 600 800 1000 1200 50

100 150 200 250 400 600 800 1000 1200

50 100 150 200 250

400 600 800 1000 1200 50

100 150 200 250

Frequenz in Hz Frequenz in Hz

u u

Instabilit¨atsmode stabile Mode

stromauf laufende Mode

h¨ohere Mode h¨ohere Mode

stromab laufende Mode

ω/|Rek|in m·s⁻¹

Abbildung 3.14: Betrag vonv_ph f¨ur die sechs L¨osungen niedrigster Ordnung im Rohr bei einer Gleichstr¨omung von 60 m·s⁻¹

0

Im

Ausbreitungswellenzahl k_x f₀

Frequenz

Im k

= 0

Anfachung

Abbildung 3.15: Hypothetischer Verlauf des Imagin¨arteils der instabilen Mode

• Die Moden in einem Flachkanal vergleichbarer Breite verlaufen etwas anders als in einem Rohr, jedoch stimmt das prinzipielle Verhalten der Wellenzahlen uberein. Daher erscheint es gerechtfertigt, die Methode aus [10], die ich¨ f¨ur die Ermittlung der Streufaktoren benutzen m¨ochte, wie die Autoren an dieser Geometrie zu testen.

Mit den bisher vorgenommenen Idealisierungen ist die Suche nach einer In-stabilit¨atsmode, die den Verlauf des Transmissionsfaktors reproduziert (siehe Abb. 3.15), allerdings von vornherein zum Scheitern verurteilt: Es ist n¨amlich nicht m¨oglich, daß eine L¨osung (in Abh¨angigkeit von der reellen Frequenz) stetig von r¨aumlicher D¨ampfung zu r¨aumlicher Anfachung und zur¨uck wechselt, also einen nur endlich breiten Frequenzbereich mit negativem Imagin¨arteil von k_x aufweist.

Der Grund daf¨ur liegt darin, daß f¨urreellesk_x, wie es am Beginn und am Ende des Anfachungsbereiches vorliegen m¨ußte, die Querwellenzahlk_y (beziehungsweisek_r) entweder rein imagin¨ar oder rein reell w¨are—letzteres auch nur bei kompressibler Rechnung, wenn folgende Ungleichung erf¨ullt wird:

k²_y > 0 ⇔

− ω/c

1−Ma < k_x < ω/c 1 +Ma

F¨ur imagin¨are Querwellenzahl sieht man anhand der Dispersionsbeziehun-gen (3.10), (3.19), (3.27) und (3.34) sofort, daß Z dann ebenfalls rein imagin¨ar sein m¨ußte, was wegen des immer vorhandenen resistiven Terms f¨ur keine Fre-quenz der Fall ist.

Falls die Querwellenzahl reell sein sollte, folgt f¨ur Rechteckkanal und Rohr aus Imk_x = 0 wiederum ReZ = 0. An der ebenen Wand folgt dagegen, daß dann die Wandimpedanz reell ist—was zwar in der Resonanzfrequenz, aber niemals f¨ur eine h¨ohere Frequenz (unterhalb der n¨achsten Resonanz) der Fall sein kann.

Mit weiteren resistiven Mechanismen, die sich mathematisch durch zus¨atzliche komplexe Terme in den Dispersionsbeziehungen bemerkbar machen w¨urden, w¨are diese Argumentation hinf¨allig und das in Abb. 3.15 beschriebene Verhalten der Wellenzahl denkbar.