Die Axiome der Quantenmechanik sind Kochrezepte auf denen die quantenme-chanischen Berechnungen beruhen. An dieser Stelle wollen wir diese noch einmal zusammentragen.
• Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird im Falle einesreinen Zustandes durch den Zustandsvektor|ψi beschrieben. Handelt es sich um einstatistisches Gemisch, so wird das System mit Hilfe desDichteoperators ρ beschrieben.
• Einer physikalischen Observablen a entspricht ein hermitescher Operator A=A†.
Hat man es mit zwei kanonisch konjugierten Observablen wie beispielsweise Ort und Impuls zu tun, so gilt für den Kommutator der entsprechenden Operatoren die Beziehung:
[Ai,Bj] = ~ iδij .
• Der Mittelwert einer Messung ist durch den quantenmechanischen Erwar-tungswert hAi gegeben. Für einen reinen Zustand gilt: hAi = hψ|A|ψi. Für ein Gemisch erfolgt die Berechnung mit Hilfe des Dichteoperators:
hAi=Spur (ρA).
• Bei der Messung der Observablen a mit dem Messergebnis an geht das quantenmechanische System in den Eigenzustand |ψni von A über. Man nennt dies den Kollaps der Wellenfunktion bzw. des Dichteoperators.
Die Wahrscheinlichkeit als Messwert an zu erhalten ist durch den Erwar-tungswert des Projektionsoperators hPni gegeben.
• Die Zeitentwicklung eines Systems erfolgt im Falle eines reinen Zustandes durch die Schrödingergleichung:
i~∂
∂t|ψ(t)i=H|ψ(t)i.
Handelt es sich um einstatistisches Gemisch, so erfolgt die Zeitentwicklung durch die Liouville - von Neumann Gleichung, die im Schrödingerbild
i~d
dtρ(t)= [H,ρ(t)]
lautet.
Kapitel 4
Streutheorie
Unsere Kenntnis über die Struktur der Materie und Materialien basiert zum Groÿ-teil auf Streuexperimenten. Wir benötigen also eine allgemeine Beschreibung des Streuprozesses. Dazu werden wir die Wellenfunktion ψ~k(~r) für asymptotische Abstände r → ∞ als Überlagerung einer ebenen Welle und einer gestreuten Kugelwelle ansetzen und zeigen, dass dieser einfache Ansatz unter bestimmten Voraussetzungen tatsächlich eine Lösung der Schrödingergleichung für r → ∞ ist.Um die Messergebnisse mit der mathematischen Beschreibung zu verknüpfen werden wir den Wirkungsquerschnitt σtot bzw., da der Detektor im Allgemeinen nur einen kleinen Raumwinkel abdeckt, den dierentiellen Wirkungsquerschnitt
dσ
dΩ einführen.
Mathematisch suchen wir stationäre Lösungen ψ~k(~r) mit positiven Eigenener-gien (Streulösungen) der Schrödingergleichung. Diese Lösungen sind durch die Lippmann-Schwinger-Gleichung gegeben. In diesem Zusammenhang werden wir auch die Bornsche Näherung kennen lernen.
Das formale Gegenstück zum in der Experimentalphysik bestimmten dierentiel-len Wirkungsquerschnitt steldierentiel-len S-Matrix und T-Matrix dar, die wir in der Folge kurz diskutieren werden.
Im Anschluss daran werden wir die Symmetrie von sphärisch-symmetrischen Po-tentialen ausnützen, was auf diePartialwellenzerlegungder Wellenfunktionψ~k(~r) führt.
4.1 Asymptotik, dierentieller Wirkungsquer-schnitt
In einem Streuexperiment trit ein Teilchen (z.B. Elektron, Proton oder Neutron) auf das zu untersuchende Target (Streuzentrum), wo es gestreut bzw.
transmit-tiert wird. Das gestreute Teilchen wird dann detektransmit-tiert, wobei die Messung als Funktion der Streuwinkel θ und φ erfolgt. Diese Situation ist in Abbildung 4.1 dargestellt.
einlaufende ebene Welle
auslaufende ebene Welle
Detektor
Streuzentrum auslaufende (gestreute) Kugelwelle
Abbildung 4.1: Schematische Darstellung eines Streuexperiments.
An dieser Stelle erinnern wir uns kurz an die Quantentheorie I, in der die Streu-ung in einer Dimension diskutiert wurde. In diesem Zusammenhang haben wir die Reexions- und Transmissionskoezienten kennen gelernt (Abbildung 4.2).
V(z)
z T eikz
eikz
Re−ikz
Abbildung 4.2: Streuung in einer Dimension.
Beachte: Eigentlich wird ein Teilchen durch ein Wellenpaket beschrieben und wir hätten es im Experiment mit der in Abbildung 4.3 gezeigten Situation zu tun.
Zum Zeitpunktt0verlässt das Teilchen die Quelle und wird durch das Wellenpaket ψ0(~r, t0) =
Z
d3k 1
(2π)3 ei~k~ra~k (4.1)
Quelle
Streuzentrum
Abbildung 4.3: Streuung von Teilchen, die durch Wellenpakete beschrieben wer-den.
beschrieben. Die Translation des Wellenpakets stellt ein zeitabhängiges Problem dar. Es ist aber einfacher stationäre Lösungen der zeitunabhängigen Schrödin-gergleichung
− ~2
2m∆ +V(~r)
ψ~k(~r) = E~kψ~k(~r) (4.2) mit E~k = ~2m2k2 ≥ 0 zu betrachten und ψ0(~r, t0) nach diesen zu entwickeln. Es ergibt sich:
ψ0(~r, t0) = Z
d3k 1
(2π)3 ψ~k(~r)A~k. (4.3) Die Translation des Wellenpakets erhalten wir durch die Zeitentwicklung von (4.3):
ψ(~r, t) = Z
d3k 1
(2π)3 ψ~k(~r)A~ke−~iE~k(t−t0) . (4.4) Diese stationäre Behandlung entspricht dem Übergang von einem einfallenden Wellenpaket zu einer einfallenden ebenen Welle. Experimentell gelingt dieser Übergang zu stationären Verhältnissen indem man nicht einzelne Teilchen, son-dern kontinuierliche Teilchenstrahlen auf das Target schieÿt. Wir werden in der Folge nur noch den stationären Fall betrachten.
Beachte: Dieψ~k(~r)stellen analog zu den Wellenpaketen des ungestörten Pro-blems entartete Kontinuumszustände dar.
Asymptotik
Wir setzen die Wellenfunktionenψ~k(~r)für asymptotische Abstände r→ ∞ als Überlagerung einer ebenen Welle und einer gestreuten, durch die Streuamplitude f(θ, φ)modizierten, Kugelwelle an:
ψ~k(~r)r→∞→
ei~k~r+f(θ, φ)eikr r
. (4.5)
Wir wollen nun zeigen, dass unser Ansatz für asymptotische Abstände r → ∞ eine Lösung der Schrödingergleichung darstellt, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:
• kurzreichweitiges Potential1:|V(~r)| ≤r−α für r→ ∞ mit α >1,
• Zweikörperpotential V(~r),
• elastische Streuung (Energieerhaltung),
• kein Spin.
Dazu lassen wir den Hamiltonoperator des Streuproblems auf (4.5) wirken und überprüfen, ob wir den EnergieeigenwertE~k = ~2m2k2 erhalten, da sich dieser durch die elastische Streuung nicht verändert:
H ψ~k(~r) =
Wie wir in der Einleitung zu diesem Kapitel bereits besprochen haben, benöti-gen wir das Konzept des Wirkungsquerschnitts um eine Verknüpfung zwischen den experimentell ermittelten Zählraten und den theoretischen Vorhersagen zu erstellen.
Der auf das Target auftreende Teilchenstrom wird durch die Stromdichte J0 beschrieben:
J0 = Zahl der einfallenden Teilchen
Flächen- und Zeiteinheit . (4.6) Der Detektor besitzt den Önungswinkel dΩ. Die Anzahl der vom Detektor pro Zeiteinheit in Richtung θ und φ gezählten Teilchen ist dann gegeben durch:
dN = dσ
dΩ(θ, φ)J0dΩ, (4.7)
1Dies ist für das CoulombpotentialV(~r) =−Zer2 nicht erfüllt!
wobei dσdΩ(θ, φ) den sogenannten dierentiellen Wirkungsquerschnitt2 darstellt.
Dieser wird auch als Streuquerschnitt bezeichnet und besitzt die Dimension einer Fläche.
Beachte: Der dierentielle Wirkungsquerschnitt stellt die eektive Fläche dar, die das Target für die Streuung in Richtung θ und φ bietet.
Wir wollen im nächsten Schritt den dierentiellen Wirkungsquerschnitt berech-nen. Umformen von (4.7) liefert:
dσ
dΩ(θ, φ) = dN
J0dΩ . (4.8)
Nun erinnern wir uns an den, aus der Quantentheorie I bekannten, Wahrschein-lichkeitsstrom~j(~r, t):
~j(~r, t) = ~ 2im
h
ψ∗∇ψ~ −ψ ~∇ψ∗i
. (4.9)
Da wir, wie zuvor angekündigt, nur den stationären Fall betrachten möchten, ergibt sich die einfallende Stromdichte J0 =|~j|durch Einsetzen der einfallenden ebenen Welle ψein =ei~k~r:
Die Anzahl dN der pro Zeiteinheit detektierten Teilchen ergibt sich aus der radialen Stromdichte Jgestreut der gestreuten Kugelwelle ψgestreut=f(θ, φ)eikrr :
Jgestreut(θ, φ) = ~
dΩ(θ, φ) = Zahl der in das RaumwinkelelementdΩ gestreuten Teilchen einfallende Stromdichte und Zeiteinheit
die mit der Detektoräche dF =r2dΩ multipliziert wird:
dN =Jgestreut(θ, φ)r2dΩ. (4.10)
Einsetzen von (4.10) in (4.8) und der Ergebnisse für die Stromdichten J0 und Jgestreut(θ, φ) liefert:
dσ
dΩ(θ, φ) = Jgestreut(θ, φ)r2dΩ
J0dΩ =
1 r2
~k
m |f(θ, φ)|2r2dΩ
~k
m dΩ =|f(θ, φ)|2 . Der dierentieller Wirkungsquerschnittfür elastische Streuung ergibt sich zu:
dσ
dΩ(θ, φ) =|f(θ, φ)|2 . (4.11) Abschlieÿend führen wir noch den totalen Wirkungsquerschnittσtot als den über den gesamten Raumwinkel integrierten dierentiellen Wirkungsquerschnitt ein:
σtot = Z
dΩdσ
dΩ . (4.12)