Nicht-archimedische K¨ orper

Sei nun k ein nicht-archimedischer, lokaler K¨orper, d.h. eine endliche Erweiterung von Q_p oder F_p((t)). Bezeichne O^k den Ganzheitsring von k und sei S := SpecO^k. Wir setzen X = P¹_k und X = P¹_S. Die spezielle Faser von X sei mit Y bezeichnet.

Ferner bezeichne I_k die absolute Tr¨agheitsgruppe in G_k.

Sei S(k,∆) ein `ⁿ-Scholzproblem. F¨ur jeden Divisor ∆⁰ ⊇ ∆ auf X bezeichne S(k,∆⁰) das durch π₁(X\∆⁰)π₁(X\∆) induzierte Scholzproblem.

Proposition 5.2.8. Sei ` eine auf S invertierbare Primzahl. Enth¨alt k keine pri-mitive `-te Einheitswurzel, so ist jedes `ⁿ-Scholzproblem S(k,∆) = (π₁(X\∆), ρ, α) l¨osbar.

Besitztk eine primitive`-te Einheitswurzel und ists: Speck→X\∆ein Schnitt, x₀ :=s(Speck), so ist immerhin noch das induzierte Scholzproblem S(k,∆∪ {x₀}) l¨osbar.

Beweis. Nach Proposition 4.2.1 k¨onnen wirS(X\∆) o.E. als nichtzerfallend anneh-men. BezeichneK den Funktionenk¨orper vonX. Wir zeigen zun¨achst, daß das durch SpecK ,→ X\∆ induzierte Scholzproblem S(K) eine L¨osung besitzt. Da X nach Voraussetzung geometrisch zusammenh¨angend ist, ist die kanonische Restriktionsab-bildung

H²(K,KernS)→ Y

x∈X0

H²(Kx,KernS),

wobei Kx den Quotientenk¨orper von Ob^X,x bezeichnet, injektiv ([Pop88, Thm. 3.7 + Thm. 4.1] und [Sai86, Thm. 9.2], falls ch(k) 6= 0). Demnach reicht es zu zeigen, daß f¨ur alle x ∈ X₀ das durch SpecK_x → SpecK induzierte lokale Einbettungsproblem S(Kx) l¨osbar ist.

Sei nun alsox∈X₀ beliebig, bezeichne D={x} ⊂ X die Ausdehnung vonxund y∈ X die Spezialisierung von x. Dann liest sich S(K_x) wie folgt:

G_Kx

ρx

1 ^//C ^//Ex //Gx //1.

Sei wieder o.E. S(K_x) nichtzerfallend. Wir sagen ρ bzw. ρ_x ist in x verzweigt bzw.

unverzweigt, falls das f¨ur die zuρ geh¨orige Galois¨uberlagerung f von X (s. Konven-tion §3.3) der Fall ist. Es gibt drei F¨alle zu unterscheiden.

1) Wir nehmen zun¨achst an, ρ sei in x verzweigt. Sei L_x :=K_x^Kernρx. Nach den

2) Sei nunρals unverzweigt entlangDangenommen. Dann istρinyunverzweigt und nach dem Reinheitssatz von Zariski-Nagata insbesondere auch entlang Y. ¨ Uber-dies schneitet D nicht den Verzweigungsdivisor von f. Somit zeigt Korollar 3.2.13, daß ρ_x uber¨ G_Kx →π₁(y) faktorisiert. Wegenπ₁(y)'Zˆ, zeigt das die Existenz einer L¨osung.

3) Es bleibt nun noch der letzte Fall zu betrachten, n¨amlich daßρunverzweigt in x, aber verzweigt inyist. Dieser Fall tritt ein, falls entwederf in der speziellen Faser Y von X verzweigt ist, oderD den Verzweigungsdivisor vonf iny schneidet. Da es f¨ur das Verhalten von f entlang D keine Rolle spielt, welche der beiden Ursachen zutrifft, nehmen wir o.E. f als inY verzweigt an. Nach Voraussetzung gen¨ugt f den Scholzbedingungen, ist also rein verzweigt in Y. Somit zeigt Proposition 3.2.14, daß in der nach Voraussetzung existierenden Zerlegung

ρ_x wieder die Scholzbedingungen erf¨ullt, d.h. entweder unverzweigt oder total ver-zweigt ist. Folglich besitzt ˜ρ_x und daher auch ρ_x eine Liftung. Das folgt entweder indem man die Argumente aus i) und ii) f¨ur ˜ρx wiederholt oder aus dem Beweis von Proposition 5.1.1.

Zusammenfassend erhalten wir eine L¨osungψ vonS(K). Sei ˜∆ = ∆∪ {x₀}, falls k eine primitive`-te Einheitswurzel enth¨alt, und ansonsten ˜∆ = ∆. Es bleibt noch zu zeigen, daß auch eine L¨osung ˜ψ von S(K), die nur entlang ˜∆ verzweigt ist, existiert.

Daf¨ur gehen wir wie in Proposition 5.1.1 vor. Wie dort bereits gezeigt wurde, reicht es eine Abbildungϑ :π1(X\(Ram(ψ)∪∆))˜ →C mit ϑ|^Ix =ψ|^Ix f¨urx∈Ram(ψ)\∆ zu konstruieren, wobei I_x die absolute Tr¨agheitsgruppe im Punktx bezeichnet. Die Existenz von ϑ folgt aus Satz 5.2.7, und also ist ˜ψ =ϑ⁻¹ψ eine gesuchte L¨osung.

Damit ist die Proposition bewiesen.

Wir wollen nun der Frage nachgehen, wann S(k,∆) eine Scholzl¨osung besitzt.

Wie der Leser bereits vermuten mag, ist die Frage hier komplizierter als im Fall ei-nes endlichen K¨orpers. So stellt man fest, daß sich der Beweis von Satz 5.1.4 nicht

¨ubertragen l¨aßt. Der Hauptgrund daf¨ur liegt in dem Nichtvorhandensein eines tsche-botareffschen Dichtigkeitssatzes f¨ur X =P¹_k. Wenn man Scholzl¨osungen schon nicht direkt ¨uber X konstruieren kann, so ist es aber vielleicht m¨oglich, Scholzl¨osungen

¨

uberY zu Scholzl¨osungen ¨uber X zu liften? Das ist was wir jetzt zeigen wollen.

Entscheidendes Hilfsmittel daf¨ur ist die grothendiecksche Theorie der Speziali-sierungsabbildung. Wir nennen im folgenden einen Divisor D auf X etal, falls die Komposition D ,→ X → S etal ist. Wir sagen ein Divisor ∆ auf X ist etal ¨uber S, falls sein Abschluß inX etal ist.

Satz 5.2.9. Bezeichne Y die spezielle Faser vonX =P¹_S und seiD ein etaler Divisor aufX. Wir setzenD=D ×XY bzw. ∆ =D ×XX. Dann kommutiert das Diagramm

1 ^//π₁^(p0)(Y\D) ^//

π₁⁰(Y\D) ^//

G_κ ^//

1

1 ^//π₁^(p0)(X\∆) ^//π₁⁰(X \D) ^//π₁(S) ^//1,

besitzt exakte Zeilen und alle vertikalen Pfeile sind Isomorphismen. Hierbei bezeichnet π⁰₁(Z) den Quotienten von π₁(Z) nach dem Kern von π₁(Z)→π^(p₁ ⁰⁾(Z).

Beweis. DaDnach Voraussetzung etal und insbesondere horizontal ist, existiert nach Hensels Lemma ein Schnitt s :S → X \D, X =P¹_S. Daher d¨urfen wir [SGA 1, XIII Prop. 4.3] anwenden, woraus die Exaktheit der Zeilen folgt. Die Kommutativit¨at des Diagramms folgt aus der des rechten Quadrats, welche ihrerseits aus Funktorialit¨ ats-gr¨unden gegeben ist.

Damit beweisen wir jetzt

Satz 5.2.10. Sei ` eine auf S invertierbare Primzahl und ∆ ein ¨uber S etaler Divi-sor aufX =P<sup>1</sup><sub>k</sub>. Ferner enthaltek keine primitive`-te Einheitswurzel. Dann existiert f¨ur jedes `ⁿ-Scholzproblem S(k,∆) = (π₁(X\∆), ρ, α), so daß ρ entlang der spezi-ellen Faser unverzweigt ist, unendlich viele ¨uber S etale Divisoren ∆⁰ ⊃ ∆, so daß das induzierte Scholzproblem S(k,∆⁰) eine Scholzl¨osung besitzt. Genauer sind alle Divisoren ∆⁰ von der Gestalt ∆∪ {x⁰} f¨ur einen abgeschlossenen Punkt x⁰ von X.

Beweis. BezeichneY die spezielle Faser vonX,D die Ausdehnung von ∆ aufX und

seiD=D ×XY. Nach Satz 5.2.9 ist das folgende Diagramm exakt und kommutativ:

1

1

1

π₁^(p0)(X\∆)

π^(p₁ ⁰⁾(X\∆)

π₁^(p0)(Y\D)

oo '

1 ^//I_k ^//π₁⁰(X\∆) ^////

π₁⁰(X \D)

π⁰₁(Y\D)

oo '

1 ^//I_k ^//G_k ^////

π₁(S)

G_κ

oo '

1 1 1

(5.6)

Da`aufSinvertierbar ist, faktorisiertρ¨uberπ<sup>0</sup><sub>1</sub>(Y\D) und induziert somit ein`ⁿ -Scholzproblem S(Y\D) (Proposition 3.3.4). Satz 5.1.4 zufolge existieren unendlich viele abgeschlossene Punkte y ∈ (Y\D)₀, so daßS(Y\(D∪ {y}) eine Scholzl¨osung ψ besitzt.

Wir konstruieren jetzt wie folgt einen etalen Divisor aufX, deryenth¨alt. Bezeich-ne dazu k⁰ die eindeutige, unverzweigte Erweiterung von k mit Restklassenk¨orper κ(y), sowieOk⁰ die Normalisierung vonOkink⁰.S⁰ := SpecOk⁰. Wegen der Glattheit vonX ×SS⁰ →S⁰ist die ReduktionsabbildungX(S⁰)'(X ×SS⁰)(S⁰)→Y_κ(y)(κ(y))' Y(κ(y)) surjektiv [EGA IV, 18.5.17]. Folglich gibt es einenS⁰-wertigen Punkt von X, dessen Bild Dy den Punkt y enth¨alt. Nach Konstruktion ist D⁰ = D ∪ Dy etal und das obenstehende Diagramm (5.6) besitzt auch G¨ultigkeit f¨urD⁰ bzw. ∆⁰ =D⁰×XX anstelle vonD bzw. ∆. Somit l¨aßt sich die Scholzl¨osung vonS(Y\(D∪ {y}) zu einer L¨osungψ vonS(X\∆⁰) zur¨uckziehen. Eine nochmalige Anwendung von Proposition 3.3.4 zeigt, daß ψ sogar eine Scholzl¨osung ist.

6 Nilpotente Gruppen als Galoisgruppen

Wir benutzen jetzt die in den vorherigen Paragraphen entwickelte Theorie, um einen Beweis des Hauptsatzes und Satz III der Einleitung zu geben.

Im Dokument Kohomologie von Kurven und geometrische Realisierung nilpotenter Gruppen (Seite 69-73)