9 | Satz von Weierstrass
9.5 Approximationssatz von Weierstrass
9.5 Approximationssatz von Weierstrass
Theorem 9.20 Satz von Weierstrass Gegeben sei eine stetige Funktion
f : [a, b]→R ⇒ ∀ε∃n∈N: kf −pnk< ε Wobei pn ein Polynom vom Gradnist, also
pn(x) =
n
X
i=0
aixi wobeiai∈R
Wobei bei obiger Norm die Maximum-Norm(bzw. sup-Norm) gemeint ist:
kf −pnk:=kf−pnk∞=max{|f(x)−pn(x)| |x∈[a, b]}
Damit ist sichergestellt, dass sich pn innerhalb eines “ε-Schlauchs” um f befindet! (Siehe Ab-schnitt sup-Norm 9.2)
Bevor wir uns dem etwas längerem Beweis dieses Theorems zuwenden, der zeigt, dass z.B. die Bernsteinpolynome die Behauptung dieses Theorems erfüllen, können wir den Sachverhalt in-sofern vereinfachen, weil wirjedestetige Funktionf : [a, b]→Rmit einer bijektiven Funktion g (d.h. g−1 existiert) auf das Intervall [0,1]“komprimieren” können, also
f¯: [0,1]→R ∧ f¯=f◦g−1 ∧ g: [a, b]→[0,1]
es gibt dann für jedesx∈[a, b]eing(x) =t∈[0,1]sodass gilt:
f(x) =f g−1(g(x))
= ¯f(g(x)) = ¯f(t)⇒ sup
x∈[a,b]
|f(x)|= sup
t∈[0,1]
f¯(t)
⇒ kfk =kfk¯ Da die Normen von f undf¯übereinstimmen, reicht es den Satz von Weierstrass für das Intervall [0,1]zu beweisen. Die ursprüngliche Funktion f = ¯f ◦gist leicht wiederherge-stellt! (Selbstverständlich gilt dann auch kf¯−p¯nk< ε⇔ kf−pnk< ε)
Wir demonstrieren das graphisch in [a, b] = [2,6]mit den Funktionen
f :[a, b]→R g:[a, b]→[0,1] g−1 :[0,1]→[a, b]
x→a−(x−(a+ 1))2 x→ x−a
b−a t→a+ (b−a)t
9. Satz von Weierstrass
Abb.64 : Komprimierte Funktionf¯=f◦g−1 (rot) und Originalf(blau);kfk=kfk¯ = 7
Während wir mitgeine lineare “Kompressionsfunktion” verwendet haben - ist das nicht notwen-dig. Wir haben im obigen Graph auch eine grüne Funktion eingezeichnet, die folgendermaßen entstanden ist:f◦h−1 mit
f :[a, b]→R h:[a, b]→[0,1] h−1 :[0,1]→[a, b]
x→a−(x−(a+ 1))2 x→sin π
2 x−a b−a
t→ 2(b−a)
π arcsin(t) +a Obwohl sich die x-Lage des Maximums verändert hat, so ist doch die Norm wieder unverändert geblieben!
Auf der nächsten Seite noch der “Code” in wxMaxima zur Erzeugung des obigen Graphen -gegenüber den Voreinstellungen wurde der Schriftfont der x- und y-Achse vergrößert, die Le-gende weggelassen und die Linienstärke der 3 Funktionen auf 3 vergrößert! Der 2.-te Parameter von linesist die Zeichenfarbe.
(%i2) a:2$b:6$
(%i3) f(x):=a-(x-(a+1))ˆ2;
f(x) :=a−(x−(a+ 1))2 (%o3)
(%i4) g(x):=(x-a)/(b-a);
g(x) := x−a
b−a (%o4)
9.5 Approximationssatz von Weierstrass
[gnuplot_preamble, "set xtics \", 20\"; set ytics font\", 20\" "]) Beweis: Wir zeigen, dass die Bernsteinpolynome bnden Satz von Weierstrass erfüllen:
bn(x) :=
Wir wissen aus obigen Überlegungen (binom. Lehrsatz und Varianz der Binomialverteilung), dass gilt
Wir werden zeigen, dass für alleεeinN ∈Nexistiert, sodass gilt (falls n > N):
kf −bnk< ε
Wegen der Stetigkeit vonf gilt:|x1−x2|< δ⇒ |f(x1)−f(x2)|< ε wir zerlegenN0 in zwei diskunkte TeilmengenK1 und K2: 2
K1 :=
9. Satz von Weierstrass
Die Summen S1 und S2 lassen sich für jedes x∈[0,1] erstellen! Wir zeigen, dass diese Summen für jedes xsich unter eine vorgegebene ε-Schranke drücken lassen, wenn nurn groß genug gewählt wird!
S1 < X
Mit 9.8 lässt sich folgende Abschätzung durchführen:
nx(1−x) =
Die letzte Ungleichung gilt, da das Maximum von x(1−x) in[0,1] 1 4 ist! S2 lässt sich damit abschätzen:
S2 ≤2M X
εδ2 wird letzte Gleichung zu
S2 < ε
2 (9.12)
9.5 Approximationssatz von Weierstrass
Wir bilden die Bernsteinpolynome inGeogebra nach, wobei wir als zu approximierende Funk-tion die “komprimierte” SinusfunkFunk-tion cs(x) hernehmen:
cs(x) = sinπ 2x
Abb.65 : Approximation des Sinus(rot) durch Bernsteinpolynome
Der Graph zeigt den ε-Schlauch(einstellbar mit dem Schieberegler) um die “komprimierte”
Sinusfunktion cs(x), die ersten 5 Bernsteinpolynome und das 15.-te Bernsteinpolynom.
Abb.66 : Konstruktionsprotokoll für obigen Graphen
Mit dem SchiebereglerN lässt sich dasN-te Bernsteinpolynom zeichnen. Man sieht die gleich-mäßige Konvergenz.
9. Satz von Weierstrass
Bei N ≈130ist auf dem Bildschirm (falls man nicht hineinzoomt) die Originalfunktion cs(x) nicht mehr vom Bernsteinpolynom zu unterscheiden. Wie “vorsichtig” im oberen Beweis unsere Abschätzung ist, lässt sich an diesem Beispiel demonstrieren:
Da die maximale Steigung in [0,1] π/2beträgt gilt:
cs(x2)−cs(x1) x2−x1 ≤ π
2 ⇒cs(x2)−cs(x1)≤ π
2 (x2−x1) Für die Summen S1 und S2 ergaben unsere Abschätzungen(M = 1 bei cs(x)):
M
Beiε= 0.2ergibt sich aus dem zweiten Summandenδ ≈0.06, damit liefert der erste Summand einen Wert für n≈1400- der weit überzogen ist (wie wir aus der Zeichnung sehen). Wichtig dabei ist nur, dass wir den zweiten Summand mitδ beliebig klein machen können, und obwohl δ im ersten Summand quadratisch im Nenner steht, können wir mit einem “großen” n auch diesen beliebig klein machen!
-0.2
Polynomial approximation of compressed sin(x)
compressed sine bernstein n=1-5 bernstein n=15 lower_border(x) upper_border(x)
Abb.67 : Hier die Konstruktion mitgnuplot
9.5 Approximationssatz von Weierstrass
Die Veranschaulichung lässt sich natürlich auch mitgnuplot darstellen, das ja auchwxMaxima verwendet - allerdings in abgespeckter Form, sodass nicht alle Möglichkeiten zur Verfügung stehen. Darunter ist das zugehörige “Programm” abgebildet - die meisten Befehle sind selbst-erklärend.
Hier das Wichtigste:
5 → es wird die Sampling-Rate für die Datentabellen bernstein* festgelegt 6 → Der Bernsteinpolynom-Term fürsin wird mit der Gamma-Fkt. festgelegt:
Bk,n(x) = sin 7−13→ Die Sample-Datentabellen für die ersten 5 bzw. das 15.-te Bernsteinpolynom werden
aud die Platte geschrieben
9. Satz von Weierstrass
21−23→ Die Funktionen werden festgelegt (Sinus mitε-Schlauch) 25−31→ Plotten der einzelnen Funktionen; “+” ist ein Pseudofile
Jetzt schätzen wir noch die sup-Norm für das 15.-tes Näherungpolynom mit Bernsteinpolyno-men ab:
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Estimation of sup-Norm of compressed/uncompressed Approximation
sup-norm-uncompressed sup-norm-compressed sup = 0.0158
Abb.68 : Abschätzung der sup-Norm für 15.-tes Näherungpolynom mitgnuplot
Es gilt offensichtlich: kcs−¯b15k=ksin−b15k
also die Normen der komprimierten und unkomprimierten Funktionen stimmen überein. Um die gleichmäßige Konvergenz zu betonen, wurde noch ¯b17,¯b19,¯b21,¯b23 eingezeichnet - man kann das stetige Abnehmen der sup-Norm erkennen!
Auf der nächsten Seite noch der gnuplot-Code für obigen Graph.
In diesem Listing ist
c(n, k, x) =b(n, k, x)◦g mit g(x) := x−a b−a
die erweiterte Bernsteinpolynom-Näherung wie vorher besprochen, hier natürlich mit a = 0 und b=π/2
9.5 Approximationssatz von Weierstrass
#p l o t the sup−norm o f ( un ) compressed approximations
2 s e t key f o n t " ,20 "
s e t t i c s f o n t " ,16 "
4 #s e t sample 200 −− not n e c e s s a r y −> i t ’ s d e f a u l t
b (n , k , x )=s i n( pi /2∗k/n ) ∗gamma( n+1) /(gamma( k+1)∗gamma(n−k+1) ) ∗x∗∗k∗(1−x ) ∗∗(n−k )
6 c (n , k , x )=s i n( pi /2∗k/n ) ∗gamma( n+1) /(gamma( k+1)∗gamma(n−k+1) ) ∗(2∗ x/ pi ) ∗∗k∗(1 −(2∗x/
pi ) ) ∗∗(n−k ) cs ( x )=s i n( pi /2∗x )
8
# the next rows have to be uncommented on the f i r s t run to produce data f o r p l o t t i n g
10
#s e t xrange [ 0 : 1 ]
12#s e t t a b l e " sin −bern−norm−data . gnu"
# p l o t f o r [ n =0:4] abs ( (sum [ k=0:15+2∗n ] b(15+2∗n , k , x ) ) − cs ( x ) )
14#unset t a b l e
16 s e t xrange [ 0 : pi / 2 ]
#s e t t a b l e " sin −bern−norm−data1 . gnu"
18# p l o t abs ( (sum [ k =0:15] c (15 , k , x ) ) − s i n ( x ) )
#unset t a b l e
20
s e t key bottom r i g h t
22 s e t s t y l e data l i n e s s e t x t i c s 0 . 2
24 s e t t i t l e f o n t " ,25 "
s e t t i t l e " Estimation o f sup−Norm o f compressed / uncompressed Approximation "
26## Last d a t a f i l e p l o t t e d : "+"
p l o t " sin −bern−norm−data1 . gnu" t i t l e "sup−norm−uncompressed " lw 2 l c rgb " blue "
,\
28 " sin −bern−norm−data . gnu" t i t l e "sup−norm−compressed " lw 2 l c rgb "magenta"
,\
" sin −bern−norm−data2 . gnu" t i t l e "sup = 0.0158 " lw 2 l c rgb " green "
9. Satz von Weierstrass