Anfangsbetrachtung

Bisher: kleine Auslenkungen in Ruhelage⇒lineare Bewegungsgleichungen

⇒Frequenz unabh¨angig von der St¨arke der Auslenkung Frage: Was passiert bei Ber¨ucksichtigung hoher Terme in der Taylor-Entwicklung?

⇒Nicht-Linearit¨aten, Anharmonit¨aten!

Benutze den Ansatz:

L = 1 Verboten sind dabei Reibungstermex˙¹oder Terme h¨oherer Ordnung≥x˙³. Achtung:x˙_i nur quadratisch wegenT =f_ik(xj) ˙x_ix˙_k

Betrachte nur die quadratischen Terme, ¨Ubergang zu Normalkoordinaten durch lineare Transformation:

eine Summe von Termen ¨uber die entsprechenden Indizes darstellt.

Frage:

Wie lautetf_k, ausgedr¨uckt durchλ,µ?

d dt

∂L

∂Q˙k

= d dt



Q˙_k+X

h,j

λ_hkjQ˙_hQ_j



= ¨Q_k+X

h,j

λ_hkj

Q¨_hQ_j+ ˙Q_hQ˙_j

∂L

∂Q_k =...

fkist homogene Funktion 2. Grades inQ,Q,˙ Q¨ 4.3.2 St¨orungstheorie

DieX

-Terme, alsof_k, sind klein gegenQ_kω²_k. Iterative L ¨osung:

Q_k =Q⁽¹⁾_k +Q⁽²⁾_k +Q⁽³⁾_k +...

1) BestimmeQ⁽¹⁾_k ausQ¨_k⁽¹⁾+ω_k²Q⁽¹⁾_k = 0 2)Q⁽¹⁾_k infkeingesetzt:

⇒Gleichung f¨urQ⁽²⁾mit

Q⁽²⁾_k ≪Q⁽¹⁾_k′ f¨ur allek, k^′ Q⁽¹⁾_k =a_kcos(ω_kt+a_k) Q⁽¹⁾_k +Q⁽²⁾_k wird in(∗)eingesetzt.

Linke Seite:Q⁽¹⁾_k f¨allt heraus, es bleibt

Q¨_k⁽²⁾+ω²_kQ⁽²⁾_k =...

Rechte Seite: Wir setzen f¨urQ_idie N¨aherungQ⁽²⁾_i , quadratisch inQ,Q,˙ Q¨und gegeben durch f_k

Q⁽¹⁾,Q˙⁽¹⁾,Q¨⁽¹⁾ fkenth¨alt Produkte

Q⁽¹⁾_i Q⁽¹⁾_j =aiajcos(ωit+αi) cos(ωit+αj)

=a_ia_j1

2(cos [(ω_it+α_i) + (ω_jt+α_j)] + cos [(ω_it+α_i)−(ω_jt+α_j)]) und ¨ahnlich f¨urQQ,˙ Q˙², ...

4.3.3 Zweite Ordnung Q¨_k⁽²⁾+ω_k²Q⁽²⁾ =X

quadratisch:

a_ia_jcos ((ω_i+ω_j)t+P hasenverschiebung) odera_ia_jcos ((ωi−ω_j)t+P hasenverschiebung)

Gleichung wie mit ¨außerer periodischer Kraft, die mit einer ”Kombinationsfrequenz”ω_i±ω_j wirkt, darunter auch

ωk±ωk=



 2ωk

0

Dies f¨uhrt zu einer Frequenzverdopplung.

4.3.4 Dritte N¨aherung

Bei der dritten N¨aherungQ⁽³⁾gibt es bei den Winkelfunktionen Terme der Form a_ia_ja_kcos ((ωi±ω_j±ω_k)t+α_i±α_j±α_k)

und speziell f¨uri=j =kauch Terme

a³_kcos (ω_kt+α_k) Die DGL:

Q¨_k⁽³⁾+ω_k²Q⁽³⁾=a³_ksin (ωkt+α_k) f¨uhrt zu L ¨osungen mit zeitlich wachsender Amplitude.

Q⁽³⁾_k =− a³_k

2ω_ktcos (ω_kt+α_k)

Physikalisch nicht akzeptabel, daher muss eine Korrektur der Frequenz erfolgen.

Der lineare Term r¨uhrt her von cosh

ω⁽⁰⁾_k + ∆ωk

ti

≈cosω_k⁽⁰⁾t−t∆ωksinω_k⁽⁰⁾t

∆ω_kist linear intundω_k⁽⁰⁾ist die urspr¨ungliche Grundfrequenz.

Dabei ist zu beachten, dass dies nur f¨ur kleine t gilt.

Durch Isolierung der intlinearen Terme gewinnt man die Frequenzverschiebung.

Beispiel: Ein Freiheitsgrad Rechnung bis zur 3. Ordnung:

L = m

2x˙²−m

2ω²₀x²−m

3αx³−m 4 βx⁴

¨

x+ω²₀x=−αx²−βx³ (∗) und

ω²₀x≫αx²≫βx³ Ansatz:x=x⁽¹⁾+x⁽²⁾+x⁽³⁾+...

x⁽¹⁾ =acosωt mitω=ω₀+ω⁽¹⁾+ω⁽²⁾

ω⁽¹⁾, ω⁽²⁾soll so bestimmt werden, dass kein Resonanzterm auftritt.

Umformung von(∗)so, dass die linke Seite immer Null wird:

ω₀²

ω²x¨+ω₀²x=−αx²−βx³−

1−ω₀² ω²

¨

x (∗∗)

Ansatz:

x=x⁽¹⁾+x⁽²⁾ ω =ω₀+ω⁽¹⁾

Linke Seite verschwindet identisch f¨urx=x⁽¹⁾, rechts nurx⁽¹⁾. ω²₀

ω²x¨⁽²⁾+ω²₀x⁽²⁾=−αa²cos²ωt−

1−ω₀² ω²

(−a)ω²cosωt

=−αa²1

2(1 + cos 2ωt) +a ω²−ω²₀ cosωt

⇒ω⁽¹⁾= 0, keine Frequenz¨anderung in 2. N¨aherung.

2ω₀+ω⁽¹⁾

ω⁽¹⁾cosωtist klein, w¨are ein Resonanzterm.

Bestimmex⁽²⁾(t)aus

¨

x⁽²⁾+ω²₀x⁽²⁾=−αa²

2 (1 + cos 2ωt) (∗ ∗ ∗) L ¨osung (siehe TheoA):

Verschiebung um−αa²

2ω₀² + einer harmonischen Frequenz2ω.

x⁽²⁾_p =−αa² 2ω²₀ +α

6 a²

ω₀² cos 2ωt (§§) Dies best¨atigt sich durch Einsetzen in(∗ ∗ ∗).

3. N¨aherung:

x=x⁽¹⁾+x⁽²⁾+x⁽³⁾ ω =ω₀+ω⁽²⁾ Betrachte in Gleichung(∗∗)nur Terme der 3. Ordnung, z.B.:

x⁽¹⁾+x⁽²⁾+x⁽³⁾2

=x⁽¹⁾² 2. Ordnung +2x⁽¹⁾x⁽²⁾3. Ordnung

+x⁽²⁾² 4. Ordnung ...

¨

x⁽³⁾+ω²₀x⁽³⁾=−2αx⁽¹⁾x⁽²⁾−βx⁽¹⁾³ + 2ω₀ω⁽²⁾x⁽¹⁾ Setzex⁽¹⁾undx⁽²⁾aus(§§)rechts ein.

Verwende entsprechende Theoreme f¨ur Produkte aussinundcos:

cosωt·cos 2ωt=...

cos³ωt=...

Nach der Rechnung:

¨ Mit der Bedingung, dass der Koeffizient vorcosωtNull sein muss, da dies der Resonanzterm w¨are, ergibt sich:

ω⁽²⁾ = Damit ist die St¨orung vonx:

x⁽³⁾ = a³

W¨ahleΘ₀(entspricht maximaler Auslenkung) so, dassV(Θ₀) =E.

rml² ist ein elliptisches Integral.

Dabei gelte f¨ur Dauer T eines Umlaufs:T = 2π ω Benutze die N¨aherung:

cos Θ≈1−Θ² 2 +Θ⁴

24

wobei1−Θ²

2 der harmonische Term undΘ⁴

24 die f¨uhrende Anharmonizit¨at sei.

T F ¨uhrende Ordnung:

Θ0

Damit ergibt sich der Korrekturterm zu:

ω₀T Dieser h¨angt in dieser N¨aherung nun erwartungsgem¨aß vonΘ₀ab.

Mache eine Taylorentwicklung:

ω₀T

Damit ergibt sich:

ω=ω₀

Schreibe dies um in vorige Notation.

⇒β=−1

5 Hamilton-Formalismus, kanonische Gleichungen, Poisson-Klammer

5.1 Struktur der Mechanik

Hamilton-FunktionHals Symmetrie zwischen Koordinaten und Impuls; n¨utzlich in der Quanten-mechanik, als Hamiltonoperator.

Poisson-Klammer, n¨utzlich in der Quantenmechanik, als Vertauschungsrelation.

Phasenraum (Satz von Liouville).

5.2 Legendre-Transformation: von L zu H

5.2.1 Motivation

Die Lagrange-Funktion h¨angt ab vonq,q,˙ t.

Die Euler-Lagrange-Gleichungen stellen dabei DGLen 2. Grades dar.

Ziel: ¨Ubergang zuqundp≡ ∂L

∂q˙ (undt) als unabh¨angige Variablen.

⇒ein System von 2 DGLen erster Ordnung (bzw. 2n DGLen f¨ur n Freiheitsgrade).

5.2.2 Mathematischer Einschub: Legendre-Transformation

Betrachtef(x, y)⇒df =udx+vdymit u:= ∂f

∂x, v:= ∂f

∂y,



 u v



=∇~f

df ist totales Differential, d.h. f¨ur einen beliebigen Wegx(t),y(t)in der(x, y)-Ebene von (x₁, y₁)nach(x₂, y₂)gilt

(xZ2,y₂)

(x1,y₁)

udx

dt +vdy dt

dt=

(...)

Z

(...)

df =f((x₂, y₂))−f((x₁, y₁))

ist Potentialdifferenz von f, welches die Rolle eines Potentials spielt.

Wenn lediglichu, v gegeben sind, dann muss in einem einfach zusammenh¨angenden Gebiet gelten:

∂u

∂y = ∂v

∂x f, u, vsind Funktionen vonx, y.

Ziel: ¨Ubergang auf neue Funktiong, sodassu= ∂f

∂x undyunabh¨angige Variablen sind.

W¨ahle:

g:=f−ux (∗) Dabei bezeichnet mangals die Legendre-Transformierte zuf. 5.2.3 Fortf ¨uhrung

Nun sei

dg =df−udx−xdu=udx+vdy−udx−xdu

⇒ dg=vdy−xdu (∗∗) vundxsind jetzt als Funktion vonuundyzu integrieren.

Es gilt

∂f

∂x(x, y) =u Inversion liefertxals Funktion vony, u.

v =∂f

∂y(x(y, u), y) Wegen Gleichung(∗∗)gilt

∂g

∂y

u=const=v, ∂g

∂u

y=const=−x Verweis auf die Thermodynamik:

Energie versus freie Energie, thermodynamische Potentiale.

5.3 Hamilton-Funktion

Betrachte:

H :=

Xn k=1

˙ q_k∂L

∂q˙_k −L

Betrachten wir der Einfachheit halber den Falln= 1, so haben wir:

H := ˙q∂L

∂q˙ −L Dies ist bis auf das Vorzeichen identisch zu Gleichung(∗).

Annahme:

∂L

∂q˙ (q,q, t) =˙ p sei umkehrbar.

⇒q˙ist dann eine Funktion vonq, p, t H(q, p, t) = ˙q(q, p, t)·p−L (q,q(q, p, t), t)˙

⇒dH = ˙qdp−pdq˙ −∂L

∂t dt Daraus folgen die kanonischen Gleichungen:

∂H

∂p = ˙q und ∂H

∂q =−p˙ sowie

∂H

∂t =−∂L

∂t Betrachte die Energieerhaltung:

Wegen

dH = ˙qdp−pdq˙ −∂L

∂tdt gilt

dH

dt = ˙qdp dt −p˙dq

dt −∂L

∂t dt dt Also:

d

dtH = ∂

∂tH

5.4 Poisson-Klammer

Seif(p, q, t)eine beliebige Funktion der Koordinaten, Impulse und der Zeit.

df dt = ∂f

∂pp˙+ ∂f

∂qq˙+ ∂f

∂t Mit den kanonischen Gleichungen folgt:

df Man definiert als Notation:

{H, f}:={∂H Mit n Freiheitsgraden wird daraus:

{H, f}=X gelten, so folgt daraus:

⇒ df F ¨ur beliebigef, gdefinieren wir:

{f, g}:=X In der Quantenmechanik hat man:

{f, g} ⇒[F, G]

5.5 Phasenraum

Fragestellung: Wodurch ist der Zustand eines mechanischen Systems vollst¨andig beschrieben?

Die Lage eines mechanischen Systems mitN Freiheitsgraden wird durch dieN Koordinatenqi

bestimmt. Allein durch die Angabe der Lage der Teilchen ist die zeitliche Entwicklung des Sy-stems nicht determiniert, denn es ergeben sich Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche auch zwei Anfangsbedingungen fordern. Zur vollst¨andigen Beschreibung des Zustands des Sy-stems ben¨otigt man die Kenntnis der Impulse zum Zeitpunktt₀.

Alle m ¨oglichen Werte der Koordinatenq_iund Impulsep_ibilden den Phasenraum. Zu jeder Zeit wird der Zustand des Systems durch einen Punkt im Phasenraum beschrieben.

5.5.1 Beispiel 1: Der harmonische Oszillator L (q,q) =˙ m

2q˙²−mω² 2 q² Der kanonische Impuls ist

p= ∂L

∂q˙ =mq˙ ⇔ q˙= p m Damit ergibt sich die Hamiltonfunktion:

H(q, p) =pq˙−L = p² Definiere neue Variablen:

z₁ =√

mωq und z₂= 1

√mp Damit wird die Hamiltonfunktion zu:

⇒ H = 1 2z₁²+1

2z²₂ Die kanonischen Gleichungen

∂H

∂p = d

dtq und ∂H

∂q =−d dtp werden ausgedr¨uckt durch die neu gew¨ahlten Variablen:

∂H

Daraus ergibt sich:

⇒ ∂H Eliminiere noch dasωmittels einer Transformationτ =ωtder Zeit:

∂H

∂z₂ = d

dτz₁ und ∂H

∂z₁ =− d dτz₂

Mit ∂H

∂z₂ =z₂ und ∂H

∂z₁ =z₁folgt daraus schließlich:

z₂ = d

dτz₁ und z₁ =− d dτz₂ Mit der L ¨osung:

z₁(τ) =acos (τ−ϕ) z₂(τ) =−asin (τ −ϕ) Die Anfangswerte zur Zeitt= 0seien:

z₁⁰ =√

mωq(0) z₂⁰= 1

√mp(0) Die Energie ist erhalten:E =H

also ist

E=H = 1

2 z₁²+z₂²

=const= a² 2 Mit den Anfangsbedingungen folgt daraus:

a= q

(z₁⁰)²+ (z⁰₂)² Woraus man schließen kann:

cosϕ= z₁⁰

a und sinϕ= z₂⁰ a Betrachte nun die Bewegung im Phasenraum:

Bewegung im Phasenraum liegt auf einem Kreis. Verschiedene Energien entsprechen verschiedenen Radien des Kreises. Die Kreisfrequenz ist f¨ur alle Energien dieselbe.

Die Zust¨ande mitE₁ ≤E≤E₂belegen ein bestimmtes Volumen im Phasenraum; dieses entspricht der Fl¨ache des entsprechenden Kreisringes.

Dr¨uckt man die Variablenz₁,z₂wieder durchq,paus, so erh¨alt man im Phasenraum eine Ellipse mit den Halbachsen

p_max=√

2EM und q_max = r 2E

mω² Die Fl¨ache der Ellipse ist gegeben durch

F =π·pmax·qmax= 2πE ω Die Zust¨ande mit den EnergienE₁ ≤E ≤E₂ besitzen das Volumen

2π

ω (E₂−E₁) Zur Dimension:

Wirkung=Energie·Zeit = (verallg.) Ort·(verallg.) Impuls In der Quantenmechanik:

Nur ein Zustand in einem Volumenelement der Gr¨oße2π~existiert. Beim harmonischen Oszillator findet sich die Energie quantisiert:

E=~ω

n+1 2

, n∈N

5.5.2 Beispiel 2: Das ebene Pendel

L = ml²

2 ϕ˙²−U(ϕ) = ml²

2 ϕ˙²+ (cosϕ−1)mgl Kanonisch konjugierter Impuls:

p= ∂L

∂ϕ˙ =ml²ϕ˙

⇒ϕ˙ = p ml² Damit ergibt sich die Hamiltonfunktion:

H = p²

2ml² −(cosϕ−1)mgl F ¨uhre wie zuvor neue Variablen ein.

z₁=ϕ, z₂= p

ml²ω, ω² = g

l, τ =ωt Mit dz₁

dτ =z₂(τ)und dz₂

dτ =−sin (z1(τ))folgt:

H= mgl

2 z₂²−(cosz₁−1)mgl Die Energie ist wieder erhalten.

ǫ= H mgl = 1

2z²₂−(cosz₁−1) =const Bahnen im Phasenraum f¨ur festesǫ:

z₂ =±p

2 (ǫ+ cosz₁−1) (∗) Diskutiere(∗)f¨ur verschiedene Werte f¨urǫ.

a) ǫ >2

ǫ+ cosz₁−1>0 ∀z1

Eine Nullstelle wird nie erreicht.

z₂ist immer entweder>0oder<0. Die L ¨osung ist periodisch mit Periode2πund ist symmetrisch um0. Es ergeben sich

Maxima f¨urz₁= 0,2π, ...

Minima f¨urz₁ =π,3π, ...

b) kleineǫ

ǫ+ cosz₁−1>0 Also istz₁ klein.

ǫ+

1− z₁² 2

−1>0

⇒z₁².2ǫ Also:

z₂=± q

2ǫ−z₁²

⇒z₁²+z²₂ = 2ǫ

Dies l¨asst auf Kreise im Phasenraum mit Radius2ǫschließen.

c) Grenzfallǫ= 2, der Kriechfall

z₂ =±p

2 (cosz₁+ 1) z₂nimmt f¨urz₁=±πden Wert0an.

5.6 Satz von Liouville

Gegeben sei ein Ensemble von Zust¨anden in einem Gebiet des Phasenraumes mit vorgegebenem VolumenV.

Bei der zeitlichen Entwicklung des Systems bleibt dieses Volumen stets konstant (konservative Kr¨afte).

6 Starrer K¨orper, Kreisel

6.1 Kinematik

Bisher wurden lediglich

”Massenpunkte” betrachtet. Ein ausgedehnter, starrer K ¨orperKwird in-terpretiert als viele Massenpunkte mit Zwangsbedingungen.

X

i

...→ Z

dV ρ(~x) wobeiρ=b Dichte

Zur Beschreibung der Lage vonK werden zwei Koordinatensystem genutzt:

L=b Labor:

”ruhendes” System(X, Y, Z) K=b

”k¨orperfestes” System(x, y, z) Der Nullpunkt vonKwird h¨aufig im Schwerpunkt gew¨ahlt.

DasK-System ist bez¨uglichLfestgelegt durch den Ursprung vonK und die Orientierung der Achsen vonK.

Die Lage des K ¨orpers ist festgelegt durch 6 Koordinaten. Das sieht man wie folgt ein:

M ¨oglichkeit 1

Die Lage wird bestimmt durch die Lage von 3 Punkten des K ¨orpers:P₁,P₂,P₃. 3 Punkte=b 9 Koordinaten

Es liegen 3 Zwangsbedingungen vor (die Abst¨ande vonP₁,P₂,P₃), also:

→9−3 = 6Koordinaten

M ¨oglichkeit 2

Die Lage des Schwerpunkts liefert 3 Koordinaten.

Zur exakten Beschreibung des K ¨orpers sind nun noch 3 Winkel erforderlich.

→3 + 3 = 6Koordinaten

Die Lage eines beliebigen PunktesP des K ¨orpersKbez¨uglichLsei gegeben durch:

~br= (X, Y, Z) und bez¨uglichK:

~r= (x, y, z)

Bewegung bedeutet nun eine infinitesimale Verschiebung vonP, durch Verschiebung vonK bez¨uglichLund durch Rotation.

d~br=d ~R+dϕb×~r (∗) d~r: ¨b Anderung imL-System

d ~R: Verschiebung vonK

dϕb×~r: Drehung um|dϕb|um die Achse dϕb

|dϕb| Geschwindigkeit vonP, betrachtet inL, wobei

d~rb

dt =~v, dϕb

dt =~Ω, d ~R dt =V~ gelte.

Dividiere(∗)durchdt:

~v=V~ +~Ω×~r V~: Translationsbewegung

~Ω: Winkelgeschwindigkeit

~r: k¨orperfeste Koordinate vonP

W¨ahle ein zweites k¨orperfestes SystemK^′, verschoben gegenK:

~

r =~r^′+~a

Geschwindigkeit vonK^′gegenLseiV~^′, Winkelgeschwindigkeit seiΩ~^′.

~v=V~ +~Ω×~r=V~ +Ω~ ×~a+~Ω×~r^′

Andererseits per Definition:

~v^′ =V~^′+~Ω^′×~r^′ f¨ur alle~r

⇒V~^′ =V~ +~Ω×~a nur f¨urΩ~^′ =~Ω

Rotationsgeschwindigkeit eines K ¨orpers ist unabh¨angig von der Wahl des SystemsO, aberV~ jedoch h¨angt vonOab.

FallsV~ ⊥Ω~ zu einem bestimmten Zeitpunkt gilt, also~Ω·V~ = 0, so folgt darausV~^′ ⊥Ω~ f¨ur ein beliebiges k¨orperfestes System, da

Ω~ ·V~^′ =Ω~

V~ +~Ω×~a

= 0 + 0 = 0 Ferner gilt dann:

~Ω·~v =~Ω

V~ +Ω~ ×~r

= 0 f¨ur alleP

⇒Ω~ ⊥~v Anschauung:

Translation und Rotation in einer Ebene.

FallsV~ ⊥Ω~ gilt, dann kann man ein SystemO^′finden, sodassV~^′ = 0zu diesem Zeitpunkt gelte.

Konstruktion:

Sei

~v=V~ +~Ω×~r W¨ahle

~r=~r^′ +~a mit ~a=−V~ ×Ω~ Ω~² Daraus folgt:

~v =V~ +Ω~ ×~r^′− Ω~

V~ ×~Ω Ω~²

=V~ +Ω~ ×~r^′−

V~ ·Ω~²−Ω~

~Ω·V~

Ω~² Es ist

V~ ·Ω~² ~Ω²

=V~

und nach Voraussetzung

Ω~ ·V~ = 0 Damit vereinfacht sich die Gleichung zu:

~v=~Ω×~r^′

Dies entspricht einer Drehung und Translation im rechten Winkel, also einer Drehung um eine verschobene Achse.

6.2 Tr¨agheitstensor

F ¨ur die kinetische Energie gilt:

T =X

Damit wird die kinetische Energie zu:

T = V~² fallsOder Schwerpunkt ist.

Benutze als Notation:

~

r_i = xⁱ₁, xⁱ₂, xⁱ₃ Definiere den Tr¨agheitstensor:

I_jk=X

i

m_i r~_i²δ_jk−xⁱ_jxⁱ_k

f¨urj, k = 1,2,3 Dann kann der zweite Term vonT geschrieben werden als

1 Dabei istIein Tensor.

Definiere zur Abk¨urzung:

µ:=X

i

m_i ^Kontinuum−→ µ= Z

d³~rρ(~r)

Damit ergibt sich der Ausdruck zu:

T = V~² 2 µ+1

2Ω~^TI ~Ω

In der Kontinuumsmechanik wird der Tr¨agheitstensor schließlich zu I_jk=

Z

d³~rρ(~r) ~r²δ_jk−xjx_k Das k¨orperfeste System liege im Schwerpunkt.

I_jkist reell und symmetrisch und damit diagonalisierbar.

Dies entspricht einer Drehung des k¨orperfesten Systems.

Die neuen Achsen sind die Tr¨agheitsachsen, Eigenwerte sind die Tr¨agheitsmomenteI₁,I₂,I₃. Trot= 1

2 I₁Ω²₁+I₂Ω²₂+I₃Ω²₃

Im Allgemeinen istI₁ 6=I₂6=I₃, dies entspricht einem unsymmetrischen Kreisel.

FallsI₁=I₂gilt, so erh¨alt man einen symmetrischen Kreisel.

FallsI₁=I₂=I₃gilt, so erh¨alt man einen Kugelkreisel. Dieser entspricht von der Form her nicht zwingend einer Kugel; er besitzt nur keine ausgezeichnete Drehachse.

Falls alle Massenpunkte auf einer Geraden liegen, also wenn gilt x₁ =x₂ = 0, x₃6= 0 dann ist:

I₁=I₂=X

i=1

m_i xⁱ₃2

, I₃= 0

Diese Form entspricht einem Rotator, also beispielsweise einer Hantel oder einem zweiatomigen Molek¨ul.

Es gelten

I₁+I₂≥I₃

und durch zyklische Vertauschung daraus resultierende Gleichungen.

Falls allemiin der(x₁, x₂)-Ebene liegen, also fallsxⁱ₃= 0, so ist I₁+I₂=I₃

6.3 Satz von Steiner

Es sollI_jk^′ bez¨uglichO^′berechnet werden. Dabei betrachten wir ein um den Vektor~avom Schwer-punkt aus verschobenes Koordinatensystem. Die Verschiebung sei

~

r =~r^′+~a Dann gilt f¨ur den Tr¨agheitstensor im neuen System:

I_jk^′ =Ijk+µ ~a²δjk−ajak

6.4 Drehimpuls

Der Drehimpuls ist

L~ =~r×~p Der Schwerpunkt des starren K ¨orpers seiO, also ist

X

i=1

m_ir~_i= 0 wobeir~ibez¨uglich des Systems K gew¨ahlt sei.

L~ ≡Eigendrehimpuls L~ =X

i=1

m_i(r~_i×v~_i) =X

i=1

m_ir~_i×

~Ω×r~_i +X

i=1

m_i

~ r_i×V~

=X

i=1

m_i

~

r_i²Ω~ −r~_i

~ r_iΩ~ Die letzte Gleichheit folgt, daOder Schwerpunkt des starren K ¨orpers ist.

L_j =X

k=1

I_jkΩk oder ~L=I ~Ω

Wenn zu einem Zeitpunkt das Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen zeigt, dann gilt L₁ =I₁Ω₁, L₂ =I₂Ω₂, L₃=I₃Ω₃

Die Richtungen vonL~ undΩ~ sind im Allgemeinen verschieden undΩ~ ist im Allgemeinen nicht konstant.

Bei einer kr¨aftefreien Bewegung ist~Lkonstant.

Betrachte beispielsweise den Kugelkreisel:

L~ =I ~Ω ⇒ ~L∝~Ω const

6.5 Symmetrischer kr¨aftefreier Kreisel

W¨ahlex₁in

~L, x₃

-Ebene. Es seix₂orthogonal dazu.

Zu diesem Zeitpunkt gelteL₂ = 0 ⇒Ω₂= 0 Es gilt:

L₁=I₁Ω1, L₂ =I₂Ω2, L₃=I₃Ω3

L,~ Ω,~ e~₃liegen immer in einer Ebene, die im Laufe der Zeit aber variiert.

Allgemein gilt:

~

v_i =~Ω×r~_i f¨ur jeden Punkt des Kreisels.

Punkte auf der Symmetrie-Achse liegen in der Ebene, die von~Lunde~₃aufgespannt wird.

⇒~v⊥Ebene

Geschindigkeit der Punkte auf der Symmetrie-Achse hat dieselbe RichtungΩ~ ×e~₃und ist proportional zum Abstand vonO.

⇒Achse rotiert umL~ und∢

~L, ~e₃

bleibt erhalten; es handelt sich um regul¨are Pr¨azession.

Zus¨atzlich gibt es eine Rotation um diex₃-Achse.

Rotationsgeschwindigkeit ume~₃:

I₃Ω₃ =L₃ =|~L|cos Θ

Ω₃ = |L~| I₃ cos Θ Pr¨azessionsgeschwindigkeit:

Zerlege~Ωin einen Anteil l¨angse~₃und in einen Anteil l¨angsL.~

|Ω~P r|sin Θ =|Ω~₁|= L₁ I₁ Andererseits giltL₁=|L~|sin Θ

Ω_{P r} = L I₁

6.6 Bewegungsgleichungen des starren K¨orpers

6.6.1 Vorbereitung

Das Drehmoment ist gegeben durch d

dtL~ =M~ (∗) mit

M~ =X

i=1

~ r_i×f~_i wobeif~idie am Ortr~iwirkende Kraft ist.

L~ undM~ sind bez¨uglich des SchwerpunktsSdefiniert, in dessen Ruhesystem wir uns befinden.

Ferner gilt

X

i=1

f~_i=F~ =~0 Bei einer Verschiebung um~agilt:

M~ =M~^′+~a×F~ FallsF~ =~0, so ergibt sich:

M~ =M~^′

6.6.2 Eulersche Gleichungen Sei d

dt

A~ die zeitliche ¨Anderung eines Vektors im Laborsystem. WennA~ in einem mitΩ~ rotie-rendem System konstant bleibt, dann gilt

d

dtA~ =Ω~ ×A~ Wenn sichA~außerdem im rotierenden System mit d^′

dtA~ ¨andert, dann gilt d

dtA~ = d^′

dtA~+Ω~ ×A~ In Gleichung(∗)eingesetzt:

d^′ dt

~L+~Ω×~L=M~ wobei d^′

dtL~ die ¨Anderung im k¨orperfesten, rotierenden System K beschreibt.

Dr¨ucke alle Komponenten imK-System aus, d.h.

d^′

Damit ergeben sich die Eulerschen Gleichungen:

I₁˙Ω1+ (I3−I₂) Ω2Ω3=M₁ I₂˙Ω2+ (I₁−I₃) Ω₃Ω₁=M₂ I₃˙Ω3+ (I2−I₁) Ω1Ω2=M₃ F ¨urM~ =~0haben wir den symmetrischen Kreisel.

Die Eulergleichungen ergeben sich zu:

˙Ω1+ I₃−I₂

I₁ Ω₂Ω₃= 0

˙Ω2+ I₁−I₃

I₂ Ω₃Ω₁= 0

˙Ω3+ I₂−I₁

I₃ Ω₁Ω₂= 0

Wir finden wieder die Pr¨azession, aber vomK-System her betrachtet.

Im Dokument Klassische Theoretische Physik B: Mechanik (Seite 29-0)