2. Material und Methoden
2.6 Analyse der Positionsveränderungen
Wie in Kapitel 1.3.2 (S. 22) beschrieben hat die Lage eines starren Körpers im Raum sechs Freiheitsgrade. So benötigt man zur Beschreibung seiner Bewegung sechs unabhängige Lagersensoren, wie es für die in dieser Studie verwendete Messapparatur der Fall ist. Die Taster A, B, C (xy-Ebene) registrieren eine Lage-veränderung entlang der z-Achse des Ursprungskoordinatensystems, die Taster D, E (yz-Ebene) entlang der x-Achse, und der Taster F (xz-Ebene) nimmt die Translation entlang der y-Achse auf. Mit nur sechs Lagersensoren können die drei Ebenen (xy, xz und yz) aufgespannt durch die drei Koordinatenachsen nun exakt bestimmt werden. Mit der Bestimmung dieser drei Ebenen (xy, xz, yz) kann das bewegte Koordinatensystem Kn errechnet und in Relation zu dem Ausgangskoor-dinatensystem K0 gesetzt werden.
Der fest in Apparatur angebundene untere Wirbelkörper repräsentiert das Aus-gangskoordinatensystem K0. Mit dem bewegten oberen Wirbelkörper ist ein zwei-tes Koordinatensystem Kn starr verbunden. Eine Bewegung des oberen Wirbel-2. Material und Methoden
Abb. 2.6.1: Schema der Anordnung der Messtaster A-F.
körpers wird von den Lagersensoren registriert. Aus den eingelesenen Positions-angaben wird dann die neue Position des Messobjekts im Raum (Kn) in Relation zur Referenzsystem (K0) bestimmt. Die Positionsveränderung lässt sich dann nach TEICHMANN (1973) in eine Verschraubung umrechnen.
2.6.1 Analyse der Tastermesswerte
Man nimmt die nacheinander eingenommenen Positionen des Messobjekts als Funktion der Zeit (t) an. Die drei Ebenen des bewegten Koordinatensystems zum Zeitpunkt to werden festgelegt und fallen mit drei Ausgangsebenen (xy, xz, und yz) im Referenzkoordinatensystem K0 zusammen. Hierzu werden die Messtaster A, B, C, D, E und F in der „3-2-1“ Anordnung genutzt (Abb. 2.6.1). Die neue Posi-tion des Messobjekts mit dem bewegten Koordinatensystem Kn zum Zeitpunkt tn
berechnet sich aus den veränderten Tasterwerten A-F. Die Position von Kn ist be-stimmt durch einen Translationsvektor d0: Ursprung von K0 zum Nullpunkt von Kn. Die Rotation ergibt sich aus dem Rotationsvektor µ (µX, µY, µZ). Zur genauen räumlichen und zeitlichen Auflösung wird jeweils die Lageveränderung des mo-mentanen Koordinatensystems Kn relativ zum vorausgegangenen Koordinaten-system Kn-1 und absolut zum Ursprungskoordinatensystem K0 bestimmt. Die Posi-tionsveränderung des Koordinatensystems ist zur Analyse der Bewegungsstruktur aber zu ungenau. Nach dem „Konzept der wandernden Schraubachsen“ von GOLDSTEIN (1983) wird die differentiell kleine Bewegung des Koordinatensystems Kn relativ zu Kn-1 als eine Schraube um eine momentane Schraubachse dn(α) (vgl.
Kap 1.3.2, S. 22) angesehen.
1. Einleitung 64
2.6.2 Berechnung des Ausgangs- und bewegten Koordinatensystems
Die Ausgangslage des Wirbelkörpers wird mit Hilfe von Ortsvektoren des Taster-kontaktpunktes mit der Glasplatte (Tasterortsvektoren) A(xa,ya,a), B(xb,yb,b), C(xc,yc,c), D(d,yd,zd), E(e,ye,ze), F(xf,f,zf) definiert. Die Koordinaten xi, yi, zi sind bekannt und konstant. Die variablen Koordinaten a bis f eines jeweiligen Taster-ortsvektors entsprechen dem Abstand vom Nullpunkt des Koordinatensystems und werden kontinuierlich eingelesen.
Zum Zeitpunkt t0:
Die beiden durch Ebene XY0 aufgespannten Vektoren verrechnen sich wie folgt V1 = A – B und V2 = A – C.
Der Richtungsvektor der Z-Achse NZ0 = (A – B) x (A – C).
Die zweite Ebene YZ0 wird definiert durch die Vektoren
V3= V1 x V2 (V3 ⊥ V1 ∧ V3 ⊥ V2, Ergebnis des Kreuzprodukts) und V4 = D – E.
Der Richtungsvektor der x-Achse NX0 = NZ0 x (D – E).
Zur Bestimmung der Ebene XZ0 benötigt man V5 = V3 x V4. Der Richtungsvektor der Y-Achse NY0 = NZ0 x NX0 .
Der Schnittpunkt der drei Ebenen XY0, XZ0, YZ0 definiert den Nullpunkt K0 (x0, y0, z0) des Koordinatensystems K0 mit den Achsenvektoren Nx0, NY0, Nz0 ( X0, Y0, Z0; die normierten Achsenvektoren des Koordinatensystems).
Beim Ansetzen der Bewegung ändern sich die Tasterortsvektoren: An(xa,ya,a+∆a), Bn(xb,yb, b+∆b), Cn(xc,yc, c+∆c), Dn(d+∆d, yd,z), En(e+∆e, ye,ze), Fn(xf, f+∆f, zf).
So kann die Bestimmung von XYn, YZn und XZn des Koordinatensystems Kn zum Zeitpunkt tn mit dem Ursprung kn und den normierten Achsen Xn, Yn, Zn mit Hilfe von veränderten Tasterortsvektoren An, Bn, …En erfolgen.
Die Koordinaten des Schnittpunktvektors kn (kxn, kyn, kzn) sind die Abstände zu den Achsen des Ausgangskoordinatensystems. Die Projektion der Tastervektoren An,.., Fn auf die normierten Achsenvektoren Xn, Yn, Zn bestimmen die Koordinaten von dn.
2. Material und Methoden
Abb. 2.6.3:Trigonometrische Beziehung zur als Linearkombination der Norma-lenvektoren in Bezug auf das Aus-gangskoordinatensystem K0 darges-tellt werden:
kn = kx • Xn + ky • Yn + kz • Zn
Der differentielle Translationsvektor d zwischen den Koordinatensys-temen Kn-1 und Kn ergibt sich aus:
d = kn – kn-1 (Abb. 2.6.2).
Das System kann sich auch drehen. So berechnet man zusätzlich ein Rotations-vektor oder auch DrehRotations-vektor genannt.
Der Drehvektor µn (µxn, µyn µzn) beschreibt eine Rotation des momentanen Koordi-natensystems Kn gegen das Ausgangskoordinatensystem K0 (Abb. 2.6.3).
Folgend errechnen sich die Rotationskomponenten:
tan µxn = (∆zc-∆za)/(yc-ya) tan µyn = (∆zb-∆za)/(ya-yb) tan µzn = (∆ze-∆zd)/(yd-y5).
Die Definition des Vorzeichens der Para-meter im mathematisch positiven Sinne erfolgt im rechtshändigen Koordinatensys-tem.
Vergleicht man die Einheitsvektoren des Ausgangs- und des bewegten Koordina-tensystems lässt sich eine Drehmatrix er-stellen. Durch Hauptachsentransformation berechnet sich dann der Drehvektor.
Abb. 2.6.2: Bestimmung des Verschiebevektors.
1. Einleitung 66
2.6.3 Berechnung der Verschraubungsparameter
Der Rotationsvektor µ bestimmt zugleich den Richtungsvektor der Schraubachse.
Die Normierung liefert den Einheitsvektor e = 1/IµI • (µx, µy, µz).
Der Betrag des Drehvektors µ ist der Rotationswinkel µ um die Schraubachse. Der Winkel φ ist die Verkippung des Richtungsvektors in Bezug auf das Ursprungs-koordinatensystem. Der Versatz s entlang der Schraubachse wird folgender-maßen berechnet: s = d • e.
Die Schraubsteigung τ bezogen auf µ ist τ = s/µ = d • µ /µ2.
Nach TEICHMANN (1973) ergibt sich der Ortsvektor a (Aufpunktvektor) der Schraubachsgeraden mit dem kürzesten Abstand a zum Ursprung des Koordina-tensystems wie folgt: a = 0,5 • [d - s • e + cot µ/2 • (e × d)].
Nach diesem Verfahren wurden die Schraubachsen ri zum einem in Bezug auf das Ursprungskoordinatensystem K0 ermittelt, wodurch der absolute Drehwinkel α des oberen Wirbelkörpers berechnet wurde (µ = α). Zum anderem in Bezug auf das bewegte Koordinatensystem Kn-1, um den differentiellen Rotationswinkel dµ, den Versatz ds und die Schraubsteigungen dτ zu bestimmen. Die Durchstoßpunkte Ri= (xi, yi, zi) differentieller Schraubachsen dri (α) wurden in Bezug auf das Aus-gangskoordinatensystem dargestellt.
Die Akquisitionsfrequenz der Tastermesswerte bestimmt die Anzahl der be-rechneten differentiellen Schraubachsen. Die Frequenz muss so hoch sein, um eine nahezu lückenlöse Abdeckung der Bewegungsstruktur zu erreichen. Ein Drehwinkel dµ von 0,01 m° um die momentane Schrauba chse wurde als differen-tiell klein betrachtet. Es muss also von Achsen ausgegangen werden, die über diesen kleinen Bereich gemittelt wurden.
Der Drehwinkel dµ wird direkt aus dem Betrag des Rotationsvektors µ bestimmt.
Die differentielle Größe dµ wird durch die Winkeldifferenz ∆µ ersetzt. Insofern wird über einen kleinen Bewegungsbereich interpoliert. Bei kleineren differentiellen Drehwinkeln dµ ist die Gefahr groß, dass der zufällige relative Messfehler größer
wird. Bei der Berechnung der differentiellen Schraubsteigung τ nach der 2. Material und Methoden
Formel τ = d • µ /µ2 wird der Fehler quadratisch weitergeführt, weil das Quadrat des Winkelsim Nenner steht. .