Durch Spiegeln an den Achsen wird die Hyperbel in sich übergeführt. Deshalb kann man durch Spiegeln an den Achsen stets erreichen, dass die gegebenen Punkte P und Q im 1. Quadranten liegen. Einsetzen ihrer Koordinaten in die Mittelpunktgleichung 1
b
2 − = liefert zwei lineare Gleichungen für
2 existiert, müssen
2
2 b
und 1 a
1 gleiches Vorzeichen haben. Das tritt ein, wenn
Q
Es werden beide Halbachsenquadrate positiv bzw. negativ, wenn
Q
+ < 0 ist. Dann ist die Hyperbel nach rechts und links bzw. nach oben und unten geöffnet,
weil dann die Strecke PQ steiler bzw. flacher als der Durchmesser durch ihren Mittelpunkt geneigt ist. Wären die beiden Steigungen gleich, dann lägen P und Q auf demselben Durchmesser und die Hyperbel wäre zu ihren Asymptoten entartet. Desgleichen wären dann die beiden Gleichungen für 2 2
b und 1 a
1 linear abhängig.
Zu 3.2.20 (Analogon zur Ellipse, siehe Aufgabe 2.2.16, Voraussetzung für 3.2.22):
Setzt man die Geradengleichung in die Ellipsengleichung ein, so ist das folgende Problem zu lösen:
1
Dies setzt man in die Geradengleichung ein und erhält für y:
y =
Soll nun die Gerade g Tangente sein, so müssen die Schnittpunkte zusammenfallen, also die Wurzel verschwinden. Dies ergibt die folgende Bedingung:
2
Für den Berührpunkt der Tangente erhält man also aus (1) bzw. (2):
xB =
Dies lässt sich umformen zu 1 b
±b die Asymptotensteigungen sind, zeigt das Auftreten der Wurzel in (3), (4) und (5), dass alle Tangenten steiler als die Asymptoten sein müssen.
Zu 3.2.21 (Analogon zu Aufgabe 2.7.10):
Die Hyperbeltangente in P(x0y0) hat nach der vorherigen Aufgabe die Gleichung 1 b
Da P auf der Hyperbel liegt, gilt auch 1 b Daraus folgt:
0
Die Normale im selben Punkt muss also die Gleichung
0 Hieraus erhält man:
2
Durch Nullsetzen von y bzw. von x bekommt man hieraus die Koordinatenschnittpunkte
( 2
Hinweis: Wie bei der Ellipse lässt sich auch hier aus dem gefundenen Ergebnis die Konstruktion der Hyperbelnormalen herleiten.
Zu 3.2.22 (nach 3.2.18 und 3.2.20):
1. Nach Satz 3.2.5 ist jeder Tangentenberührpunkt Mittelpunkt der Tangentenstrecke zwischen den Asymptoten. Die Mittelpunkte der zur Tangente parallelen Sekantenabschnitte, die nach Satz 3.2.4 zugleich Sehnenmitten sind, gehen wie die Sekantenabschnitte durch zentrische Streckung vom Hyperbelmittelpunkt auseinander hervor, liegen also auf einem gemeinsamen Durchmesser mit dem Tangentenberührpunkt. Dieser Durchmesser wird zur Tangentenrichtung konjugiert genannt. Er ist also durch Halbieren eines beliebigen solchen Sekantenabschnitts – etwa GH – zu gewinnen.
2. Die Tangentenberührpunkte sind Hyperbelpunkte, also die Schnittpunkte der Hyperbel mit dem in 1.
konstruierten Durchmesser. Diese sind zu bekommen wie in Aufgabe 3.2.18, Fall c): Die Asymptoten werden als Riss eines Drehkegels gedeutet, die Hyperbel als dessen Schnitt mit der Bildebene um b oberhalb der Kegelachse. Der Durchmesser wird als Mantellinie des Kegels gedeutet.. Diese Mantellinie wird umgeklappt, indem die Höhe eines beliebigen ihrer Punkte, etwa Q, durch Umklappen seines Kegelparallelkreises ermittelt wird.
3. Im Abstand b von d liegt der umgeklappte Schnittpunkt, der durch Zurückklappen in den Tangentenberührpunkt P1 übergeht. P2 erhält man durch Spiegeln am Hyperbelmittelpunkt. Die Tangenten t1 und t2 sind die Parallelen zu g durch P1 bzw. P2.
Zu 3.3.1 (Voraussetzung für 3.3.2 und 3.3.3):
Nach Satz 3.3.1 ist in der nebenstehenden Figur das Dreieck F1PG gleichschenklig und die Winkelhalbierende t bei P zugleich Mittellot von F1G.
Deshalb ist jeder Punkt Qi auf t von F1 gleich weit entfernt wie von G. Die Dreiecksungleichung für das jeweilige Dreieck QiGF2 sagt also aus:F2Qi ≤F2G+GQi =2a+F1Qi; damit erhält man:
a 2 Q F Q
F2 i − 1 i ≤ , wobei das Gleichheitszeichen nur für Qi = P gilt. Also hat die Winkelhalbierende mit der Hyperbel nur den Punkt P gemeinsam und liegt sonst ganz auf einer Seite der Kurve, ist also Tangente.
Zu 3.3.2 (nach 3.3.1):
Man betrachte auch obige Figur:
a) Werden in der Föhnhimmelfigur in MI 31 Seite 16 die beiden Kreisscharen im Sinne wachsender Radien mit gleicher Geschwindigkeit durchlaufen, so ändert sich die Differenz der Radien nicht. Ein Schnittpunkt zweier Kreise bewegt sich also nach Satz 3.2.1 und Definition 3.2.2 auf einer Hyperbel, die die Mittelpunkte der Kreisscharen als Brennpunkte besitzt. Damit sind alle diese Hyperbeln konfokal. Gleichzeitig lässt sich ablesen, dass jede dieser Hyperbeln die Ebene in drei Gebiete teilt: Für alle Punkte des Gebietes zwischen den beiden Ästen der Hyperbel ist die Brennstrahlendifferenz kleiner, für alle Punkte der beiden anderen Gebiete größer als längs der Hyperbel.
P
F1 F2
G
Q H
g
1
1
G
H 2
2 2
2 2 b
b 3
3 3
Q
Q0 P
P
t
t
1
1
2
2
b) Betrachtet man einen Vektor fest gewählter Länge in Richtung eines wachsenden Kreisradius (Brennstrahls) als Geschwindigkeitsvektor eines Punktes beim Durchlaufen der zugehörigen Kreisschar, so hat der Geschwindigkeitsvektor desselben Punktes für die Durchlaufung der anderen Kreisschar diesselbe Länge und die Richtung des anderen Brennstrahls nach außen oder innen, je nachdem ob die Kreisscharen in gleichem oder entgegengesetztem Sinn durchlaufen werden (je nachdem also der Schnittpunkt eine der Ellipsen oder eine der Hyperbeln beschreibt). Für die Geschwindigkeit des Schnittpunkts als Summe der Einzelgeschwindigkeiten bekommt man damit zwei kongruente Rauten als Vektoradditionsparallelogramme, nur jeweils die eine oder andere Diagonale als Richtung des Summenvektors. Damit stehen die Durchlaufungsrichtungen (also die Tangenten) der Kurven als Rautendiagonalen aufeinander senkrecht und sind aus demselben Grund die Winkelhalbierenden der Brennstrahlen, womit der Satz aus Aufgabe 3.3.1 bzw. Satz 2.7.2 nochmals bewiesen sind.
c) Umgekehrt sind Tangente und Normale nach Satz 2.7.2 und dem Satz der Aufgabe 3.3.1 in beiden Fällen die Winkelhalbierenden derselben Brennstrahlen und stehen deshalb aufeinander senkrecht.
Zu 3.3.3 (nach 3.3.1):
Vergleiche die obige Figur:
Nach Konstruktion der Figur ist G Spiegelpunkt von F1 an der Tangente t, der Lotfußpunkt H also Mittelpunkt der Strecke F1G. Da stets M Mittelpunkt der Strecke F1F2 ist, ist MH Mittelparallele des Dreiecks GF1F2. Deshalb ist ihre Länge die Hälfte von 2a, also gleich der reellen Halbachsenlänge a. Deshalb ist der Kreis um M durch H der Hauptkreis der Hyperbel. Wie zu beweisen war.
Zu 3.3.4 (nach 3.2.2, 3.2.7 und 3.2.8):
Als Vorarbeit für die Aufgaben 3.3.4 bis 3.3.7 ist bei jeder der Teilaufgaben a) bis e) die Grundfigur jeder Hyperbel zu zeichnen (vgl. die Zeichnungen der nächsten beiden Seiten) mit Achsen, Asymptoten, Scheiteltangenten, Mittelpunkt, Scheiteln und Brennpunkten. Dabei wird jeweils ausgenützt, dass die Schnittpunkte der Scheiteltangenten mit den Asymptoten, z. B. E1, von den Scheiteln den Abstand b und vom Mittelpunkt den Abstand e haben. Man zeichnet zur gegebenen Richtung durch M die Gerade g. Bei Aufgabe e) wird zusätzlich benutzt, dass die Achsen Winkelhalbierende der Asymptoten sind, und es wird der Hauptkreis eingezeichnet.
Man möge schon jetzt beachten, dass die Zeichnungen auch für die Aufgaben 3.3.5 gedacht sind und deshalb z. B. bei 3.3.4 überflüssige Leitkreise eingezeichnet sind.
Didaktischer Hinweis: Man sollte die Aufgaben a) bis f) unter verschiedenen Schülern verteilen und die fertigen Zeichnungen dann vergleichen lassen.
Es folgt der für die Zahlenbeispiele a) bis e) gemeinsame Konstruktionsgang (siehe die nebenstehenden Zeichnungen und die Zeichnungen der nächsten Seite):
Man fällt von F1 das Lot auf g. Jeder seiner Schnittpunkte H1 und H2 mit dem Hauptkreis ist Lotfußpunkt auf einer der beiden Tangenten t1 bzw. t2. Diese sind also die Parallelen zu g durch H1 bzw. H2. Ihre Berührpunkte werden von den Brennstrahlen aus F1 und F2 ausgeschnitten, die zu MH1 bzw. MH2 parallel sind.
Zu Teilaufgabe f): Da alle Hyperbeltangenten mit der Hauptachse größere Winkel als die Asymptoten bilden, kann es im Fall f) keine Tangenten geben. Bei den
F F
M H G
P
P 1
1 2
2
2 2 Leitkreis 50mm
G2
M F
F
G H
P 2
2
2
1 1
Leitkreis
Hauptkreis 40mm
g t
t
1 2
Figuren zeigt sich dies dadurch, dass das Lot von F1 auf g sowohl am Hauptkreis als auch am Leitkreis vorbeigehen würde.
Hinweis: Das hat zur Folge, dass das Lot von einem Brennpunkt auf eine Asymptote sowohl den Hauptkreis als auch den dazugehörigen Leitkreis berührt.
Zu 3.3.5 (nach 3.2.2, 3.2.7 und 3.2.8):
Die Figuren zu 3.3.4 und 3.3.5 werden gemeinsam genutzt. Deshalb ist in allen Zeichnungen der Leitkreis zu F1 eingezeichnet.
a) bis e)
Man fällt wieder das Lot von F1 auf g. Seine Schnittpunkte G1 und G2 mit dem Leitkreis sind die Spiegelpunkte von F1 an den gesuchten Tangenten t1 bzw. t2. Diese sind also die Mittellote von der Strecke F1G1 bzw. von F1G2. Die Brennstrahlen F2G1 und F2G2 schneiden wieder die Berührpunkte P1 und P2 aus.
zu f):
Siehe bei Aufgabe 3.3.4 f).
Zeichnung zu 3.3.4 d) bzw. 3.3.5 e)
50mm
F F
G
H P
P
M g
1 1 2
2
2
2 Hauptkreis
Leitkreis
Zeichnung zu 3.3.4 e) bzw. 3.3.5 e)
Zu 3.3.6 (nach 3.2.2, 3.2.7 und 3.2.8):
Zum Anfertigen der Zeichnung (siehe unten) möge man den Vorspann von Aufgabe 3.3.4 beachten und zur Kenntnis nehmen, dass die Zeichnung auch für Aufgabe 3.3.7 zuständig ist, also auch der Leitkreis eingezeichnet ist, den man zur Lösung von Aufgabe 3.3.6 nicht benötigt.
Nach dem Satz aus Aufgabe 3.3.3 liegen die Punkte H1 und H2 auf dem Hauptkreis. Als Lotfußpunkt aus F1 auf der Geraden durch R liegen sie auf dem THALES-Kreis über der Strecke RF1, sind also die Schnittpunkte der beiden Kreise. Die Tangenten t1 und t2 sind die Verbindungsgeraden RH1 und RH2 und zugleich Lote auf F1H1 bzw. F1H2. Die Parallelen zu MH1 und MH2 durch F2 schneiden als Brennstrahlen die Berührpunkte P1 und P2 aus.
Zu 3.3.7 (nach 3.2.2, 3.2.7 und 3.2.8):
Die Spiegelpunkte G1 und G2 von F1 an den gesuchten Tangenten t1 und t2 liegen nach Satz 3.3.1 und dem Satz aus Aufgabe 3.3.1 auf dem Leitkreis um F2. Als Punkt der Spiegelachsen t1 bzw. t2 ist R von F1 gleich weit wie von dessen Spiegelpunkten G1 und G2 entfernt. G1 und G2 sind also die Schnittpunkte des Leitkreises mit dem Kreis um R durch F1. Die Tangenten t1 und t2 sind die Mittellote von den Strecken F1G1 bzw. F1G2. Die Brennstrahlen F2G1 und F2G2 schneiden die Berührpunkte P1 und P2 aus.
g
F F
P P
H
G
M 1
1 1
2 2
2 Leitkreis
Hauptkreis
60mm
G2
50mm
Zu 3.3.8:
Begründung: Der Punkt des Kreises, mit dem F1 bei der Faltung zusammenfällt, ist nach dem Zurückklappen das Spiegelbild von F1 an der Knicklinie. Sein Kreisradius samt Verlängerung wird also an der Knicklinie so reflektiert, dass er durch F1 geht. Der Schnittpunkt des Kreisradius mit der Knicklinie erfüllt also genau die Bedingung des Satzes 3.3.2 mit F1 als Brennpunkt und dem Kreis als Leitkreis einer Hyperbel sowie dem Kreisradius und seinem Spiegelbild an der Knicklinie als Brennstrahlen, wobei diese Knicklinie als Winkelhalbierende der Brennstrahlen nach dem Satz aus Aufgabe 3.3.1 Hyperbeltangente ist.
Zu 3.3.9:
a) Fall Ellipse: Durch Mittelpunkt M, Scheitel A und Brennpunkt F1 sind spiegelbildlich Scheitel C und Brennpunkt F2 sowie durch die Brennpunkteigenschaft die kleine Halbachse b gegeben. Durch beliebige Wahl des Radius r = F1MD einer DANDELIN-Kugel über F1 lässt sich der Umriss eines zugehörigen Drehkegels, seine Spitze S und seine Achse d angeben.
Sind TA und TC die Berührpunkte der Umrissmantellinien mit der Kugel, so gilt
C A
F
F M
S
d T
T
1 2
A C
MD
e
h
nachHilfssatz 2.6.1:
C 1 1
A A
C ST ; AT AF ; CT CF
ST = = = (1)
Wegen der Symmetrie der Ellipse zum Mittelpunkt ist
2
1 CF
AF = . (2)
Damit lässt sich aus der nebenstehenden Figur unter Benutzung von (1) und (2) ablesen und dann umformen:
(
A A)
C A C A 1 2 1 2C
C CT ST AT ST ST CT AT 0 CF CF FF
ST SA
SC − = + − + = − + − = + − =
Das bedeutet: S liegt auf der Hyperbel, die A und C als Brennpunkte und F1 und F2 als Scheitel hat und deren Ebene auf der Ellipse senkrecht steht. Als Winkelhalbierende der Hyperbelbrennstrahlen ist die Kegelachse Tangente dieser Hyperbel, die die Fokalhyperbel h der Ausgangsellipse genannt wird.
b) Hyperbel: Durch Mittelpunkt M, Scheitel A und Brennpunkt F1 sind spiegelbildlich C und F2 sowie durch die Brennpunkteigenschaft die imaginäre Halbachse b gegeben. Durch beliebige Wahl des Radius r = F1MD einer DANDELIN-Kugel über F1 lässt sich der Umriss des zugehörigen Drehkegels, seine Spitze S und seine Achse d angeben.
Sind TA und TC die Berührpunkte der Umrissmantellinien SA und SC mit der Kugel, so gilt nach Hilfssatz 2.6.1:
C 1 1
A A
C ST ; AT AF ; CT CF
ST = = = (1)
Wegen der Symmetrie der Hyperbel zum Mittelpunkt ist AF1 = CF2 . (2) Damit lässt sich aus der nebenstehenden Figur ablesen und dann mit (1) und (2) umformen:
2 1 1 2 C 2 A
A ST SC CF CT CF CF FF
AT SC
AS+ = + + = + = + =
Das bedeutet:
S liegt auf der Ellipse, die A und C als Brennpunkte und F1 und F2 als Scheitel besitzt und deren Ebene auf der Hyperbel senkrecht steht. Als Außenwinkelhalbierende der Ellipsenbrennstrahlen ist die Kegelachse Tangente dieser Ellipse, die die Fokalellipse der Ausgangshyperbel genannt wird. Wie unmittelbar zu sehen, ist die Beziehung der Ausgangskurve zur Fokalkurve wechselseitig und die kleine Halbachse b der Ellipse ist gleich der imaginären Halbachse der Hyperbel.
Zu 3.3.10:
F1 sei der Punkt im Äußeren des Kreises k = k(F2, 2a). Jeder der gesuchten Kreismittelpunkte ist von F1 und vom Berührpunkt mit dem festen Kreis k gleich weit entfernt. Da der Mittelpunkt F2 von k auf dem Berührradius liegt, unterscheiden sich die Abstände des gesuchten Kreismittelpunktes von F1 und F2 stets um den Festkreisradius 2a. Nach Definition 3.2.2 liegen also die gesuchten Kreismittelpunkte auf der Hyperbel mit den Brennpunkten F1 und F2 und k als Leitkreis.
Hinweis: Dabei liegen die Mittelpunkte der Kreise, die den Festkreis k umschließen, auf dem einen Ast, die Mittelpunkte der Kreise, die dies nicht tun , auf dem anderen Ast der Hyperbel. Als Mittelpunkte der Kreise, die zu den Tangenten von F1 an den Festkreis k entarten, gelten die Fernpunkte der Asymptoten, die also auf den genannten Tangenten senkrecht stehen (vgl. Hinweis zu Aufgabe 3.3.4 f)).
Zu 3.3.11 (anschließend an 3.3.10):
1. Es gibt
a) Berührkreise, die beide Festkreise umschließen und solche, die keinen von beiden umschließen, sowie A h
C M
M d
S T T
D
A
e
F2 F1
C
b) solche, die nur den einen und solche, die nur den anderen umschließen.
2. Im Fall a) lässt man die beiden Festkreise um dieselbe Radiendifferenz schrumpfen, desgleichen die beide umschließenden Berührkreise, die nicht umschließenden Berührkreise um denselben Radienbetrag wachsen.
Hierbei bleiben alle Mittelpunkte und die Berühreigenschaften erhalten. Wird dabei einer der Festkreise zum Punkt, so ist der Fall von Aufgabe 3.3.10 hergestellt. Die gesuchten Mittelpunkte liegen also auf der Hyperbel mit den Festkreismittelpunkten als Brennpunkten und deren Radiendifferenz als doppelter reeller Halbachsenlänge. Die Asymptoten stehen senrkecht auf den äußeren gemeinsamen Tangenten der beiden Festkreise.
Sind beide Festkreise gleich groß, so entarten beide Hyperbeläste zum Mittellot zwischen den Festkreismittelpunkten.
Im Fall b) (siehe unter 1.) lässt man den einen Festkreis schrumpfen, den anderen um denselben Radienbetrag wachsen, während die Berührkreise mit dem jeweils umschlossenen schrumpfen bzw.
wachsen. Hierbei bleiben die Berühreigenschaften und die Mittelpunkte erhalten. Wird hierbei wiederum der eine Festkreis zum Punkt, so hat man wieder die Situation von Aufgabe 3.3.10. Die gesuchten Mittelpunkte liegen also auf dem einen oder dem andern Hyperbelast, je nachdem welcher Festkreis umschlossen wird. Diese Hyperbel hat die Festkreismittelpunkte als Brennpunkte, die Radiensumme der Festkreise als doppelte reelle Halbachsenlänge und Asymptoten, die senkrecht zu den inneren gemeinsamen Tangenten der beiden Festkreise sind. Eine Entartung kann hierbei nicht vorkommen.
3. Insgesamt liegen also alle Berührkreismittelpunkte auf zwei konfokalen Hyperbeln mit den Festkreismittelpunkten als Brennpunkten und den doppelten reellen Halbachsenlängen r1 + r2 und r1 – r2, wobei der letztere Ausdruck zu null werden kann, so dass die dazugehörige Hyperbel zum Mittellot der Festkreismittelpunkte entartet.
Zu 3.3.12 (anschließend an 3.3.10 und 3.3.11):
Bei zwei sich schneidenden Festkreisen führt ganz analog ihr gleichzeitiges Schrumpfen auf den Fall von Aufgabe 3.3.10 mit r1−r2 < F1F2 , während Schrumpfen des einen und Wachsen des anderen auf einen Kreis und einen Punkt im Inneren wegen r1 + r2 > F1F2 führt. Das ist der Fall von Aufgabe 2.7.8.
Wir erhalten also insgesamt eine Hyperbel mit Brennpunkten F1 und F2 und doppelter reeller Halbachsenlänge
r1 – r2(dieser Fall kann entarten) und eine zu ihr konfokale Ellipse mit doppelter großer Halbachsenlänge r1 + r2.
Zu 3.3.13:
Man zeichnet nur den Aufriss: Zuerst die Spitze S und die Drehachse d, dann die beiden Umrissmantellinien passend zum gegebenen Öffnungswinkel des Kegels so lang, bis sie der Turmbreite entsprechend geöffnet sind.
Die nebenstehende Zeichnung ist im Maßstab 1:100.
a) Die Turmwandebenen sind parallel zur Achse und damit parallel zu zwei bestimmten Mantellinien des Kegels. Deshalb ist die gesuchte Trauflinie eine Hyperbel, die die gezeichneten Umrissmantellinien als Asymptoten hat. Die höchsten Hyperbelpunkte sind die Scheitel, die von den Seitenwänden abzulesen sind.
b) Die tiefsten Punkte bekommt man durch Stechzirkelkonstruktion, ihre Tangenten nach der Parallelogrammmethode von MI Nr. 30 Seite 33 unten.
c) Alle wesentliche Teile der Hyperbelkonstruktion liegen außerhalb des Turmes, können also handwerklich am Turm nicht realisiert werden.
S
d 1
2 3
4
5
6
7
10 8
11
12
13
Zu 3.3.14:
Zur Lösung der Aufgabe benötigt man Grund- und Aufriss. Mittelpunkte, Scheitel, Asymptoten und tiefste Punkte lassen sich unmittelbar im Grundriss ablesen und in den Aufriss übertragen. Weil T3 und T4 Umrissberührpunkte ihrer Hyperbeln sind, müssen die Kegelumrissmantellinien im Aufriss ihre Tangenten sein.
Die Krümmungskreise werden wie in der vorherigen Aufgabe konstruiert. Die Herleitung hierzu siehe bei der Lösung zu 3.3.17. Jede Konstruktion ist in der folgenden Zeichnung jeweils nur einmal ausgeführt.
Zeichnung zu 3.3.14:
Zu 3.3.15:
Man wählt das Koordinatensystem so, dass B(-a0) und F1(2a0) wird.
a) Ist ϕ der Dreieckswinkel bei B, also 2ϕ der bei F1, dann liegt P(xPyP) der Zeichnung auf zwei Geraden. Deshalb gilt:
yP = (xP + a) tan ϕ = (2a – xP) tan 2ϕ =
Setzt man dies in die erste Geradengleichung ein, so ergibt sich:
3(x a )
Hieraus bekommt man: 1
a
Dies ist die Gleichung der Hyperbel, deren Achsen die Koordinatenachsen sind mit a als reeller, a 3 als imaginärer Halbachsenlänge. Die Asymptoten schneiden die x-Achse unter 60o. B ist linker Scheitel und F1 rechter Brennpunkt.
b) Das Dreieck BF1P hat dann bei P einen Außenwinkel der Größe 3ϕ. Eine Parallele zur x-Achse teilt diesen in Teilwinkel ϕ und 2ϕ während der Innenwinkel bei P als Supplementwinkel 180o - 3ϕ beträgt.
Will man also einen beliebigen Winkel δ in drei gleich große Teile zerlegen, so muss man seinen Supplementwinkel so einpassen, dass dessen Schenkel durch B und F1 gehen, während sein Scheitel auf der Hyperbel liegt. Dieser Winkelscheitel ist also Schnittpunkt der Hyperbel mit einem Fasskreisbogen über BF1 für 180o - δ.
Die Aufgabe zeigt, dass Dinge, die mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar sind, konstruierbar werden, wenn zusätzliche Hilfsmittel – hier eine Hyperbel – benutzt werden können.
Zu 3.3.16:
Die Verschneidung ist eine Hyperbel, die bei der gewünschten Ansicht unverzerrt zu sehen ist:
Der Hyperbelmittelpunkt ist die Kegelspitze, die Asymptoten der Kegelumriss. Weil der halbe Öffnungswinkel 45o ist, handelt es sich um eine gleichseitige Hyperbel, d. h. a = b = der halben
Quaderdicke. Den höchsten Punkt der Hyperbel erhält 1 2
man durch Umklappen des Kegelabschlusskreises, die Tangenten dort aus der angegebenen Parallelogrammkonstruktion.
Zu 3.3.17:
Bei der angegebenen Wahl des Koordinatensystems hat die Hyperbel die Gleichung
( )
1b
Die Addition von (1) und (2) liefert für die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte:
a 0
Dividiert man durch
2
, was stets ungleich null ist, und klammert x aus, so erhält man hieraus:
a 0
Hierin liefert x = 0 stets den Berührpunkt im Ursprung, sowie x =
Schnittpunkte. Sollen auch diese in den Ursprung fallen, also auch hier x = 0 sein, so muss
r = a b2
sein, (4)
weil stets
2
+ ungleich null ist.
Wir erhalten also denselben Ausdruck wie im Hauptscheitel der Ellipse. Ist MA Hauptachse, AE Scheiteltangente und ME Asymptote einer Hyperbel, so liest man von den ähnlichen Dreiecken MAE und EAK ab:
r:b = b:a
Hieraus folgt (4). Also ist K der Scheitelkrümmungskreismittelpunkt.
Hinweis: Da auch die Dreiecke MAE und MEK ähnlich sind, liest man weiter ab:
a
Auch dies verhält sich so wie bei der Ellipse, nur dass dort e < a und hier bei der Hyperbel e > a ist.
Zu 3.3.18:
a) Da außer den Scheiteln auch deren Krümmungsmittelpunkte stets auf der Hauptachse der Hyperbel liegen, müssen die hier betrachteten Hyperbeln auch die Hauptachse gemeinsam haben.
b) Aus r =
c) Die Asymptoten des Hyperbelbüschels hüllen als Tangenten eine Parabel mit Scheitel A ein. Der Krümmungsmittelpunkt der Hyperbel ist Parabelbrennpunkt, da die Konstruktion aus Aufgabe 3.3.17 jeweils in die der Parabeltangente nach Satz 3.4.5. 2 aus MI Nr. 31 Seite 40 übergeht (vgl. Aufgabe 3.4.13).
x
Zu 3.4.1:
Zu 3.4.2
siehe bei 3.4.6.Zu 3.4.3
Der Punkt G von g, mit dem F bei der Faltung zusammenfällt, ist nach dem Zurückklappen das Spiegelbild von F an der Knicklinie t. Deshalb halbiert die Knicklinie den Winkel der Verbindungslinien jedes Punktes Q von t zu F und G, wobei QF = QG ist. Fällt Q nach P auf dem Lot zu g in G, so ist P Parabelpunkt zum Brennpunkt F und der Leitlinie g (Definition 3.4.1) und t ist nach Satz 3.4.5.1 die Tangente der Parabel in P.
Zu 3.4.4:
a) Die Konstruktion von Scheiteltangente, Subtangente, Tangente, Brennpunkt (Satz 3.4.5.2) ist jeweils eindeutig.
p
p
p
p d d
d d
1 1
2 2
3
4 3 4
Die Konstruktion wird nach der mittleren Abbildung in MI Nr. 31 Seite 40 ausgeführt:
Man zeichnet die Scheiteltangente und durch P eine Waagrechte. Beide treffen sich in einem Punkt, dessen Abstand zur Achse man halbiert und so H erhält. Nun kann die Tangente in P gezeichnet werden. Das Lot hierzu in H liefert dann den Brennpunkt F.
b) Die Leitlinie ist senkrechte Tangente (bei waagrechter Achse) an den Kreis um P durch F; es gibt also zwei Lösungen. Die restlichen Schritte sind eindeutig. Dieser Weg führt auch zur Konstruktion.
c) Der Brennpunkt ist Schnittpunkt der Brührkreise um P und Q an die Leitlinie. Je nach Lage von P und Q zur Leitlinie und zueinander gibt es zwei, eine oder keine Lösung. Die übrigen Schritte sind eindeutig. Die Konstruktion verläuft im weiteren z. B. nach b).
d) Die Leitlinie ist gemeinsame Tangente an die Kreise um P und Q durch F. Außer wenn P und Q mit F auf einer Geraden liegen sind dies schneidende Kreise. Es gibt also zwei solche Leitlinien. Die restlichen Schritte sind eindeutig. Die weitere Konstruktion geht analog c).
Liegt F auf PQ zwischen P und Q, so berühren sich die Kreise von außen und es gibt die beiden Lösungen
Liegt F auf PQ zwischen P und Q, so berühren sich die Kreise von außen und es gibt die beiden Lösungen