Adjungierte Operatoren und der Annihilator

In diesem Abschnitt seiXstets ein Banachraum undA:D(A)→Xeindicht definierter Operator, d.h.D(A)^X =X. Weiter bezeichneX^′ den Dualraum von X.

dfn:adjungierte Definition XI.23.

D(A^′) :={x^′∈X^′:∃y^′ ∈X^′ :hAx, x^′i=hx, y^′i, x∈D(A)} und

A^′x^′ :=y^′ f¨urx^′ ∈D(A^′).

A^′ heißt Adjungierte vonA.

Im Folgenden untersuchen wir den Zusammenhang zwischenRg A, Kern A,Rg A^′ und Kern A^′. Hierzu definieren wir f¨urM ⊂X:

M^⊥:={x^′ ∈X^′ :hx, x^′i= 0∀x∈M}. M^⊥ heißt Annihilator.

thm:annihilator1 Theorem XI.24. SeiM ⊆X und X reflexiv. Dann gilt:

(a) M^⊥ ist ein abgeschlossener Unterraum vonX^′ (b) (M^⊥)^⊥ =span(M)

(c) M ⊂N ⊂X⇒N^⊥⊂M^⊥. Beweis:.

(a) Sei x^′, y^′ ∈ M^⊥ und λ ∈ C. Dann gilt: hx, x^′+λy^′i = hx, x^′i+λhx, y^′i = 0 f¨ur x ∈ M, d.h. M^⊥ ist ein linearer Unterraum von X^′. Weiter sei (x^′_n) ⊂ M^⊥ und lim_n→∞x^′_n = x^′ f¨ur ein x^′ ∈ X^′. Dann gilt hx, x^′i = hx,lim_n→∞x^′_ni = limn→∞hx, x^′_ni= 0 f¨ur x∈X, d.h. M^⊥ ist abgeschlossen.

(b) Sei x ∈M. Wegen hx^′, ixi =hx, x^′i = 0 f¨ur x^′ ∈M^⊥, folgt M ⊂(M^⊥)^⊥. Wegen (a) gilt auch span(M) ⊂ (M^⊥)^⊥. Sei nun x₀ ∈/ span(M). Dann existiert nach Hahn-Banach ein x^′ ∈X^′ mit hx, x^′i = 0, x∈ span(M) aber hx₀, x^′i 6= 0. Damit folgt x^′ ∈M^⊥ und x0∈/ (M^⊥)^⊥.

(c) ( ¨UA).

thm:annihilator2 Theorem XI.25. Sei X reflexiv,D(A^′) dicht in X^′. Dann gilt (KerA)^⊥ = (RgA^′)

(RgA)^⊥ = KerA^′. Beweis:. Seiy^′∈Rg A^′. Dann folgt nach Definition

0 =hAx, x^′i=hx, A^′x^′i=hx, y^′i, x∈Ker A, d.h. Rg A^′ ⊂(Ker A)^⊥. Sei nunx∈(Rg A^′)^⊥. Dann folgt

0 =hA^′x^′, ixi=hx, A^′x^′i=hAx, x^′i, x^′ ∈D(A^′), d.h. Ax= 0 (beachte: D(A^′)^X

′

=X^′). Mit Theorem XI.24 folgt Rg A^′= (Rg A^′)^⊥⊥ ⊃(Kern A)^⊥. Insgesamt folgt Rg A^′ = (Kern A)^⊥. Der Rest ist ( ¨UA).

Beispiel XI.26.

(a) Sei p ∈ (1,∞), △p : W^2,p(Rⁿ) → L^p(Rⁿ). Dann gilt nach ¨UA Kern△p = {0}. Wegen △^′p =△p^′ ( ¨UA) folgt Rg△p^′ =L^p(Rⁿ) aus Theorem XI.25.

(b) Wir wissen bereits, dass (1− △p)W^2,p(Rⁿ) =L^p(Rⁿ), d.h. (1− △p) ist surjektiv f¨ur alle p∈ (1,∞). Sein nun u ∈Kern(1− △p^′). Mit partieller Integration folgt dann f¨ur ϕ:= (1− △p)⁻¹ψ

0 = ˆ

Rⁿ

((1− △)u)ϕ= ˆ

Rⁿ

u(1− △)ϕ= ˆ

Rⁿ

uψ, ψ∈L^p(Rⁿ).

In diesem Abschnitt sei stets p ∈ (1,∞). Weiter sei △p,Rⁿ : W^2,p(Rⁿ) → L^p(Rⁿ) der Laplace-Operator aufRⁿ. Wir sagen△p,Rn ist dieL^p-Realisierung des Laplace-Operators auf Rⁿ. Wir wissen bereits, dassσ(△p,Rⁿ)⊂(−∞,0] und

kR(λ,△p,Rⁿ)fkL^p(Rn)≤ c

|λ|kfkL^p(Rn) f¨urλ∈Σ_θ, θ ∈(0, π) gilt.

XII.1. Konsistenz

dfn:konsistenz Definition XII.1. Es seinen X₁, X₂ Banachr¨aume mit X_j ֒→ X f¨ur einen Haus-dorffraum X. Weiter seien A_j : D(A_j) → X_j Operatoren mit λ ∈ ρ(A₁)∩ρ(A₂) 6= ∅. R(λ, A1) und R(λ, A2) heißen konsistent, falls

R(λ, A₁)f =R(λ, A₂)f, f ∈X₁∩X₂.

Vorsicht: Aus R(λ, A₁) und R(λ, A₂) konsistent f¨ur ein λ ∈ ρ(A₁)∩ρ(A₂) folgt im Allgemeinen nicht, dass R(λ, A₁) undR(λ, A₂) konsistent f¨ur alle λ∈ρ(A₁)∩ρ(A₂).

Beispiel XII.2. R(λ,△p,Rⁿ), λ∈Σπ ist konsistent f¨urp∈(1,∞), da die Darstellungs-formel (entweder Fundamentall¨osung oder (λ+|ξ|²)⁻¹) gleich ist. Daher schreiben wir im Folgenden △^Rn.

XII.2. Der Laplace-Operator auf R

ⁿ₊

Wir definieren

△p,Rⁿ₊ :=

(W^2,p(Rⁿ₊)∩W₀^1,p(Rⁿ₊) →L^p(Rⁿ₊)

u 7→ △u

thm:laplace_halbraum Theorem XII.3. Seiθ∈(0, π). Dann gilt Σ_θ⊂ρ(△p,Rⁿ₊) und k∇^kR(λ,△p,Rⁿ

+)fkL^pRⁿ

+ ≤ c

|λ|^1−k2 kfkL^p(Rⁿ₊) f¨ur λ∈Σ_θ, f ∈L^p(Rⁿ₊) und k= 0,1,2.

Weiter sind R(λ,△p,Rⁿ

+) f¨ur alle p∈(1,∞) und λ∈Σ_θ konsistent.

Beweis:. ( ¨UA). Hinweis: Setze f geeignet auf Rⁿ fort und nutze das entsprechende Re-sultat auf Rⁿ.

XII.3. Der Laplaceoperator auf beschr¨ ankten Gebieten

Sei Ω⊂Rⁿ beschr¨ankt mit ∂Ω∈C². Wir definieren

△p,Ω:=

(W^2,p(Ω)∩W₀^1,p(Ω) →L^p(Ω)

u 7→ △u

thm:laplace_omega Theorem XII.4. F¨ur θ∈(0, π) existiert K ∈R, so dass

• Σ_θ+K ⊂ρ(△p,Ω)

• kR(λ,△p,Ω)fkL^p(Ω) ≤ _|λ−K|^c kfkL^p(Ω) f¨ur λ∈Σ_θ und f ∈L^p(Ω).

Die Operatoren R(λ,△p,Ω) sind f¨ur p∈(1,∞) und λ∈Σ_θ+K konsistent.

Proof. Wir wollen mit Lokalisierungstechniken alles auf den Fall Rⁿ₊ zur¨uckf¨uhren.

Schritt 1: Lokalisierung

Nach Voraussetzung existieren f¨urε < ε₀ undx₀∈∂Ω φ_x0,ε undϕ_x0,ε mit

• φ_x0,ε∈C²(B(x₀, ε))

• φ⁻¹_x0,ε∈C²(φ_x0,εB(x₀, ε))

• φ_x0,ε(x₀) = 0

• ∇ϕx0,ε(0) = 0.

o.B.d.A. ( ¨UA) gilt dies auch f¨urx₀ ∈Ω (mitϕ_x0,ε≡0,φ_x0,ε(x₀)6= 0). Zu festemǫ₀>0 und beliebigem aber festem ǫ ∈ (0, ǫ₀) w¨ahle induktiv x^ǫ₁, ..., x^ǫ_Nǫ, x^ǫ_Nǫ+1, ..., x^ǫ_Nǫ+Mǫ so dass

x^ǫ_j+1∈/ [j

i=1

B(x^ǫ_i, ǫ) f¨ur alle j und ∂Ω⊂

Nǫ

[

i=1

B(x^ǫ_i, ǫ) und Ω⊂

Nǫ[+Mǫ

i=1

B(x^ǫ_i, ǫ) beachte hierbei, dass∂Ω kompakt ist nach Annahme.

Behauptung: Es gibt eine KonstanteK(n), die nur von der Raumdimension abh¨angt so dass f¨ur alle ǫ∈(0, ǫ₀) und alle x∈Ω gilt

#{i∈ {1, ..., Nǫ+Mǫ} | x∈B(x^ǫ_i, ǫ)} ≤K(n)

Beweis: Seiǫ∈(0, ǫ₀) undi₀ ∈ {1, ..., N_ǫ+M_ǫ}. Dann gilt wegen|x^ǫ_i0−x^ǫ_i| ≥ǫf¨uri6=i₀ dass

B x^ǫ_i0,ǫ

2

∩B x^ǫ_i,ǫ

2

=∅

Weiter gilt f¨ur alle imitB(x^ǫ_i0, ǫ)∩B(x^ǫ_I, ǫ)6=∅ dass|x^ǫ_i0−x^ǫ_i| ≤2ǫ, d.h.

B(x^ǫ_i, ǫ)⊂B(x^ǫ_i0,4ǫ) Insbesondere gilt

#{i6=i₀ |B(x^ǫ_i, ǫ)∩B(x^ǫ_i0, ǫ)6=∅} ≤ |B(x^ǫ_i0,4ǫ)|

|B(x^ǫ_i0,^ǫ₂)| =:K(n)

W¨ahle nun zu (B(x^ǫ_i, ǫ))_{i=1,...,Nǫ+Mǫ} eine Zerlegung der Eins, (ψ_i,ǫ)_{i=1,...,Nǫ+Mǫ}. Wir schreiben auch Φi,ǫ:= Φxi,ǫund Ωi,ǫ= Ωxi,ǫ.

Schritt 2: Konstruktion der Resolvente. F¨urλ∈P

Θ setzen wir fˆ_i^ǫ(ˆx) :=

(f(Φ⁻¹_i,ǫ(ˆx)), xˆ∈Φ_i,ǫ(Ω_i,ǫ) =:Ωb_i,ǫ

0 sonst

[Notation: ˆ· heißt: · lebt auf dem Halbraum im transformierten Problem]. Auf dem Halbraum l¨osen wir mit Satz XII.3 und erhalten:

ˆ

u^ǫ_i :=R(λ,∆Rⁿ

+) ˆf_i^ǫ Wir definieren nun

U_i^ǫ(x) := (T_i,ǫuˆ^ǫ_i)(x) := ˆu_i,ǫ(Φ_i,ǫ(x)), x∈Ω_i,ǫ und R_λ^ǫ(x) :=PNǫ+Mǫ

i=1 ψ_i,ǫ·u^ǫ_i. Dann gilt:

(λ−∆)R^ǫ_λf = (λ−∆)

NXǫ+Mǫ

i=1

ψ_i,ǫu^ǫ_i

=

NǫX+Mǫ

i=1

ψ_i,ǫ(λ−∆)u^ǫ_i+ [ψ_i,ǫ,∆]u^ǫ_i. (XII.1) eq:tmpInProof Hierbei: [X, Y] =XY −Y X, also

[ψ_i,ǫ,∆]f =ψ_i,ǫ(∆f)−∆(ψ_i,ǫf)

=

ψi,ǫ(∆f)−(∆ψi,ǫ)f−2(∇ψi,ǫ|∇f)−ψi,ǫ(∆f)

=−(∆ψ_i,ǫ)f−2(∇ψ_i,ǫ|∇f).

Setzen wir also (XII.1) fort:

Nebenrechnung: Wir schreiben hier abk¨urzend ∂_kΦ_i,ǫ(x)∈Rⁿ als Spaltenvektor. Damit gilt:

Daher erhalten wir:

NXǫ+Mǫ

i=1

[T_i,ǫ,∆]u^ǫ_j

L^p(Ωi,ǫ)

≤

NǫX+Mǫ

i=1

k∇uˆ^ǫ_ik_L^p_(bΩi,ǫ)·

∇²φ_i,ǫ

L^∞(Rⁿ⁻¹)+

NǫX+Mǫ

i=1

∇²uˆ^ǫ_j

L^p(bΩi,ǫ)· ∇^′φ_i,ǫ

L^∞(Rⁿ⁻¹)

=:S_λ¹f +S_λ²f.

Weiter gilt

NXǫ+Mǫ

i=1

k[ψ_i,ǫ,∆]ˆu^ǫ_ik_L^p_(bΩi,ǫ)≤

NǫX+Mǫ

i=1

∇²ψ_i,ǫ

L^∞(Rⁿ⁻¹)+k∇ψkL^∞(Rⁿ⁻¹)

· ku^ǫ_jkW^1,p(Ωi,ǫ)

=:S_λ³f W¨ahle nun ( ¨UA)

(1) ǫ >0 klein so dass S_λ²f ≤1/4kfkL^p(Ω),f ∈L^p(Ω).

(2) λ₀ so groß, dass S_λ¹f +S_λ³f ≤1/4kfkL^p(Ω), λ∈Σ_λ0,θ,f ∈L^p(Ω).

Schritt 4: Wir wissen also bereits, dass eine Linksinverse existiert. Die Existenz einer Rechtsinversen folgt nun wie in Kapitel XI, Abschnitt 5 (L¨osbarkeit f¨ur die Adjungierte impliziert Eindeutigkeit).

Schritt 5: Nach Konstruktion folgt die Konsistenz und die Normabsch¨atzung f¨ur die Resolvente f¨urλausreichend groß.

enGebieten Bemerkung XII.5. Obiges Resultat l¨asst sich auf unbeschr¨ankte Gebiete mit

”gleichm¨aßigem“ C²-Rand fortsetzen (vgl. [Ada75, Abschnitt 4.6] f¨ur die Definition von

”gleichm¨aßig“).

XIII.1. Dunford-Funktionalkalk¨ ul

In diesem Abschnitt sei A stets ein beschr¨ankter linearer Operator und X ein Banach-raum.

dfn:dunfordDef Definition XIII.1. Sei Ω⊂Cein Gebiet mit σ(A)⊂⊂Ω und H(Ω) :={f : Ω7→C|f holomorph} Wir definieren dann f¨urh∈H(Ω):

h^b(A) := 1 2πi

ˆ

Γ

h(λ)R(λ, A)dλ

wobei Γ ein Weg ist der komplett in Ω enthalten ist und das Spektrum σ(A) einmal gegen den Uhrzeigersinn uml¨auft.

thm:dunfordProperties Theorem XIII.2. Es gilt

(a) f^b(A)g^b(A) = (f^bg^b)(A), f, g∈H(Ω).

thm:dunfordProperties:fg

(b) (λ^k)^b =A^k, k∈N₀. s:monomial

(c) kf^b(A)k ≤C_A,ΓkfkL^∞(Γ). eschraenkt

(d) (λ₀− ·)⁻¹b

(A) =R(λ₀, A).

resolvente

Insbesondere ist

Φ_a:

(H^∞(Ω)7→ L(X) f 7→f^b(A) ein beschr¨ankter Algebrenhomomorphismus.

Beweis:. (a) Es gilt f¨ur alle f, g∈H(Ω) (Cauchy): und damit die Behauptung.

(c) Klar. (d) und dem Satz von Cauchy folgt

1

Rest ist ¨UA.

expl:DunfordBeispiel Beispiel XIII.3. SeiAx:= −_n¹x_n

, x∈X =:ℓ²(N). Dann gilt (a) A∈ L(X), σ(A) =

−¹_n |n∈N ∪ {0}. (b) F¨ur f ∈H(Ω) mitσ(A)⊂⊂Ω gilt

f^b(A) =

(ℓ²7→ℓ²

(x_n)_n∈N7→ f −_n¹ x_n Beweis:. UA.¨

XIII.2. Sektorielle Operatoren

dfn:sektorielleOps Definition XIII.4.P (a) Aheißt sektoriell, falls esk∈R, ϑ∈(0, π) gibt so dass ̺(A)⊃

k,ϑ:=P

ϑ+k,D(A) = Rg(k−A) =X, ker(k−A) ={0} und außerdem kR(λ, A)kL(X) ≤ c

|λ−k| f¨ur alleλ∈P

k,ϑ.

In diesem Fall schreiben wirA∈S(Θ_S, k) mit Θ_S := supϑ. Θ_S heißt Sektorialit¨ats-winkel.

(b) Sei Θ∈(0, π) undk∈R. Wir definieren Ha((P

k,Θ)^c) :={f ∈ H0,β |f holomorph in einer Umgebung vonk} wobei

Hα,β((Σ_k,Θ)^c) :={f ∈ H((P

k,Θ)^c)| |f|^Θ,k_α,β <∞}

und

|f|^Θ,k_α,β := sup

|λ−k|≤1 λ∈(P

k,Θ)^c

|λ^αf(λ)|+ sup

|λ|≥2k λ∈(P

k,Θ)^c

|λ^−βf(λ)|

Von nun an setzen wir k = 0 und A : D(A) 7→ X sei ein sektorieller Operator. W¨ahle Θ< θ <Θ_S. F¨ur einen sektoriellen Operator definieren wir

f^a(A) := 1 2πi

ˆ

Γǫ

f(λ)R(λ, A) dλ, f ∈ Ha((P

0,Θ)^c), wobei

Γε:={re^±iθ, r≥ε} ∪ {εe^iϕ:ϕ∈(−θ, θ)}.

Hierbei ist ε > 0 so klein, dass f holomorph in B(0, ε) ist. Insbesondere l¨auft Γε im Holomorphiegebiet von f und der Resolvente von A.

rem:ersteBmrkZuSektoriell Bemerkung XIII.5. (a) Γǫ muss in Abh¨angigkeit von f gew¨ahlt werden.

(b) f^a(A) ist wohldefiniert nach Cauchy.

thm:secDunfordProperties Theorem XIII.6. (a) SeiA∈ L(X). Dann gilt

f^a(A) =f^b(A) , f ∈ Ha(P_c

0,Θ) holomorph f¨ur µ∈Ω mit

Beweis:. Nach Voraussetzung ist f(µ, A) wohldefiniert f¨ur alle µ ∈ Ω. Weiter gilt f¨ur

Nach Voraussetzung und dem Satz von Cauchy gilt f¨ur ε, δ >0 klein genug

Der Satz von Lebesgue liefert nun:

h−→0lim

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