Abklingkonstante:  max   max

Die exakte Lösung ist etwas aufwendiger:

Für die Maximalamplituden zweier aufeinander folgender Schwingungen gilt:

 

Tutorium Physik II VIII. Übungsblatt 25.05.2007 zur Vorlesung von Prof. Dr. Schrewe SS07

---VIII-1. Eine Holzkugel (Holz = 0,8 g cm^-3) mit Radius R schwingt um eine Drehachse, die

den Kugelrand berührt. Die Kugel werde um 15° ausgelenkt und die anschließenden Schwingungen beobachtet: Die Schwingungsdauer beträgt 0,5 s. Die

Auslenkungsamplitude nimmt nach zehn Schwingungen auf 5% der Ausgangsamplitude ab.

a. Berechnen Sie die Eigen(kreis)frequenz e der gedämpften Schwingung und die Abklingkonstante .

b. Berechnen Sie die Eigen(kreis)frequenz 0 und die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung.

c. Wie groß ist der Radius R der Kugel, wie groß ist die Kugelmasse?

d. Wie groß ist die anfängliche Energie Eges des Pendels?

e. Welchen Energieanteil verliert das Pendel pro Schwingung?

f. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Pendels beim ersten Nulldurchgang?

g. Welche Schwingungsdauer würde sich ergeben, wenn das Pendel als mathematisches Pendel betrachtet würde?

VIII-2. Es sollen zwei Pendel verglichen werden: Pendel 1 besteht aus einem (dünnem) Ring der Masse m1 mit Radius ^{R 1m}, der an einer Stange der Masse m_S 0,5m1 und der Länge R hängt. Pendel 2 ist ähnlich, besitzt aber statt des Ringes eine homogene Scheibe gleicher Masse. Drehpunkt ist jeweils das obere Ende der Stange. (Zur Vereinfachung berücksichtige man nicht die Radien der Pendelstangen und des Ringes).

Bestimmen Sie für beide Pendel:

a. Den Schwerpunkt S und den Abstand d zwischen Drehpunkt A und Schwerpunkt S .

b. Die Eigen(kreis)frequenz 0und die Schwingungsdauer T0 für eine ungedämpfte Schwingung.

c. Die Länge lR, die ein mathematisches Pendel mit der gleichen Schwingungsdauer hätte (lR wird als reduzierte Pendellänge bezeichnet).

d. Das Pendel 2 soll jetzt um den Drehpunkt A schwingen. A liegt auf der Linie, die durch A und S verläuft und der Abstand zwischen den Punkten A und A soll gleich der Länge lR sein. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer bezüglich des neuen Drehpunkts.

Lösungen:

VIII-1a.Eigen(kreis)frequenz: 2 2 ¹

12,566

VIII-1b.Eigen(kreis)frequenz und Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung:

2 2 2 2

0 _e 12,566 0,5991

     

VIII-1c. Physikalisches Pendel: ₀ m g d

  J

Kugelmasse: ^{4 3} 307

Kugel 3

VIII-1e. Energieabnahme:

   

0

0, 2618 12,5938 0,9278 1

4

VIII-1f. Mathm. Pendel: _0,m g g 14,89 ¹ VIII-2a.Abstand Drehachse-Schwerpunkt: ³ 1,5

d 2R m

VIII-2b.Eigen(kreis)frequenz: ₀ m g d

  J

Eigen(kreis)frequenz (Pendel 1): 0,1 ^{1 1}

2

Schwingungsdauer (Pendel 1): 0,1 0

Eigen(kreis)frequenz (Pendel 2): 0,2 ¹ 2

Schwingungsdauer (Pendel 2): 0,2 0

2 2,862

T  s

  

VIII-2c. Mathematisches Pendel mit gleicher Schwingungsdauer:

Eigen(kreis)frequenz: 0 R

g

  l

Red. Pendellänge (Pendel 1): ,1 2

Red. Pendellänge (Pendel 2): 0,2 2 ¹ 0

2,074

l g s



  

VIII-2d.Schwingung des Pendels 2 um A:

Abstand Drehachse-Schwerpunkt: ^{d }



^{2, 074m1,5m}



^0,574m

Massenträgheitsmoment von Pendel 2 (mit Scheibe) um A:

   

0,04167 1, 23885 0,00549 0,5 1,7860

S S

Eigen(kreis)frequenz (Pendel 2 bzgl. A):

1

Schwingungsdauer bzgl. A: 0 0

2 2,862

T  s

   Reversionspendel!

Tutorium Physik II IX. Übungsblatt 01.06.2007 zur von Prof. Dr. Schrewe SS07

---IX-1. Hängt man eine Masse von 300 g an eine spezielle Feder,

so verlängert sich diese um 6 cm.

a. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz 0 und die

Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung, wenn man ein Federpendel bestehend aus einer Masse von 150 g und der oben beschriebenen Feder verwendet?

(Hinweis: Verwenden Sie in diesem Fall g 9,81m s^2 und geben Sie das Ergebnis mit mindestens vier Stellen an)

b. Eine sehr genaue Messung der Schwingungsdauer ergibt den Wert von 0,3500 s. Wie groß ist die Abklingkonstante ?

c. Mit welcher Frequenz R muss die Aufhängung periodisch bewegt werden, um das Resonanzmaximum zu erhalten?

d. Wie groß muss das Maximum der periodisch erregenden Kraft sein, die bei der Resonanzfrequenz R eine Resonanzamplitude von 25 cm erzeugt??

e. Wie muss eine homogene dünne Stange der Länge ^{L5, 2cm} aufgehängt werden, damit sie als Schwerependel die gleiche Schwingungsdauer wie das Federpendel hat?

IX-2. Ein Drehpendel besteht aus einer Spiralfeder mit der Winkelrichtgröße

* 0,12

D  N m und einer zylindrischen Scheibe der Masse mS ^0,5kg mit Radius

s 0,15

R  m. Es wird durch das äußere Drehmoment M t

  

 ^{0, 2}Nm



^sin



at



angeregt und durch die äußere (Kreis-)Frequenz _a _R 3s^1 zur Resonanz gebracht.

a. Wie groß ist die Eigen(kreis-)frequenz ₀der ungedämpften Schwingung und wie groß ist die Abklingkonstante ?

b. Wie groß ist das Amplitudenmaximum bei der Resonanzbedingung?

IX-3. Beschreiben Sie erzwungene Schwingungen für unterschiedliche Dämpfungen:

a. Skizzieren Sie Resonanzkurven für vier Abklingkonstanten  mit

 

⁰

0  1 2 

b. Was passiert, wenn die Abklingkonstante ^{ }



^{1 2}



^0 ist? Begründung!

c. Skizzieren Sie den Winkel  der Phasenverschiebung als Funktion von  _{a 0}.

Lösungen:

IX-1a. Federkonstante: 2 ¹

0,3 9,81

Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung:

1

Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung:

0 0

2 0,347461

T  s

  IX-1b. Gemessene Schwingungsdauer: Te^0,3500s

Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung: 2 ¹

17,9520

18, 0831 17,9520 s 2,1735s

   ^  ^

IX-1c. Resonanzfrequenz: _R  ₀²2²  18,0831² 2 2,1735² s^1 17,8199 1

R s

  ^

Schwingungsdauer des Erregers: 2

0,3526

max 0,15 0, 25 18,08312 17,81992 2 2,1735 17,8199 2

Ferr  kg m     s^

  

²



²

max 0,15 0, 25 326,9985 317,5488 77, 4631 2

Ferr  kg m   s^

  

²



²

max 0,15 0, 25 9, 4497 77, 4631 2

Ferr  kg m  s^

max 0,15 0, 25 78, 0374 2 2,9264 Ferr  kg m s^  N

max 2,93

FErr  N

IX-1e. Gesucht ist ein Stangenpendel (entspricht einem physikalischen Pendel) mit der Eigenkreisfrequenz ₀ 18,0831s^1. Trägheitsmoment dünne Stange: ^{2 1 2}

ges 12

und somit ist der Wert der Wurzel gleich Null.

Lösung (eindeutig): 1 2 2

0

IX-2b. Maximalamplitude:

 

  ^{ }

 

Winkelbeschleunigung: 2 2 ²

0, 2 35,55

Tutorium Physik II X. Übungsblatt 08.06.2007 zur Vorlesungen von Prof. Dr. Schrewe SS07

---X1. Die Federung eines kleinen LKWs soll so ausgelegt sein, dass sich das Fahrzeug

bei voller Zuladung von 1000 kg um 10 cm senkt (Annahme: Alle vier Räder besitzen gleiche Dämpfung und werden bei der Beladung gleich belastet). Die Räder besitzen eine Masse von mR ⁵⁰kg und sollen so bedämpft sein, dass sie im aperiodischen Grenzfall schwingen.

a. Bestimmen Sie die Federkonstante und die Abklingkonstante.

b. Beim Überfahren eines Hindernisses schwingt eines der Räder 8 cm aus. Wie groß ist der entsprechende Kraftstoß, der auf diese Rad wirkt?

c. Mit welcher Amplitude würde das Rad bei gleichem Kraftstoß ausschwingen, wenn die Abklingkonstante nur 50% des Wertes für den aperiodischen Grenzfall hätte?

d. Auf einer Straße sollen Bodenwellen in regelmäßigen Abständen von ^l0,75m vorhanden sein. Nehmen Sie an, dass die Räder den Bodenwellen folgen und die Restmasse des Fahrzeugs ein Federpendel mit der Masse mS mges ⁴ mR und der aus den vier Radfedern gebildeten Gesamtfederkonstante darstellen. Bei welcher Geschwindigkeit sind die vertikalen Schwingungen des unbeladenen LKW (

ges 1700

m  kg) am größten?

e. Berechnen Sie die Resonanzüberhöhung.

Lösungen:

XI-1a. Gewichtskraft Zuladung: Fg m g ¹⁰⁰⁰kg g ¹⁰⁰⁰⁰N Kraft pro Rad: F_R 10000 / 4 2500N  N

Federkonstante eines Rades: 2500 ¹

0,1 25

XI-1b. Das Ausschwingen des Rades entspricht einer Schwingung mit den

Anfangsbedingungen ^{x t( 0) 0} und x t( 0)v0. Die Lösung wurde in der Vorlesung hergeleitet (siehe Formelsammlung):

Lösung aperiodischer Grenzfall: x t( )  x t e0 ^t

und: x t( )x e0 ^t 



1 t



Beim Erreichen des maximalen Ausschlags bei t T max ist die Geschwindigkeit gleich Null. Es gilt also: x t T(  max) 0 x e0 ^Tmax   



1  Tmax



Anfangsgeschwindigkeit: 0 ^{max max}

max

Impulsänderung des Rades: 50 4,86m 243

p m v kg N s

      s  Kraftstoß = Impulsänderung: ^{F  t}



^{Fdt p 243N s}

XI-1c. Wenn   0 ist, müssen die Schwingfalllösungen verwendet werden. Die Lösungen für ^{x t( )} und ^{x t}^{( )} für die Anfangsbedingungen ^{x t( 0) 0} und

( 0) 0

x t  v wurden in der Vorlesung hergeleitet (siehe Formelsammlung).

Amplitudenfunktion: ^{( ) 0 t sin}



e



Nullstelle der Geschwindigkeitsfunktion bei Tmax:

   



max



²

( max) 0, 25098 0,546297 0,866019 0,1187 11,9

x T  m   m cm

XI-1d. Da die vier Radfedern parallel wirken, werden die Federkonstanten addiert.

1 1

Auch Wirkung der Dämpfungselemente ist additiv: Ein einzelner Dämpfer erzeugt an einem Rad mit der Masse m_R 50kg die Reibungskraft:

1

FR   b v

Die Abklingkonstante ist: ¹ 22,36 ¹ 2 _R

Auf das schwingende Fahrzeug wirken vier Dämpfungselemente. Die Reibungskräfte addieren sich: F_{R ges},  4 F_R      4 b v1 b_gesv

ges 8944 b kg

 s

Abklingkonstante des schwingenden Fahrzeugs:

1 1

Geschwindigkeit des Fahrzeugs, bei der die Resonanzfrequenz durch Bodenwellen

ist die Amplitude: ^max 2 2 4

4 0 4

Im Dokument Tutorium Physik II I. Übungsblatt 23.03.2007 (Seite 29-41)