1.2 Reduktionssystem bezüglich einer Algebra
1.2.3 Überschneidungen
Zu jedem Reduktionsweg inRgibt es einen Reduktionsweg inR.e
Beweis: [Lemma 1.2.16] Direkt aus der Definition 1.2.13 folgt, dass jede Regel ausR sich durch eine Regel aus Rel und mehrere Regeln ausRel schreiben lässt. Also lässtf sich auch jeder Weg inRin einen (eventuell längeren) Weg inReübersetzen.
Satz 1.2.17 (Konvergenz)
SeiRe konvergent, dann ist auchRkonvergent . Beweis: [Satz 1.2.17]
SeiRe noethersch. Wegen Lemma 1.2.16 lässt sich jede Reduktionsregel inRin eine Reduktionsregel aus Rel und mehrere Reduktionsregeln ausRel übersetzen. Ein Re-f duktionsweg
R// inFkann demnach in einen längeren Reduktionsweg
e R
// in
Feüberführt werden. Wenn dieser längere Reduktionsweg endlich ist, dann ist es auch der inF. Also istRnoethersch. Daraus folgt: Jedesf ∈ F hat wenigstens eine Nor-malform bezüglichR.
Für die Konfluenz betrachten wir folgenden Widerspruchsbeweis:
Sei nunRnicht konfluent, dann gibt es einf ∈ F mit zwei verschiedenen Normal-formenz1 undz2 bezüglichR. Es gibt also zwei Reduktionswege:f R// z1 und f R// z2. Zu diesen Reduktionswegen inRkönnen wir mit 1.2.16 Reduktionswe-ge inRe finden. Nun sindz1 undz1 nach 1.2.14 unreduzierbar bezüglich R. Dies iste ein Widerspruch zur Konfluenz vonR.e
Bemerkung 1.2.18 (Induzierter Reduktionsweg)
Seig1
e R
// g2ein Reduktionsweg in eRfür Elemente aus dem Rig eF, dann ist auch ag1b+0q
Re
// ag2b+0q
ein Reduktionsweg, wobeia, b, qbeliebige Elemente aus dem RigFesein können.
1.2.3 Überschneidungen
Im letzten Abschnitt hatten wir gesehen, dass es reicht die Konvergenz vonRe zu zei-gen um die Konverzei-genz vonRzu beweisen. Jedoch ist es viel Arbeit alle möglichen
Reduktionswege von jedem Element ausFezu überprüfen. Daher wollen wir nun zei-gen, dass es für den Beweis der Konfluenz ausreicht sich auf eine Teilmenge zu be-schränken. Wie auch in den vorhergehenden Abschnitten seien R undRe durch ein Wortersetzungssystemrinduziert.
Definition 1.2.19 (Überschneidung(w, V,V¯))
Eine Überschneidung (w, V,V¯) ist ein Monomw ∈ F, zusammen mit zwei unter-e schiedlichen ReduzierungsregelnV = (x, y),V¯ = (¯x,y)¯ ∈ r, so dass esp,p, s,¯ ¯s∈ Mundλ,λ¯∈K∗ undq,q¯∈Fegibt mit:
w=λpxs+0q= ¯λ¯p¯x¯s+0q.¯ Bemerkung 1.2.20 (leeres Monom)
Die Präfixep,p¯und die Suffixes,s¯können auch das leere Wort sein.
Manche Überschneidungen lassen sich durch kürzere ersetzen. Betrachtet man zum Beispiel die Überschneidung px = ¯px, dann beginnen die Monome¯ p,p¯gleich, sie lassen sich also zerlegen in p = q ·p1 und p¯ = q ·p¯1, wobei p1 oder p¯1 leer ist.
Ähnliches gilt für Suffixe. Daher ist folgende Definition nahe liegend.
Definition 1.2.21 (minimale Überschneidung, kritisches Paar)
Eine minimale Überschneidung (w, V,V¯) ist ein Monom w ∈ M, zusammen mit zwei unterschiedlichen Reduzierungsregeln V = (x, y),V¯ = (¯x,y)¯ ∈ r, so dass es p, s∈ Mgibt mit:
w=px= ¯xs oder w=pxs= ¯x.
Eine minimale Überschneidung besteht also maximal aus einem Präfix und einem Suf-fix. Manchmal sagen wir zu einer minimalen Überschneidung auch kritisches Paar.
Definition 1.2.22 (zusammenführbar, behebbar)
Eine minimale Überschneidung(w, V1,V¯1)heißt zusammenführbar oder behebbar be-züglich R bzw. R, wenn es eine z ∈ F bzw. ∈ Fe zusammen mit zwei endlichen Reduktionswegen(Vi)i=1...n und( ¯Vi)i=1...¯ninRbzw.Regibt, die im selben Element zenden und es somit Wege gibt, die die beiden Regeln wieder zusammenführen.
Definition 1.2.23 (vollständig)
Ein Ersetzungssystem r heißt vollständig bezüglich R bzw. R, falls jede minimalee Überschneidung mit Reduktionsregeln ausRbzw.Rebehebbar ist.
Satz 1.2.24 (rvollständig⇒Relokal konfluent)
SeiRenoethersch. Fallsrvollständig bezüglichRe ist, dann gilt:
Reist lokal konfluent.
Beweis: [Satz 1.2.24] Seien alle minimalen Überschneidungen ausrbehebbar.
Es muss gezeigt werden, dass es zu jedemg1 ∈Fe, zu dem es inRe zwei verschiedene Reduktionsregelng1
e R
// g2
e R
// ¯g2 gibt, zwei Reduktionswege g2
e R
// . . .
e R
//
¯ g2
e R
// . . .
e R
// z
gibt, die im gleichenzenden.
Die Reihenfolge der Summanden spielt keine Rolle. Deshalb schreiben wir die zu betrachtenden Summanden immer an den Anfang. Sei(x, y)eine Reduktionsregel aus r. Für die Reduktionsregel in Rel schreiben wir dann:
pxs+0q
Re
// p(y)s+0q.
Sei(¯x,y)¯ eine weitere Reduktionsregel ausr.
Wir müssen folgende Arten von Überschneidungen betrachten:
• Beginnend mit Reduktionsregeln jeweils ausRel:f
Eine Reduktionsregel ausRel überführt einf +0in die übliche Addition. Die Rei-henfolge, in der Reduktionsregeln ausRel angewendet werden, spielt also keinef Rolle.
• Beginnend mit einer Reduktionsregel ausRel und einer aus Rel:f
Wir weisen für die unterschiedlichen Fälle nach, dass sie zum gleichen Element reduziert werden können.
Fall „Getrennt“: Seig1 =λpxs+0µ¯x+0µ¯¯x+0q.
Hier betrachten wir:
λpxs+0µ¯x+0µ¯¯x+0q Relf
// λpxs+0(µ+ ¯µ)¯x+0q
Rel// λp(y)s+0µ¯x+0µ¯¯x+0q. (1.11) Diese Elemente lassen sich mit Regeln aus Rel bzw.Rel weiter reduzieren zuf jeweilsλp(y)s+0(µ+ ¯µ)¯x+0q.
Fall „Inverses“: Seig1 =λpxs+0(−λpxs) +0q. Hier betrachten wir:
λpxs+0(−λpxs) +0q Relf
// q
Rel// λp(y)s+0(−λpxs) +0q. (1.12) Der untere Teil lässt sich mit Regeln aus Rel weiter reduzieren zu λp(y)s+0 (−λp(y)s) +0qund dann mit Regeln ausRel zuf qreduzieren.
Fall „Überlagert“: Seig1=λpxs+0µpxs+0q. Hier betrachten wir:
λpxs+0µpxs+0q Relf
// (λ+µ)pxs+0q
Rel// λp(y)s+0µpxs+0q, (1.13) da gilt:
(λ+µ)x
e R
//
λ(y) +0µ(x)
e R
// (λ+µ)(y) (1.14) und wegen Bemerkung 1.2.18 lässt sich diese Überschneidung zum selben Ele-ment zusammenführen.
• Beginnend mit zwei Reduktionsregeln aus Rel:
Fall „Getrennt“: Seig1=λpxs+0µ¯px¯¯s+0q.
Hier betrachten wir:
λpxs+0µp¯x¯¯s+0q Rel
// λp(y)s+0µ¯p¯x¯s+0q
Rel// λpxs+0µ¯p(¯y)¯s+0q, (1.15) da gilt:
λ(y) +0µ¯x
Rel//
λx+0µ(¯y)
Rel// λ(y) +0µ(¯y) (1.16) und wegen Bemerkung 1.2.18 lässt sich diese Überschneidung zum selben Ele-ment zusammenführen.
Fall: „Überschneidung“: Seig1 =λpxs¯x¯s+0q.
Hier betrachten wir:
λpxs¯x¯s+0q Rel
// λp(y)s¯x¯s+0q
Rel// λpxs(¯y)¯s+0q, (1.17) da gilt:
(y)s¯x
Rel//
xs(¯y)
Rel// ys(¯y) (1.18)
und wegen Bemerkung 1.2.18 lässt sich diese Überschneidung zum selben Ele-ment zusammenführen.
Dies waren die Fälle, die unabhängig davon sind, ob die minimalen Überschneidungen inrbehebbar sind. Sei nun jede minimale Überschneidung ausrmit Regeln ausR be-hebbar. Mit Satz 1.2.16 gibt es dann auch einen Reduktionsweg inR, der die minimalee Überschneidung behebt. Sei(x, y),(¯x,y)¯ ∈r. Wir betrachten noch folgende Fälle:
• minimale Teilüberschneidung: Seif =px= ¯xs.
Hier betrachten wir:
λpxb+0q Rel
// λp(y)b+0q
Rel// λa(¯y)sb+0q, (1.19) da nach Voraussetzung
f Rel
// λp(y)
Rel// λ(¯y)s behebbar ist (1.20) und wegen Bemerkung 1.2.18 lässt sich diese Überschneidung zum selben Ele-ment zusammenführen.
• minimale Totalüberschneidung: Seif =pxs= ¯x.
Hier betrachten wir:
λapxsb+0q Rel
// λap(y)sb+0q
Rel// λa(¯y)b+0q, (1.21) da nach Voraussetzung:
f Rel
// λp(y)s
Rel// λ(¯y) behebbar ist (1.22) und wegen Bemerkung 1.2.18 lässt sich diese Überschneidung zum selben Ele-ment zusammenführen.
Wir haben nun nachgewiesen, dass sich das Element für alle Überschneidungen, egal mit welcher Regel begonnen wird, auf dasselbe Element reduzieren lässt.