Invertierbare lineare stetige Abbildungen
Existenz und Stetigkeit der inversen Abbildung. Seien .V;k kV/und.W;k kW/ lineare normierte Räume über demselben KörperKundT W V !W eine surjektive lineare Abbildung vonV aufW, für die eine Konstanteı > 0existiert, so daß
kT ukW ıkukV für alleu 2V gilt:
Dann istT WV $W bijektiv, und es giltT 1 2L.WIV /.
Beweis. Wegen der Surjektivität vonT WV ! W gibt es zu jedemw 2 W einv 2 V mitT v Dw. Istu 2V ein weiteres Element mitT uDw, dann giltT .u v/ D0und somitıku vkV kT .u v/kW D0, das heißt,u Dv. Daraus folgt die Injektivität vonT WV !W und folglich die Existenz der inversen AbbildungT 1 WW $V, die somit ebenfalls linear ist. Aus der Abschätzung
kT 1wkV 1ıkT T 1wkW D 1ıkwkW für jedesw 2W
folgt die Stetigkeit vonT 1 2L.WIV /undkT 1k 1ı. Störung linearer Homöomorphismen. Seien .V;k kV/ und .W;k kW/ Banach- Räume über demselben Körper K und die ungestörte Abbildung T0 W V $ W ein linearer Homöomorphismus vonV aufW, das heißt, eine bijektive Abbildung vonV aufW mitT0 2L.VIW /undT0 1 2L.WIV /. Erfüllt dieStörungA2L.VIW /die BedingungkAkkT0 1k < 1, dann ist die gestörteAbbildung T D T0 CA W V $ W ein linearer Homöomorphismus vonV aufW, und es gelten die Abschätzungen
kT 1k kT0 1k
1 kT0 1Ak kT0 1k 1 kT0 1kkAk; kT 1 T0 1k kT0 1kkT0 1Ak
1 kT01Ak kT0 1k2kAk 1 kT0 1kkAk: Beweis. 1. Man betrachtet zunächst die Abbildung
T0 1T DT01.T0CA/DIV CT01A2L.VIV /:
Da die BedingungkT0 1Ak kT0 1kkAk < 1erfüllt ist, folgt aufgrund der Konver- genz der Neumann-Reihe, daßIV CT0 1A2 L.VIV /bijektiv ist und die Inverse
.IV CT0 1A/ 1 DP1
`D0. T0 1A/` 2 L.VIV / besitzt. WegenkT01Ak< 1folgt für deren Norm die Abschätzung
k.IV CT0 1A/ 1k P1
`D0kT0 1Ak`D 1
1 kT0 1Ak 1
1 kT0 1kkAk aufgrund der Eigenschaften der geometrischen Reihe.
2. Da.IV CT0 1A/ 12 L.VIV /die Inverse von
IV CT0 1ADT0 1.T0CA/DT0 1T 2L.VIV /
ist, gelten die beiden Beziehungen
.IV CT0 1A/ 1T0 1T DIV und T0 1T .IV CT0 1A/ 1 DIV:
Aus der letzten Identität folgt durch Verkettung mit T0 2 L.VIW / von links und anschließend mitT0 1 2L.WIV /von rechts die Beziehung
T .IV CT0 1A/ 1 DT0 sowie T .IV CT0 1A/ 1T0 1 DIW: Damit ist.IV CT0 1A/ 1T0 1 2L.WIV /die Inverse vonT 2L.VIW /, also
T 1 D.IV CT0 1A/ 1T0 12 L.WIV /:
Nach Schritt 1 folgt daraus für deren Norm die Abschätzung
kT 1k k.IV CT0 1A/ 1kkT0 1k kT0 1k
1 kT0 1Ak kT01k 1 kT0 1kkAk:
3. Außerdem bekommt man wegen Schritt 1 auch .IV CT0 1A/ 1 IV DP1
`D1. T01A/` 2L.VIV / und somit aufgrund vonkT01Ak< 1die Beziehung
k.IV CT01A/ 1 IVk P1
`D1kT0 1Ak` D kT0 1Ak
1 kT0 1Ak kT0 1kkAk 1 kT0 1kkAk:
Schließlich folgt aus Schritt 2
T 1 T0 1 D .IV CT0 1A/ 1 IV
T0 12 L.WIV / und demnach die Normabschätzung
kT 1 T01k k.IV CT0 1A/ 1 IVkkT0 1k kT0 1kkT01Ak
1 kT0 1Ak kT0 1k2kAk 1 kT0 1kkAk für die Differenz der Inversen der gestörten und der ungestörten Abbildung.
Hilfssatz. Seien.V;k kV/ein Banach-Raum, ferner.W;k kW/ein linearer normier- ter Raum über demselben KörperKsowieT WV !W eine lineare Abbildung. Stellt man den Banach-RaumV als VereinigungV D [m2NEmnichtleerer Mengen
Em D˚
u 2V W kT ukW mkukV fürm2N
dar, dann gibt es wenigstens einen Indexm 2N, so daßEmdicht inV ist.
Beweis. 1. Nach dem Kategoriensatz von Baire kann der Banach-Raum .V;k kV/ keineabzählbare Vereinigung nirgends dichter Teilmengen von V sein. Es gibt also einen Index ` 2 N und eine in V offene Kugel B.v0; r/ mit r > 0, so daß E` in B.v0; r/ dicht ist. Wegen der Offenheit von B.v0; r/in V ist auch der Durchschnitt E`\B.v0; r/inB.v0; r/dicht.
2. Sei K.u0; ı/ B.v0; r/eine inV abgeschlossene Kugel mit u0 2E` undı > 0, ferneru 2 V mitkukV D ıbeliebig fixiert. Wegenu0Cu 2 K.u0; ı/ clE` gibt es eine konvergente Folgefvkgk2N E`\B.u0; ı/mit
klim!1kvk .u0Cu/kV D0 und ı kvk u0kV 12kukV D ı2 für allek2 N:
3. Wegenfvkgk2N E` undu02 E`gilt
kT .vk u0/kW kT vkkW C kT u0kW `.kvkkV C ku0kV/ für jedesk2 N:
Deshalb folgt auskvkkV kvk u0kV C ku0kV ıC ku0kV und Schritt 2 kT .vk u0/kW `.ıC2ku0kV/ 2ı`.ıC2ku0kV/kvk u0kV:
Wählt man einen Indexm 2N mitm 2ı`.ıC2ku0kV/2`, dann erhält man kT .vk u0/kW mkvk u0kV für allek2 N:
Somit existiert eine Folgefvk u0gk2N Emmit limk!1k.vk u0/ ukV D0.
4. Seiu 2 V,u ¤ 0beliebig fixiert. Dann giltk QvkV D ı fürvQ D kuıkVu 2 V, und wegen Schritt 3 existiert eine konvergente Folgef Qvkgk2N Em mit der Eigenschaft limk!1k Qvk vkQ V D0. Definiert man die Folgefukgk2N V durchuk D 1ıkukVvQk
fürk2N, dann gilt
kuk ukV 1ıkukVk Qvk vkQ V für allek2 N und somit limk!1kuk ukV D0. Da man außerdem auch
kT ukkW 1ıkukVkTvQkkW 1ıkukV mk QvkkW DmkukkW für jedesk 2N erhält, folgt schließlichfukgk2N Emund somit die Dichtheit vonEminV. Inversensatz von Banach. Seien .V;k kV/ und .W;k kW/ Banach-Räume über demselben Körper K sowie T W V $ W eine bijektive lineare Abbildung. Dann folgt ausT 2L.VIW /stetsT 1 2L.WIV /.
Beweis. 1. Aufgrund des Hilfssatzes gibt es für den Banach-Raum .W;k kW/ eine Darstellung als VereinigungW D [m2NEmvon Teilmengen
EmD˚
w2 W W kT 1wkV mkwkW fürm2 N;
so daß wenigstens ein Indexm 2N existiert, für denEminW dicht ist.
2. Seiw 2W beliebig fixiert undkwkW Dı0. DaEm\K.0; ı/inK.0; ı/dicht ist, kann man einw1 2Emwählen, so daß
kw w1kW ı2 und kw1kW ı gilt:
Unter der induktiven Voraussetzung, daß man schon Elementefw1; : : : ; wkg Em
gefunden hat, für die w Pk
`D1w`
W 2 kı und kwkkW 2 kC1ı gilt;
kann man wegen der Dichtheit vonEm\K.0; 2 kı/ inK.0; 2 kı/ einwkC1 2 Em
auswählen, so daß
w Pk
`D1w`
wkC1
W 2 k 1ı und kwkC1kW 2 kı gilt:
Somit konvergiert die Reihe˚Pk
`D1w` k2N Emderk-ten Partialsummen der Folge fw`g`2N EminW gegen den Grenzwertw 2 W.
3. Bildet man die Folgefu`g`2N V der Urbilderu` D T 1w` 2 V für` 2N, so gilt wegenfw`g`2N Emund Schritt 2 zunächst
ku`kV D kT 1w`kV mkw`kW 2 `C1mı für jedes` 2N: Da daraus für allek,n2N die Abschätzung
PkCn
`D1 u` Pn
`D1u`
V D
PkCn
`DkC1u`
V PkCn
`DkC1ku`kV 2 kC1mı folgt, konvergiert die Reihe ˚Pk
`D1u` k2N V nach dem Cauchy-Kriterium im Banach-Raum.V;k kV/gegen einen Grenzwertu DP1
`D1u` 2V. 4. WegenT 2 L.VIW /kann man in der Identität
T Pk
`D1u`
DPk
`D1T u` DPk
`D1w` für allek 2N
den Grenzübergangk! 1ausführen und erhältT uDw und wegen Schritt 3 auch kT 1wkW D kukV D
P1
`D1u`
V P1
`D1ku`kV P1
`D12 `C1mıD2mkwkV; alsoT 1 2L.WIV /, daw 2W anfangs beliebig gewählt wurde.
Schauder-Basen. Sei.V;k kV/ein unendlichdimensionaler Banach-Raum überK.
1. Eine Folgefu`g`2N V wirdSchauder-Basisvon.V;k k/genannt, wenn es für jedesu2 V eine eindeutig bestimmte Folgev D f˛`g`2N Kvon Koordinaten gibt, so daß die Reihe˚Pk
`D1˛`u` k2N inV gegenu 2V konvergiert.
2. Jede Schauder-Basisfu`g`2N in.V;k kV/ist eine totale Folge.
3. Seifu`g`2N eine Schauder-Basis in.V;k kV/. Der lineare RaumW aller Folgen w D fˇ`g`2N K, für welche die Reihe˚Pk
`D1ˇ`u` k2N inV konvergiert, wird zu einem Banach-Raum.W;k kW/, wenn er mit folgender Norm ausgestattet wird:
kwkW Dsupk2N
Pk
`D1ˇ`u`
V fürw D fˇ`g`2N 2 W :
Beweis. 1. Es ist leicht einzusehen, daß.W;k kW/ein linearer normierter Raum ist.
2. Zum Beweis der Vollständigkeit seien eine Cauchy-Folgefwmgm2N in.W;k kW/ mit den Gliedernwm D fˇm`g`2N 2 W sowie " > 0vorgegeben. Dann existiert ein Indexm02 N, so daß für allem,n2N,m m0undk2 N die Abschätzung
Pk
`D1.ˇn` ˇm`/u`
V supk2N
Pk
`D1.ˇn` ˇm`/u`
V D kwn wmkW 4"
gilt, woraus sich unmittelbar k.ˇnk ˇmk/ukkV D
Pk
`D1.ˇn` ˇm`/u` Pk 1
`D1.ˇn` ˇm`/u`
V
Pk
`D1.ˇn` ˇm`/u`
V C
Pk 1
`D1.ˇn` ˇm`/u`
V "2 und somit jˇnk ˇmkj 2ku"kkV für alle m, n 2 N, m m0 und k 2 N ergibt.
Daraus folgt die Konvergenz der Folgefˇnkgn2N Kder k-ten Folgeglieder gegen einen Grenzwertˇk 2Kfür jedesk2N. Der Grenzübergangn! 1liefert
Pk
`D1.ˇ` ˇm`/u`
V "4 für allem2N,m m0undk2 N und somit auch
PkCj
`D1 ˇ`u` Pk
`D1ˇ`u`
V
PkCj
`D1 ˇm0`u` Pk
`D1ˇm0`u`
V C2"
für allek,j 2N. 3. Da die Reihe˚Pk
`D1ˇm0`u` k2N wegen wm0 2 W inV konvergiert, gibt es ein k0 2N, so daß
PkCj
`D1 ˇm0`u` Pk
`D1ˇm0`u`
V 2"
für allek,j 2N,kk0gilt, woraus sich
PkCj
`D1 ˇ`u` Pk
`D1ˇ`u`
V " für allek,j 2 N,kk0
ergibt. Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert die Reihe ˚Pk
`D1ˇ`u` k2N V im Banach-Raum.V;k kV/, das heißt, die Folge w D fˇ`g`2N K gehört zu W. Außerdem erhält man nach Schritt 2 auch
kwm wkW Dsupk2N
Pk
`D1.ˇ` ˇm`/u`
V "4 für allem2N,m m0
und somit die Vollständigkeit von.W;k kW/.
Duale Basen. Sei.V;k kV/ein unendlichdimensionaler Banach-Raum überK mit einer Schauder-Basisfu`g`2N V.
1. Durch die Zuordnung fˇ`g`2N 2 W 7! P1
`D1ˇ`u` 2 V wird eine lineare Ab- bildung A W W ! V definiert. Da umgekehrt jedemu 2 V wegen der eindeutigen Darstellungu D P1
`D1˛`u` genau eine Folgew D f˛`g`2N 2 W mitAw D u ent- spricht, istAWW $V eine bijektive lineare Abbildung. Außerdem gilt
kAwkV D
P1
`D1˛`u`
V supk2N
Pk
`D1˛`u`
V D kwkW für allew2 W ; alsoA2L.WIV /. Der Inversensatz von Banach liefert somit auchA 1 2L.VIW /.
2. Für jeden Indexk2N wird durch die Vorschrift hfk; ui D˛k für alleuDP1
`D1˛`u` 2V ;
ein lineares stetiges Funktionalfk 2L.VIK/definiert. Es gelten einerseits hfk; u`i Dık` für allek,`2N
und andererseits für alleu2 V undf 2L.VIK/die Darstellungen uDP1
`D1hf`; uiu` sowie hf; ui DP1
`D1hf`; uihf; u`i:
Die durch diese Eigenschaften eindeutig bestimmte Folgeffkgk2N L.VIK/wird die zur Schauder-Basisfu`g`2N vonV duale BasisvonL.VIK/genannt.
Beweis. 1. Offenbar wird wegen der Linearität vonA 1 2 L.VIW /durch die obige Vorschrift für jedesk 2N ein lineares Funktionalfk WV !Kdefiniert.
Für jedesk2N unduDP1
`D1˛`u` 2V erhält man außerdem jhfk; uij D j˛kj D k˛kukkV
kukkV
D 1 kukkV
Pk
`D1˛`u` Pk 1
`D1˛`u`
V
und somit wegen der Stetigkeit vonA 12 L.VIW /die Abschätzung jhfk; uij 2
kukkV supm2N
Pm
`D1˛`u`
V 2kA 1ukW
kukkV 2kA 1k kukkV kukV; woraus sichffkgk2N L.VIK/ergibt.
2. Aus der Definition vonffkgk2N L.VIK/folgt sofort die Eigenschaft hfk; u`i Dık` für allek,`2N
sowie die Darstellungu DP1
`D1hf`; uiu`für jedesu 2V. Aus der Identität
˝f;Pm
`D1hf`; uiu`
˛DPm
`D1hf`; uihf; u`i für jedesf 2L.VIK/undm2N; und der Konvergenz der Reihe˚Pm
`D1hf`; uiu` m2N gegenu D P1
`D1hf`; uiu` inV ergibt sich wegenf 2L.VIK/die Darstellung
hf; ui DP1
`D1hf`; uihf; u`i für allef 2L.VIK/undu2 V : 3. Seifgkgk2N L.VIK/eine weitere Folge mit der Eigenschaft
hgk; u`i Dık` für allek,` 2N; fernerk 2N sowieuDP1
`D1ˇ`u` 2V beliebig fixiert. Dann gilt die Beziehung
˝fk gk;Pm
`D1ˇ`u`
˛DPm
`D1ˇ`hfk gk; u`i D0 für allem2 N:
Wegen der Konvergenz limm!1
Pm
`D1ˇ`u` u
V D0undfk gk 2 L.VIK/folgt daraushfk gk; ui D0für alleu 2V, alsofk Dgk 2L.VIK/für jedesk 2N.
