Baudynamik. Vorlesung 6 Schwingungen von Fußgängerbrücken Dr.-Ing. Matthias Rohde

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Baudynamik

Vorlesung 6

Schwingungen von Fußgängerbrücken

Dr.-Ing. Matthias Rohde

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4 Fußgängerbrücken

4.1 Allgemeines

Die Berechnung wird anhand des Leitfaden für die Bemessung von Fußgängerbrücken durchgeführt.

Empfehlenswert :

http://www.stb.rwth-aachen.de/projekte/2007/HIVOSS/docs/Footbridge_Guidelines_DE03.pdf

Nach dieser Veröffentlichung wird diese Herleitung beschrieben.

Video: https://vimeo.com/35566104

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4 Fußgängerbrücken

Baudynamik Einführung Vorlesung 6 3

4.1.1 Millenium Footbridge, UK Gateshead 105 m Spannweite, 45 m Höhe des Bogens

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4 Fußgängerbrücken

https://www.youtube.com/watch?v=wvJAgrUBF4w https://www.youtube.com/watch?v=gk16C5Zgv4w https://www.youtube.com/watch?v=eAXVa__XWZ8 https://www.youtube.com/watch?v=Y4SPPGSXJHI https://www.youtube.com/watch?v=uWoiMMLIvco https://www.youtube.com/watch?v=BE827gwnnk4

https://www.youtube.com/watch?v=iyw4AcZuj5k

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4 Fußgängerbrücken

Passerelle Punt da Suransuns, 40 m Spannweite, Graubünden, Schweiz

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4 Fußgängerbrücken

Passerelle Punt da Suransuns, 40 m Spannweite, Graubünden, Schweiz

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4 Fußgängerbrücken

Simone de Beauvoir, Ile de Paris 2006

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4 Fußgängerbrücken

Granite Footbridge, La Defense

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4 Fußgängerbrücken

Granite Footbridge, La Defense

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4 Fußgängerbrücken

Holzbrücke in Kanada, 20 m Spannweite, 62 Jahre alt

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4 Fußgängerbrücken

Irgendwo in den Bergen

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4 Fußgängerbrücken

Vorgespannter Granit

Druckfestigkeit 210 N/mm², Dichte: 2,7 t/m³

Biegefestigkeit 11,3 N/mm², E-Modul ~ 50‘000 N/mm² Mit Vorspannung: grenz s = +/- 110/mm²

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4 Fußgängerbrücken

Beispiel: Vorgespannter Granit

Aufgabe:

Berechnen Sie die Spannungen und die Durchbiegung für o.a.

Fußgängerbrücke.

Bestimmen Sie die Eigenfrequenz der vorgespannten

Granitbrücke. Die Normalkraft soll keinen Einfluss auf die Eigenfrequenz haben.

12,46m Spannweite, 1,5 m Breite und 21 cm Plattendicke.

Wäre die Schwingung für Geschossdecken akzeptabel?

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4 Fußgängerbrücken

Vorgespannter Granit Einfeldträger mit

kontinuierlicher Massebelegung

(Aus erster Vorlesung, bzw. aus Vorlesung 5:)

𝑓 = 𝜋

2 ∗ 𝐸𝐼 𝑙⁴ ∗ 𝑚

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4 Fußgängerbrücken

Vorgespannter Granit (Untenstehende Tabelle für 6% Dämpfung) Dämpfung D1=0,025; D2= 0,020; D3= 0,015 –> gesamt 0,060 (6%)

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4 Fußgängerbrücken

4.2 Bemessungsschritte bei Fußgängerbrücken 1. Bestimmung der Eigenfrequenzen

2. Frequenzen im kritischen Bereich 3. Bemessungsannahmen

3.1 Verkehrsklasse

3.2 Komfort: Grenzbeschleunigung 4. Abschätzung der Dämpfung

5. Max. Beschleunigung für jede Bemessungssituation 6. Prüfung

Seitliches „Lock – In“

Komfortniveau

ggf. Veränderung der Eigenschaften - Masse

- Frequenz (Steifigkeit) - Dämpfung

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4 Fußgängerbrücken

4.2.1 Bestimmung der Eigenfrequenzen

Verfahren: FEM und bei einfachen Systemen Handrechenformeln (Balken, Platten etc.)

Achtung:

- Viele Annahmen von Material, Ausstattung wie auch Geländer etc.

- Masse der Personen mitnehmen, wenn Sie min. 5% der modalen Masse ausmachen (eventuell bei Betonbrücken nicht notwendig)

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4 Fußgängerbrücken

4.2.2 Frequenzen im kritischen Bereich Gebrauchtstauglichkeit bei Frequenzen Vertikal- und Längsschwingungen

1,25 Hz < f_i < 2,3 Hz Seitliche Schwingungen

0,5 Hz < f_i < 1,2 Hz 4.2.3 Bemessungsannahmen

Verkehrsklasse: TC1 …. TC5

Komfortklasse: CL1 … CL3 sollten mit Bauherrn festgelegt werden

Bemessungs situation

Beschreibung Verkehrs klasse

Häufigkeit Komfortklasse 1 Einweihung der

Brücke

TC5 Einmalig CL3

2 Berufsverkehr TC2 Täglich CL1

3 Wochenendspazier- TC1 wöchentlich CL2

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4.2.3 Bemessungsannahmen

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Außergewöhnlich dichter Verkehr

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Verkehrsklasse Dichte d (Personen / m²) Anmerkung

TC1 15 P/(B*L)m² 15 Personen auf Brückenfläche

TC2 0,2 P/m²

TC3 0,5 P/m²

TC4 1,0 P/m²

TC5 1,5 P/m²

Komfortklasse Grad des Komforts

Vertikal a_Limit (m/s²)

Seitlich a_Limit (m/s²)

CL1 Maximal < 0,50 < 0,10

CL2 Mittel 0,50 – 1,00 0,10 – 0,30

CL3 Minimal 1,00 – 2,50 0,30 – 0,80

CL4 Nicht akzeptabel über 2,50 Über 0,80

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4.2.4 Dämpfung

Man sollte unterscheiden:

- Dämpfung durch Material und Lagerung - Eingebaute Dämpfer

Im Zustand der Gebrauchstauglichkeit sind die Dämpfungswerte bereits besprochen (Siehe 1. Vorlesung). Im kritischen Zustand sind höhere Werte anzusetzen (Die Tabelle mit Werten des

Lehr‘schen Dämpfungsmaßes ist nur informativ!)

Baumweise Minimum Mittelwert Große

Amplituden

Stahlbeton 0,80 % 1,30 % 5,0 %

Verbundbau 0,30 % 0,60 % 2,5 %

Stahl, geschraubt 4,0 %

Stahl, geschweißt 2,0 %

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4.2.4 Maximale Beschleunigung

Man kann folgende Untersuchungen durchführen:

1. Berechnung des Systems als Einmassenschwinger (Handrechnung)

2. Finite Elemente (Computer) 3. Antwortspektrum – Verfahren

In allen Fällen wird kann die maximale Beschleunigung a_max.

berechnet werden. Kritisch ist in allen Fällen die Annahme der Dämpfung, die sehr stark streuen kann.

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4.2.5 Belastung

Grundsätzlich gilt: Ist die Brücke voll wird nicht kaum eine Schwingung erzeugt. Die Personen gehen nicht im

Gleichschritt (ab ca. 1,5 P/m²)

Bei Fußgängerbrücken wird deshalb die Anzahl der relevanten Fußgänger reduziert.

Es gilt je Person eine schwingungsrelevante Last P Vertikal: 280 N

Längs: 140 N Quer: 35 N

Zusätzlich muss die Schrittfrequenz über

Abminderungsfaktoren mit der Eigenfrequenz der Brücke verglichen.

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4.2.5 Belastung

Lastansatz: Es wird eine über die gesamte Fläche

konstante Flächenlast angesetzt die zeitlich variabel ist und mit der Eigenfrequenz der Brücke übereinstimmt

(Resonanz).

p(t) = P * n‘*y* cos(2p*f_s*t)

P = Anteil der Last infolge eines einzelnen Fußgängers, der mit der Schrittfrequenz f_s geht.

fs = Schrittfrequenz einer Person, die mit der Brückeneigenfrequenz übereinstimmt.

n‘ = äquivalente Anzahl von Fußgängern auf der belasteten Brückenfläche S (95% Fraktilwert)

y = Abminderungsfaktor bei nicht mit der Brückeneigenfrequenz übereinstimmenden Schrittfrequenzen.

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4.2.5.1 Schrittfrequenz

Abminderungsfaktoren y bei Fußgängerbrücken

Vertikal und Längs

Seitlich

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4.2.5.2 Äquivalente Anzahl n‘ [1/m²] von Fußgängern TC1-TC3: 𝑛^′ = 10,8 ∗ ^𝜉∗𝑑

𝑆

TC4-TC5: 𝑛^′ = 1,85 ∗ ^𝑑

𝑆

 = Lehr‘sches Dämpfungsmaß d = Anzahl der Personen je m² S = Brückenfläche = B *L

Tabelle: Äquivalente Anzahl n‘ bei verschiedenen Brückenflächen

0,05 =

d= P/m² 10 50 100 200 500

TC1 0,1 0,24 0,11 0,08 0,05 0,03

TC2 0,2 0,34 0,15 0,11 0,08 0,05

TC3 0,5 0,54 0,24 0,17 0,12 0,08

TC4 1 0,59 0,26 0,19 0,13 0,08

TC5 1,5 0,72 0,32 0,23 0,16 0,10

Brückenfläche (m²)

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4.2.5.2 Äquivalente Anzahl n‘ [1/m²] von Fußgängern

Beispiel: Granitbrücke

S = 12,46*1,5 = 18,69 m², Dämpfung 6%

d= P/m² A = 18,69m²

TC1 0,1 n‘ =0,19

TC2 0,2 0,27

TC3 0,5 0,43

TC4 1 0,43

TC5 1,5 0,52

Gewählt: n‘ = 0,52 Personen je m²; Die Eigenfrequenz liegt bei 2,6 Hz. Somit ist y = 0  Keine Schwingung zu untersuchen.

Wäre die Spannweite 14 m gewesen wäre n‘=0,49 und f= 2,09 Hz  y = 1,0

 p(t) = 280N*0,49*1,0*cos(2p*2,09*t) = 137*cos(13,15*t) (N/m²)

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4.2.6 Beschleunigungen 4.2.6.1 Vereinfachung auf Einmassenschwinger

(SDOF- Single Degree of Freedom) Der Ansatz ist relativ einfach:

In Vorlesung 2, Kap. 2.5 wurde im Kapitel Dämpfung hergeleitet, dass der Vergrößerungsfaktor maximal 1/(2) werden kann, wenn das Verhältnis Erreger zu Eigenfrequenz gleich 1 ist.

Mit Newton F = m*a wird angesetzt: F = Kraft p(t) bei cos (2pf*t) = 1 ist F = P * n‘ * y und m = Brückenmasse.

Eigentlich: jeweils generalisierte Masse bzw Last.

Erklärung wird in Vorlesung gegeben!

 𝑎 = _𝑚^𝐹 = ^𝑃∗𝑛_𝑚^′^∗𝜓

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4.2.6.1 SDOF - Beschleunigungen

Beispiel: Granitbrücke

Masse der Brücke: 0,85 t/m + 0,075 t/P*1,5P/m²*1,5m = 0,96 t/m

 𝑎 = _𝑚^𝐹 = ^𝑃∗𝑛_𝑚^′^∗𝜓 = ^{0,137𝑘𝑁/𝑚}_{0,96 𝑡/𝑚} =0,14 m/s²

Vergrößerungsfaktor:

V = 1/(2*0,06) = 8,33

a_max = 8,33*0,14 = 1,2 m/s² das wäre Komfortklasse CL3 (Minimal)

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4.2.6 Beschleunigungen

4.2.6.2 Antwortspektrumverfahren

Der Ansatz erfasst die stochastische Belastung sodass man die Bemessungswerte mit einem Vertrauensgrad erreicht. Die Forschung hat sich auf Mehrfeldträger beschränkt. Die Werte sind aus Versuchen und

Berechnungen entstanden:

- Schrittfrequenz = Eigenfrequenz - Brückenmasse gleichmäßig

- Schwingung sinusförmig

Der Bemessungswert ist der Spritzenwert der Beschleunigung und wird wiederum mit der entsprechenden Komfortklasse verglichen.

Bemessung auf 95% Fraktile, deren Faktor von der Verteilungsfunktion abhängt.

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4.2.6.2 Antwortspektrumverfahren a_max,d = k_a,d*s_a

Spitzenfaktor k_a,d aus statitischen Überlegungen s_a = Standardabweichung der Beschleunigung

Ermittlung der Faktoren über Monte-Carlo-Simulation Dies wurde sowohl für seitliche als auch für vertikale Schwingungen hergeleitet.

Eigentlich, bildlich ausgesprochen heißt dies: Ist genug Masse und Dämpfung vorhanden, damit die Brücke

nicht angeregt wird.

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4.2.6.2

Antwortspektrumverfahren

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4.2.6.2

Antwortspektrumverfahren

Konstanten für vertikale Beschleunigungen

f = 2,09 Hz, d = 1,5 P/m²;  = 0,06 k1= -0,08*2,09²+0,60*2,09+0,085 = 0,99 k2 = 0,005*2,09²-0,060*2,09-1,005 = -1,11 s_f ²= 3,34e-3*14*1,5*1,5 = 0,57 m_i* = 0,5*0,960t/m*14m = 6,720 t 𝜎²_𝑎 = 𝑘₁ ∗ 𝜉^𝑘² ∗ ^𝐶∗𝜎_𝑚∗₂²^𝐹

𝑖 = 0,99 ∗ 0,06^−1,11 ∗ ^5,10∗0,57_6,72²

=0,99*22,71*0,06=1,45

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4.2.6.2 Antwortspektrumverfahren

f = 2,09 Hz, d = 1,5 P/m²;  = 0,06 k1= -0,08*2,09²+0,50*2,09+0,085 = 0,78 k2 = 0,005*2,09²-0,060*2,09-1,005 = -1,11 s_f ²= 3,34e-3*14*1,5*1,5 = 0,57 m_i* = 0,5*0,960t/m*14m = 6,720 t 𝜎²_𝑎 = 𝑘₁ ∗ 𝜉^𝑘² ∗ ^𝐶∗𝜎_𝑚∗₂²^𝐹

𝑖 = 0,78 ∗ 0,06^−1,11 ∗ ^5,10∗0,57_6,72²

=0,78*22,71*0,06=1,06 k_a,d = k_a,95%= 3,74

a_max,d = k_a,d*s_a= 3,74*Wurzel(1,06) = 4,50 m/s²

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4.2.6.2 Antwortspektrumverfahren Vereinfacht:

1,5 ∗ 14 ∗ 1,50,400 ∗ 0,06^0,468 + 1,65 ∗ 0,06^0,675

= 5,61 ∗ 0,35 = 1,96 t < 6,72 t 1,00