304
SchliessendeStatistik
7 S c h
¨a tz u n g e n
7.1
D re i G ru n d fr a g e st e llu n g e n d e r
S c h lie ss e n d e n S ta tis tik
aAufgabederSchliessendenoderAnalytischenStatistik:Br¨uckezwischenModellenundkonkretenDatenschlagen.
BeispielAsbest.
3057.1 bBeispielSchlafverl¨angerung.UnterschiedXiinderSchlafdauerbeiVerwendungvonSchlafmittelAgegen¨uberMittelB.Modell:Xi∼Nhµ,σ 2i,unabh¨angig.
Beobachtungen:1.2,2.4,1.3,1.3,0.0,1.0,1.8,0.8,4.6,1.4.
306
Fragen:
1UmwievielwirdderSchlafverl¨angert?Wiegrossistµ?
2Istesm
Istµ≤0mitdenBeobachtungenvereinbar? ¨oglich,dassMittelAnichtwirksameristalsB?
3InwelchenGrenzenliegendieWerteµdieaufgrundderDatennochplausibelerscheinen?
cMethoden:1Sch
3Vertrauensintervalle. 2Tests, ¨atzungen,
3077.1
dModellderZufalls-Stichprobe:DatenwerdenuntergleichbleibendenVerh¨altnissenundunabh¨angigvoneinandergewonnen.Unabh
(independentandidenticallydistributed,i.i.d.) ¨angigundgleichverteilt
308
7.2
S c h
¨a tz u n g e n f¨u r ... N o rm a lv e rt e ilu n g
aProblem:ManhatDatenundeinModellf¨ursieinFormeinerparametrischenVerteilungsfamilie,
Xi∼Nhµ,σ 2i(i.i.d.).WertederParameterfestlegen,undzwarso,dasssiem
¨oglichstgutzudenDatenpassen.
dBsp.Schlafverl¨angerung.Erwartungswertµsch¨atzendurchdasarithm.MittelXVarianzσ 2sch¨atzendurchdieempir.Varianzcvar=S 2.
X=1.58,S 2= 19 P10i=1 (Xi−X) 2=1.51=1.23 2.Modell,dasdieDatengutbeschreibt:Nh1.58,1.23 2i.
309
eBeispielK
iX∼Nh106.25,10.6i. 2 ¨uken:X=106.25,S=111.8=10.6, 22
8090100110120130
0 5 10 15 20
3107.2
fPrinzip:KennzahlenderStichprobemitKennzahlenderVerteilungidentifizieren!
−→Momenten-Methode.
gµist(auch)MedianderNormalverteilung.AlsodurchdenMedianderStichprobesch¨atzen.
311
hXund dmedsindSch
Sch f¨urdenParameterµderNormalverteilung. ¨atzungen
1ndennZufallsvariablenX,...,XeineZufallsvariablezuordnen. dennDateneineZahlunddamit ¨atzungensindFunktionen,die
Sch
oderHut Bazeichnung:Grossbuchstaben:X,T ¨atzungensindselbstZufallsvariable.
¨uberParameter,bµ,bσ,allgemeinθ. b
312
7.3
E ig e n sc h a ft e n v o n S c h
¨a tz u n g e n
aEigenschaftenv.Sch
LegenModellf¨urdieBeobachtungenfest. Dazuvergessenwirf.denMomentdiekonkretenDatenwieder. ¨atzungenm.HilfedesW.modellsstudieren.
bXi∼Nhµ,σ 2i,i=1,2,...,n(i.i.d.).
Sch
¨atzungXodermed?Verteilungenstudieren! d
VerteilungvonX?
Verteilungvon dmed?z.B.Simulation. ¨Ubungen.Ergebnisse?
EmpirischerMedian dmedvonn=5Xi∼Nh5,1i.
313
357 0.0 0.05 0.10 0.15
0 0.2 0.5 simuliertasymptotischexakt simulierteWahrscheinlichkeitDichte
314 7.3
dWelcheSch
¨atzungsollmanw
¨ahlen?
DieSch
¨atzungTsollm
EinMassf¨urdieGr¨ossederAbweichungenistder ¨oglichstnahebeiθliegen!
” mittlerequadratischeFehler”
MSE=E (T−θ) 2 =varhTi+(EhTi−θ) 2
b=EhTi−θmisstUnterschiedzw.demErwartungswertvonTunddem
SystematischerFehleroderBiasbderSch ” Sollwert”θ.
” Biasb=0:erwartungstreu” ¨atzung.
b 2undvarhTisollenkleinsein!Oder:Erwartungstreu(b=0)undvarhTim
¨oglichstklein!
315 7.3 eXi∼Nh5,1i,i=1,2,...,n.
EhXi=EhXii=µ=5.Eh dmedi=µ=5.
varhXi= 1n varhXii= 15 .varh dmedi?Simulation:≈0.294.Standardabweichungen(” Standardfehler”)0.447resp.0.542.
Xgewinnt!...auchgegen¨uberallenanderen.F
¨urnormalvert.Beob.istXdiebesteSch
¨atzungvonµ!
fExponential-Vert.Sch
¨atzungderHalbwertszeit(Median)
τ=loge h2i/λ.Xi∼Exphλi.EmpirischerMediansvonn=3undn=5Beobachtungen.
Eh dmed6=τ!b6=0.
bnimmtmitzunehmendemnab.DieVerteilungwirdschmaler.
316
BeobachtungenMedian, n = 3Median, n = 5
024
Dichte
Bias MedianHHHj Eh [medi,n=5? 3
317 7.3
gb=0:biasfreiodererwartungstreu(englischunbiased).Viele
¨ublicheSch
wenndieModell-Annahmen ¨atzungensinderw.treu,
” stimmen”.
jVarianzσ 2=varhXiisch¨atzen!S 2= 1n−1 Pi (Xi−X) 2.GuteSch
iErwartungstreu?EsseiEhXi=0. ¨atzung?
E DXn
i=1 (Xi−X) 2 E=E Xn
i=1 X 2i −nX 2
= Xn
i=1 EhX 2i i−nEhX 2i
=nσ 2−n· 1n σ 2=(n−1)σ 2
Deshalbderomin
¨oseFaktor1/(n−1)inS. 2
kVerteilungvonS 2h¨angtvonderVerteilungderXiab!
