Freie Universit¨at Berlin WiSe20/21 Institut f¨ur Mathematik
A. Constantinescu, T. Graeber, S. Hoffmann Stand: 2. November 2020
Lineare Algebra I – Hausaufgabe 1
Abgabe via Whiteboard als “Name_LA1_UB01.pdf” bis18:00 am Montag, den 9. November 2020.
Ubung 1.¨ 4 Punkte
SeienA und B zwei Mengen. Zeigen Sie, dass
A=B ⇔A∪B =A∩B.
Ubung 2.¨ 6 Punkte
Welche der folgenden Teilmengen von R2 definieren eine Abbildung f : R −→ R? Bitte begr¨unden Sie Ihre Antwort.
1. Γ1={(x, y)∈R2 |x= 1}
2. Γ2={(x, y)∈R2 |y= 1}
3. Γ3={(x, y)∈R2 |x2=y}
4. Γ4={(x, y)∈R2 |x=y2} 5. Γ5={(x, y)∈R2 |xy = 1}
6. Γ6= Γ5∪ {(0,0)}
Die notwendigen Definitionen f¨ur die ¨Ubung 2 werden in der Vorlesung am 4.11 einfef¨uhrt.
Total: 10 Punkte
Zusatzaufgaben auf der R¨uckseite
Die Zusatzaaufgaben m¨ussen nicht abgegeben werden.
Zusatzaufgabe 3.
Seien A, B, C drei Mengen. Zeigen Sie, dass 1. A∪B =A ⇐⇒ B ⊆A
2. A∩B =A ⇐⇒ A⊆B
3. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C). Diese Eigenschaft heißtDistributivit¨at der Vereiningung bez¨ugllich des Durchschnittes.
4. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C). Diese Eigenschaft heißt Distributivit¨at des Durch- schnittes bez¨ugllich der Vereinigung.
5. A∪(B \C) = (A∪B)\(A∪C) allgemein nicht gilt. Gilt “⊆” oder “⊇” f¨ur alle Mengen?
Zusatzaufgabe 4.
Finden Sie zwei Mengen X undY, so dass folgende Bedingungen erf¨ullt sind.
(a) X∪Y ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, (b) X∩Y ={4,6,9},
(c) X∪ {3,4,5}={1,3,4,5,6,8,9}, (d) Y ∪ {2,4,8}={2,4,5,6,7,8,9}.
Zusatzaufgabe* 5.
Bestimmen Sie die MengenA undB, und die reellen Koeffizientenp, q∈Rso dass:
A = {x∈R|x2+x+p= 0}
B = {x∈R|x2+qx−3 = 0}
A∪B = {−2,−1,1,3}
Zusatzaufgabe*** 6.
Betrachten Sie folgende Mengen.
M1 = {(x, y)∈R2 |x2−y2 = 3x−4y}
M2 = {(x, y)∈R2 |2xy = 4x+ 3y}
Bestimmen Sie die Menge:
M ={z=x2+y2 |(x, y)∈M1∩M2}.
2
