Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen SS 2005 Teil Systemanalyse
Dieter Imboden
¨Ubung 4, vom 25.05.2005 R ¨uckgabe am 02.06.2005
Aufgabe 1 Algen im Fischteich
Sie haben eine Villa samt angegliedertem Fischteich geerbt. Letzterer hat ein Volumen von 1200 m . Sie stellen im Teich (genau so wie Ihr Vorg¨anger) zwischen Mai und August eine station¨are Algen- konzentration von 240 gm
fest und wollen diese auf 200 gm
reduzieren, indem Sie mehr Frisch- wasser zulaufen lassen. Die Frage welche Sie nun besch¨aftigt ist: Um wieviel m ¨ussen Sie den Zufluss (und damit den Abfluss) erh¨ohen (
), damit Sie Ihr Ziel erreichen? Das Algenwachstum (Biomasse pro Volumen und pro Zeiteinheit [gm
s
]) h¨ange nicht vom Durchfluss ab, sondern lediglich vom im Mittel einfallenden Licht und damit von der Wasseroberfl¨ache. Letztere, sowie das Volumen des Teiches sind konstant. Die Person, von der Sie Villa und Teich geerbt haben, hatte zu fr ¨uheren Zei- ten bereits etwas vorgearbeitet: Um die Algenkonzentration zu senken hatte sie einmalig sehr viel Frischwasser zugef ¨uhrt. Dadurch sank die Algenkonzentration, nahm aber wieder zu, als der Zulauf wieder auf den normalen Wert (den er auch heute noch hat) gesenkt wurde. Diese Konzentrations- zunahme wurde gemessen und Ihnen im Testament in tabellarischer Form hinterlassen:
[d] 0 3 5 7 9 14 21
[gm
] (
gm
) 162 196 212 221 226 235 239
1. Geben Sie eine lineare Differentialgleichung und deren L¨osung an, welche den obigen Verlauf der Konzentration modelliert.
2. Bestimmen Sie alle Modellparameter.
3. Modifizieren Sie Ihre Modellgleichung so, dass diese nun auch das Auswaschen der Algen durch den erh¨ohten Durchfluss
ber ¨ucksichtigt.
4. Wie gross muss
gew¨ahlt werden, damit die Algenkonzentration auf 200 gm
sinkt?
5. Sie erh¨ohen schlagartig den Zufluss um
. Die Algenkonzentration zu diesem Zeitpunkt (
) sei 240 gm
und damit die Abweichung vom neuen Station¨arzustand 40 gm
. Nach welcher Zeit hat sich diese auf 5% verringert.
Aufgabe 2 Fortsetzung von Aufgabe 3, ¨Ubung 2
Der Abfluss des ersten Sees (siehe Aufgabe 3 von ¨Ubung 2) m ¨undet in einen zweiten See mit dem zeitlich konstanten Volumen
. Auch dieser hat nur einen Zufluss und einen Abfluss, und auch in diesem See wird der Schadstoff gem¨ass einer linearen Reaktion mit der Halbwertszeit
abgebaut.
1. Zeichnen Sie ein Boxschema, welches dieses Zwei-Seen-System charakterisiert.
2. Stellen Sie die Systemgleichungen f ¨ur die Konzentrationen