”H¨oheren Mathematik f¨ur Physiker III Blatt 10 Musterl¨osung Bonusaufgaben 5. Aufgabe: (4 Bonuspunkte) Sei f P SpR

”H¨oheren Mathematik f¨ur Physiker III Blatt 10 Musterl¨osung Bonusaufgaben

5. Aufgabe: (4 Bonuspunkte) Sei f P SpR^n`1q, n ě1 im Schwartzraum eine L¨osung der Wellengleichung

lf “0.

Zeigen Sie: Dann ist f “0.

L¨osung:

Angenommen f PS l¨ost die Wellengleichung. Dann folgt 0“Fplfqpyq “FpB_n`² 1´

n

ÿ

i“1

B_i²qfq “ p2πiq²py²_n`1´

n

ÿ

i“1

y²_iqFfpyq.

F¨ur alle yPR<sup>n`1</sup> mit y<sup>2</sup><sub>n`</sub>1 ‰řn

i“1y²_i gilt also Ffpyq “0. DaFf stetig ist, gilt Ff “0 auch auf dem Lichtkegel, alsof “F^´1Ff “0.

6. Aufgabe: (2+2+3+2=9 Bonuspunkte) Sei M ĎRⁿ offen unduPL¹locpMq mit

∆F_udx“0.

In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass F_udx glatt ist. Sei dazu ξ P M ein fester Punkt und sei N “B_rpξq,rą0, eine offene Kugel umξ mitB2rpξq ĎM. Dann gibt es ein f PC_c⁸pMq mitf|N ”1 und Tr¨ager inB2rpξq (Satz ¨uber die Partitionen der Eins).

Die Fundamentall¨osung der Poisson-Gleichung seiE :Rⁿz t0u ÑR. F¨urpx, yq PNˆM mitx‰y setzen wir

wpx, yq “∆ypp1´fpyqqEpx´yqq. Zeigen Sie:

(a) F¨uryPN istwpx, yq “0, also gibt es eine glatte Fortsetzung wPC⁸pNˆMq.

(b) v_Npxq “ş

Mupyqwpx, yqdy definiert eine glatte Funktion v_N PC⁸pNq.

(c) Es giltş

Mv_Npxqgpxqdx“ş

Mupxqgpxqdx f¨ur allegPC_c⁸pNq.

(d) Es gibt ein vPC⁸pMq mitF_vdx “F_udx.

Hinweise: (b) Vertauschungssatz 4.32 (c) Satz von Fubini (d) Verheften der lokal eindeutig definierten Funktionen vN.

L¨osung:

(a) F¨ur alleyPN giltfpyq “1, daherp1´fpyqqEpx´yq “0 f¨urpx, yq PNˆN mit x‰y, insbesondere wpx, yq “ 0. Da NˆN offen in N ˆM ist, l¨asst sich w auf die Diagonale x“y durch Null glatt fortsetzen. Insbesondere istwPC⁸pNˆMq.

(b) F¨ur festesxPN istwpx,¨q PC_c⁸pNq, daher istv_Npxqwohldefiniert (der Tr¨ager vonwpx,¨q liegt inB2rpξq). Es bleibt zu zeigen, dassv_N glatt ist. F¨ur festesηPN gibt es ein reelles są0 mitB2spηq ĎN. Dann ist

cα:“ sup

B^spηqˆM

|B_x^αwpx, yq| ă 8

f¨ur jeden Multiindex α P Nⁿ, da die stetige Funktion B_x^αwpx, yq auf dem Kompaktum Bspηq ˆB2rpξqbeschr¨ankt ist. Also sind die Voraussetzungen von Satz 4.32 erf¨ullt undvN

ist in Bspηqglatt. AberηPN war beliebig, also istvN glatt in N.

(c) SeigPC_c⁸pNqbeliebig. Wir verwenden Fubini und Satz 4.32.

ż

N

v_Npxqgpxqdx

“ ż

N

ż

M

upyqwpx, yqgpxqdydx

“ ż

M

ż

N

upyq∆ypp1´fpyqqEpx´yqqgpxqdxdy

“ ż

M

upyq∆y

ż

N

Epx´yqgpxqdx loooooooooooooomoooooooooooooon

“gpyq

dy´ ż

M

upyq∆yfpyq ż

N

Epx´yqgpxqdx loooooooooooooomoooooooooooooon

PCc⁸pMq

dy

“ ż

M

upyqgpyqdy.

Nach Voraussetzung ist ∆Fudx“0, also verschwindet der rechte Term.

(d) Nach Aufgabe 1 auf Blatt 1 ist vN als stetige Funktion auf N eindeutig bestimmt. F¨ur die verschiedenenξPM bilden dieN “Npξqeine ¨Uberdeckung vonM. F¨ur N, N¹ĎM mit nichtleerem Schnitt gilt vN|NXN¹“vN¹|NXN¹ (betrachte Testfunktionenφmit Tr¨ager in NXN¹). Es gibt also eine glatte Funktionv :M Ñ Rmit v|N “v_N f¨ur alle offenen N ĎM (setze vpxq:“v_Npxqf¨ur einN mitxPN).¹

1F¨ur die Experten: DieC⁸-Funktionen auf den offenen TeilmengenN vonM bilden eine Garbe.