Das K ¨onigsber g er Br ¨uc kenpr ob lem

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¨Uber W eg e und T ouren: Graphentheorie als Sc hnittpunkt v on Inf ormatik und Mathematik

P eter Bec k er FH Bonn-Rhein-Sieg F achbereich Ange w andte Inf or matik

peter.becker@fh-bonn-r hei n-si eg. de

K urzv or lesung Studientag 15.06.2002

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Das K ¨onigsber g er Br ¨uc kenpr ob lem

Insel

Süden Norden

Neuer Pregel

Alter Pregel OstenPregel

Beispiel 1. [Euler , 1736] Gibt es einen Rundw eg durch K önigsberg, der jede der sieben Br üc k en genau einmal überquer t?

¨UberWegeundTouren—FHBonn-Rhein-Sieg,Studientag15.06.2002

(3)

Insel

Süden Norden

Osten

(4)

Definition 1. Ein Gr aph ist ein P aar

, w obei

eine beliebige (endliche) Menge ist und

eine Menge zw eielementiger T eilmengen v on

, also

Die Elemente v on

heißen Kno- ten und

die Elemente v on

Kanten . Beispiel 2.

c

dea b

(5)

Knotengrad

Definition 2. Der Gr ad

eines Knotens

ist die Zahl der mit

v erb undenen Kanten.

Lemma 1. [Handsc hla glemma] F ¨ur jeden Gr aphen

gilt:

K or ollar 2. Die Anzahl der Knoten mit unger adem Gr ad ist ger ade .

(6)

W eg e und Kreise

Definition 3. Es sei

ein Gr aph.

Eine F olge

!

v on Knoten mit

"$#

"%

"

f¨ur

&

'

(

heißt Kantenzug .

Ein Kantenzug, bei dem die

"

alle v erschieden sind, heißt W eg .

Ein W eg, f¨ur den

!

gilt, heißt Kreis .

(7)

Eulerweg, Eulerkreis

Definition 4. Es sei

ein Gr aph.

Ein W eg, der jede Kante v on genau einmal enth ¨alt, heißt eulerscher W eg v on .

Ein Kreis , der jede Kante v on genau einmal enth ¨alt, heißt eulerscher Kreis v on .

heißt eulersch gdw . einen eulerschen Kreis enth ¨alt. Leonard Euler

(8)

Charakterisierung v on euler sc hen Graphen

Satz 3. [Euler 1736] Es sei

ein Gr aph.

hat einen eulerschen W eg gdw .

bis auf isolier te Knoten zusammenh ¨angend ist und

die Zahl

)

der Knoten mit unger adem Gr ad

*

oder

ist.

Die Existenz eines eulerschen Kreises ist ¨aquiv alent mit

)

*

.

(9)

Be weis. 1. “

+

,

”: habe einen eulerschen Kreis

-

.%

.

Dann ist bis auf isolier te Knoten zusammenh ¨angend und

tr itt der Knoten

in der F olge

.%

genau

/

-mal auf , so gilt

/

, d.h.

hat ger aden Gr ad.

2. “

0 +

”: Be w eis durch v ollst ¨andige Induktion ¨uber die Zahl der Knoten.

Induktionsanfang: Der Gr aph

ist eulersch, denn

ist ein eulerscher Kreis .

Induktionsannahme: F ¨ur Gr aphen mit h ¨ochsten

(

Knoten gelte die Behauptung.

(10)

Induktionssc hritt: Sei

ein zusammenh ¨angender Gr aph mit

(

1'

Knoten und und alle Knoten haben ger aden Gr ad.

W ¨ahle einen beliebigen Knoten

.

v0

W ¨ahle solange dies m ¨oglich ist Knoten

2

, so daß

"

je w eils ein W eg in ist.

v0 v1

v3 v2

Unter den gegebenen V or aussetzungen entsteht so automatisch ein Kreis

-

. Sei

3

die Menge der Kanten in

-

.

(11)

W enn

-

alle Kanten aus

enth ¨alt, so ist

-

ein Euler kreis .

Ansonsten bildet man den Rest- g raphen

54

6

7

.

F ¨ur die K omponenten des Rest- g raphen gilt die Induktionsannah- me .

v2 v0v1

v4

v7 v5

v6v3

(12)

Nun f¨ugt man die Kreise an Kno- ten zusammen, die in

-

und ei- ner K omponente des Restg raphen enthalten sind.

Man

l¨auft entlang

-

bis zu solch einem Knoten, dann entlang des Kreises des Restg raphen und an- schließend wieder entlang

-

.

v10v0 v1v9

v5v3

v4v7v8v11 v6v2

8¨UberWegeundTouren—FHBonn-Rhein-Sieg,Studientag15.06.200211

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Berec hn ung eines Eulerweg es

Algorithm us 1. [Hierholz er 1873]

1. W ¨ahle einen beliebigen Knoten

. W ¨ahle solange dies m ¨oglich ist Knoten

2

, so daß

je w eils ein W eg in ist.

Unter den gegebenen V or aussetzungen entsteht so automatisch ein Kreis

-

. Setz e

4

#

.

2. Pr ¨uf e , ob

-

ein eulerscher Kreis ist. W enn ja, dann ST OP , ansonsten gehe zu 3.

3. Setz e

- 4

#

-

.

(14)

Lauf e ab

4

entlang

- 4

und w ¨ahle einen in

- 4

enthaltenen Knoten

, der mit einer nicht in

- 4

enthaltenen Kante inzident ist.

K onstr uiere wie unter 1. ausgehend v on

einen Kreis

- 44

, der k eine Kanten v on

- 4

enth ¨alt.

F ¨uge

- 44

in den Kreis

- 4

an der Stelle

ein. Setz e

4

#

. Gehe zu 2.

Satz 4. Mit dem Algor ithm us v on Hierholz er kann in Zeit

9

ein eu- lerscher Kreis berechnet w erden.

Be weis. Jede Kante wird h ¨ochstens zw eimal durchlauf en:

1. Bei der K onstr uktion v on

-

bzw .

- 44

.

2. Bei der Suche nach einem

.

8

(15)

v0 = w’ w

w’w

v0v0 w’

(16)

Chinesisc hes Brieftr ¨ag erpr ob lem

Depot

Man finde f¨ur dieses Str aßennetz eine m ¨oglichst kurz e T our zur Zustel- lung der P ost.

(17)

L ösung: Man macht den Gr aphen mit m öglichst kurz en zus ätzlichen Kanten eulersch.

Depot

(18)

Hamiltonsc he Graphen

Definition 5. Es sei

ein Gr aph.

Ein W eg, der jeden Knoten v on genau einmal enth ¨alt, heißt hamil- tonscher W eg .

Ein Kreis , der jeden Knoten v on genau einmal enth ¨alt, heißt hamil- tonscher Kreis .

heißt hamiltonsch gdw . einen hamiltonschen Kreis enth ¨alt.

(19)

Beispiel 3.

Die Bez eichn ung “hamiltonsch” geht auf Sir William Ro w an Hamilton (1805 – 1865) zur ¨uc k, der 1859 das Spiel “around the w or ld” erf and.

Die Punkte eines Dodekaeders stellten St ¨adte dar .

Die A ufgabe des Spiels bestand dar in, entlang der Kanten des Dodekaeders ei- ne Rundreise zu unter nehmen, bei der man jede Stadt genau einmal besucht.

(20)

Around the World Sir William Rowan Hamilton

(21)

Pr ob lem des Handlungsreisenden (TSP)

In einem v ollst ändigen Gr aphen, dessen Kanten L ängen haben, ist die k ürz este Rundreise gefr agt.

Im Gegensatz zur K onstr uktion eines hamiltonschen Kreises be- steht hier die Schwier igk eit nicht im Finden einer Rundreise .

Es gibt

2( :

'

;

v erschiedene Rundreisen.

(22)

Bemerkung en:

Obw ohl die Eigenschaften hamiltonsch und eulersch sehr ¨ahnlich er- scheinen, ist k ein effizienter Algor ithm us zur K onstr uktion v on hamil- tonschen Kreisen bekannt.

Im schlimmsten F all m ¨ussen alle M ¨oglichk eiten durch En umer ation ausprobier t w erden.

Man geht sogar da v on aus , daß es k eine bessere L ¨osung gibt, denn dieses Prob lem ist in einem pr ¨azisierbarem Sinne schwier ig.

Es geh ¨or t zur Klasse der

<=

-v ollst ändigen Prob leme : Existier t ein effizientes Berechn ungsv erf ahren für ein Prob lem dieser Klasse , so h ätte man effiziente Berechn ungsv erf ahren für alle Prob leme dieser Klasse .

(23)