Lineare Algebra
Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014
erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf
Inhaltsverzeichnis
1 Vektoren 4
1.1 Grundbegriffe . . . . 4
1.2 Darstellung im Koordinatensystem . . . . 4
1.3 Rechenoperationen mit Vektoren . . . . 6
1.3.1 Skalarprodukt . . . . 6
1.3.2 Vektorprodukt . . . . 6
1.4 Vektorraum . . . . 8
1.5 Der Basisbegriff . . . . 9
2 Matrizen 10 2.1 Einf¨ uhrung . . . . 10
2.2 Rechenoperationen . . . . 11
2.2.1 Addition und Subtraktion . . . . 11
2.2.2 Multiplikation mit einem Skalar . . . . 12
2.2.3 Multiplikation von Matrizen . . . . 12
3 Determinanten 14 3.1 Zweireihige Determinanten . . . . 14
3.2 Dreireihige Determinanten . . . . 14
3.3 Eigenschaften von Determinanten . . . . 15
3.4 Determinanten h¨ oherer Ordnung . . . . 15
3.5 Laplace’scher Entwicklungssatz . . . . 16
4 Erg¨ anzungen zu Matrizen und Determinanten 17 4.1 Rang einer Matrix . . . . 18
4.1.1 Rangbestimmung durch elementare Umformungen . . . . 18
5 Lineare Gleichungssysteme 19 5.1 Darstellung linearer Gleichungssysteme mittels Matrizen . . . . 19
5.2 L¨ osen eines LGS . . . . 20
5.3 Kriterien f¨ ur die L¨ osbarkeit eines LGS . . . . 21
5.4 Berechnung der inversen Matrix durch Zeilenumformungen . . . . 21
6 Eigenwerte und Eigenvektoren 22 6.1 Die Multiplikation von Matrix und Vektor . . . . 22
6.2 Das Eigenwertproblem . . . . 22
6.3 Eigenschaften von EW und EV . . . . 23
2
6.4 EW und EV von speziellen Matrizen . . . . 23
6.5 Diagonalisierung einer Matrix . . . . 24
7 Koordinatentransformation - Darstellung eines Vektors im gedrehten KS 25
1 Vektoren
1.1 Grundbegriffe
Definition: Vektor
Vektoren sind Gr¨ oßen, die durch Angabe von ihrer Maßzahl (Betrag) und ihrer Richtung vollst¨ andig beschrieben sind.
Beispiele f¨ ur Vektoren: F ~ , ~ s, M ~ , ~ v , ~a Beispiele f¨ ur Skalare: W , ρ, t, m, T Spezielle Vektoren:
Nullvektor: ~ 0 mit ~ 0
= 0 Einheitsvektor: ~ e mit |~ e| = 1 Ortsvektor: ~ p = OP ~
1.2 Darstellung im Koordinatensystem
Komponentendarstellung
~a = ~a
x+ ~a
y+ ~a
z= a
x~ e
x+ a
y~ e
y+ a
z~ e
zKoordinatendarstellung
a
x, a
y, a
zheißen Koordinaten von ~a. ~a =
a
xa
ya
z
4
Berechnung des Vektors aus zwei Punkten
mit: P
1(x
1, y
1, z
1) , P
2(x
2, y
2, z
2)
~a =
x
2− x
1y
2− y
1z
2− z
1
Betrag eines Vektors
| ~a| = q
a
2x+ a
2y+ a
2z= q
(x
2− x
1)
2+ (y
2− y
1)
2+ (z
2− z
1)
2Winkeldarstellung
α = ∠ (~ e
x; ~a) cos α = a
x|~a|
β = ∠ (~ e
y; ~a) cos β = a
y|~a|
γ = ∠ (~ e
z; ~a) cos γ = a
z|~a|
~a = |~a| ·
cos α cos β cos γ
α, β, γ heißen Richtungswinkel.
Folgender Zusammenhang gilt:
(cos α)
2+ (cos β)
2+ (cos γ)
2= 1.
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1.3 Rechenoperationen mit Vektoren
1.3.1 Skalarprodukt
Operationszeichen definiert als: ◦ Definition: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ~a,~b ist das Produkt aus den Betr¨ agen von ~a,~b und dem cos des eingeschlossenen Winkels ϕ.
~a ◦ ~b = |~a| · ~b
cos ϕ
Zur Berechnung der Winkel zwischen Vektoren
~a ◦ ~b = 0 Bedingung f¨ ur Rechtwinkligkeit
Gesetze:
Kommutativgesetz: ~a ◦ ~b = ~b ◦ ~a
Assoziativgesetz: λ( ~a ◦ ~b) = (λ~a) ◦ ~b = ~a ◦ (λ~b), mit λ ∈ R
Distributivgesetz: ~a ◦ ( ~b + ~c) = ~a ◦ ~b + ~a ◦ ~c
Berechnung aus den Koordinaten:
~a ◦ ~b =
a
xa
ya
z
◦
b
xb
yb
z
= a
x· b
x+ a
y· b
y+ a
z· b
z1.3.2 Vektorprodukt
Operationszeichen definiert als: × Definition: Vektorprodukt
Das Vektorprodukt ~a ×~b zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren des Raumes ist ein Vektor ~ v mit folgenden Eigenschaften:
~ v = ~a × ~b steht senkrecht auf ~a,~b.
HS M¨ unchen 6 Fakult¨ at 03
~a;~b; ~ v
bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
|~ v | = ~a × ~b
= |~a| · ~b
sin
∠ ~a;~b
(Fl¨ ache des durch ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms)
Gesetze:
Alternativgesetz: ~a × ~b = −( ~b × ~a)
Assoziativgesetz: λ( ~a × ~b) = (λ~a) × ~b = ~a × (λ~b), mit λ ∈ R
Distributivgesetz: ~a × ( ~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
Berechnung aus Koordinaten
~a × ~b =
a
y· b
z− a
z· b
ya
z· b
x− a
x· b
za
x· b
y− a
y· b
x
=
v
xv
yv
z
Merkregel:
~a × ~b =
a
xb
xa
yb
ya
zb
za
xb
xa
yb
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1.4 Vektorraum
Definition: Vektorraum
Die Menge V
n=
a
1.. . a
n
; a
k∈ V heißt n-dimensionaler Vektorraum, falls f¨ ur alle
~a,~b ∈ V
nund λ ∈ R stets ~a + ~b ∈ V
nmit λ~a ∈ V
nist und folgende Gesetze gelten:
1. Kommutativgesetz
~b + ~a = ~a +~b 2. Assoziativgesetz
~a +
~b + ~c
=
~a +~b + ~c 3. Es existiert ~ 0
~ 0 ∈ V
n, ~a + ~ 0 = ~a 4. Es existiert der Gegenvektor
~a ∈ V
n, −~a ∈ V
n→ ~a + (−~a) = ~ 0 5. Distributivgesetz
λ (µ~a) = (λµ) ~a 6. 1 · ~a = ~a
7. λ
~a +~b
= λ~a + λ~b 8. (λ + µ) ~a = λ~a + µ~a
HS M¨ unchen 8 Fakult¨ at 03
1.5 Der Basisbegriff
Definition: Linearkombination
Ein Vektor ~a ∈ V
nheißt Linearkombination der Vektoren a ~
1, ~ a
2, . . . , ~ a
m, wenn
~a = λ
1a ~
1+ λ
2a ~
2+ · · · + λ
ma ~
m, mit λ
1. . . λ
m∈ R
Definition: Lineare Abh¨ angigkeit/ Unabh¨ angigkeit
Die Vektoren a ~
1. . . ~ a
mheißen linear unabh¨ angig, wenn
~ 0 = λ
1a ~
1+ λ
2a ~
2+ · · · + λ
ma ~
mnur f¨ ur λ
1= λ
2= · · · = λ
n= 0 erf¨ ullt wird.
Ist mindestens ein λ 6= 0 heißen sie linear abh¨ angig.
Ferner gilt: Im n-dimensionalen Vektorraum existieren maximal n linear unabh¨ angige Vektoren.
Definition: Basis
n linear unabh¨ angige Vektoren in V
nheißen Basis von V
n.
Satz:
Sind die Vektoren ~a
1, ~a
2, . . . , ~a
neine Basis des V
n, dann hat der Vektor ~a ∈ V
nbez¨ uglich dieser Basis eine eindeutige Darstellung der Form:
~a =
n
X
i=1
λ
i~a
i= λ
1~a
1+ λ
2~a
2+ · · · + λ
n~a
n2 Matrizen
2.1 Einf¨ uhrung
Definition: Matrix
Unter einer Matrix vom Typ (m, n) versteht man ein rechteckiges Schema mit m Zeilen und n Spalten:
A =
a
11a
12. . . a
1na
21a
22. . . a
2n.. .
a
m1a
m2. . . a
mn
a
ik: Matrixelement,
i - Zeilenindex, k - Spaltenindex
Definition: Transponierte einer Matrix
Werden in einer Matrix A Zeilen und Spalten vertauscht, so erh¨ alt man die Transponierte der Matrix A, A
T.
Definition: Quadratische Matrix Gestalt: Zeilenzahl = Spaltenzahl
A =
a
11a
12. . . a
1na
21a
22. . . a
2n.. . .. . .. . a
n1a
n2. . . a
nn
Hauptdiagonale Nebendiagonale
10
Definition: Diagonalmatrix
Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen zu 0 werden.
D =
a
110 0 0 a
220 0 0 a
33
Stehen in einer Diagonalmatrix auf der Hauptdiagonalen nur 1 so handelt es sich um die Einheitsmatrix.
E =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Jede Spalte der Einheitsmatrix ist ein Einheitsvektor
Definition: Dreiecksmatrix
Eine quadratische Matrix (m, m) heißt Dreiecksmatrix, wenn die Elemente ober- oder unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind.
Definition: Symmetrische Matrix
Eine quadratische Matrix A (m, m) heißt symmetrisch, wenn a
ik= a
kif¨ ur i 6= k = 1 . . . m ist. Das entspricht einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen.
2.2 Rechenoperationen
2.2.1 Addition und Subtraktion
Definition: Addition und Subtraktion
2 Matrizen A = (a
ik) und B = (b
ik) vom gleichen Typ, werden addiert/subtrahiert, indem die entsprechenden Elemente (gleiche Indizes) addiert/subtrahiert werden.
C = A ± B = (a
ik± b
ik)
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Gesetze:
Kommutativgesetz: A + B = B + A.
Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C).
2.2.2 Multiplikation mit einem Skalar
Definition: Multiplikation mit einem Skalar
Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit λ multipliziert wird.
Gesetze:
Assoziativgesetz: λ(µA) = (λµ)A.
Distributivgesetze: (λ + µ)A = λA + µA und λ(A + B) = λA + λB
2.2.3 Multiplikation von Matrizen
Multiplikation von 2 Matrizen ist nur m¨ oglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B ¨ ubereinstimmt!
A · B =
2 1 3 5 4 0
·
1 3 2
4 7 1
=
6 13 5 23 44 11
4 12 8
Eine Zeile von A wird elementweise mit einer Spalte von B multipliziert.
Durch Addition der Produkte erh¨ alt man die Elemente der Ergebnis-Matrix.
Hierbei liefert der jeweilige Zeilenindex von A den Zeilenindex des Ergebniselementes, w¨ ahrend der Spaltenindex von B den zugeh¨ origen Spaltenindex des Ergebniselementes liefert.
Beispiel:
HS M¨ unchen 12 Fakult¨ at 03
c
11= a
11· b
11+ a
12· b
21bzw.:
c
23= a
21· b
13+ a
22· b
23Zusammenhang der Matrixtypen:
A · B = C
Typ: (n,p) (p,m) (n,m) Falk-Schema
Zur Vereinfachung der Rechnung dient das Falk -Schema. Hierbei werden die Elemente der Matrizen wie folgt in einer Tabelle angeordnet.
1 3 2
4 7 1
2 1 6 13 5
3 5 23 44 11
4 0 4 12 8
Gesetze:
Assoziativgesetz
A · (B · C) = (A · B) · C
Distributivgesetz
A · (B + C) = A · B + A · C (A + B) · C = A · C + B · C
Ferner
A · E = E · A = A (A · B )
T= B
T· A
TE ist die Einheitsmatrix, mit den zugeh¨ origen Einheitsvektoren
Das Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht!
A · B 6= B · A
3 Determinanten
Determinanten existieren nur f¨ ur quadratische Matrizen.
Anwendungen:
das Spatprodukt
L¨ osbarkeit linearer Gleichungssysteme bzw. Aussagen zu linearer Abh¨ angigkeit /Unabh¨ angigkeit von Vektoren
3.1 Zweireihige Determinanten
Unter der Determinante einer zweireihigen Matrix versteht man folgende Zahl:
D = det A =
a
11a
12a
21a
22= + a
11· a
22− a
12· a
21Das Produkt aus den Elementen der Hauptdiagonale wird addiert, das Produkt der Elemente der Nebendiagonalen wird subtrahiert.
3.2 Dreireihige Determinanten
D = det A =
a
11a
12a
13a
11a
12a
21a
22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
32&
&
&
&
&
&
. . . . . .
&
. multiplizieren und addieren:
multiplizieren und subtrahieren:
= +a
11· a
22· a
33+a
12· a
23· a
31+ a
13· a
21· a
32− a
12· a
21· a
33− a
11· a
23· a
32− a
13· a
22· a
3114
3.3 Eigenschaften von Determinanten
1. Eine Determinante ¨ andert ihren Wert nicht, wenn man in ihr die Zeilen mit den Spalten vertauscht und umgekehrt. (Deshalb gelten alle folgenden Eigenschaften, die sich auf Zeilen beziehen analog f¨ ur Spalten.)
2. Eine Determinante ¨ andert ihr Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen (Spalten) ver- tauscht und die ¨ ubrigen Zeilen (Spalten) fest l¨ asst.
3. Multiplikation mit einem Skalar λ:
a) Eine Determinante wird mit einem Faktor λ multipliziert, indem alle Elemen- te einer Zeile (Spalte) mit λ multipliziert werden.
b) Ein Faktor λ, der allen Elementen irgendeiner Zeile (Spalte) gemeinsam ist, kann vor die Determinante gezogen werden.
c) Werden die Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit einem Faktor λ mul- tipliziert, so multipliziert sich die Determinante mit λ.
4. Eine Determinante hat den Wert Null, wenn
a) alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich Null sind.
b) zwei Zeilen (Spalten) gleich sind.
c) zwei Zeilen (Spalten) zueinander proportional sind.
d) eine Zeile (Spalte) als Linearkombination der ¨ ubrigen darstellbar ist.
5. Eine Determinante ¨ andert ihren Wert nicht, wenn man zu einer beliebigen Zeile (Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) oder eine Linear- kombination von mehreren Zeilen (Spalten) addiert.
6. F¨ ur zwei n-reihige quadratische Matrizen gilt stets det(A · B) = det(A) · det(B)
7. Die Determinante einer n-reihigen Dreiecksmatrix besitzt den Wert det A = a
11a
22. . . a
nn.
3.4 Determinanten h¨ oherer Ordnung
Definition:
Entwicklungsformel f¨ ur Determinanten h¨ oherer Ordnung
Der Wert einer (n, n) Determinanten D = det(A) wird rekursiv nach folgender Entwicklungsformel berechnet:
D = det A =
a
11. . . a
1n.. . .. .
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n
X
k=1
a
1k· A
1k= a
11· A
11+ a
12· A
12+ · · · + a
1n· A
1nmit:
A
1k= (−1)
1+k· D
1kD 1 k : (n − 1, n − 1)-Unterdeterminante von D. D
1 k entsteht durch Streichen der 1. Zeile und k-te Spalte von D.
3.5 Laplace’scher Entwicklungssatz
Definition: Laplace’scher Entwicklungssatz
Eine (n,n)-Determinante l¨ asst sich nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln.
Nach i-ter Zeile:
D =
n
X
k=1
a
ik· A
ik= a
i1· A
i1+ a
i2· A
i2+ · · · + a
in· A
1nNach k-ter Spalte:
D =
n
X
i=1
a
ik· A
ik= a
1k· A
1k+ a
2k· A
2k+ · · · + a
nk· A
nkA
ik= (−1)
i+k· D
ikD
ik: (n-1,n-1)-Unterdeterminante von D ergibt sich durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte von D.
HS M¨ unchen 16 Fakult¨ at 03
Determinanten
Definition: Regul¨ are Matrix
Eine (n,n)-Matrix heißt regul¨ ar, wenn det A 6= 0. Andernfalls heißt sie singul¨ ar.
Definition: Inverse Matrix
Gibt es zu einer (n,n)-Matrix A eine zweite (n,n)-Matrix mit folgender Eigenschaft A · X = X · A = E
so heißt X die zu A inverse Matrix und wird A
−1bezeichnet.
Definition: Orthogonale Matrix
Eine (n,n)-Matrix A heißt orthogonal falls A · A
T= A
T· A = E
Eigenschaften einer orthogonalen Matrix:
1. Zeilen- bzw. Spaltenvektoren bilden ein orthonormiertes System. (⇔ A ist ortho- gonal)
2. det A = 1 oder −1 3. A
T= A
−14. Das Produkt orthogonaler Matrizen ist wieder orthogonal.
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4.1 Rang einer Matrix
Definition:
Unterdeterminante einer nicht-quadratischen Matrix
Werden in einer (n,m)-Matrix A n − p Zeilen und m − p Spalten gestrichen, so heißt die Determinante der (p;p)-Restmatrix Unterdeterminante p-ter Ordnung von A.
Definition: Rang einer Matrix
Unter dem Rang einer Matrix wird die h¨ ochste Ordnung r aller von 0 verschiedenen Unterdeterminante verstanden.
4.1.1 Rangbestimmung durch elementare Umformungen
Folgende Aktionen haben keinen Einfluss auf den Rang einer Matrix:
Vertauschung von 2 Zeilen
Multiplikation einer Zeile mit λ 6= 0
Zeilen addieren und subtrahieren
Die o.g. Mittel k¨ onnen genutzt werden, um die Matrix zu vereinfachen, um so die Rang- bestimmung zu erleichtern. Hierbei wird eine Dreiecks- oder Trapezform angestrebt bzw.
m¨ oglichst viele Nullzeilen und -spalten. Der Rang von A ist dann die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
b
11b
11. . . b
1rb
1,r+1b
1,r+2. . . b
1n0 b
21. . . b
2rb
2,r+1b
2,r+2. . . b
2n.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . 0 0 . . . b
rrb
r,r+1b
r,r+2. . . b
rn0 0 . . . 0 0 0 . . . 0
.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .
0 0 . . . 0 0 0 . . . 0
= ⇒ RgA = r
HS M¨ unchen 18 Fakult¨ at 03
Definition: Lineares Gleichungssysteme
Ein System von m Gleichungen und n Unbekannten der Form a
11x
1+ a
12x
2+ . . . + a
1nx
n= c
1.. . .. . = .. .
a
m1x
1+ a
m2x
2+ . . . + a
mnx
n= c
ma
ij,c
i∈ R , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n
heißt Lineares Gleichungssystem (LGS) vom Typ (m,n).
5.1 Darstellung linearer Gleichungssysteme mittels Matrizen
Ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannte vom Typ a
11x
1+ a
12x
2+ . . . + a
1nx
n= c
1.. . .. . = .. .
a
m1x
1+ a
m2x
2+ . . . + a
mnx
n= c
ml¨ asst sich mit Matrizen wie folgt darstellen
A · ~ x = ~c
A =
a
11. . . a
1n.. . .. . a
m1. . . a
mn
| {z }
Koeffizientenmatrix
·
x
1.. . x
n
=
c
1.. . c
m
bzw.
(A|c) =
a
11a
12. . . a
1nc
1.. . .. . .. . a
m1a
m1. . . a
mnc
m
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5.2 L¨ osen eines LGS
Strategie:
Das LGS wird durch zul¨ assige Umformungen in ein ¨ aquivalentes LGS ¨ uberf¨ uhrt, d.h. die L¨ osungsmenge des LGS ¨ andert sich nicht.
Zul¨ assige Umformungen:
Vertauschung von 2 Gleichungen
Multiplikation einer Gleichung mit λ 6= 0
Addition/Subtraktion einer Gleichung zu einer anderen Gegeben: LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten vom Typ
a
11x
1+ a
12x
2+ . . . + a
1nx
n= c
1.. . .. . = .. .
a
m1x
1+ a
m1x
2+ . . . + a
mnx
n= c
mGauss-Verfahren
Durch zul¨ assige Umformungen wird eine Zeilenstufenform erzeugt, d.h. unterhalb der Diagonalen stehen Nullen. Durch R¨ uckw¨ artselimination werden dann die Unbekannten berechnet.
Falls m = n (quadratisches System) ergibt sich eine obere Dreiecksmatrix:
(A|c) =
a
11a
12. . . a
1nc
1.. . .. . .. . a
n1a
n1. . . a
nnc
n
→
r
11r
12. . . r
1nd
10 r
22. . . r
2nd
2.. . . .. .. . .. . 0 0 . . . r
nnd
n
Berechnung der Unbekannten durch R¨ uckw¨ artselimination:
1. Aufl¨ osen der letzten Gleichung: x
n=
r1nn
d
n2. Einsetzen in die vorletzte Gleichung und Aufl¨ osen: x
n−1=
r 1n−1,n−1
(d
n−1−r
n−1,n·x
n) 3. usw. :
x
n−j= 1 r
n−j,n−j(d
n−j−
j
X
k=1
r
n−j,n−j+k· x
n−j+k), f¨ ur j = 1, . . . , n − 1.
HS M¨ unchen 20 Fakult¨ at 03
Abbildung 5.1: Schema der Kriterien f¨ ur die L¨ osbarkeit eines LGS
5.3 Kriterien f¨ ur die L¨ osbarkeit eines LGS
In Abbildung 5.1, auf Seite 21 ist der Zusammenhang zwischen Rang und L¨ osbarkeit von Linearen Gleichungssystemen schematisch dargestellt.
5.4 Berechnung der inversen Matrix durch Zeilenumformungen
A Sei vom Typ (n,n) und regul¨ ar.
Dann erfolgt die Berechnung der Inversen von A (A
−1) aus dem Zusammenhang:
A · A
−1= E
(A|E ) =
a
11a
12. . . a
1n1 0 . . . 0 a
21a
22. . . a
2n0 1 0 .. . .. . .. . . .. ...
a
n1a
n2. . . a
nn0 . . . . 1
Durch Zeilenumformungen muss nun links die Einheitsmatrix erzeugt werden.
(E|B ) =
1 0 . . . 0 b
11b
12. . . b
1n0 1 0 b
21b
22. . . b
2n.. . . .. ... ... .. . 0 . . . . 1 b
n1b
n2. . . b
nn
Die rechts entstandene Matrix B ist die Inverse zu A.
6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Die Multiplikation von Matrix und Vektor
~ y = A · ~ x, mit ~ x = x
1x
2A kann eine Drehung und L¨ angen¨ anderung von ~ x verursachen.
6.2 Das Eigenwertproblem
Frage: Gibt es einen Vektor ~ x zu der Matrix A vom Typ (n,n) der die Gleichung A · ~ x = λ · ~ x
erf¨ ullt?
Definition: Eigenwert und Eigenvektor
A sei eine quadratische Matrix vom Typ (n,n). Eine Zahl λ ∈ C heißt Eigenwert von A und ~ x heißt Eigenvektor von A, wenn gilt:
A · ~ x = λ · ~ x, ~ x 6= ~ 0
Die Menge aller Eigenwerte von A, heißt Spektrum von A.
Der Eigenvektor einer Matrix ist nur bis auf den Faktor c 6= 0 eindeutig bestimmt
~ x ist EV → c · ~ x ist EV
weshalb EV normiert angegeben werden sollte.
Berechnung der Eigenwerte Umformung:
A · ~ x = λ · ~ x, ~ x = E~ ~ x A · ~ x = λ · E~ ~ x
A · ~ x − λ · E~ ~ x = ~ 0
A · −λ · E ~
| {z } (n, n) − M atrix
~ x = ~ 0
22
Der hergeleitete Ausdruck stellt ein homogenes, lineares Gleichungssystem dar.
Gesucht sind nun die L¨ osungen dieses Gleichungssystems, da ~ x 6= ~ 0 = ⇒ Rg(A −λE) < n muss gelten:
det(A − λE) = 0
Dieser Ausdruck wird als Eigengleichung oder charakteristische Gleichung von A be- zeichnet. F¨ ur die Berechnung der Eigenwerte m¨ ussen also die Nullstellen des charakte- ristischen Polynoms det(A − λE) berechnet werden.
Berechnung der Eigenvektoren
L¨ osen des LGS f¨ ur jeden Eigenwert λ
ieinzeln (A − λ
iE) · ~ x = 0
Anmerkung: Hat ein EW die Vielfachheit m, so hat er maximal m zugeh¨ orige EV.
6.3 Eigenschaften von EW und EV
1. P
ni=1
a
ii= Sp(A) = P
n i=1λ
iDie Summe der Hauptdiagonalelemente ist gleich der Summe der EW. Sie heißt Spur der Matrix A.
2. det A = λ
1· λ
2· · · · · λ
nDoppelte Eigenwerte gehen doppelt ein
3. Tritt ein EW k-fach auf, so hat er maximal k EV.
4. Die zu verschiedenen EW geh¨ orenden EV sind stets linear unabh¨ angig.
5. Hat ein EW mehrere EV, so ist auch jede Linearkombination wieder ein EV zu dem EW.
= ⇒ Jede Kombination von EV spannt dieselbe Ebene auf.
6.4 EW und EV von speziellen Matrizen
Diagonal- bzw Dreiecksmatrix
det(A − λE) =
a
11− λ a
12a
130 a
22− λ a
230 0 a
33− λ
= 0 = (a
11− λ) · (a
22− λ) · (a
33− λ)
λ
1= a
11, λ
2= a
22, λ
3= a
33Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf Lineare Algebra
Inverse Matrix
Hat A die EW λ
1. . . λ
nso hat A
−1die EW
λ11
. . .
λ1n
