Definition von Funktionen

Praktische Informatik 3: Funktionale Programmierung Vorlesung 2 vom 21.10.2014: Funktionen und Datentypen

Christoph Lüth Universität Bremen Wintersemester 2014/15

Rev. 1843 1 [38]

Fahrplan

I Teil I: Funktionale Programmierung im Kleinen

IEinführung

IFunktionen und Datentypen

IRekursive Datentypen

ITypvariablen und Polymorphie

IFunktionen höherer Ordnung I

IFunktionen höherer Ordnung II

ITypinferenz

I Teil II: Funktionale Programmierung im Großen I Teil III: Funktionale Programmierung im richtigen Leben

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Inhalt

I Organisatorisches I Definition vonFunktionen

I SyntaktischeFeinheiten

I Bedeutung von Haskell-Programmen

I Striktheit

I Definition vonDatentypen

I Aufzählungen

I Produkte

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Organisatorisches

I Verteilung der Tutorien (laut stud.ip):

Mi 08 – 10 MZH 1110 Sören Schulze 11 Mi 10 – 12 MZH 1470 Sandor Herms 46 Mi 12 – 14 MZH 1110 Henrik Reichmann 19 Mi 14 – 16 SFG 1020 Felix Thielke 14

Do 08 – 10 MZH 1110 Jan Radtke 37

Do 10 – 12 MZH 1090 Daniel Müller 40

Nicht zugeordnet 30

I Insgesamt: 197 Studenten, optimale Größe: ca. 33 I Bitte auf die kleineren Tutorienumverteilen, wenn möglich.

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Definition von Funktionen

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Definition von Funktionen

I Zwei wesentlicheKonstrukte:

IFallunterscheidung

IRekursion Satz

Fallunterscheidung und Rekursion auf natürlichen Zahlen sind Turing-mächtig.

I Funktion kannpartiellsein.

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Haskell-Syntax: Funktionsdefinition

Generelle Form:

I Signatur:

max :: Int→ Int→ Int I Definition:

max x y=i f x<y then y else x

I Kopf, mit Parametern

I Rumpf(evtl. länger, mehrere Zeilen)

I TypischesMuster: Fallunterscheidung, dann rekursiver Aufruf

I Was gehört zum Rumpf (Geltungsberereich)?

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Haskell-Syntax: Charakteristika

I Leichtgewichtig

IWichtigstes Zeichen:

I Funktionsapplikation: f a

IKeineKlammern

IHöchstePriorität (engste Bindung)

I Abseitsregel: Gültigkeitsbereich durch Einrückung

IKeineKlammern

I Auch in anderenSprachen(Python, Ruby)

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Haskell-Syntax I: Die Abseitsregel

Funktionsdefinition:

f x1x2. . .xn=E I Geltungsbereichder Definition von f:

alles, was gegenüber feingerücktist.

I Beispiel:

f x=h i e r faengts an und h i e r gehts weiter

immer weiter

g y z=und h i e r faengt was neues an I Gilt auchverschachtelt.

I Kommentare sindpassiv

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Haskell-Syntax II: Kommentare

I Pro Zeile: Ab−−bis Ende der Zeile

f x y=irgendwas −−und hier der Kommentar!

I Über mehrere Zeilen: Anfang{−, Ende−}

{−

Hier faengt der Kommentar an e r s tr e c k t sich ueber mehrere Zeilen

b i s h i e r −}

f x y=irgendwas

IKann geschachtelt werden.

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Haskell-Syntax III: Bedingte Definitionen

I Statt verschachtelter Fallunterscheidungen . . . f x y=i f B1thenP else

i f B2thenQelse. . . . . .bedingte Gleichungen:

f x y

| B1=. . .

| B2=. . .

I Auswertung der Bedingungen von oben nach unten I Wenn keine Bedingung wahr ist:Laufzeitfehler! Deshalb:

| otherwise=. . .

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Haskell-Syntax IV: Lokale Definitionen

I Lokale Definitionen mitwhereoderlet:

f x y

| g=P y

| otherwise=Qwhere y=M

f x=N x

f x y= let y=M

f x=N x in i f g thenP y

elseQ I f, y, . . . werdengleichzeitigdefiniert (Rekursion!) I Namen f, y und Parameter (x)überlagernandere I Es gilt dieAbseitsregel

IDeshalb:Aufgleiche Einrückungder lokalen Definition achten!

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Bedeutung von Funktionen

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Bedeutung (Semantik) von Programmen

I OperationaleSemantik:

IDurch denAusführungsbegriff

IEin Programm ist, was es tut.

I DenotationelleSemantik:

IProgramme werden aufmathematische Objekteabgebildet (Denotat).

IFür funktionale Programme:rekursivdefinierte Funktionen Äquivalenz von operationaler und denotationaler Semantik

SeiPein funktionales Programm,→P die dadurch definierte Reduktion, und[[P]]das Denotat. Dann gilt für alle Ausdrücketund Wertev

t→_Pv ⇐⇒ [[P]](t) =v

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Auswertungsstrategien

inc :: Int → Int inc x=x+1

double :: Int → Int double x=2∗x I Reduktion von inc (double ( inc 3))

I Vonaußennachinnen(outermost-first):

inc (double ( inc 3)) →double (inc 3)+ 1

→2*(inc 3)+ 1

→2*(3+ 1)+ 1

→2*4+1→9 I Voninnennachaußen(innermost-first):

inc (double (inc 3)) →inc (double (3+1))

→inc (2*(3+ 1))

→(2*(3+ 1))+ 1

→2*4+1→9

Konfluenz und Termination

Sei→^∗ die Reduktion in null oder mehr Schritten.

Definition (Konfluenz)

→∗ istkonfluentgdw:

Für aller,s,tmits←^∗ r→^∗ tgibt esuso dasss→^∗ u←^∗ t.

Definition (Termination)

→istterminierendgdw. es keine unendlichen Ketten gibt:

t1→t2→t3→. . .tn→. . .

Auswertungsstrategien

I Wenn wir von Laufzeitfehlern abstrahieren, gilt:

Theorem (Konfluenz)

Funktionale Programme sind für jede Auswertungsstrategiekonfluent.

Theorem (Normalform)

Terminierendefunktionale Programme werten unter jeder Auswertungsstragie jeden Ausdruck zum gleichen Wert aus (der Normalform).

I Auswertungsstrategie fürnicht-terminierendeProgramme relevant I Nicht-Terminationnötig(Turing-Mächtigkeit)

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Auswirkung der Auswertungsstrategie

I Outermost-first entsprichtcall-by-need,verzögerteAuswertung.

I Innermost-first entsprichtcall-by-value,strikteAuswertung I Beispiel:

repeat :: Int→ String→ String repeat n s=i f n==0 then""

else s ++repeat (n−1) s undef :: String

undef=undef

I Auswertung von repeat 0 undef

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Striktheit

Definition (Striktheit)

Funktionf iststrikt ⇐⇒ Ergebnis ist undefiniert

sobald ein Argument undefiniert ist.

I DenotationelleEigenschaft (nicht operational)

I Java, C etc. sindcall-by-value(nach Sprachdefinition) und damitstrikt I Haskell istnicht-strikt(nach Sprachdefinition)

I repeat0 undefmuss""ergeben.

I MeistenImplementationennutzenverzögerte Auswertung I Fallunterscheidung istimmernicht-strikt.

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Datentypen

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Datentypen als Modellierungskonstrukt

ProgrammemanipuliereneinModell(der Umwelt)

I FunktionaleSicht:

Werte Funktionen Werte

I ImperativeSicht: ^{Speicher Programm}

I ObjektorientierteSicht: ^Methoden

Objekte

Speicher Speicher

Speicher

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Typkonstruktoren

I Aufzählungen

I Produkt

I Rekursion

I Funktionsraum

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Beispiel: Uncle Bob’s Auld-Time Grocery Shoppe

Ein Tante-Emma Laden wie in früheren Zeiten.

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Beispiel: Uncle Bob’s Auld-Time Grocery Shoppe

Äpfel Boskoop 55 ct/Stk

Cox Orange 60 ct/Stk Granny Smith 50 ct/Stk

Eier 20 ct/Stk

Käse Gouda 14,50 ¤/kg

Appenzeller 22.70 ¤/kg

Schinken 1.99 ¤/100 g

Salami 1.59 ¤/100 g

Milch 0.69 ¤/l

Bio 1.19 ¤/l

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Aufzählungen

I Aufzählungen: Menge vondisjunktenKonstanten Apfel={Boskoop,Cox,Smith}

Boskoop6=Cox,Cox6=Smith,Boskoop6=Smith

I GenaudreiunterschiedlicheKonstanten

I Funktion mitWertebereichApfelmuss drei Fälle unterscheiden I Beispiel:preis:Apfel→Nmit

preis(a) =







55 a=Boskoop 60 a=Cox 50 a=Smith

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Aufzählung und Fallunterscheidung in Haskell

I Definition

data Apfel=Boskoop | CoxOrange | GrannySmith

IImpliziteDeklarationderKonstruktorenBoskoop::Apfel alsKonstanten

IGroßschreibungder Konstruktoren I Fallunterscheidung:

apreis :: Apfel → Int apreis a=casea of

Boskoop→ 55 CoxOrange→ 60 GrannySmith→ 50

data Farbe=Rot | Grn farbe :: Apfel→ Farbe farbe d=

cased of

GrannySmith → Grn _→ Rot

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Fallunterscheidung in der Funktionsdefinition

I Abkürzende Schreibweisen (syntaktischer Zucker):

f c1==e1 . . . f cn==en

−→

f x==casexofc1 → e1, . . . cn → en

I Damit:

apreis :: Apfel→ Int apreis Boskoop=55 apreis CoxOrange=60 apreis GrannySmith=50

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Der einfachste Aufzählungstyp

I EinfachsteAufzählung: Wahrheitswerte Bool={True,False}

IGenau zwei unterschiedliche Werte I Definitionvon Funktionen:

IWertetabellensind explizite Fallunterscheidungen

∧ true false true true false false false false

true ∧ true = true true ∧ false = false false ∧ true = false false ∧ false = false

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Wahrheitswerte: Bool

I Vordefiniertals

data Bool=True | False I VordefinierteFunktionen:

not :: Bool→ Bool −−Negation (&&) :: Bool→ Bool→ Bool −−Konjunktion

(| |) :: Bool→ Bool→ Bool −−Disjunktion I Konjunktiondefiniert als

a && b=casea of False → False True →b I &&,| |sind rechtsnicht strikt

I 1==0 && div 1 0==0 False

I if _then_else_ als syntaktischer Zucker:

ifbthenpelseq −→casebof True → p False → q

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Beispiel: Ausschließende Disjunktion

I Mathematische Definiton:

exOr :: Bool→ Bool→Bool

exOr x y=(x | | y) && (not (x && y )) I Alternative 1:explizite Wertetabelle:

exOr False False=False exOr True False=True exOr False True =True exOr True True =False

I Alternative 2:Fallunterscheidungauf ersten Argument exOr True y=not y

exOr False y=y I Was ist ambesten?

IEffizienz, Lesbarkeit, Striktheit

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Produkte

I Konstruktoren könnenArgumentehaben I Beispiel: EinDatumbesteht ausTag,Monat,Jahr I Mathematisch: Produkt (Tupel)

Date = {Date (n, m, y)|n∈N,m∈Month,y∈N} Month = {Jan,Feb,Mar, . . .}

I Funktionsdefinition:

I Konstruktorargumente sindgebundene Variablen year(D(n,m,y)) = y

day(D(n,m,y)) = n

I Bei derAuswertungwirdgebundene Variabledurchkonkretes Argument ersetzt

Produkte in Haskell

I Konstruktoren mitArgumenten dataDate =Date Int Month Int

dataMonth=Jan | Feb | Mar | Apr |May | Jun

| Jul | Aug | Sep | Oct | Nov | Dec I Beispielwerte:

today =Date 21 Oct 2014 bloomsday=Date 16 Jun 1904

I ÜberFallunterscheidungZugriff aufArgumenteder Konstruktoren:

day :: Date→ Int year :: Date→ Int

day d=casedof Date t m y→t year (Date d m y)=y

Beispiel: Tag im Jahr

I Tag im Jahr: Tag im laufenden Monat plus Summe der Anzahl der Tage der vorherigen Monate

yearDay :: Date→ Int

yearDay (Date d m y)=d+sumPrevMonths mwhere sumPrevMonths :: Month→ Int

sumPrevMonths Jan=0

sumPrevMonths m =daysInMonth ( prev m) y+ sumPrevMonths ( prev m) I Tage im Monat benötigt Jahr als Argument (Schaltjahr!)

daysInMonth :: Month→ Int→ Int prev :: Month→Month

I Schaltjahr: Gregorianischer Kalender leapyear :: Int→ Bool

leapyear y=i f mod y 100==0 thenmod y 400==0 elsemod y 4==0

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Beispiel: Produkte in Bob’s Shoppe

I Käsesorten und deren Preise:

dataKaese=Gouda | Appenzeller kpreis :: Kaese → Double kpreis Gouda=1450 kpreis Appenzeller=2270 I Alle Artikel:

data A r t i k e l= Apfel Apfel | Eier

| Kaese Kaese | Schinken

| Salami | Milch Bool

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Beispiel: Produkte in Bob’s Shoppe

I Mengenangaben:

dataMenge=Stueck Int | Gramm Int

| Kilo Double | L i t e r Double I Der Preis und seine Berechnung:

data Preis=Cent Int | Ungueltig p r e i s :: A r t i k e l →Menge→ Preis

p r e i s ( Apfel a) (Stueck n) =Cent (n∗ apreis a) p r e i s Eier (Stueck n) =Cent (n∗ 20) p r e i s (Kaese k)( Kilo kg) =Cent (round(kg∗

kpreis k)) p r e i s Schinken (Gramm g) =Cent (g/100∗ 199) p r e i s Salami (Gramm g) =Cent (g/100∗ 159) p r e i s (Milch bio ) ( L i t e r l )=

Cent (round ( l∗ i f not bio then 69 else 119))

p r e i s _ _ =Ungueltig

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Auswertung der Fallunterscheidung

I Argument der Fallunterscheidung wirdnur soweit nötigausgewertet I Beispiel:

dataFoo=Foo Int | Bar f :: Foo→Int

f foo=casefoo ofFoo i → i ; Bar→0 g :: Foo→Int

g foo=casefoo ofFoo i →9; Bar →0 I Auswertungen:

f Bar → 0

f (Foo undefined) → ∗∗∗Exception: undefined

g Bar → 0

g (Foo undefined) → 9

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Der Allgemeine Fall: Algebraische Datentypen

Definition einesalgebraischen DatentypenT:

data T= C1t1,1. . .t1,k1

. . .

| Cntn,1. . .tn,kn

I KonstruktorenC1, . . . ,Cnsinddisjunkt:

Cix1. . .xn=Cjy₁. . .y_m=⇒i=j I Konstruktorensindinjektiv:

C x1. . .xn=C y₁. . .y_n=⇒xi=y_i I Konstruktorenerzeugenden Datentyp:

∀x∈T.x=Ciy₁. . .y_m Diese Eigenschaften machenFallunterscheidungmöglich.

Rekursion? Nächste Vorlesung!

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Zusammenfassung

I Striktheit

IHaskell istspezifiziertals nicht-strikt I Datentypen und Funktionsdefinitiondual

IAufzählungen—Fallunterscheidung

IProdukte— Projektion I Algebraische Datentypen

IDreiwesentlicheEigenschaftender Konstruktoren I Nächste Vorlesung: Rekursive Datentypen

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