Stochastische Dynamik klassischer und quantenmechanischer Systeme WS 1994/95

Stochastische Dynamik

klassischer und quantenmechanischer Systeme WS 1994/95

7.1.2002

Heinz Horner

Institut f¨ur Theoretische Physik, Universit¨at Heidelberg Philosophenweg19, D-69120 Heidelberg, Tel. 569399 Inhalt:

1 Einf¨uhrung2

2 Liouville Raum und Superoperatoren 6

3 St¨orungen und Messungen 13

4 Korrelations- und Responsefunktionen 17

5 Harmonischer Oszillator im Kontakt mit einm W¨armebad 23

6 System im Kontakt mit einem W¨armebad 30

7 Spin ¹₂ - Tunnelsystem im Kontakt mit einem W¨armebad: Schwache Kopplung37 8 Spin ¹₂ - Tunnelsystem im Kontakt mit einem W¨armebad: Starke Kopplung46

1. Einf¨ uhrung

Reversible und irreversible Dynamik

Hamilton’sche Mechanik und Quantenmechanik liefern reversible Bewegung.

Fragestellungen:

Reibung, dissipative Kr¨afte, offene Systeme, irreversible Prozesse in der Thermodynamik, Transportgleichungen, Quantenmechanik dissipativer Systeme, Meßprozeß

Theoretischer Ansatz:

Klassisches oder quantenmechanisches System im Kontakt mit einem (großen) W¨armebad.

Brown’sche Bewegung. Fokker-Planck Gleichung, Master Gleichung, Langevin Gleichung (fluktuierende Kr¨afte).

Reversible mikroskopische Bewegungsgleichungen Klassische Mechanik:

N Teilchen in d dimensionalem Raum Ortskoordinaten q_i(t) i = 1. . . d·N Impulskoordinaten p_i(t) i= 1. . . d·N Hamiltonfunktion

H(p,q, t) = 1 2m

i

p²_i +V(q, t) (1.1)

Hamiltonsche Bewegungsgleichungen d

dtp_i(t) =−∂H(p(t),q(t), t)

∂qi(t)

d

dtq_i(t) = ∂H(p(t),q(t), t)

∂pi(t) (1.2)

Observable A(p,q) d

dtA(p(t),q(t)) =

i

∂A(p(t),q(t))

∂p_i(t)

d

dt pi(t) + ∂A(p(t),q(t))

∂q_i(t)

d dt qi(t)

= −

A, H (1.3)

Poisson Klammer A, B

=

i

∂A(p,q)

∂p_i

∂B(p,q)

∂q_i − ∂A(p,q)

∂q_i

∂B(p,q)

∂p_i

(1.4)

Quantenmechanik:

Wellenfunktion, Vektor im Hilbertraum|ψ(t) Hamiltonoperator ˆH(t)

Zeitabh¨angige Schr¨odinger Gleichung i¯h d

dt|ψ(t) = ˆH(t) |ψ(t) (1.5) Observable ˆA Erwartungswert A_ψ(t) =ψ(t)|Aˆ|ψ(t)

HeisenbergGleichung: Observable ˆA(t) d

dtA(t) =ˆ −i

¯ h

A,ˆ Hˆ(t)

(1.6)

Erwartungswert Aψ(t) =ψ|A(t)ˆ |ψ Statistische Mechanik

Klassische Mechanik:

Dichte im 2d N-dimensionalen Phasenraum P(p,q, t) Liouville Gleichung

∂

∂tP(p,q, t) =

P(p,q, t), H(p,q, t)

(1.7) Normierung

i

dq_idp_iP(p,q, t) = 1 (1.8)

Erwartungswert einer Observablen A(t)=

i

dqidpiA(p,q)P(p,q, t) (1.9)

Entropie (Boltzmann Konstante k_B = 0) S =−

i

dq_idp_iP(p,q, t) ln P(p,q, t) (1.10)

Reversible Dynamik: _dt^d S(t) = 0.

Quantenmechanik:

Statistischer Oprator ˆρ(t) v. Neumann Gleichung d

dtρ(t) =ˆ i

¯ h

ρ(t)ˆ , Hˆ(t)

(1.11) Erwartungswert (Vollst¨andige orthogonale Basis |n)

A(t)ˆ

=

n

n|Aˆρ(t)ˆ |n = Tr ˆAρ(t)ˆ (1.12)

NormierungTr ˆρ(t) = 0 Entropie S = −Tr ˆρ(t) ln ˆρ(t)

Ph¨anomenologische Gleichungen Transportgleichungen

z.B. Diffusion, W¨armeleitung

∂

∂tn(x, t) =κ∆n(x, t) (1.13)

Brown’sche Bewegung, Langevin Gleichung m d²

dt²q_i(t) =−∂V(q(t), t)

∂qi(t) −γ d

dtq_i(t) +ζ_i(t) ζ_i(t)= 0 ζ_i(t)ζ_j(t)= 2γT δ_i,jδ(t−t)

(1.14)

Fokker-Planck Gleichung

∂

∂tP(p,q, t) = −

i

∂

∂qi

∂H(p,q, t)

∂pi − ∂

∂pi

∂H(p,q, t)

∂qi

+ γ mpi

−γ T ∂²

∂p²_i

P(p,q, t)

(1.15)

Master (Pauli) Gleichung

Basis |n; Pn(t) =n|ρ(t)ˆ |n

Ubergangswahrscheinlichkeiten¨ Wnm(t)≥0 d

dP_n(t) =

m

W_nm(t)P_m(t)−W_mn(t)P_n(t)

(1.16)

Markov Prozesse, Chapman-Kolmogorov Gleichung Beispiel: Fokker-Planck Gleichung

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(p,q, t|p,q, t)

∂

∂tP(p,q, t|p,q, t) = −

i

∂

∂q_i

∂H(p,q, t)

∂p_i − ∂

∂p_i

∂H(p,q, t)

∂q_i + γ mpi

−γ T ∂²

∂p²_i

P(p,q, t|p,q, t)

(1.17)

Anfangsbedingung f¨urt =t

P(p,q, t|p,q, t) =

i

δ(pi−p_i)δ(qi−q_i) (1.18)

Chapman-Kolmogorov Gleichung F¨ur t > t > t

P(p,q, t|p,q, t) =

i

dp_i dq_iP(p,q, t|p,q, t)P(p,q, t|p,q, t) (1.19)

Aquivalenz zwischen Langevin und Fokker-Planck Gleichung¨ L¨osung der Langevingleichung

qi(t+τ) =qi(t) + 1 m

t+τ t

dtpi(t) p_i(t+τ) =p_i(t)− ^t+τ

t

dt

∂V(q(t), t)

∂q_i(t) + γ

mp_i(t) − ζ_i(t)

(1.20)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(p,q, t+τ|p,q, t) =

i

δ(pi−pi(t+τ))δ(qi−qi(t+τ))

ζ

(1.21)

mit p =p(t) und q =q(t)

Entwicklungin erster Ordnungin τ (zweiter Ordnungin ζ) und Mittelung¨uber ζ liefert Fokker-Planck Gleichung(1.15)

2. Liouville Raum und Superoperatoren

Motivation

Zeitentwicklungsoperator in der Quantenmechanik Definiere Uˆ(t, t) f¨ur t≥t

d

dtUˆ(t, t) = −i

¯

h H(t) ˆˆ U(t, t) d

dt Uˆ†(t, t) = i

¯

hUˆ†(t, t) ˆH(t) Uˆ(t, t) = ˆU†(t, t) = ˆ1 Uˆ(t, t) ˆU†(t, t) = ˆ1

(2.1)

Damit ist

|ψ(t)= ˆU(t, t)|ψ(t) ρ(t) = ˆˆ U(t, t) ˆρ(t) ˆU†(t, t) (2.2) Chapman-Kolmogorov Gleichung f¨ur t > t > t

Uˆ(t, t) = ˆU(t, t) ˆU(t, t) ; Uˆ†(t, t) = ˆU†(t, t) ˆU†(t, t) (2.3) Zeitordnungssymbol

F¨ur t₁ > t₂ > t₃. . . sei TB(tˆ ₂) ˆA(t₁) ˆC(t₃)

=TC(tˆ ₃) ˆB(t₂) ˆA(t₁)

=· · ·= ˆA(t₁) ˆB(t₂) ˆC(t₃) T†B(tˆ ₂) ˆA(t₁) ˆC(t₃)

=T†C(tˆ ₃) ˆB(t₂) ˆA(t₁)

=· · ·= ˆC(t₃) ˆB(t₂) ˆA(t₁) (2.4) Zeitentwicklungsperator

Uˆ(t, t) =T

e^−h¯i t

tdsH(s)ˆ Uˆ†(t, t) =T†

e^h¯i _t

tdsH(s)ˆ

(2.5)

Darstellungin Basis |n

Aⁿ_m =n|Aˆ|m ; ρⁿ_m(t) =n|ρ(t)ˆ |m (2.6) Erwartungswert

A(t)= Tr ˆAρ(t) =ˆ

nm

A^m_n ρⁿ_m(t) (2.7)

Definiere ”Superoperator der Zeitentwicklung” U_m,n^n,m(t, t)

U(t, t)^n,m_m,n = n|Uˆ(t, t)|n m|U†(t, t)|m (2.8) Damit ist

ρ(t)ⁿ_m=

nm

U_m,n^n,m(t, t)ρⁿ_m(t) (2.9)

Liouville Raum Linearer Raum

Elemente (Vekoren): lineare Operatoren Aˆ→A

· · · Superoperatoren S · · ·

Abbildung A

→ B

= S A

= SA B_mⁿ =

nm

S_m,n^n,mAⁿ_m (2.10)

Skalarprodukt

A B

=

n m

Aⁿ_mB_n^m= Tr ˆABˆ (2.11)

1-Operator I

I_m,n^n,m =δ_n,nδ_m,m (2.12) Basis im Liouville Raum

Operatoren Φˆ_λ · · ·

Φλ Φµ

=δλ µ; I =

λ

Φλ Φλ (2.13)

Beispiel: Spin 1/2

Pauli Matrizen und 1-Matrix σ₁ =

0 1 1 0

σ₂ =

0 −i i 0

σ₃ =

1 0 0 −1

σ₀ =

1 0 0 1

(2.14) Basis:

Φ_λ≡σ_λ Φ_λ

≡ ¹₂σ_λ λ= 0· · ·3

Beispiel: Ortsdarstellung

Orts- und Impulsoperatoren qˆ_i pˆ_i pˆ_i, qˆ_j

= −i¯h δ_{i j} (2.15)

Ortsdarstellung: |x mit x|x =δ(x−x) ˆ

qi|x=xi|x ; pˆi|x= i¯h ∂

∂x_i |x (2.16)

Ortsdarstellungim Liouville Raum

A(x,y) =x|Aˆ|y

q_i(x,y) =x_iδ(x−y) ; p_i(x,y) = −i¯h ∂

∂xi

δ(x−y) I(x,y;y,x) =δ(x−x)δ(y−y)

(2.17)

Wigner Darstellung

A(x,p) = dye^¯hip·y

x− ¹₂yAˆx+ ¹₂y

(2.18)

Ort- und Impulsoperator in der Wigner Darstellung ˆ

q_i(x,p) =x_i pˆ_i(x,p) =p_i (2.19) Zur Definition von Funktionen vonpˆ und ˆq: Wigner’sches Normalprodukt

:ˆqⁿˆp^m: =

l

n l

1

2ⁿˆq^n−lpˆ^mˆq^l (2.20) Darstellung:

:ˆqⁿpˆ^m: (x,p) = dye^¯hip·y

l

n l

1 2ⁿ

x− ¹₂yˆq^n−lˆp^mˆq^lx+ ¹₂y

= dye^¯hip·yxⁿ

x− ¹₂yˆp^mx+ ¹₂y

= dye^¯hip·yxⁿ(i¯h∇y)^m

x− ¹₂yx+ ¹₂y

=xⁿp^m

(2.21)

Allgemein f¨ur eine normalgeordnete Funktion vonpˆ und ˆq

:A(ˆp,q) : (x,ˆ p) =A(x,p) (2.22)

Statistischer Operator in Wigner Darstellung P(x,p, t) = dy

(2π¯h)^dN e^¯hip·y

x− ¹₂yρ(t)ˆ x+ ¹₂y

(2.23) Normierung:

dxdpP(x,p, t) = 1 Erwartungswert:

A(t)ˆ

=

dxdpA(x,p)P(x,p, t) Identit¨at I(x,p;x,p)

I(x,p;x,p) = dydy

(2π¯h)^dN e^{¯hi(p·y+p·y)}

x− ¹₂yx+ ¹₂y x− ¹₂yx+ ¹₂y

=δ(x−x)δ(p−p)

(2.24)

Zeitentwicklung und Liouville Operator

Zeitentwicklungsoperator im Liouville Raum, Gl.(2.8)

U(t, t)^n,m_m,n = n|Uˆ(t, t)|n m|U†(t, t)|m (2.25) Zeitliche ¨Anderung, Gl.(2.1)

d

dtU(t, t)^n,m_m,n =−i

¯ h

n|H(t) ˆˆ U(t, t)|n m|U†(t, t)|m

− n|Uˆ(t, t)|n m|U†(t, t) ˆH(t)|m

=−i

¯ h

nm

n|H(t)ˆ |n m|m − n|n m|H(t)ˆ |m

× U(t, t)ⁿ_m^,m,n

(2.26)

Liouville Operator

L(t)^n,m_m,n =−i

¯ h

n|Hˆ(t)|n m|m − n|n m|H(t)ˆ |m

(2.27) Liouville Gleichung

d

dtU(t, t)^n,m_m,n =

nm

L(t)^n,m_m,nU(t, t)ⁿ_m^,m,n

d

dtU(t, t) =L(t)U(t, t) U(t, t) =I

(2.28)

Chapman-Kolmogorov Gleichung f¨ur t > t > t

U(t, t) =U(t, t)U(t, t) (2.29)

Darstellungdes Liouville Operators in Basis Φ_λ L(t)λ µ =

ΦλL(t)Φµ

=−i

¯ hTr

ΦˆλH(t) ˆˆ Φµ−ΦˆµHˆ(t) ˆΦλ

=−i

¯ hTr ˆΦ_λ

Hˆ(t),Φˆ_µ

=−i

¯ h

Φˆ_λ

Hˆ(t), ∗ Φˆ_µ

=−L(t)_{µ λ} L(t) ˆA =−i

¯ h

H(t)ˆ , Aˆ

(2.30)

Liouville Operator f¨ur Spin ¹/₂ Hamilton Operator

H(t) =ˆ −µ 3 α=1

hα(t)σα (2.31)

Darstellung, Gl.(2.14):

Φ₀≡1 ;

Φ_α≡σ_α Pα(t) =

Φα ρ(t)

=σα(t) P(t)≡



 1 σ₁(t) σ2(t) σ₃(t)



 (2.32)

Mit

σ_α, σ_β

= 2i%

γ ε_{α β γ}σ_γ und Tr σ_ασ_β = 2δ_{α β}

L(t)≡ 2µ

¯ h





0 0 0 0

0 0 −h₃(t) h₂(t) 0 h3(t) 0 −h1(t) 0 −h₂(t) h₁(t) 0



 (2.33)

Erhaltungder Norm: Tr ˆρ(t) =P0(t) = 1 ; daraus folgt L(t)o α = 0.

Bloch Gleichungen

Ph¨anomenologische Behandlung der D¨ampfung Magnetisierung im Gleichgewicht: m=σ= ^β¯₂^hh Relaxation σ_α(t)=m_α+e^−γt

σ_α(0) −m_α

Ldiss(t) =





0 0 0 0

γm1 −γ 0 0

γm₂ 0 −γ 0

γm3 0 0 −γ



 (2.34)

Mit L(t)→ L(t) +Ldiss : Bloch Gleichung d

dt σ(t)=

h× σ(t)

−γ

σ(t) −m

(2.35)

Liouville Operator in der Wigner Darstellung

L(x,p;x,p, t) =−i

¯ h

dydy

(2π¯h)^dN e^{¯hi(p·y+p·y)}

x− ¹₂yH(ˆp,ˆq, t)x+ ¹₂y x− ¹₂yx+ ¹₂y

−

x− ¹₂yx+ ¹₂y x− ¹₂yH(ˆp,ˆq, t)x+ ¹₂y

(2.36)

Es sei H(ˆp,ˆq, t) = _2m¹ ˆp² +V(ˆq, t) oder allgemeiner H(ˆp,ˆq, t) = :H(ˆp,q, t) : f¨ˆ ur jede beliebige Normalordnung (z.B. Teilchen im Magnetfeld)

Nebenrechnung:

A(ˆp)x+ ¹₂y

=A(i¯h∇x)x+ ¹₂y

=A

i¯h(¹₂∇x +∇y) x+ ¹₂y (¹₂∇x +∇y)

x− ¹₂y= 0

Unter einem Integral, Gl.(2.36), nach partieller Integration, ∇y → −_h¯ⁱp; damit:

A(ˆp)x+ ¹₂y x− ¹₂y=A

p+ ¹₂i¯h∇x x+ ¹₂y x− ¹₂y Nebenrechnung:

e^h¯ip·yB(ˆq)x+ ¹₂y

=e^¯hip·yB(x+ ¹₂y)x+ ¹₂y

=B

x− ¹₂i¯h∇p)x+ ¹₂y

e^¯hip·y

Damit erh¨alt man mit Gl.(2.36)

L(x,p;x,p;t) =−i

¯ h

H

p+ ¹₂i¯h∇x, x− ¹₂i¯h∇p, t

−

−H

p+ ¹₂i¯h∇x, x− ¹₂i¯h∇p, t

I(x,p;x,p)

=−i

¯ h

H

p− ¹₂i¯h∇x, x+ ¹₂i¯h∇p, t

−

−H

p+ ¹₂i¯h∇x, x− ¹₂i¯h∇p, t

δ(x−x)δ(p−p)

(2.37)

Schreibweise als Differentialoperator:

L(x,p;t) =−i

¯ h

H

p−¹₂i¯h∇x, x+¹₂i¯h∇p, t

−H

p+¹₂i¯h∇x, x− ¹₂i¯h∇p, t

(2.38) Entwicklungnach Potenzen von ¯h:

Ordnung¯h⁰: klassische Liouville Gleichung.

Quantenmechanische Korrekturen in Ordnung¯h². Beispiel: Harmonischer Oszillator

Hamilton Funktion

H(p, x) = 1

2mp²+ mω²

2 x² (2.39)

Liouville Operator

L(x, p) =−1 mp ∂

∂x +mω²x ∂

∂p (2.40)

Anmerkung: Keine Quantenkorrekturen Zeitentwicklung

U(x, p, t;x, p, t) =δ

x−xcosω(t−t)− _mω¹ psinω(t−t) δ

p−pcosω(t−t) +mωxsinω(t−t) (2.41)

3. St¨ orungen und Messungen

Motivation

Erwartungswert einer Observablen A(t)ˆ

= Tr ˆAρ(t) =ˆ

A ρ(t)

(3.1) Problem: Zeitliche Entwicklungnach der Messungvon ˆA?

St¨orungen durch ¨außere Felder

Hamilton Operator (Funktion) mit ¨außeren Feldern H(t) =ˆ H˚ˆ(t)−

A

hA(t) ˆA (3.2)

Dichten: nˆA(r)

H(t) =ˆ H(t)˚ˆ −

A

drh_A(r, t)ˆn_A(r) (3.3) Liouville Operator

L(t) =L˚(t) +

A

h_A(t) ˜A (3.4)

Response Operator:

A˜λµ = i

¯

hTr ˆΦ_λA ,ˆ Φˆ_µ

(3.5) Wigner Darstellung (klassische Mechanik) wie in Gl.(2.38) mit H(p,q)→ −A(p,q) St¨orungsrechnung

Ungest¨orte Zeitentwicklung

˚U(t, t) =T

e t

tdsL(s)˚

(3.6) St¨orungsreihe der vollen Zeitentwicklung

U(t, t) =˚U(t, t) +

t t

ds˚U(t, s)hA(s) ˜A˚U(s, t) +

t t

ds

s t

ds˚U(t, s)h_A(s) ˜A˚U(s, s)h_A(s) ˜A ˚U(s, t) +· · ·

(3.7)

Dyson Gleichung

U(t, t) =˚U(t, t) +

t t

ds˚U(t, s)hA(s) ˜A U(s, t) (3.8)

Lineare Antwort

Erwartungswert einer Observablen A(t)ˆ

=

A ρ(t)

=

AU˚(t, t)ρ(t)

(3.9) Lineare Antwortfunktion (Responsefunktion)

GAB(t, t) = δ δhB(t)

A(t)ˆ

= Θ(t−t)

AU˚(t, t) ˜B ρ(t)

(3.10) GAB(t, t) ist reell.

Meßapparat und System

F¨ur Zeitent < t_o bestehe keine Wechselwirkungzwischen System und Meßapparatur System: Basis |α_S Hamilton OperatorH˚ˆS statistischer Operator ρˆS(to) Liouville Raum des Systems:

Basis Φ_λ

SuperoperatorenSS statistischer Operator ρ_S(t_o)

Meßapparat: Basis |a_M Hamilton Operator H˚ˆ_M statistischer Operator ρˆ_M(t_o) Liouville Raum des Meßapparates:

Basis Ψ_l

SuperoperatorenSM statistischer Operator ρˆ_M(t_o) System und Meßapparat:

Basis |α , a=|α_S⊗ |a_M statistischer Operator ˆρ(t_o) = ˆρ_S(t_o)⊗ρˆ_M(t_o) Hamilton Operator mit Wechselwirkungvon System und Meßapparat:

H(t) =ˆ H˚ˆ_S⊗1ˆ_M + ˆ1_S ⊗H˚ˆ_M + ˆW(t)

=H˚ˆ_S+H˚ˆ_M+ ˆW(t)

(3.11) Wechselwirkungz.B.:

Wˆ(t) =−

AB

wAB(t) ˆAS⊗BˆM (3.12) mit wAB(t) = 0 f¨ur t < to oder t > t1.

Liouville Raum von System und Meßapparat:

Basis Φ_λΨ_l

=Φ_λ

⊗Ψ_l

statistischer Operatorρ(t_o)

=ρ_M(t_o)

⊗ρ_S(t_o) Superoperator, der nur auf das System wirkt: SS =SS⊗I_M z.B. ˚LS(t)

Superoperator, der nur auf Meßapparat wirkt: SM =I_S ⊗ SM z.B. L˚M(t) Produkt Superoperator: SAB =AS⊗ BM

z.B. Zeitentwicklungvon System und Meßapparat ohne Wechselwirkung:

˚U(t, to) =U˚S(t, to)⊗˚UM(t, to) (3.13)

Liouville Operator System:

L˚^S_(λl)(µm)=L˚^Sλµδlm =−i

¯

hTrS Φˆλ

H˚ˆS, Φˆµ

δlm (3.14)

Meßapparat:

L˚^M_(λl)(µm) =δλµL˚^Mlm =−i

¯

hδλµTrM Ψˆl

H˚ˆM, Ψˆm

(3.15)

Wechselwirkung, Gl.(3.12):

W(t)(λl)(µm) =i

¯ h

AB

wAB(t) TrS,MΦˆλ⊗Ψˆl

AˆS⊗BˆM, Φˆµ⊗Ψˆm

= i 2¯h

AB

w_AB(t)

Tr_SΦˆ_λ

Aˆ_S, Φˆ_µ

Tr_MΨˆ_l

Bˆ_MΨˆ_m+ ˆΨ_mBˆ_M

+ Tr_SΦˆ_λ

Aˆ_SΦˆ_µ+ ˆΦ_mAˆ_S

Tr_MΨˆ_l

Bˆ_M, Ψˆ_m

=

AB

w_AB(t)

A˜^S_λµB^M_lm + A^S_λµB˜_lm^M

(3.16)

mit Response Operator ˜A, Gl.(3.5), und Observablen A A˜λµ = i

¯ hTr ˆΦλ

A ,ˆ Φˆµ

Aλµ = 1 2Tr ˆΦλ

AˆΦˆµ+ ˆΦµAˆ

(3.17) Beachte:

1A˜ρ(t)

= 0 ;

1Aρ(t)

=

A ρ(t)

= A(t)ˆ

(3.18)

Beispiel: Spin 1/2 : σ₃

˜

σ3 ≡ 2µ

¯ h





0 0 0 0

0 0 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 0



 σ3 ≡





0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0



 (3.19)

Wigner Darstellung

Rechnunganalogzur Herleitungvon Gl.(2.38) liefert:

A˜(p,x;t) = i

¯ h

A

p− ¹₂i¯h∇x, x+ ¹₂i¯h∇p, t

−A

p+ ¹₂i¯h∇x, x− ¹₂i¯h∇p, t

(3.20) A(p,x;t) = 1

2

A

p− ¹₂i¯h∇x, x+ ¹₂i¯h∇p, t +A

p+ ¹₂i¯h∇x, x− ¹₂i¯h∇p, t

(3.21)

Messung

Messungeiner Observablen ˆA_S zur Zeit t₀: w_AB(t) =δ(t−t_o) Zustand des Meßapparates f¨urt < t₀ : ρ₀

M (station¨ar)

Ablesen des Meßapparates zur Zeit t⁺₀ : Erwartungswert einer Observablen

C(tˆ ⁺₀)

M

Meßapparat: W¨ahle ˆρ^M₀ , Bˆ_M und ˆC_M so daß C ρ₀

M = Tr_MCˆ_Mρˆ^M₀ = 0 CB˜ρ₀

M =G^M_CB(t⁺₀, t₀) = 1 CBρ0

M = ¹₂TrM

CˆMBˆM + ˆBMCˆM

ˆ ρ^M₀ = 0

(3.22)

Anmerkung: Diese Forderungen sind eine Verallgemeinerung der, in der Quantenmechanik

¨

ublichen, Forderungen einer idealen Messung.

Beispiel: Cˆ_M = _2µ^¯h σ₂ Bˆ_M =σ₁ ρˆ^M₀ = ¹₂(1 +σ₃).

Allgemeiner: ˆCM und ˆBM haben verschiedene Patit¨at bez¨uglich Bewegungsumkehr (siehe Gl.(4.25) und folgende Bemerkung).

System:

Zustand des Systems zur Zeit t⁻₀ : ρ0

S

Zustand von System und Meßapparat zur Zeit t⁺₀ : St¨orungsrechnung erster Ordnung in W(t), Gl.(3.16)

ρ(t⁺₀

=

I+ ˜ASBM +ASB˜M ρ^S₀ ⊗ρ^M₀

(3.23) Messung: Erwartungswert; mit Gl.(3.22)

C(tˆ ⁺₀)

M =

1_S⊗C_M ρ(t⁺₀)

=

A_S ρ^S₀

S =

Aˆ_S(t⁻₀)

(3.24) Aufeinanderfolgende Messungen:

Messungvon ˆAS mit Apparat M0 zur Zeitt0 und von ˆA_S mit M1 zur Zeit t1 > t0. Cˆ(t⁺₁)

M₁

C(tˆ ⁺₀)

M₀ =

1_S ⊗C_M1 ⊗C_M0

I+ ˜ASBM1 +ASB˜M1

×

×˚US(t₁, t₀)

I+ ˜ASBM0 +ASB˜M0 ρ^S₀ ⊗ρ^M₀ ¹ ⊗ρ^M₀ ⁰

=

1_S AS˚US(t1, t0)ASρ^S₀

(3.25)

Endsprechend f¨ur mehrere Messungen.

Korrelationsfunktion:

C_AB(t, t) = ¹₂

A(t) ˆˆ B(t) + ˆB(t) ˆA(t)

=

1A U(t, t)Bρ(t)

=

AU(t, t)Bρ(t) (3.26) C_AB(t, t) ist reell.

4. Korrelations- und Responsefunktionen

Erzeugendes Funktional

Funktional von hA(t) und ˜hA(t) im Intervall tf > t > ti

Z({h},{˜h}) = 1 T

e

_tf

ti dt{L(t)+˚ %

AhA(t) ˜A+%

A˜hA(t)A} ρ(ti)

(4.1) Korrelationsfunktion (tf > t, t > ti)

CAB(t, t) = δ δh˜_A(t)

δ

δ˜h_B(t)Z({h},{˜h})

h(t)=0; ˜h(t)=0 (4.2) Responsefunktion (tf > t, t > ti)

G_AB(t, t) = δ δ˜h_A(t)

δ

δhB(t)Z({h},{h˜})

h(t)=0; ˜h(t)=0 (4.3) Entsprechend f¨ur Korrelations- und Responsefunktionen h¨oherer Ordnung.

Beachte:

1L(t) = 0 und˚

1A(t) = 0 aber˜

1A(t)= 0

Daraus folgt f¨ur die Berechnungvon Korrelations/Responsefunktionen der Ordnungn mit Zeitargumenten tf > t1 > t2 >· · ·> tn > ti

Die sp¨ateste Zeitt₁ muß einer Messung(Observablen A) zugeordnet sein (Kausalit¨at).

Die obere Grenze t_f kann durch die sp¨ateste Zeit t₁ ersetzt werden.

Bewegungsgleichungen δ

δ˜h_A(t)Z({h},{˜h}) = 1T

e

_tf

t dt{L(t)+˚ %

AhA(t) ˜A+%

A

˜hA(t)A}

×

×A T

e t

ti dt{L(t)+˚ %

AhA(t) ˜A+%

A˜hA(t)A} ρ(ti) (4.4) Zeitableitung:

d dt

δ

δ˜hA(t)Z({h},{˜h}) = 1 T

e

_tf

t dt{L(t)+˚ %

Ah_A(t) ˜A+%

Ah˜_A(t)A}

×

×

&

A, L˚(t)

+

B

hB(t) A, B˜

+

B

˜hB(t)

A, B'

×

× T

e t

ti dt{L(t)+˚ %

Ah_A(t) ˜A+%

A˜h_A(t)A} ρ(ti)

(4.5)

F¨ur die Kommutatoren der hier auftretenden Superoperatoren gilt mit Gl.(3.17) [A,B] ˆΦ = 1

4

[ ˆA,B],ˆ Φˆ

[A,B˜] ˆΦ = i 2¯h

[ ˆA,B] ˆˆ Φ+ ˆΦ[ ˆA,B]ˆ

[ ˜A,B] ˆ˜Φ =− 1

¯ h²

[ ˆA,B],ˆ Φˆ

(4.6)

Mit Heisenberggleichung, Gl.(1.6), Aˆ˙ = _¯hⁱ[H,˚ˆ A]ˆ ist A˙ = [A, L˚] die zu Aˆ˙ geh¨orige Observable ˙A im Liouville Raum.

Bewegungsgleichung f¨ur Korrelationsfunktion

∂

∂tC_AB(t, t) =C_AB˙ (t, t) +

1A,Bρ(t)

δ(t−t) =C_AB˙ (t, t) (4.7) Bewegungsgleichung f¨ur Responsefunktion

∂

∂tG_AB(t, t) =GAB˙ (t, t) +

1A,B˜ ρ(t)

δ(t−t)

=GAB˙ (t, t) + i

¯ h

[ ˆA,B](t)ˆ

δ(t−t)

(4.8)

Mit GAB˙ (t, t) = 0 f¨ur t > t: GAB˙ (t⁺, t) = _h¯ⁱ

[ ˆA,B](t)ˆ

. Korrelations- und Responsefunktionen im Gleichgewicht Statistischer Operator im Gleichgewicht mit Temperatur T = 1/β

ˆ

ρ(t_i) = ˆ˚ρ= e^−βH˚ˆ Tre^−βH˚ˆ

=Z⁻¹e^−βH˚ˆ (4.9)

Betrachte eine St¨orungzur Zeit t_o =t⁺_i : A˜ρ₀

= _¯hⁱZ⁻¹

A , eˆ ^−βH˚ˆ

. Mit

A , eˆ ^Bˆ

=

1 0

dx e^{(1−x) ˆB}A ,ˆ Bˆ e^xBˆ

= ¹₂

e^BˆA ,ˆ Bˆ

+A ,ˆ Bˆ e^Bˆ

+O

e^BˆA ,ˆ Bˆ , Bˆ

, Bˆ (4.10) erh¨alt man f¨ur hohe Temperaturen (kleine β) A˜˚ρ

≈ βAˆ˙˚ρ

und das Fluktuations Dissipatios Theorem f¨ur hohe Temperaturen (klassischer Grenzfall).

F¨ur t > t0

GAB(t, t0)≈β ∂

∂t₀ CAB(t, t0) (4.11)

Entsprechende Relationen gelten auch f¨ur Korrelations- und Responsefunktionen h¨oherer Ordnung.

F¨ur zeitunabh¨angigen HamiltonoperatorH˚ˆ h¨angen Response- und Korrelationsfunktionen nur von Zeitdifferenzen ab: CAB(t, t) =CAB(t−t) ; GAB(t, t) =GAB(t−t).

Frequenzabh¨angige Responsefunktion (Suszeptibilit¨at)

Betrachte adiabatisch eingeschaltete periodische Kraft, η→0

hB(t) = ¹₂ hBe^−iωt+ηt+ ¹₂h^∗_Be^iωt+ηt (4.12) F¨ur schwache Kr¨afte:

A(t)ˆ

h− Aˆ

0 = ¹₂

t

−∞dtG_AB(t−t)

h_Be^−iωt +h^∗_Be^iωt

e^ηt

=e

χAB(ω) hBe^−iωt+ηt (4.13)