Formale Beweise und Boolesche Logik

(1)

Beweismethoden f¨ur die Boolesche Logik Formale Beweise und Boolesche Logik

Logik f¨ ur Informatiker Logic for computer scientists

Till Mossakowski

Wintersemester 2014/15

Till Mossakowski Logik 1/ 17

(2)

Beweismethoden f¨ ur die Boolesche Logik

(3)

Beweise

Mittels Beweise werden wir versuchen, (tauto)logische Folgerungen zu zeigen.

Die Wahrheitstafelmethode kann zu sehr großen Tabellen f¨uhren, Beweise sind oftmals k¨urzer.

Beweise gibt es nicht nur für tautologische Folgerungen, sondern auch für Folgerungen in der vollständigen Logik erster Stufe.

Ein Beweis besteht aus einer Folge von Beweisschritten.

Jeder Beweisschritt muss g¨ultig sein und muss in

informellenBeweisen bedeutsam aber leicht zu verstehen sein, formalenBeweisen durchBeweisregelngezeigt werden.

(4)

Formale Beweise und Boolesche Logik

(5)

Formale Beweise in Fitch

Wir haben eine wohldefinierte Menge formaler Beweisregeln.

Formale Beweise in Fitch k¨onnenmechanisch gepr¨uft werden.

F¨ur jeden Junktor gibt es

eineEinf¨uhrungsregel, z. B. “vonP schließe aufP∨Q”, eineBeseitigungsregel, z. B. “vonP∧Q schließe aufP”.

(6)

Konjunktions-Beseitigung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

Conjunction Introduction (∧ Intro)

P₁

⇓ P_n

...

. P1∧. . .∧Pn

Conjunction Elimination (∧ Elim)

P₁∧. . . ∧P_i∧. . .∧P_n ...

. Pi

Disjunction Introduction (∨ Intro)

P_i ...

. P1∨. . .∨Pi∨. . .∨Pn

Disjunction Elimination (∨ Elim)

P₁∨. . . ∨P_n ...

P₁ ... S

⇓ P_n

... S ...

. S

557

(7)

Konjunktions-Einf¨ uhrung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

Conjunction Introduction (∧ Intro)

P₁

⇓ P_n

...

. P₁∧. . .∧P_n

P₁∧. . . ∧P_i∧. . .∧P_n ...

. P_i

Disjunction Introduction (∨ Intro)

P_i ...

. P₁∨. . .∨P_i∨. . .∨P_n

P₁∨. . . ∨P_n ...

P₁ ... S

⇓ Pn

... S ...

. S

557

(8)

Disjunktions-Einf¨ uhrung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

Conjunction Introduction (∧Intro)

P₁

⇓ Pn

...

. P1∧. . .∧Pn

P₁∧. . . ∧P_i∧. . .∧P_n ...

. Pi

Disjunction Introduction (∨Intro)

P_i ...

. P1∨. . .∨Pi∨. . .∨Pn

P₁∨. . . ∨P_n ...

P1

... S

⇓ P_n

... S ...

. S

557

(9)

Disjunktions-Beseitigung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

Conjunction Introduction (∧Intro)

P1

⇓ Pn

...

. P1∧. . .∧Pn

Conjunction Elimination (∧Elim)

P1∧. . .∧Pi∧. . .∧Pn

...

. Pi

Disjunction Introduction (∨Intro)

Pi

...

. P1∨. . .∨Pi∨. . .∨Pn

Disjunction Elimination (∨Elim)

P1∨. . .∨Pn

... P1

... S

⇓ Pn

... S ...

. S

557

(10)

Eine inkorrekte Nutzung von Unterbeweisen

The proper use of subproofs/ 163

In the following two exercises, determine whether the sentences are consistent. If they are, use Tarski’s World to build a world where the sentences are both true. If they are inconsistent, use Fitch to give a proof that they are inconsistent (that is, derive⊥from them). You may useAna Con in your proof, but only applied to literals (that is, atomic sentences or negations of atomic sentences).

6.15

➶ ¬(Larger(a,b)∧Larger(b,a))

¬SameSize(a,b)

6.16

➶

Smaller(a,b)∨Smaller(b,a) SameSize(a,b)

Section 6.4

The proper use of subproofs

Subproofs are the characteristic feature of Fitch-style deductive systems. It is important that you understand how to use them properly, since if you are not careful, you may “prove” things that don’t follow from your premises. For example, the following formal proof looks like it is constructed according to our rules, but it purports to prove thatA∧Bfollows from (B∧A)∨(A∧C), which is clearly not right.

1. (B∧A)∨(A∧C) 2.B∧A

3.B ∧Elim: 2

4.A ∧Elim: 2

5.A∧C

6.A ∧Elim: 5

7.A ∨Elim: 1, 2–4, 5–6

8.A∧B ∧Intro: 7, 3

The problem with this proof is step 8. In this step we have used step 3, a step that occurs within an earlier subproof. But it turns out that this sort of justification—one that reaches back inside a subproof that has already ended—is not legitimate. To understand why it’s not legitimate, we need to think about what function subproofs play in a piece of reasoning.

A subproof typically looks something like this:

Section 6.4

(11)

Die korrekte Nutzung von Unterbeweisen

Um einen Beweisschritt in einem Unterbeweis zu überprüfen, kann man einen vorangegangenen Schrittim Hauptbeweis oder in jedem Unterbeweis, dessen Annahmen noch gültig sind, verwenden.

Man darfnieeinen Schritt aus einem Unterbeweis, der bereits beendetist, verwenden.

Fitch unterst¨utzt das, indem es die Verwendung von einen Schritt aus einem Unterbeweis, der bereits beendetist, verbietet.

(12)

⊥ -Einf¨ uhrung

558 /Summary of Rules

Negation Introduction (¬ Intro)

P ...

⊥

. ¬P

Negation Elimination (¬ Elim)

¬¬P ...

. P

⊥Introduction (⊥ Intro)

P...

¬P ...

. ⊥

⊥Elimination (⊥Elim)

⊥...

. P

Conditional Introduction (→ Intro)

P ... Q

. P→Q

Conditional Elimination (→Elim)

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(13)

Negations-Einf¨ uhrung

Negation Introduction (¬Intro)

P ...

⊥

. ¬P

¬¬P ...

. P

⊥Introduction (⊥Intro)

P...

¬P ...

. ⊥

⊥Elimination (⊥ Elim)

⊥...

. P

P ... Q

. P→Q

Conditional Elimination (→ Elim)

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(14)

Negations-Beseitigung

P ...

⊥

. ¬P

¬¬P ...

. P

P...

¬P ...

. ⊥

⊥...

. P

P ... Q

. P→Q

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(15)

⊥ -Beseitigung

P ...

⊥

. ¬P

¬¬P ...

. P

P...

¬P ...

. ⊥

⊥...

. P

Conditional Introduction (→Intro)

P ... Q

. P→Q

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(16)

Strategie und Taktik in Fitch

1 Machen Sie sich klar, was die S¨atze besagen.

2 Uberlegen¨ Sie, ob die Konklusion aus den Pr¨amissen folgt.

3 Wenn Sie meinen, dass die Konklusion nicht folgt oder sich nicht sicher sind, versuchen Sie, einGegenbeispielzu finden.

4 Wenn Sie meinen, dass die Konklusion folgt, versuchen Sie, einen informellen Beweis zu f¨uhren.

5 Falls einformaler Beweis gefordert ist, lassen Sie sich bei der Auffindung dessen vom informellen Beweisleiten.

6 Vergessen Sie nicht die Taktik des R¨uckw¨arts-Arbeitens, falls Sie formal oder informell nachweisen, dass ein Satz aus anderen folgt.

7 Wenn Sie rückwärts arbeiten, übreprüfen Sie stets, ob die

Beweisziele Ihrer Zwischenschritteaus den gegebenen Informationen folgen.

(17)

Strategie und Taktik in Fitch (Fortsetzung)

Versuchen Sie stets, die Situation in Ihrem beweis mit den Beweisregeln zu vergleichen(im Anhang des Buches gibt es die komplette Liste der verf¨ugbaren Regeln, ebenso im internen Bereich auf der Webseite der Vorlesung).

Orientieren Sie sich am Hauptjunktor einer Prämisseund wenden die entsprechende Beseitigungsregel an (vorwärts), oder Sie orientieren sich am Hauptjunktor der Konklusion und wenden die entsprechende Einführungsregel an (rückwärts).