F für das System 2?

Hochschule Hannover Klausur Physik II 07.01.2019 Fakultät Maschinenbau Zeit: 90 min Physik II im WS18/19, Prüfer: Schrewe Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung --- 1. Der erste bemannte Start mit einem von der Sonne erwärmten, unten offenem Solarballon

(Solar Firefly) gelang am 26.5.1973. Der Ballon hatte ein Volumen von 5.700 m³. Am Startort betrugen die Temperatur 15°C und der Luftdruck 990 hPa.

a. Nachdem die Luft im Inneren eine Temperatur von 30°C erreicht hatte schwebte der Ballon zehn Minuten lang einige Meter über dem Boden. Wie groß waren Ballonmasse plus Nutzlast?...(10 Punkte) b. Auf welche Höhe steigt der Ballon, wenn man ihn bis zum Erreichen einer Innentemperatur

von 35°C am Boden hält und dann loslässt. Zur Vereinfachung nehme man konstante Temperaturbedingungen an?....(15 Punkte) (Standarddichte der Luft: . Man verwende für die Dichte die barometrische Höhenformel für isotherme Bedingungen: ) 2. An der Laufkatze eines Krans hängt ein nach unten hängender Holzbalken

der Länge L_B 4,5m. Die Laufkatze bewegt den Balken horizontal mit einer Geschwindigkeit von

1

0 1,5

v  m s^ . Nach plötzlichem Bremsen beginnt der Balken mit einer Schwingungsdauer T⁰ 4, 7s zu schwingen.

a. Wie groß ist Seillänge zwischen Laufkatze und Balken, wenn die Masse des Seils vernachlässigt wird? ………..(15 Punkte) b. Mit welcher Winkelamplitude schwingt der Balken? ……….…..(10 Punkte)

3. Zwei Feder-Masse-Systeme mit gleichen Federkonstanten und gleichen Massen von 1,0 kg, werden unterschiedlich gedämpft. System 1 besitzt eine geschwindigkeitsproportionale (Stokessche-) Reibung;

für die Schwingungsdauer von System 1 wird 2,5 s gemessen. System 2 wird durch Coulombsche- Reibung (Gleitreibung) gedämpft, die Schwingungsdauer beträgt 2,4 s. Beide Systeme werden bei t0 um 10 cm ausgelenkt und besitzen nach jeweils der ersten vollen Periode gleiche Auslenkungen.

a. Wie groß ist die Dämpfungskonstante b für das System 1? ..(10 Punkte) b. Wie groß ist die Gleitreibungskraft F^G für das System 2? …...(15

Punkte)

4. Auf einer senkrecht stehenden Drehachse (Masse vernachlässigbar) ist eine Messingscheibe horizontal montiert (Durchmesser 29,4 cm, Dicke 5 mm Dichte 8,5 g cm-3). Die Achse verläuft durch den Schwerpunkt.

Mit einer Spiralfeder wird die Anordnung zu einem Drehpendel. Die Dämpfung soll geschwindigkeitsabhängig sein. Die Abbildung zeigt die Amplitude  ^ˆ

 

a

und die Phasenverschiebung  0

 

a

als Funktion einer äußeren Erregungsfrequenz ^a_.

Bestimmen Sie

a. die Winkelrichtgröße D^* der Spiralfeder,………..…….(10 Punkte) b. die Amplitude des Drehmoments M^a der äußeren Erregung,..(10 Punkte) c. die Abklingkontante _.……….……….(15 Punkte)

--- Hilfsmittel: eine der freigegebenen Physik 1-Formelsammlungen, Taschenrechner nach Vorgabe

3 273,15 , 1013,25 1,292

T K p hPa kg m

 _{ }  ^

 h 0 exp h/ 8,0km

   

Bearbeitungszeit: 90 Minuten. Man kann vereinfachend g10m s verwenden.

Bearbeitungshinweise: Der Lösungsweg muss erkennbar und nachvollziehbar sein.

Die Aufgaben sind soweit wie möglich buchstabenmäßig durchzurechnen. Geben Sie die Ergebnisse der Zahlenrechnung mit sinnvoller Ziffernzahl an.

Lösungen:

1a. Gesucht ist Ballonmasse plus Nutzlast beim Schweben mit einer Lufttemperatur von 32°C im Inneren des Ballons.

Ballonmasse plus Nutzlast:

Luftdichtestandard:

3 273,15 , 1013,25 1, 292

T K p hPa kg m

 _{ }  ^

Luftdichte am Startort:

0

288,15 , 990 273,15 , 1013,25

0

T K p hPa T K p hPa

p T

 _{ }  p T^  _{ }



3 3

288,15 , 990

990 273,15

1, 292 1,1966 1013.25 288,15

T K p hPa kg m kg m

 _{ }  ^  ^  ^

 Luftdichte im Ballon:

3 3

303,15 , 990

990 273,15

1, 292 1,1374 1013.25 303,15

T K p hPa kg m kg m

 _{ }  ^  ^  ^

 Schwebebedingung: ^{FA Fg}

 

288,15 , 990 303,15 , 990

T K p hPa V gB mB mN T K p hPa VB g

 _{ }      _{ }  

Ballonvolumen: ^{VB 5700m3}

Ballonmasse plus Nutzlast:



mB mN



Lösung:



^{mB mN}



^



^{T288,15 ,K p990hPaT303,15 ,K p990hPa}



^VB

Ergebnis:



m_B m_N

 

 1,1966 1,1374



kg m^35700m³ 337, 44kg 1b. Der Ballon wird bis Erreichen einer Temperatur von 35° im Inneren am Boden gehalten.

Luftdichte im Ballon:

3 3

308,15 , 990

990 273,15

1, 292 1,11897 1013.25 308,15

T K p hPa kg m kg m

 _{ }  ^  ^  ^



Da isotherme Bedingungen gelten sollen, ist die Lufttemperatur außen und die Lufttemperatur im Inneren des Ballons konstant bleiben. Die Luftdichte ändert sich dann nach der

barometrischen Höhenformel (vereinfacht für isotherme Bedingungen) mit der Höhe h über dem Startort.

Luftdicht ρ(h):

Luftdicht außen: _T288,15_K

 

h _T288,15 ,_{K p}990_hPaexp



h 8,0km



Luftdichte innen: _T308,15_K

 

h _T308,15_{K p}, _990_hPaexp



h 8,0km



Der Ballon erreicht die Maximalhöhe, wenn die Schwebebedingung,

Auftriebskraft = = Gewichtskraft, erreicht ist.

Schwebebedingung: ^{T288,15K}

 

^{h V g B }



^{mB mN T308,15K}

 

^{h V B}



^g

Umstellen: 288,15

 

B N 308,15

 

T K T K

B

m m

h h

 _  V  _

   

288,15 308,15 B N

T K T K

B

m m

h h

 _  _ V

 

B N

m m

 

h 0 exp



h/ 8,0km



   

A g

F F

Einsetzen:



^{T 288,15 ,K p 990hPa T 308,15 ,K p 990hPa}



^exp

^

^{/ 8, 0}

^

^{B N}

B

m m

h km

 _{ }  _{ }    V

  

^{288,15 , 990 308,15 , 990}



exp / 8,0 ^{B N}

B T K p hPa T K p hPa

m m

h km

V  _{ }  _{ }

  

 

Lösung:



288,15 , 990 308,15 , 990



8,0 ln ^{B N}

B T K p hPa T K p hPa

m m

h km

V  _{ }  _{ }

   

 



^{288,15 , 990 308,15 , 990}



8, 0 ln ^{B T K p hPa T K p hPa}

B N

h km V

m m

 _{ }  _{ }

 

 



 

3 3

5700 1,1966 1,11897 8, 0 ln

337, 44

m kg m

h km

kg

  

 

Ergebnis: h^{8, 0}km0, 27103 2168 m

2a. Trägheitsmoment einer Stange (hier Holzbalken) der Länge L_B 5m , wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt verläuft:

1 2 S 12

J  m L

Wenn der Schwerpunkt im Abstand h von der Drehachse liegt, gilt (Steinerscher Satz):

2

ges S

J J  m h mit ^h gleich Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt.

Schwingungsdauer für ein physikalisches Pendel:

 

0 _ges 1 12 2 2

m g h m g h

J m L m h

  



Quadrieren und Kürzen:



^{1 12}



^{g hL2h2 02}

Umstellen: ^{g h02}

 

^{1 12}



^L2h2



 

2 2

2 0

g 1 12

h h L

   Quadratische Ergänzung:

 

2 2

2 2

2 2 4

0 0 0

2 4 1 12

g g g

h h L

  

 

    

 

 

2 2

2

2 4

0 0

2 4 1 12

g g

h L

 

 

  

 

 

 

2

2

2 4

0 0

2 4 1 12

g g

h L

 

   

mit ^{0 0} T 2

  ⁰2^{2 2 0}4⁴



1 12



²

8 64

g T g T

h L

 

   

Nach Aufgabenstellung soll T⁰ 4,7s und L4,5m sein.

Mit g 10m s^1 folgt:

2 4

2

2 4

10 4, 7 100 4, 7 1

8 64 12 4,5

h m m

 



 

   

2,798 7,827 1,6875

h_  m  m

2, 798 2, 478

h_  m m

Lösung zur negativen Wurzel: h_ 0,320mscheidet aus, weil der Drehpunkt 32 cm vom Mittelpunkt des Balkens entfernt und der Balken nicht, wie gezeigt, am oberen Ende des Balkens hängen könnte.

Lösung zur positiven Wurzel: h_ 5, 276 m entspricht dem Abstand zwischen Schwerpunkt des Balkens und dem Aufhängepunkt. Die Länge des Seils beträgt:

5, 276 5, 276 2, 250 3,026 3

2

B S

l  mL  m m m m

---

Mit g 9,81m s^2 folgt: 5,162 5,162 2, 250 2,912 2,9

2

S B

l  mL  m m m m

--- 2b. Kinetische Energie des an der Laufkatze bewegten Balkens wird in potentielle Energie der Höhe

umgewandelt:

2

0 0

1

kin 2 B B

E  m v m g h  Der Schwerpunkt des Balkens wird um h⁰ angehoben.

2 2

0 0

1,5 0,1125

2 2 10

h v m

 g  

 

Der Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt des Pendels beträgt:

5, 276 h_  m

Für die Winkelamplitude gilt:

0 0,1125

ˆ cos 1 cos 1 11,85 12

5, 276

arc h arc

 h



   

         

 

 

--- Mit g9,81m s^2 folgt:

0,1125

ˆ cos 1 11,98 12

5,162

 arc      

--- 3a. Für System 1 mit Stokesscher Reibung gilt:

Gemessene Schwingungsdauer

,1 0,1

,1 0,1

2 2

e e

T   T

 

  

Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung:

1 ,1

,1

2 2

2,5133

e 2,5

e

T s s

 

    ^

Beim System 2 mit Coulombscher Reibung sind die Eigenkreisfrequenzen und die Schwingungsdauern mit und ohne Reibung gleich.

Da Federkonstante und Masse von System 1 und 2 gleich sind, sind auch die

Schwingungsdauern der jeweils ungedämpften Schwingungen für beide System gleich:

0,2 0,1 2, 4 T T  s

0,2 0,1

0,2 0,1

2 2

T T  

 

  

Es folgt:

1

0,1 0,2

0,2

2 2

2,6180

2, 4 s

T s

 

     ^

Die Abklingkonstante für System 1 kann aus den Eigenkreisfrequenzen ^0,1 und ^e,1 bestimmt

werden:

2 2

0,1 ,1 2 2

0,1 ,1

1 1

e 2

T Te

      

Ergebnis Abklingkonstante:

1

2 2

1 1

2 0, 73304

2, 4 2,5 s

     ^

Dämpfungskonstante: b    2 m  2 1,0 0,73304 kg s^11, 4668kg s^1 3b. Zunächst muss die Auslenkung x t1

 

des Systems 1 ermittelt werden:

---

Exakte Funktion der Auslenkung:

   

1( ) 0 ^t sin _e cos _e

e

x t x e ^   t  t



   

       

 

Für ^{t T e,12,5s} gilt:

,1 ,1

1 ,1 0 ,1 ,1

,1 ,1

2 2

( ) sin cos

2

Te e

e e e

e e

x T x e T T T

T T

   



       

         

   

0,73304 2,5 1 ,1

0,73304 2,5

( ) 0,1 sin 2 cos 2

e 2

x T m e  



    

     

1 ,1

0, 73304 2,5

( ) 0,1 0,15999 0 1 0, 016

e 2

x T m m



  

     

--- Näherungsfunktion der Auslenkung: x t1( ) x e0 ^{ t}cos



_et



Für ^{t T e,12,5s} gilt:

,1

1 ,1 0 ,1

,1

( _e ) ^Te cos 2 _e

e

x T x e T

T

 

   

     

 

0,73304 2,5

1( _e,1) 0,1 cos 2 0,016

x T  m e ^{ }    m Beide Ansätze liefern dasselbe Ergebnis.

Laut Aufgabenstellung soll die Auslenkung beider Systeme nach jeweils der ersten Periode gleich groß sein. ^{x T1( e,1)x T2( 0,2) 0, 016 m}

Bei einem System mit Coulombscher Reibung gilt:

2( 0,2) 2( 0) 4

x T x t  a Es folgt:

2( 0) 2( 0,2) 0,1 0,016

0,021

4 4

x t x T

a    m m

  

Es gilt: D a ^GFⁿ F^G

2 2

0 2

0

4

G

F D a D a m a m a m

m T

 

          

2

2 2

4 0, 021 1 0,1439 0,14

G 2, 4

F m kg N N

s



     

4a. Für die Phasenverschiebung gilt:



0

  

2 2 0

tan _a 2 ^a

a

   

 

 

Der Wert der Phasenverschiebung ist 2



, wenn ^a ⁰ ist. Der Abbildung entnimmt man, dass der Wert ^a ⁰ ^{6, 04s1} beträgt.

Für ⁰ gilt beim Drehpendel:

* 0

D

  J

, wobei ^D* die Winkelrichtgröße der Spiralfeder und ^J das Massenträgheitsmoment der Messingscheibe bedeutet.

Es ist

2

1 2

2 2

J       D h R

2

3 2 2

1 0, 294

8,5 10 0,005 0,147

2 2

J         kg m

2 2

1 2,885 0, 02161 0,03117 J  2 kg m  kg m Ergebnis für Winkelrichtgröße: ^D*⁰² ^{J 6, 042s2}^{0, 03117kg m2} ^1,137Nm

4b. Aus dem Diagramm entnimmt man, dass   ˆ



0, _a 0,



50, 4 (Winkelamplitude im Winkelmaß)

Im Bogenmaß ist:



0



50, 4

ˆ 0, , 0,8796

a 180

       

 Die allgemeine Lösung für die Resonanzkurve    ˆ



_a, 0,



lautet:

 

  ^{ }

0 2 2 2 2

0

ˆ , ,

2

a a

a a

    f

  

 

 

(*) wobei

a a

f M

  J

die Amplitude der Winkelbeschleunigung bezeichnet und M^a die Amplitude des äußeren Drehmoments.

Für  _a 0 folgt:



0



2

0

ˆ _a 0, , f^a 0,8796

   



   

Amplitude der Winkelbeschleunigung der äußeren Erregung:

2 2 2 2

0,8796 0 0,8796 6,04 32, 09 fa     s^  s^ Die Amplitude des äußeren Drehmoments ist:

Ergebnis: ^{Ma 32, 09s20, 03117kg m2 1,00Nm}

4c. Wie man aus der Abbildung entnehmen kann, macht eine Näherungslösung mit ^R ⁰ wenig Sinn, weil die Abweichung zwischen ^R und ⁰ näherungsweise

1 17%

6

beträgt.

Für die Resonanzfrequenz ^R gilt:

2 2

0 2

R    



0



ˆ _{a R}, ,

     stellt das in der Abbildung gezeigte Maximum der    ˆ



_a, 0,



Funktion dar.

Aus der Abbildung entnimmt man:  ˆ



_a   _R, 0,



70,1 1, 2234

im Bogenmaß.

Setze zur Vereinfachung:  ˆ_R



_a   _R, 0,



ˆ_R

Für ^a ^R folgt aus (*): ^ˆR



⁰²



^{02 2 2}

 

^{2 4 2}

^

^{02 2 2}

^

Ma

J

   



 



   

4 2 2 4

0

ˆ 4 4 8

a R

M J

   

 

 

2

2 2 4

0

ˆ2

4 4

a

R

M J

  



 

 

 

 

2 2 2

0 2 2

4

4 ˆ

a R

M

 J

   

  Quadratische Ergänzung:

2 2 2 2 4 2

4 0 0

2 2

2 0

2 2 4 4 ˆ_R

Ma

J

   

 

 

       

Einsetzen von

* 2 0

D

  J ₂ ^{* 2}

 

^{* 2 2}

2 ˆ2 2

2 4 4

a R

D M

D

J J J

 

 

  

     

 

Lösung:

 

^{* 2 2}

* 2

2 ˆ2 2

2 4 4

a R

D M

D

J J J

    

  

2 2

2 2 4 4

2 2 2

1,137 1,137 1,00

2 0, 03117s 4 0, 03117 s 4 1, 2234 0, 03117 s

  ^  ^  ^

   

2 18, 2386s 2 332,6498s 4 171,9212s 4

  ^  ^  ^

2 18, 2386s 2 12,6778s 2

  ^  ^

Ergebnis für neg. Wurzel:

 

^2 _ ^{5,5607s2}

woraus folgt: _  ^2,3581s1^2,36s1 Ergebnis für pos. Wurzel:

 

^2 _ ^{30,9164s2}

Woraus folgt: _  ^5,560s1

Die Lösung _ ^5,56s1 scheidet aus, da in diesem Fall für die Resonanzfrequenz gelten würde:

2 2 2 2 2

0 2 6, 04 2 5,56

R s s

    _  ^   ^ Resonanzfrequenz nicht reell: _R  25,34s^2

Ergebnis für die Abklingkonstante: ^exakt  ^2,36s1, der negative Wert scheidet aus, weil stets gilt:  0