Nora-Sophie Staufenberg
Evaluierung alternativer Fußtrajektorien für einen humanoiden Laufroboter
Semesterarbeit
09. 05. 2016
Betreuer:
Prof. dr. ir. Daniel Rixen Felix Sygulla, M. Sc.
Dipl.-Ing. Arne-Christoph Hildebrandt
1 Einleitung 1
1.1 Motivation. . . 1
1.2 Aufgabenstellung und Zielsetzung . . . 1
1.3 Aufbau der Arbeit . . . 2
2 Stand der Technik 3 2.1 Grundlagen Robotik. . . 3
2.2 Gangbild des Menschen. . . 5
2.2.1 Nomenklatur . . . 5
2.2.2 Gangzyklus . . . 6
2.2.3 Gangzyklus des Treppensteigens . . . 10
2.3 Bewegungsmuster zweibeiniger Roboter . . . 11
2.3.1 Gehen . . . 11
2.3.2 Treppensteigen . . . 15
2.4 Humanoider LaufroboterLola . . . 18
3 Modellierung alternativer Fußtrajektorien 21 3.1 Software-Werkzeug . . . 21
3.1.1 Aufbau des Software-Werkzeugs . . . 21
3.1.2 Annahmen und Modellierung . . . 22
3.1.3 Robotermodell . . . 23
3.1.4 Einstellungsmöglichkeiten . . . 25
3.2 Alternative Fußtrajektorien . . . 25 iii
3.2.1 Parameter . . . 25
3.2.2 Polynome . . . 26
3.2.3 Phasendauer . . . 27
3.2.4 Koordinatensysteme . . . 28
4 Sensitivitätsanalyse 29 4.1 Betrachtete Parameter . . . 29
4.2 Qualitätsbewertung der Trajektorien . . . 30
4.3 Ergebnisse . . . 34
4.3.1 Standardwerte . . . 34
4.3.2 Zehengelenkwinkel . . . 37
4.3.3 Schwungfußrotation . . . 39
4.3.4 Schrittdauer . . . 40
4.3.5 Anzahl der Phasen . . . 40
4.3.6 Ablauf der Phasen . . . 41
4.3.7 Torsotrajektorie . . . 44
4.3.8 Stufenparameter . . . 47
4.3.9 Zustand . . . 50
4.4 Diskussion der Ergebnisse . . . 52
5 Zusammenfassung und Ausblick 55
Literatur 61
A Details zum Programmaufbau 63
B Weitere Verläufe für Standardwerte 65
2.1 Bezeichnung der Ebenen und Achsen beim Menschen (Richard und Kullmer2013) 5
2.2 Bewegungen des Fußes und der Zehen (nach Whittle2007) . . . 6
2.3 Zehentrajektorie beim Menschen (Nagano, Begg und Sparrow2010) . . . 7
2.4 Unterphasen des Gangzyklus (nach Buschmann2010) . . . 8
2.5 Verlauf der Gelenkwinkel der Hüfte, des Knies und des Sprunggelenkes über den Gangzyklus (Whittle2007) . . . 9
2.6 Gangzyklus des Treppaufsteigens. . . 11
2.7 Gangzyklus des Treppabsteigens . . . 12
3.1 Verlauf der Konfigurationen . . . 23
3.2 Maße des Robotermodells (links) und Winkel (rechts) . . . 24
3.3 Bewegungsmuster beim Treppensteigen (nach Reid u. a.2007) . . . 25
3.4 Trajektorien mit 3 Phasen (links) und 5 Phasen (rechts) . . . 27
4.1 Treppenmaße . . . 30
4.2 Fußtrajektorien für𝑥𝑠𝑤- und𝑧𝑠𝑤-Koordinaten bei Standardwerten . . . 35
4.3 Trajektorien für𝑥- und𝑧-Koordinaten des Torsos bei Standardwerten . . . 36
4.4 Trajektorien für Zehengelenkwinkel in Schwungfuß (links) und Standfuß (rechts) bei Standardwerten . . . 36
4.5 Verlauf des Kniewinkels für Schwungbein (links) und Standbein (rechts) bei Standardwerten . . . 36
4.6 Verlauf des Sprunggelenkwinkels für Schwungbein (links) und Standbein (rechts) bei Standardwerten . . . 37 4.7 Verlauf des Kniewinkels des Schwungbeines für die Variation mit𝑞𝑍,𝑠𝑤,𝑝𝑒𝑎𝑘 =
−12° (links) und des Sprunggelenkes des Schwungbeines für𝑞𝑍,𝑠𝑤,𝑝𝑒𝑎𝑘= −30° 38 v
4.8 Verlauf der Winkel des Sprunggelenkes im Schwungbein mit Schwungfußrota- tion (links) und ohne (rechts) . . . 39 4.9 Verlauf der pseudokinetischen Energie für𝑇 = 1 s(links) und𝑇 = 2 s(rechts) . 41 4.10 Ablauf für Variation 0 aus Tabelle 4.9 . . . 42 4.11 Ablauf für Variation 4 aus Tabelle 4.9 . . . 43 4.12 Verläufe der Kniewinkel in Schwungbein (links) und Standbein (rechts) . . . . 46 4.13 Verläufe der Sprunggelenkwinkel in Schwungbein (links) und Standbein (rechts) 46 4.14 Ablauf für Variation 3 aus Tabelle 4.12. . . 47 4.15 Reines Zehengehen . . . 50 B.1 Schwungfußrotation (links) und Verlauf der pseudokinetischen Energie (rechts)
bei Standardwerten . . . 65 B.2 Gelenkgeschwindigkeiten der Hüfte bei Standardwerten in Schwungbein (links)
und Standbein (rechts) . . . 65 B.3 Gelenkgeschwindigkeiten der Knie bei Standardwerten in Schwungbein (links)
und Standbein (rechts) . . . 66 B.4 Gelenkgeschwindigkeiten der Sprunggelenke bei Standardwerten in Schwung-
bein (links) und Standbein (rechts) . . . 66 B.5 Gelenkgeschwindigkeiten der Zehengelenke bei Standardwerten in Schwung-
bein (links) und Standbein (rechts) . . . 66
2.1 Bewegungsmaße der Gelenke der unteren Extremität (Benninghoff2014) . . . 6
4.1 Standardparameter . . . 31
4.2 Grenzen der Gelenkwinkel . . . 32
4.3 Ergebnisse für Standardparameterwerte . . . 35
4.4 Ergebnisse für Variation von𝑞𝑍,𝑠𝑡,𝑝𝑒𝑎𝑘 . . . 37
4.5 Ergebnisse für Variation von𝑞𝑍,𝑠𝑤,𝑝𝑒𝑎𝑘 . . . 38
4.6 Ergebnisse für Variation von𝜑𝑠𝑤,𝑝𝑒𝑎𝑘. . . 40
4.7 Ergebnisse für Variation von𝑇 . . . 40
4.8 Ergebnisse für Variation von𝑛𝑧,𝑠𝑤 . . . 41
4.9 Phasenparameter der Variationen der Zeiten der Stützpunkte der Fußtrajektorie 42 4.10 Ergebnisse für Variation der Zeiten der Stützpunkte der Fußtrajektorie (siehe Ta- belle 4.9) . . . 43
4.11 Ergebnisse für Variation der Zeiten der Stützpunkte der Zehengelenkwinkeltra- jektorie . . . 44
4.12 Phasenparameter der Variationen der Torsotrajektorie . . . 44
4.13 Ergebnisse für Variation der Zeiten der Stützpunkte der Torsotrajektorie (siehe Tabelle 4.12) . . . 45
4.14 Ergebnisse für Standardwerte bei verschiedenen Steigungen. . . 47
4.15 Parameter der Variationen . . . 48
4.16 Ergebnisse für Variation 1 aus Tabelle 4.15 bei verschiedenen Steigungen . . . 48
4.17 Ergebnisse für Variation 2 aus Tabelle 4.15 bei verschiedenen Steigungen . . . 49
4.18 Ergebnisse für Variation 3 aus Tabelle 4.15 bei verschiedenen Steigungen . . . 49
4.19 Ergebnisse für Variation des Stufenauftrittes . . . 50 vii
4.20 Ergebnisse für verschiedene Zustände . . . 51 4.21 Parameter der besten Variationen . . . 54 4.22 Kriterien für die Variationen aus Tabelle 4.21 . . . 54
Einleitung
1.1 Motivation
Humanoide Roboter sind von wissenschaftlichem Interesse, weil sie mit Menschen interagieren und sich in Umgebungen, die von Menschen genutzt werden, bewegen können. Dabei ist das Ziel häufig, ein dem menschlichen Vorbild sehr ähnliches Gangbild zu erzielen. Wie auch am Lehrstuhl für Angewandte Mechanik der Technischen Universität München, gibt es zahlreiche Entwicklungen von humanoiden Robotern. Der dort entwickelte RoboterLolaweist bereits viel- fältige Fähigkeiten auf. Zum Beispiel ist es möglich, Hindernissen auszuweichen und auf eine Plattform zu steigen. Doch vom menschlichen Laufen unterscheidet diese humanoiden Roboter immer noch einiges in ihren Bewegungen. Den menschlichen Gang kennzeichnen viele Feinhei- ten und Bewegungsabläufe, die ein humanoider Roboter mit beschränkter Anzahl an Freiheits- graden nicht komplett abbilden kann. Beispielsweise haben viele der bisherigen humanoiden Ro- boter monolithische Füße, verfügen also über keinerlei Beweglichkeit, wie sie der Mensch mit seinen diversen Gelenken im Fuß besitzt. Der RoboterLoladagegen verfügt bereits über aktive Zehengelenke. Allerdings werden diese nur im Fall sehr großer Schrittlängen genutzt.
Es gibt eine Reihe von Bewegungsszenarien, die humanoiden Laufrobotern im Vergleich zum Menschen noch wesentliche Schwierigkeiten bereiten. Ein Beispiel hierfür ist das Treppenstei- gen. Ausgehend vom menschlichen Vorbild liegt es nahe, für das Treppensteigen ein Bewegungs- muster zu betrachten, in welchem die Zehen eine entscheidende Rolle übernehmen. In der Lite- ratur finden sich diverse Ansätze, wie das Treppensteigen humanoider Roboter zu realisieren ist.
1.2 Aufgabenstellung und Zielsetzung
In dieser Arbeit sollen alternative Fußtrajektorien evaluiert werden. Dabei wird das sogenann- te Fußballengehen oder Zehengehen betrachtet. Als Grundlage sollen die Bewegungsmuster des Menschen herangezogen werden. Des Weiteren soll eine Literaturrecherche zu bisher angewen-
1
deten Fußtrajektorien und der Verwendung von Fußballen- und Fersengehen durchgeführt wer- den.
Neben der Implementierung neuer Fußtrajektorien sollen deren Vor- bzw. Nachteile herausgear- beitet werden. Anschließend werden die Trajektorien in Szenarien, die für herkömmliche bipeda- le Laufroboter herausfordernd sind, durch Simulationen getestet. Als Hilfsmittel zur Durchfüh- rung dieser Analysen wird im Rahmen dieser Arbeit ein Software-Werkzeug in MATLAB neu entwickelt.
1.3 Aufbau der Arbeit
In Kapitel 2werden neben grundlegenden Begriffen der Robotik zunächst die Ergebnisse der Literaturrecherche dargestellt. Ein Teil befasst sich mit den Grundlagen des menschlichen Ganges und der Anatomie (Abschnitt2.2). In einem weiteren Teil werden bisherige Fußtrajektorien bei humanoiden Laufrobotern (Abschnitt2.3) dargestellt. Außerdem wird kurz darauf eingegangen, wie die aktuellen Fußtrajektorien bei dem humanoiden LaufroboterLolaaussehen.
Im darauf folgenden Kapitel3wird das entwickelte Software-Werkzeug beschrieben sowie die verwendeten Trajektorien. Darauf aufbauend werden diese dann in Kapitel4anhand ausgewähl- ter Parameter variiert sowie die dabei festgestellten Ergebnisse dargestellt. Abschließend werden in Kapitel5eine Zusammenfassung der Arbeit und ein Ausblick auf mögliche weitere Anwen- dungen und Weiterentwicklungen gegeben.
Stand der Technik
2.1 Grundlagen Robotik
Räume
Im Kontext von Robotern spricht man von zwei verschiedenen Räumen, also Koordinatensyste- men. Zum einen gibt es den Gelenkraum (engl.joint space/ configuration space), zum anderen den Arbeitsraum (engl.operational space).
Trajektorien können entweder im Gelenk- oder Arbeitsraum vorgegeben werden. Beide Vari- anten haben Vor- und Nachteile. Gibt man direkt die Gelenkwinkel 𝒒 vor, werden Singulari- täten vermieden. Werden die Trajektorien dagegen im Arbeitsraum geplant, können direkt die gewünschten Positionen der Endeffektoren vorgegeben werden, die Bahn im Gelenkraum muss dann allerdings erst noch bestimmt werden. Ein weiterer Nachteil ist, dass es zu Singularitäten kommen kann.
Eine Bahn ist nur eine geometrische Aussage darüber, welche Werte angenommen werden. Tra- jektorien verknüpfen diese Information mit dem zeitlichen Ablauf inklusive Ableitungen (Sici- liano u. a.2009).
Minimalkoordinaten
Minimalkoordinaten sind ein Set an Koordinaten, das mindestens nötig ist, um die Konfiguration eines Systems eindeutig beschreiben zu können. Bei baumstrukturierten Systemen können die relativen Freiheitsgrade zwischen Einzelkörpern als Minimalkoordianten gewählt werden (Rixen und Buschmann2015).
3
Direkte Kinematik
Sind Minimalkoordinaten𝒒, Minimalgeschwindigkeiten𝒒̇ und Minimalbeschleunigungen𝒒̈ ge- geben, können mithilfe der direkten Kinematik daraus die Positionen, Orientierungen, Geschwin- digkeiten und Beschleunigungen der Körper berechnet werden.
Inverse Kinematik
Durch die inverse Kinematik erfolgt die Umrechnung von Arbeitsraumkoordinaten in Minimal- koordinaten𝒒. Diese Umrechnung kann allerdings komplexer sein, da die Lösung nicht durch einen funktionalen Zusammenhang direkt gegeben ist. Es gibt nicht immer eine eindeutige Lö- sung, zum Teil gar keine. Je nach dem, wie viele Lösungen dieses Problem hat, ist die Berechnung unterschiedlich komplex.
Jacobi-Matrix
Die Jacobi-Matrix ist definiert als 𝑱(𝒒)= 𝜕𝒇
𝜕𝒒 (2.1)
wobei𝒓=𝒇(𝒒)die Beziehung zwischen Position und Orientierung der Endeffektoren𝒓und den Gelenkwinkeln𝒒darstellt. Die Jacobi-Matrix setzt also die Geschwindigkeiten der Endeffektoren im Arbeitsraum zu den Gelenkgeschwindigkeiten ins Verhältnis:
̇
𝒓=𝑱(𝒒)𝒒̇ (2.2)
Singularitäten
Konfigurationen, die am Rand des Arbeitsraumes liegen, stellen sogenannte Singularitäten dar.
Eine solche Randsingularität tritt z. B. beim Strecken des Kniegelenkes auf. Für Singularitäten gilt, dass 𝐽 dort singulär ist (𝑑𝑒𝑡(𝐽) = 0), also Rangabfall auftritt, daher kann das Newton- Verfahren nicht verwendet werden. Singularitäten sollten vermieden werden, da ausgehend von
ihnen die Beweglichkeit eingeschränkt ist, weil Freiheitsgrade verloren gehen.
2.2 Gangbild des Menschen
Im Folgenden werden Grundlagen zum Gehen beim Menschen erläutert.
2.2.1 Nomenklatur
Bei Betrachtung des menschlichen Körpers ist eine bestimmte Bezeichnung der Ebenen ge- bräuchlich. Von der Seite betrachtet spricht man von der Sagittal-, von vorne von der Frontal- und parallel zum Boden, also horizontale Querschnittsebene, von der Transversalebene, siehe Abb. 2.1. Diese Bezeichnungen werden auch in Bezug auf humanoide Roboter und in dieser Arbeit verwendet. Die Achsen, die normal auf diesen Ebenen stehen, werden entsprechend be- zeichnet, wobei die Achse normal zur Transversalebene Längsachse heißt.
Bild 2.1:Bezeichnung der Ebenen und Achsen beim Menschen (Richard und Kullmer2013) Bewegungen des Menschen werden je nach Richtung eingeteilt. In der Sagittalebene unterschei- det man zwischen Extension und Flexion, wobei Extension einer Streckung entspricht und Fle- xion einer Beugung. Abduktion und Adduktion finden in der Frontalebene um die Sagittalach- se statt, sowie interne und externe Rotation in der Transversalebene um die Längsachse. Beim Sprunggelenk werden statt Flexion und Extension die Begriffe Dorsalflexion und Plantarflexi-
on verwendet (Whittle2007). Als Beispiel sind in Abb.2.2 Extension und Flexion des Fußes und der Zehen dargestellt. Eine weitere Besonderheit beim Sprunggelenk sind die Inversion und Eversion. Dies sind Mischbewegungen aus Supination, Plantarflexion und Adduktion bzw. den entsprechend entgegengesetzten Bewegungen. Außerdem gibt es noch die Pronation und Supi- nation, welche eine Kippbewegung z. B. des Fußes darstellen.
Bild 2.2: Bewegungen des Fußes und der Zehen (nach Whittle 2007)
Die Grenzen der Gelenkwinkel des Menschen sind in Tabelle2.1aufgelistet.
Tabelle 2.1: Bewegungsmaße der Gelenke der unteren Extremität (Benninghoff2014)
Gelenk Bewegungsrichtung Bewegungsmaß
Knie Extension 5 − 10◦
Flexion 120 − 150◦
Innendrehung 30◦
Außendrehung 10◦
Oberes Sprunggelenk Dorsalflexion 30◦
Plantarflexion 50◦
Unteres Sprunggelenk Inversion 35◦
Eversion 20◦
Kombination Sprung- und Fußgelenke Pronation 30◦
Supination 60◦
Da der Mensch im Gegensatz zum Roboter nicht nur ein Zehengelenk besitzt, sondern in jedem Zeh zwei oder drei, sind auch die Winkel, die erreicht werden können, vom Gelenk abhängig und daher hier nicht weiter aufgelistet, Details hierzu sind z. B. in Zilles und Tillmann2010zu finden.
Für den Fall des Treppensteigens sind die Winkel der Dorsal- und Plantarflexion dargestellt in Lin, Lu und Hsu2004. In Nagano, Begg und Sparrow2010wird in Experimenten die Zehentra- jektorie beim Menschen ermittelt, siehe Abb.2.3.
2.2.2 Gangzyklus
Der Gang des Menschen ist zyklisch aufgebaut und besteht aus sich wiederholenden Bewegun- gen. Zu einem Zyklus gehören zwei Schritte, je einer mit dem rechten und linken Bein. Beim Gehen wechseln sich das linke und rechte Bein als Standbein ab, während das jeweils andere vor-
Bild 2.3: Zehentrajektorie beim Menschen (Nagano, Begg und Sparrow 2010) schwingt. Dieser Gangzyklus kann in mehrere Phasen unterteilt werden. Grob kann eine Stand- und eine Schwungphase identifiziert werden. Hierbei nimmt die Standphase etwa60%und die Schwungphase etwa40%der Schrittdauer ein (Andriacchi, Ogle und Galante1977). Diese Auf- teilung hängt von der Gehgeschwindigkeit ab. Bei höherer Geschwindigkeit nimmt die Dauer der bipedalen Standphase ab, bei niedrigerer zu. Während der Standphase befindet sich der Fuß mit mindestens einem Teil in Kontakt mit dem Boden. Die Schwungphase beschreibt den Zeitraum, in dem der Fuß von der aktuellen Standposition zur nächsten bewegt wird, ohne dabei den Boden zu berühren. Die Standphase wird, abhängig davon, wie viele Beine sich in Bodenkontakt befin- den, weiter unterteilt. In Perry2003werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Zunächst erfolgt der Stand mit beiden Füßen, in der sogenannten bipedalen initialen Standphase (10%).
Es folgt die monopedale Standphase (40%, engl.:single support phase), die bipedale terminale Standphase (10%), der Schwung und wieder eine bipedale Standphase (engl.: double support phase).
Stand- und Schwungphase können außerdem in acht funktionelle Unterphasen unterteilt werden (siehe Abb. 2.4). Die hier verwendete Terminologie ist die des Rancho-Los-Amigos National Rehabilitation Center. Ein Gangzyklus beginnt mit dem initialen Bodenkontakt des Fußes des vorherigen Schwungbeines. Beim normalen Gehen erfolgt der erste Kontakt mit der Ferse, daher wird häufig der englische Begriffheel-strikeverwendet. Es folgt die Belastungsantwort, welche der initialen bipedalen Standphase entspricht. Sie endet, sobald der andere Fuß vom Boden abge- hoben wird. Dementsprechend schließen sich die mittlere Standphase und terminale Standphase an, beide Teil der monopedalen Standphase. Die mittlere endet mit der vollständigen Verlagerung des Körpergewichtes auf den Vorderfuß. Die zweite, terminale Phase dauert vom Abheben der Ferse bis zum Bodenkontakt des Fußes des aktuellen Schwungbeines. Die nächste Unterphase ist die sogenannte Vor-Schwungphase, welche der terminalen bipedalen Standphase entspricht und bis zum Abheben der Zehen (engl.:toe-off) des Fußes des aktuellen Standbeines dauert.
Die eigentliche Schwungphase besteht aus drei Unterphasen, der initialen, mittleren und termi-
nalen Schwungphase, in denen das Bein nach vorne zur nächsten Standposition bewegt wird. Die Schwungphase beginnt mit dem Abheben des Fußes bzw. der Zehen vom Boden und endet mit dem nächsten initialen Bodenkontakt (Perry2003).
Bild 2.4:Unterphasen des Gangzyklus (nach Buschmann 2010)
Bevor in der Mitte der Standphase durch Rotation die Ferse vom Boden abgehoben wird, und der Fuß in mathematisch negativer Richtung um die Zehen rotiert, bleibt der Fuß flach auf dem Boden. Damit der Fuß des Schwungbeines zuerst mit der Ferse den Boden berührt, dreht der Fuß in mathematisch positiver Richtung um die Ferse. Verschiedene Winkel werden gemessen. Zum Beispiel beträgt der Winkel zwischen Fuß und Boden35° beim Fersenkontakt (Inman, Ralston und Todd1981).
Den Zehen kommt beim menschlichen Gang eine entscheidende Rolle zu. In Hughes, Clark und Klenerman 1990werden die Zeit, während der die Zehen und andere Bereiche des Fußes in Kontakt mit dem Boden sind, sowie der Maximaldruck in jeder dieser Flächen gemessen. Die Zehen sind demnach während ca.75%der Zeit des Gangzyklus in Kontakt mit dem Boden. Eine Charakteristik des menschlichen Ganges ist das Fußballengehen. Dies ist eine Phase, in der nur
die Zehen und der Fußballen aufliegen, während die Ferse bereits vom Boden abhebt (engl.heel- off). Diese Phase befindet sich vor der Schwungphase, stellt also das Ende der Standphase dar.
Durch dieses Abheben der Ferse wird einerseits die mögliche Schrittlänge erhöht und andererseits die Dauer der bipedalen Standphase verlängert, was zu mehr Stabilität führt. In der Phase der Rotation um den Zeh, befindet sich der Druckpunkt im Zeh, in der Phase des Auftreffens der Ferse in der Ferse (Adamczyk, Collins und Kuo2006).
Wie sich die Winkel des Sprunggelenkes, der Hüfte und des Knies über die Phasen des Gangzy- klus verändern, ist in Abb.2.5dargestellt. Die dort verwendeten Kürzel stehen für die englischen BegriffeInitial Contact (IC),Oppsite Toe Off (OT),Heel Rise(HR),Opposite Initial Contact (OI),Toe Off (TO),Feet Adjacent(FA) undTibia Vertical(TV).
Bild 2.5: Verlauf der Gelenkwinkel der Hüfte, des Knies und des Sprunggelenkes über den Gangzyklus (Whittle 2007)
Gelenkwinkel sind relative Winkel, definiert zwischen zwei Segmenten, z. B. zwischen Unter- und Oberschenkel. Diese Winkel lassen eine Aussage darüber zu, wie viel Extension bzw. Flexion vorhanden ist.
Der menschliche Gang weist weitere Charakteristika auf. Die mögliche Schrittlänge wird durch die transversale Rotation des Beckens vergrößert. Das Becken dreht sich in Richtung der Vor- wärtsbewegung mit dem Schwungbein um die Längsachse. Die Höhe des Beckens variiert in der Frontalebene leicht über den Gangzyklus. Außerdem strecken Menschen die Knie beim Gehen zu bestimmten Zeiten des Gangzyklus durch, wie in Abb.2.5 zu erkennen ist (Inman, Ralston und Todd1981).
Parameter
Der menschliche Gang kann durch folgende Parameter beschrieben werden. Die Schrittlänge (engl.Step Length) gibt die Distanz von der Ausgangsposition des Standfußes zur nächsten Stand- position für diesen Fuß bzw. der Ferse an. In der englischsprachigen Literatur findet sich häufig der BegriffStride Length, welcher der während eines ganzen Gangzyklus zurückgelegten Stre- cke entspricht, also genau zweimal der Schrittlänge, wie oben definiert. Der Abstand zwischen dem rechten und linken Fuß senkrecht zur Vorwärtsbewegung ist die Spurbreite (Götz-Neumann 2011).
Generell wird die Bezeichnung „Gehen“ für Bewegungen verwendet, deren Ganggeschwindig- keit durchschnittlich1,4m∕sbeträgt und bei denen eine bipedale Standphase vorhanden ist. „Lau- fen“ hingegen bezeichnet eine Bewegung, bei der die Ganggeschwindigkeit deutlich höher (ca.
3,3bis5m∕s) liegt und keine bipedale Standphase stattfindet. Wird die Geschwindigkeit weiter erhöht, gibt es eine Schwebephase, in der kein Bein Kontakt mit dem Boden hat (Perry2003, Götz-Neumann2011). Im Rahmen dieser Arbeit wird der Begriff Laufen anders verwendet, es ist damit eine Bewegung mit ausgeprägter bipedaler Standphase gemeint.
2.2.3 Gangzyklus des Treppensteigens
Ähnlich dem normalen Gang kann auch das Treppensteigen des Menschen in eine monopedale und eine bipedale Standphase unterteilt werden. Während der bipedalen Phase befindet sich je ein ein Fuß auf einer Stufe, in der monopedalen schwingt das Schwungbein von der aktuellen zur nächsten Stufe.
Über die Dauer der Stand- und Schwungphase beim Treppensteigen gibt es verschiedene Mes- sungen. McFadyen und Winter 1988 geben hierfür 64% bzw. 36% an. Die Standphase wäh- rend des Treppaufsteigens teilt sich auf inWeight Acceptance(WA),Pull-up(PU) undForward Continuance(FCN).Foot Clearance(FCL) undFoot Placement(FP) sind die Unterphasen der Schwungphase. Beim Treppabsteigen setzt sich die Standphase aus den UnterphasenWeight Ac- ceptance (WA),Forward Continuance (FCN) und Controlled Lowering(CL) zusammen. Für die Schwungphase sind diesLeg Pull-Through(LP) undPreparation for Foot Placement (FP) (McFadyen und Winter1988). Dabei findet der Großteil der Fortbewegung während der Phasen PU und CL statt, treppauf also sehr früh und treppab sehr spät im Zyklus. Abb.2.6und Abb.2.7 veranschaulichen die Phasen des Gangzyklus des Treppensteigens.
Zwischen treppauf und treppab gibt es wesentliche Unterschiede im Gang. Beim Treppaufge- hen verlässt das Schwungbein zuletzt mit den Zehen den Boden, schwingt nach vorne und oben und tritt dann mit der nächst höheren Stufe in Kontakt. Während dieser Bewegungen bleibt der Schwungfuß nahezu parallel zum Boden. Die Ferse des bisherigen Standbeines hebt vom Boden ab, sobald das vordere Bein mit der ganzen Sohle flach auf der nächsten Treppenstufe steht. Die Rollen Schwung- und Standbein werden getauscht und die Bewegungen wiederholen sich bis zum Ende der Treppe. In der Schwungphase treppab schwingt das Bein um die Tiefe der Trep- penstufe nach vorne. Während der Schwungfuß sich mit dem Ballen voran nach unten bewegt,
Bild 2.6:Gangzyklus des Treppaufsteigens
hebt die Ferse des Standbeines ab. Als nächstes wird das Gewicht vom Stand- zum Schwungbein übertragen und die Ferse des letzteren abgesenkt, womit das letztere die Aufgabe des Standbei- nes übernimmt. Anders als beim Gehen auf flachem Boden, wo der initiale Bodenkontakt meist zuerst mit der Ferse stattfindet, ist dies beim Treppensteigen der Fußballen (Kumar1999).
2.3 Bewegungsmuster zweibeiniger Roboter
Im folgenden Abschnitt wird eine Literaturübersicht zu bisher bei zweibeinigen Robotern ver- wendeten Bewegungsmustern gegeben. Hierbei wird vor allem auf die Fußtrajektorien eingegan- gen, da diese für die vorliegende Arbeit von Interesse sind. Im Folgenden wird bei Unterteilung der Füße des Roboters in mehrere Segmente das vorderste als Zeh bzw. Zehen bezeichnet.
2.3.1 Gehen
Miura u. a.2011versuchen das menschliche Gehen zu imitieren und dabei Stabilität zu garan- tieren. Die hier umgesetzten Aspekte sind Zehengehen, gestrecktes Knie und eine angepasste Bewegung des Schwungbeines. Für diese Arbeit relevant ist zunächst einmal das Zehengehen.
Die Bewegung der Glieder von Knöchel und Zeh wird dabei durch kubische Polynome abge- bildet. Die Standphase wird in vier Abschnitte geteilt. Zuerst findet eine Rotation um die Kante der Ferse statt, dann liegt die ganze Fußsohle auf, danach nur noch die Zehen und abschließend rotiert der Fuß um die Vorderkante des Fußes. Die Dauer der Phasen wird im Vergleich zum Menschen aufgrund der anderen Massenverteilung des Roboters angepasst. Das vorgeschlagene Gangbild wird anhand des RobotersHRP-4Cexperimentell überprüft.
Bild 2.7: Gangzyklus des Treppabsteigens
In Chevallereau, Djoudi und Grizzle2008wird ein zweidimensionales Modell eines bipedalen Roboters betrachtet. Untersucht wird unter anderem eine Rotation des Standfußes um die Zehen- spitze. Es werden monolithische Füße verwendet.
In Chen u. a.2014wird mit virtueller Ferse und virtuellem Zeh für ein Simulationsmodell in der Sagittalebene gearbeitet. Der Fuß an sich besteht aus einem Teil ohne weitere Gelenke. Ziel ist es auch hier, ein dem Menschen nachempfundenes Aufsetzen der Ferse und Zehengehen zu realisieren, um die Stabilität bei Auftreten von externen Störungen zu verbessern. Die Trajekto- rie desZero-Moment-Points(ZMP) wird so geplant, dass der ZMP in der virtuellen Ferse bzw.
im Zeh liegt, so wird das Fersen- bzw. Zehengehen simuliert, ohne zusätzliche Gelenke zu ver- wenden. Außerdem wird ein Regler und Mustergenerator entworfen, der die Position, an der das Schwungbein den Boden kontaktiert, regelt, um die Stabilität zu gewährleisten.
Tlalolini, Chevallereau und Aoustin2011vergleichen zwei verschiedene Gangarten. Die erste ist die bei den meisten bipedalen Robotern verwendete mit einem flachen Standfuß und keiner Rotation. Hier sind monopedale Standphasen durch einen Aufprall getrennt, der die bipedale Standphase modelliert. Die zweite hingegen beinhaltet eine Rotation des Standfußes um den Zeh. Auf die monopedale Standphase folgt eine bipedale Standphase. Es findet kein Fersenkon- takt statt, sondern der Fuß landet mit der kompletten Fußsohle. Der vordere Fuß steht also mit der ganzen Fußfläche, und der hintere nur noch mit den Zehen. Durch Rotation des Fußes um die Zehen wird ein weiterer Freiheitsgrad eingeführt, der nicht aktuiert ist, somit ist das System in der Phase der Rotation unteraktuiert. In der folgenden Optimierung wird der Winkel der Rotation beschränkt auf Werte zwischen5° und45°. Für beide Gangarten wird eine Simulation durchge- führt. Ergebnis ist, dass die zweite Gangart mit Fußrotation für höhere Schrittgeschwindigkeiten die betrachtete Kostenfunktion reduzieren kann. Bei niedrigeren Geschwindigkeiten ist ein Gang ohne Rotation günstiger hinsichtlich der Kosten.
Als Erweiterung wird in Wang, Chevallereau und Tlalolini2013ein asymptotisch stabiler Regler entworfen.
Um einen menschlicheren Gang zu erreichen, wird in Li u. a.2010die Bedingung der konstanten Hüfthöhe aufgehoben. Dadurch werden Singularitäten in den Kniegelenken während der mittle- ren Standphase umgangen. Die dabei entstehenden großen Motordrehmomente werden durch den Einsatz von Fußballen- und Fersengehen reduziert. Grund hierfür ist, dass so eine Kniesin- gularität während der bipedalen Standphase auch bei höheren Hüftpositionen verhindert werden kann. Die Fußtrajektorie besteht aus vier Phasen, die mittels einem endlichen Zustandsautoma- ten angesteuert werden. Geometrisch werden die Trajektorien über Polynome fünften Grades interpoliert. Der Gang wird mittels einer Simulation untersucht. Für die Hüfte ergibt sich eine sinusförmige Trajektorie, welche dem menschlichen Vorbild ähnelt.
Ein weiterer Ansatz mit gestreckten Knien sowie Fersenkontakt und Zehengehen findet sich in Ogura u. a.2006. Betrachtet wird der humanoide RoboterWABIAN-2R. Die Zehenbewegung wird dabei durch ein passives Gelenk realisiert. Dies ist damit begründet, dass es dem menschlichen Gang entspricht, da die Zehnmuskeln beim Fersen- und Fußballengehen relaxiert sind. Die Län- ge vom Zehengelenk bis zur Fußspitze beträgt48,5 mm, bei einer totalen Fußlänge von202 mm. Der Zeh kann um einen Winkel von 71,7° gedreht werden. Der initiale Fersenkontakt tritt bei einem Winkel zwischen0° und40° auf. Die Fußtrajektorie wird hier in drei Phasen unterteilt:
DieToe-off-Phase, dann die Schwungphase und zum Schluss der Fersenkontakt. Beginnend mit dem Abheben der Ferse, folgt der Stand auf den Zehen und schließlich das Abheben der Zehen vom Boden und damit der Beginn der Schwungphase. Die Phasen des Fersenkontakts und des Zehenstandes werden durch fünf Parameter beschrieben, jeweils die Positionen, Geschwindig- keiten, Beschleunigungen, ein Winkel sowie die Winkelgeschwindigkeit. Die Verbindung der Trajektorien der drei Phasen erfolgt durch Polynome.
Handharu, Yoon und Kim2008schlagen die Verwendung von Fersen- und Zehengelenken vor, dies entspricht zwei zusätzlichen Freiheitsgraden in jedem Fuß. Eine Besonderheit ist das Fer- sengelenk. Durch dieses ist eine Rotation um die Ferse möglich, bei der gleichzeitig ein flächiger Kontakt mit dem Boden besteht. Dementsprechend werden für die Ferse und die Zehen je eine eigene Trajektorie erzeugt. In den durchgeführten Simulationen wird gezeigt, dass sich durch Verwendung der zusätzlichen Gelenke die Stabilität erhöhen lässt.
Morisawa u. a.2011entwerfen einen Regler, der die Fußtrajektorie des Schwungbeines anpasst, damit eine Kollision des Schwungbeines in horizontaler Richtung mit einem Hindernis vermie- den wird. Eine solche Kollision könnte zu Stolpern oder Umkippen führen. Die vorgeschlagene Methode zur Generierung der Schwungtrajektorie berechnet online eine angepasste Landepositi- on für das Schwungbein. Mathematisch wird die Trajektorie in𝑥-Richtung durch eine Hamilton- Jacobi-Gleichung dargestellt. Ausgangspunkt sind hierbei die aktuelle Position und Geschwin- digkeit sowie die gewünschte Landeposition. Wird eine Kollision festgestellt, wird der Fuß abge- bremst. Ein weiterer Aspekt, der betrachtet wird, ist die durch unebenes Terrain veränderte Höhe und dadurch auch Zeit des Auftreffens. Je nach Höhe des Terrains kann diese höher oder tiefer liegen als erwartet. Die vertikale Trajektorie wird durch ein Polynom fünften Grades modelliert.
Die Dauer der monopedalen Standphase wird verlängert bzw. verkürzt. Außerdem wird ein Ab- rollen des Fußes realisiert, um einen effizienteren Gang abbilden zu können. Je nach Phase des Gangzyklus befindet sich der Punkt, um den der Fuß rotiert, an der Ferse oder an den Zehen.
Während der Schwungphase wandert dieser Drehpunkt von den Zehen zur Ferse. Erzeugt wird
die Trajektorie durch Interpolation von zwei Punkten durch ein Polynom fünften Grades in der Zeit. Es werden Simulationen des humanoiden RobotersHRP-2durchgeführt.
Der in Collins und Ruina2005und Collins2005betrachtete Roboter verfügt über zwei Beine mit menschlichen Proportionen und zwei Arme, der Torso ist jedoch kleiner als beim Menschen.
Besonders sind hier die Füße, welche eine bogenförmige Sohle besitzen und relativ breit sind.
Ziel ist eine Energieminimierung.
Huang u. a.2001verwenden für die Fußtrajektorien Splines dritter Ordnung. Eine Rotation des Fußes wird berücksichtigt über den Winkel zwischen Fußsohle und Boden. Während der Bewe- gung des Fußes kann dieser also orthogonal zur Bewegungsrichtung rotieren. Es werden Simu- lationen und Experimente zur Validierung durchgeführt.
In Ezati, Khadiv und Moosavian2015 wird ein Modell ähnlich dem vonLola betrachtet. Die Fußtrajektorien werden durch Polynome fünften Grades abgebildet. Als Anfangsbedingungen werden Winkel, Winkelgeschwindigkeiten und Winkelbeschleunigungen der Zehengelenke ge- nommen und dadurch die sechs nötigen Koeffizienten bestimmt. Es werden sechs verschiedene Gangbilder (Gait Patterns) betrachtet, die sich in der Anwesenheit von Zehen- und Fersengehen unterscheiden, sowie in den Phasen, in denen diese eingesetzt werden. Ziel ist es, ein optimales Muster bezüglich des maximalen Momentes der Knie und bezüglich des Gesamtenergieverbrau- ches zu finden, was beide Ziele minimiert. Als Ergebnis zeigt sich das komplexeste Muster, bei dem die Fersen in der bipedalen Standphase und die Zehen in beiden Phasen, also in monopedaler und bipedaler eingesetzt werden, als Optimum.
Kumar u. a.2007untersuchen den Nutzen von hybriden Zehen- und Fersengelenken, dabei wird ein Roboter als invertiertes Pendel vereinfacht modelliert. Hybrid meint dabei, dass es eine Kom- bination aus Feder, Dämpfer und Aktuator ist. Es ist also eine Kombination aus aktivem und passivem Gelenk. Untersucht wird vor allem die Phase des monopedalen Standes, in der das Standbein lediglich mit dem Zehensegment den Boden berührt. Anhand des vereinfachten Mo- dells wird analysiert, wie sich der Ort des ZMP verändert bei Verwendung der Zehengelenke.
Ein Vorteil dieser hybriden Zehengelenke ist, dass die Anforderungen an die maximal mögli- chen Drehmomente niedriger sind. Dies gilt für einen ZMP, dessen Position sich über die Zeit verändert. Der mit dem initialen Kontakt mit der Ferse verbundene Aufprall wird durch die Feder- Dämpfer-Kombination abgeschwächt. Außerdem kann durch das aktuierte Fersengelenk die bi- pedale Standphase nochmals verlängert werden. Die Stabilitätsregion, die bei der Verwendung von Zehengelenken im Vergleich zu flachen Füßen reduziert wird, kann durch die gleichzeitige Verwendung von Zehen- und Fersengelenken wieder vergrößert werden. Ein weiterer Vorteil ist die Verlängerung der möglichen Schrittlänge.
In Luo u. a.2013wird der Verlauf des Druckpunktes beim Menschen durch Probanden erfasst.
Von dieser wird dann eine mögliche Trajektorie für die Rotation des Sprunggelenkes1abgeleitet.
Bei Experimenten mit dem humanoiden RoboterPKU-HR5 mit flachem Fuß und der um den vorgegeben Winkel gedrehte Fußsohle zeigen diejenigen mit Rotation eine höhere Stabilität.
1Da humanoide Roboter nicht über die gleiche Komplexität an Gelenken verfügen wie der Mensch, wird im Folgenden der Begriff Sprunggelenk für das Gelenk auf Höhe des Knöchels verwendet.
Ziel von Nishiwaki und Kagami2012ist es, in unebenem Terrain eine bessere Anpassungsfä- higkeit an dieses zu erreichen. Betrachtet werden Fälle, in denen nicht der gesamte Fuß auf dem Boden aufkommt, sondern nur ein Teil, also die Ferse oder die Zehen, beispielsweise bei Stufen oder einer schiefen Ebene.
Für den menschlichen Gang ist es charakteristisch, dass das neue Standbein während der Ge- wichtsverlagerung gestreckt ist. Humanoide Roboter haben diese Charakteristik häufig nicht, sondern beugen das Knie des neuen Standbeines. Behnke2005realisiert dies für den Roboter Toni, der eine Höhe von74 cmbesitzt. Es werden aktive Zehengelenke verwendet. Durch die- se wird es möglich, das neue Standbein gestreckt zu lassen, da das bisherige Standbein, welches entlastet werden soll, um das Segment zwischen Zehengelenk und Sprunggelenk verlängert wird.
Die Hüfte bewegt sich erheblich von rechts nach links während des Gehens.
Ein weiterer Ansatz zur Realisierung von Heel-strikeund Toe-off findet sich in Minami u. a.
2014. Es wird das Modell des invertierten Pendels in der Sagittalebene verwendet.
2.3.2 Treppensteigen
In Kim, Park und Oh2009wird ein Gangbild für das Treppensteigen eines humanoiden Robo- ters (KHR-2) vorgestellt. Er verfügt über insgesamt 41 Freiheitsgrade, allerdings keine Zehenge- lenke. Dabei werden für die Komponenten der Trajektorien der Füße verschiedene Funktionen verwendet. Die Erzeugung der absoluten Fußtrajektorien in𝑥-Richtung basiert auf einer zykloi- dischen Funktion. Dies ist dadurch motiviert, dass der Knöchel des Menschen beim Gehen auf einer ebensolchen Kreisbahn um die Zehenspitze kreist. Die Trajektorien werden anhand von Experimenten mit dem humanoiden RoboterKHR-2 getestet. Vor dem ersten Schritt auf eine Stufe wird das Becken um40 mmabgesenkt. So soll die Singularität im Knie umgangen werden.
Die Dauer eines Gangzyklus wird verdoppelt im Vergleich zu flachem Gehen, nämlich auf4,4 s, was einer Schrittdauer von2,2 sentspricht. Für die relative2vertikale Fußtrajektorie wird eine Kosinusfunktion verwendet. Die maximal mögliche Stufenhöhe beträgt155 mmund die längste Schrittlänge275 mm, wobei beachtet werden muss, dass die Länge der Oberschenkel290 mm und die der Unterschenkel280 mmbeträgt.
In Jeon, Kwon und Park2004werden optimale Trajektorien für das Treppensteigen mittels gene- tischer Algorithmen ermittelt. Die Minimierung der benötigten Energie ist Ziel der Optimierung.
Die Gelenkwinkel werden als Polynome vierten Grades als Funktion der Zeit dargestellt. Betrach- tet wird ein Modell eines Roboters mit sechs Freiheitsgraden nur in der Sagittalebene. Als Un- gleichheitsrestriktion wird verwendet, dass beim Treppaufsteigen die Zehenspitze des Schwung- beines nicht mit der Stufe kollidiert. Beim Treppabsteigen ist die Restriktion, dass die Ferse nicht mit der Stufe kollidiert. Die erzeugten optimierten Trajektorien beim Gehen auf flachem Boden, treppauf und treppab werden mithilfe von Simulationen hinsichtlich ihrer Energieeffizienz ver- glichen.
In Kim, Kim und Kim2009wird eine Trajektoriengenerierung für die Gelenkmotorwinkel vor- geschlagen und mithilfe von genetischen Algorithmen optimiert. Ziel der Optimierung ist die Mi-
2relativ zu dem körperfesten Koordinatensystem, welches im Becken fixiert ist
nimierung einer Energiekostenfunktion. Mathematisch werden die Trajektorien durch kubische B-Splines dargestellt. Das Treppabsteigen wird in vier Phasen gegliedert. In der ersten Phase wird das Schwungbein nach vorne bewegt, in der zweiten wird das Knie des Standbeines ge- beugt, sodass das Schwungbein um die Stufenhöhe gesenkt wird. In der dritten ist der vorherige Schwungfuß auf der unteren Stufe gelandet und bereit, Gewicht aufzunehmen. Der Oberkörper wird nach vorne bewegt und das untere Bein gestreckt. In der letzten Phase wird das Bein, wel- ches noch auf der oberen Stufe steht, nach unten bewegt, damit der Roboter wieder gerade steht.
Bei der Simulation werden für die vier Phasen folgende Zeiten verwendet: 1 Sekunde für die erste Phase, 1,5 für die zweite, 0,5 für die dritte und 1,5 für die vierte und letzte. Die Schrittlänge beträgt100 mmund die Stufenhöhe18 mm.
Mit der Verbesserung des Treppensteigens bzw. dem Gehen auf unebenem Terrain beschäftigen sich Yi, Hong und Lee2015. Hier wird ein Gangregler entworfen, der in der Lage ist, unebenes Terrain zu überqueren, indem er Rotationen um Zehen und Fersen benutzt. Ausgangspunkt ist dabei die Zielposition des Standfußes und die Neigung des Bodens, daraus werden die nötigen Winkel für Zehen und Fersen berechnet. Ziel ist es, durch die Rotation beide Füße im Kontakt mit dem Untergrund zu belassen, um dadurch erhöhte Stabilität zu erreichen. Die bipedale Stand- phase wird hierdurch verlängert. Die Fußtrajektorien für unebenes Terrain werden in Form eines Quadrates modelliert, der Fuß wird parallel bzw. senkrecht zur𝑥-𝑦-Ebene bewegt. Vor allem in Situationen, in denen die Beinlänge nicht ausreicht, sind die Neigung der Ferse bzw. des Zehs hilfreich. Aufgrund der eingeführten Änderungen ist der RoboterTHOR-RDin den durchgeführ- ten Experimenten in der Lage, auch Terrain mit verschiedenen Stufenhöhen zu überqueren.
Shih1999 realisiert das Treppensteigen eines bipedalen Roboters (BR-1) durch veränderliche Beinlänge und ein innerhalb des Körpers verschiebbares Gewicht. Dieses stellt sicher, dass der Schwerpunkt zu jedem Zeitpunkt auf die Fläche des Standfußes projiziert wird. Der Roboter ver- fügt über sieben Freiheitsgrade. Es gibt ein Hüft- und zwei Sprunggelenke, Kniegelenke sind nicht vorhanden. Deren Funktion soll durch die veränderliche Beinlänge substituiert werden. Für die Trajektorien werden Polynome dritten Grades verwendet, wobei Position und Geschwindig- keiten an den Rändern vorgegeben werden können. Die Füße sind monolithisch und das aktuelle Standbein ist immer mit der gesamten Sohle in Kontakt mit dem Boden. Treppaufsteigen wird in drei Phasen unterteilt. Allerdings wird hier keine Rotation der Füße berücksichtigt. Die Füße verbleiben während der gesamten Bewegung parallel zur Fläche der Stufen.
Nishiwaki, Kagami u. a. 2002untersuchen die Einflüsse von zusätzlichen Zehengelenken am Beispiel der humanoiden RoboterH6undH7. Drei Aspekte sind dabei die Motivation. Erstens eine Erhöhung der Schrittgeschwindigkeit, zum zweiten, dass höhere Stufen überschritten wer- den können und drittens, dass eine Ganzkörperaktion möglich wird, bei der die Knie den Boden berühren, der Roboter also sich nicht mehr nur bipedal fortbewegt. Damit währenddessen die Sohle weiter mit dem Boden in Kontakt bleiben kann, wird ein Zehengelenk eingeführt. Durch den Einsatz von Zehengelenken ist es beim Treppaufsteigen möglich, den Torso anzuheben, wäh- rend der Standfuß mit dem Zehensegment noch in Kontakt mit dem Boden ist. Dadurch kann die Beugung des Knies reduziert werden und höhere Stufen können überwunden werden. Die Li- mitierungen des Drehmoments und der Winkelgeschwindigkeit des Kniegelenkes werden erst später erreicht. Bei Betrachtung ohne Zehengelenke wird die maximale Winkelgeschwindigkeit
des Kniegelenkes bei sehr großen Schrittgeschwindigkeiten erreicht. Durch die Verwendung der vorgeschlagenen Zehengelenke kann diese Winkelgeschwindigkeit auf etwa die Hälfte reduziert werden. Die Schrittgeschwindigkeit kann auf 80 % erhöht werden und es sind Stufen mit einer Höhe von 25 cm überwindbar.
In Ki Ahn, Lee und Go2003wird ein Roboter mit und ohne Zehen bezüglich seines Gangver- haltens verglichen. Das Modell des Roboters besitzt in jedem Bein sieben Freiheitsgrade. Da nur bis zum Torso modelliert wird, entspricht 14 der Anzahl an Freiheitsgraden des gesamten Roboters. Als Trajektorien werden Spline Interpolationen fünften Grades verwendet mit den Be- dingungen, dass Geschwindigkeit und Beschleunigung zu Start- und Endzeitpunkt null sind. Ein Gangzyklus ohne Zehen wird dabei in drei Phasen unterteilt, mit Zehen in fünf. Mit Zehen wird ein Gang erzielt, der dem menschlichen ähnlicher ist. In den Simulationen wird deutlich, dass bei Verwendung der Zehengelenke die Dauer der bipedalen Standphase um ca.10%verlängert werden kann, was die Region, in der der ZMP liegen darf vergrößert. Außerdem können die maximal erreichten Winkelgeschwindigkeiten in den Gelenken (Knie, Hüfte, Sprunggelenk) re- duziert werden. Als dritter Aspekt wird die maximal möglicheStride Lengthbetrachtet, für die noch Stabilität herrscht. Mit Zehen wird eine mehr als doppelt so großeStride Lengthrealisierbar.
Fu und Chen2008realisieren Treppensteigen mit flachem Schwungfuß, es findet keine Rotati- on um die𝑦-Achse statt. Betrachtet wird der humanoide RoboterTHIBP-I. Jedes Bein hat sechs Freiheitsgrade, die Füße bestehen aus einem Teil ohne Zehengelenk. Die Position des Schwung- fußes ist durch die Angabe seiner Koordinaten𝑥und𝑧bzw. derer des Sprunggelenkes eindeutig definiert, da der Winkel der Rotation des Fußes um die𝑦-Achse immer null Grad beträgt, was ei- ner holonomen Zwangsbedingung entspricht. Für eine eindeutige Definition des Treppensteigens werden die Trajektorien des Schwungfußes, der Hüfte und des Torsowinkels vorgegeben. Die Trajektorien für die Koordinaten𝑥 und𝑧 des Sprunggelenkes werden als Spline-Interpolation dritten Grades beschrieben. Als Stützpunkte werden die Positionen zu Anfangs- und Endzeit- punkt sowie ein Wertepaar dazwischen verwendet, durch welches Kollisionen mit der Stufe ver- mieden werden können. Außerdem muss die Geschwindigkeit zu Start und Ende null sein. Para- meter, die variiert werden können, sind die Höhe und Tiefe der Stufen sowie die Koordinaten des mittleren Stützpunktes. Die Torsotrajektorie beschreibt die Position der Hüfte sowie den Win- kel, um den der Torso um die 𝑦-Achse geneigt ist. Für die Torso-Trajektorie werden folgende Bedingungen betrachtet. Die Länge der Beine ist fix, daher muss der Torso bzw. die Hüfte in einem bestimmten Bereich liegen. Außerdem darf es während der bipedalen Standphase nicht zu einer Kollision zwischen Schienbein und Stufe kommen. Um das Drehmoment im Kniegelenk des Standbeines zu reduzieren, darf die Hüfte eine bestimmte Höhe nicht unterschreiten. Die Neigung des Torsos wird beim Treppaufsteigen proportional zum Verhältnis von Stufenhöhe zu Stufentiefe variiert. Beim Treppabsteigen ist diese null.
Sheng u. a.2011 stellen ein Gangmuster für das Treppensteigen vor. Als Modell wird das in- vertierte Pendel gewählt. Für die Trajektorien des Knöchels werden Sinusfunktionen verwendet.
Das vorgeschlagene Gangbild wird in Simulationen getestet.
2.4 Humanoider Laufroboter Lola
Der humanoide LaufroboterLolawurde am Lehrstuhl für Angewandte Mechanik der TUM ent- wickelt. Er verfügt über 24 Freiheitsgrade. Davon entfallen zwei auf jedes Sprunggelenk (ankle joint).Lolabesitzt in jedem Fuß ein aktives Zehengelenk mit einem Freiheitsgrad.
Die Planung der Bewegung ist in mehrere Ebenen gegliedert. Zuerst wird durch einen endlichen Zustandsautomaten entschieden, welcher Zustand aktiv ist. Darauf aufbauend wird durch den Step Sequence Planner eine Sequenz von Schritten geplant. Die Schrittparameter und die Po- sition und Orientierung des Referenzfußes im aktuellen Planungssytem definieren einen Schritt (Buschmann2010).
Diese Schrittsequenz dient als Input für die Trajektoriengenerierung. Ergebnis derWalking Pat- tern Generationsind ideale Referenztrajektorien𝑤𝑑 in Arbeitsraumkoordinaten unter anderem für den Schwerpunkt und die Füße, die dann weiterverarbeitet werden. Mithilfe der inversen Ki- nematik werden anschließend die Zustände der Gelenke bestimmt und entsprechend vorgegeben.
Hindernisse werden mithilfe desReactive Step Sequence Planningbehandelt. Die Schrittlänge der Schritte vor dem Hindernis wird verkürzt, so dass der Roboter bis kurz vor das Hindernis läuft.
Es sind so z. B. vor einer Stufe viele kleine Schritte notwendig, damit dann die volle Beinlänge ausgenutzt werden kann, um die Höhendifferenz der Stufe zu überwinden (Buschmann2010).
BeiLolaist eine Rotation des Fußes um die Längsachse implementiert, die das Kurvengehen ermöglicht.
Die Arbeitsraumkoordinaten, die zur Beschreibung vonLolaverwendet werden, sind die folgen- den:
𝒙𝑇(𝒒) =[
𝒙𝑇𝑅(𝒒𝐽) 𝒙𝑇𝐼(𝒒)]
(2.3) wobei𝒒𝐽 die Gelenkwinkel sind und𝒒zusätzlich noch die Position und Orientierung des Ober- körpers beinhalten.
𝒙𝑇𝐼(𝒒) =[
𝐼𝒓𝑇𝐶𝑜𝐺 𝜑𝑇]
(2.4) 𝒙𝑇𝑅(𝒒𝐽) =
[
𝑇𝒓𝑇𝐶𝑜𝐺,𝑅𝐹 𝑇𝒓𝑇𝐶𝑜𝐺,𝐿𝐹 𝑇𝒔𝑇𝑇 𝑅𝐹 𝑇𝒔𝑇𝑇 𝐿𝐹 𝒓𝑇𝐶𝑜𝐺,𝑅𝐴𝐶𝑜𝐺 𝒓𝑇𝐶𝑜𝐺,𝐿𝐴𝐶𝑜𝐺 𝑞𝐽 ,𝑃 𝑅 𝑞𝐽 ,𝑃 𝐴 𝑞𝐽 ,𝑅𝑇 𝐹 𝑞𝐽 ,𝐿𝑇 𝐹]
(2.5) Zur genaueren Erläuterung dieser sei auf z. B. Buschmann2010verwiesen.
Zur Beschreibung der Fußtrajektorien existieren zwei zusätzliche körperfeste Koordinatensyste- me (RF und LF), eins in jedem Fuß. Der Ursprung dieses Koordinatensystems liegt jeweils in der Mitte des Zehensegmentes. Als inertiales Bezugssystem wird für jeden Schritt ein neues verwen- det, bezeichnet mit𝐼𝑖. Es wird immer dann in die neue Position unter dem neuen Standbein ver- schoben, sobald das bisherige Schwungbein den Boden berührt, also beim initialen Kontakt. Zu dem Zeitpunkt, an dem der Fuß flach auf dem Boden liegt, entspricht das inertiale Bezugssystem
dem Fußkoordinatensystem (Buschmann2010). Zusätzlich gibt es noch das globale Referenzsys- tem𝐼0. Zur Darstellung der Orientierung der Füße wird eine spezielle Beschreibung eingeführt.
Durch diese ist es möglich, die Beschreibung durch Euler oder Kardan-Winkel zu umgehen, die bei bestimmten Bewegungen des Fußes komplex wird. Die gewählte Darstellung ist anschauli- cher, da direkt die den Bewegungen entsprechenden Winkel vorgegeben werden können.
Die Orientierung der Füße wird angegeben durch:
𝑠𝑇 𝐹 ,0=𝐹 𝒆𝑇𝑧𝑨𝐹 𝑇 𝑇𝒆𝑥 (2.6)
𝑠𝑇 𝐹 ,1=𝐹 𝒆𝑇𝑧𝑨𝐹 𝑇 𝑇𝒆𝑦 (2.7)
𝑠𝑇 𝐹 ,2=𝐹 𝒆𝑇𝑦𝑨𝐹 𝑇 𝑇𝒆𝑥 (2.8)
Hierbei steht der Term mit Index 0 für eine Auf- und Abwärtsbewegung des Zehs, der mit Index 1 für eine seitliche Neigung und der mit Index 2 für die Rotation um die𝑧-Achse, die das Kur- vengehen beschreibt (Buschmann2010).𝐴𝐹 𝑇 ist die Rotationsmatrix vom Koordinatensystem T (Torso) in das Koordinatensystem F (RF oder LF, des jeweiligen Fußes).
Die Fußtrajektorien fürLolalegen die relative Position des Schwungfußes im aktuellen Planungs- system sowie die Orientierung relativ zum Oberkörper fest (Buschmann2010). Schritte werden fürLolaals Kreispfad geplant. Ein Schritt geradeaus entspricht dabei einem unendlichen Radius, also einem Drehwinkel𝜙𝑠𝑡𝑒𝑝von0°. So ist es möglich, Kurvengehen zu realisieren.Δ𝑟𝑠𝑡𝑒𝑝 gibt jeweils die Position des nächsten Schrittes an, als Differenz zur aktuellen Position.
Der Roboter Lola besitzt ein aktives Zehengelenk. Bereits implementiert ist ein Abheben der Ferse am Ende der bipedalen Standphase, ein sogenanntesheel-off, also ein Abrollen über den Vorderfuß. Dieses wird nur bei großen Schrittweiten aktiviert. Durch das Abheben der Ferse wird die erreichbare Schrittlänge vergrößert. Der Winkel𝜑𝑝𝑒𝑎𝑘ist der größte auftretende Win- kel, der während eines Schrittes erreicht wird und zwar in der Mitte der initialen Schwungphase.
Der Wert dieses Winkels ist eine lineare Funktion der Schrittlänge bis zu einem Maximalwinkel von𝜑𝑡𝑜𝑒,𝑚𝑎𝑥= 40°. Die Werte der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt, an dem𝜑𝑝𝑒𝑎𝑘auftritt, werden durch Minimierung der Beschleunigungen bestimmt. Dabei werden an den Phasengrenzen die Positionen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen vorgegeben, am mittleren Kontrollpunkt, an dem der Winkel 𝜑𝑝𝑒𝑎𝑘 erreicht wird, wird nur dieser Gelenk- winkel vorgegeben, und die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bleiben frei, können also optimiert werden.
Es wird eine Trajektorie für den Gelenkwinkel des Zehengelenkes 𝑞𝐽 ,𝑅𝑇 𝐹 bzw.𝑞𝐽 ,𝐿𝑇 𝐹 vorge- ben. Die bisher implementierte Referenz-Zehentrajektorie wird heuristisch ermittelt. Diese Tra- jektorie wird nur für große Schritte aktiviert, dann steigt der Winkel linear als Funktion der Schrittlänge𝐿𝑠𝑡𝑒𝑝 bis zum größtmöglichen Winkel von𝜑𝑡𝑜𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 40°, sonst bleibt der Winkel 0° (Buschmann2010).
Weitere Details zur Realisierung und Implementierung von Lolakönnen z. B. in Buschmann 2010und Lohmeier2010gefunden werden.
Modellierung alternativer Fußtrajektorien
Im Rahmen dieser Arbeit wird ein Software-Werkzeug zur Evaluierung von Fußtrajektorien hin- sichtlich kinematischer Kriterien in MATLAB implementiert. Im Folgenden wird erläutert, wie dieses aufgebaut ist, welche Annahmen und Vereinfachungen getroffen werden und wozu es ver- wendet werden kann.
Des Weiteren wird auf die mathematische Modellierung der alternativen Fußtrajektorien ein- gegangen. Da sich in der Mehrkörpersimulation herausgestellt hat, dass das Treppabsteigen die größte Herausforderung für den RoboterLoladarstellt, wird im Rahmen dieser Arbeit vor allem dies untersucht.
3.1 Software-Werkzeug
3.1.1 Aufbau des Software-Werkzeugs
Zunächst werden grundlegende Parameter definiert. Dazu gehören das betrachtete Szenario, die Anzahl der Schritte bzw. Stufen und Dimensionen der Stufen. Daraus können abhängig vom Szenario die Schrittparameter abgeleitet werden. Des Weiteren sind Stützstellen und Anzahl der Phasen der Trajektorien sowie die Dauer der Schrittphasen festzulegen. Für die Ausgangsposi- tion werden Anfangswerte definiert. Anschließend erfolgt das Zeichnen der Stufen. Es schließt sich eine Schleife über die Anzahl der Schritte bzw. Stufen an, in der mit aktueller Schrittdauer die Koeffizienten aller Trajektorien ermittelt werden. Dazu wird eine entsprechende Funktion aufgerufen, der die Anzahl der Phasen sowie die Zeitpunkte und Werte der Stützstellen über- geben werden. Diese Funktion liefert als Rückgabewert eine Matrix𝑨, die für jeden Abschnitt einen Vektor der Koeffizienten erhält, die das entsprechenden Polynom definieren (siehe Ab- schnitt3.2.2). Die Schrittparameter werden je nach zutreffendem Zustand angepasst (siehe dazu Abschnitt3.1.4). Innerhalb dieser Schleife gibt es eine weitere Schleife über einen Zeitvektor, der für jeden diskreten Zeitwert die verschiedenen Trajektorien auswertet und diese Werte in Matri- zen abspeichert. Diese werden dann an eine Funktion übergeben, welche die aktuelle Konfigu-
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ration berechnet und zeichnet. Die zurückgegebenen Winkel werden in Matrizen abgespeichert, um sie später weiter verwenden zu können für Visualisierung und Auswertung. Anschließend er- folgt das Zeichnen der Trajektorien, Winkelverläufe und Geschwindigkeitsverläufe. Außerdem wird die pseudokinetische Energie für den aktuellen Schritt berechnet. Vor Beginn der nächsten Iteration, welche dem folgenden Schritt entspricht, wird die Gesamtsimulationszeit erhöht und es werden die Funktionen der Beine als Stand- und Schwungbein gewechselt. Dafür ist das Abspei- chern der aktuellen Konfiguration des bisherigen Standbeines nötig. Sofern gewünscht, erfolgt ein Wechsel des Zustandes. Dieser Ablauf des Programms ist schematisch in Algorithmus1dar- gestellt.
Definition Parameter forAnzahl Stufendo
Festlegen der neuen Schrittparameter Koeffizienten der Trajektorien berechnen foralle Zeitpunktedo
Auswertung der Trajektorien zu Zeit t Zeichnen der aktuellen Konfiguration end
Schwung- und Standbein wechseln Zustand wechseln
end
Algorithmus 1 :Darstellung des Programmablaufes
Als Ausgabe des Software-Werkzeugs erhält man unter anderem eine Animation. Dabei werden die vorangegangen Konfigurationen beibehalten, sodass am Ende der Verlauf der Konfiguratio- nen nachvollziehbar ist. Eine solche Historie ist in Abb.3.1zu sehen. Es werden immer beide Beine abgebildet, dabei entspricht blau dem rechten und orange dem linken Bein. Des Weiteren werden die vorgegeben Trajektorien und die verschiedenen Gelenkwinkel und Gelenkgeschwin- digkeiten als Verlauf über die Zeit dargestellt und ein Video erzeugt. Weitere Details zum Aufbau des Programms und den verwendeten Funktionen finden sich in AnhangA.
3.1.2 Annahmen und Modellierung
Für die Darstellung der Bewegungen des Roboters in dem verwendeten Software-Werkzeug wer- den einige Annahmen getroffen, um es zu ermöglichen, die wesentliche Kinematik abzubilden und zu untersuchen, ohne dabei alle Details der eigentlichen Kinematik zu modellieren. Bei der Modellierung in MATLAB werden lediglich Bewegungen in der Sagittalebene betrachtet. Dies stellt zwar eine gewisse Vereinfachung dar, die allerdings dadurch gerechtfertigt ist, dass die Bewegungen in der Frontal- und Transversalebene deutlich kleiner sind. Die Hauptbewegungs- anteile finden in der Sagittalebene statt. Diese Annahme ermöglicht eine übersichtlichere 2D- Darstellung. Dadurch gibt es jedoch keine Möglichkeit, ein Kurvengehen darzustellen. Der Win- kel𝑝ℎ𝑖𝑧,𝑠𝑤𝑖𝑛𝑔, welcher die Rotation des Schwungfußes gegenüber dem Standfuß um die z-Achse darstellt, ist immer0°. Die Bewegungen Adduktion und Abduktion werden also vernachlässigt.
Eine Erweiterung des Modells auf die dritte Dimension wäre aber ohne Weiteres möglich.
Bild 3.1: Verlauf der Konfigurationen
Des Weiteren wird eine konstante Höhe des Torsos angenommen. In der Realität und der Mehr- körpersimulation schwankt dieser Wert leicht. Vereinfachend wird als Mittelwert1,077 mver- wendet. Auch die Neigung des Oberkörpers in der Sagittalebene wird vernachlässigt, d. h. der Torso bewegt sich nur in𝑥- und𝑧-Richtung, jedoch findet keine Rotation statt. Es ist aber mög- lich, verschiedene Trajektorien für die Torsokoordinaten im Software-Werkzeug vorzugeben, so- dass auch eine variierende Torsohöhe darstellbar wäre.
Der Aufbau der Füße des RobotersLolaist deutlich komplexer als im Software-Werkzeug dar- gestellt. Der Kontakt mit dem Boden findet über zwei Kontakt-Pads statt. Das hintere Pad kann mit der Ferse und das vordere mit dem Fußballen des Menschen verglichen werden. Verbunden ist das vordere Pad mit dem eigentlichen Fußsegment über ein aktives Gelenk. Dieses wird als Zehengelenk bezeichnet. Die Kontaktpads haben eine spezielle Form inklusive Radien, die ein Abrollen beim Fersenkontakt ermöglichen soll. Diese Radien werden im Rahmen dieser Arbeit vernachlässigt. Details zum Aufbau der Füße finden sich in Lohmeier2010.
3.1.3 Robotermodell
Zur Evaluierung der Fußtrajektorien wird ein vereinfachtes Modell des RobotersLolaverwendet, welches lediglich Elemente bis zum Torso beinhaltet. Die im Software-Werkzeug verwendeten Dimensionen sind die des RobotersLola. Die Länge des Fußes, ausgenommen die Rundungen der Kontaktpads, beträgt 0,28 mund die Breite0,22 m. Um eine mögliche Kollision der Kon-
taktpads mit den Stufen oder anderen Hindernissen feststellen zu können, werden diese mit einer Länge von0,02 mapproximiert, wobei die verwendete Rundung vernachlässigt wird. Die Ge- samtlänge des Fußes beträgt daher im Software-Werkzeug0,32 m. Die Länge der Oberschenkel beträgt0,44 mund die der Unterschenkel0,43 m. Die Dimensionen des Modells, welches in dem Software-Werkzeug verwendet wird, sind in Abb.3.2dargestellt. In der verwendeten Ausgangs- lage, von der aus jeder Schritt aus dem Stillstand beginnt, ist das Knie um etwa56,6° gebeugt.
Bild 3.2: Maße des Robotermodells (links) und Winkel (rechts)
Die Füße des RobotersLolabestehen aus drei Segmenten, dem Hallux, auch Zeh genannt, dem Mittelfuß und der Ferse. Der Hallux ist über das aktive Zehengelenk mit dem Mittelfuß verbun- den. Der gesamte Fuß ist über ein Gelenk an das Bein angeschlossen, das in etwa dem oberen Sprunggelenk des Menschen (engl.ankle joint) entspricht (Lohmeier2010). Ein Stehen auf dem Zehensegment entspricht in etwa dem Stehen auf dem Vorderfuß beim Menschen.
3.1.4 Einstellungsmöglichkeiten
Es gibt die Möglichkeit, zwischen Treppauf, Treppab und flachem Gehen als Szenario zu wäh- len. Die verwendeten Trajektorien und Schrittparameter werden entsprechend angepasst. Beim Treppensteigen werden zwei Bewegungsmuster unterschieden,Step-over-StepundStep-by-Step, siehe Abb.3.3. Ersteres bedeutet, dass ein Fuß nur auf jeder zweiten Stufe abgesetzt wird, letzte- res dagegen, dass beide Füße auf jeder Stufe abgesetzt werden. Abhängig davon, ob die Treppen im Muster Step-over-StepoderStep-by-Stepgestiegen werden, ergibt sich eine andere Abfolge von Zuständen. Entsprechend werden die Werte der Trajektorien auf die zu überwindenden Di- stanzen gesetzt. Hierfür dient die Variablestate, die den Zustand angibt. Dabei bedeutetStart, dass ein Schritt aus dem geschlossenen Stand beginnt,Continueentspricht demStep-over-Step und beiClosingwerden beide Füße wieder nebeneinander gestellt, also das Schwungbein in den geschlossenen Stand herangezogen.
Bild 3.3: Bewegungsmuster beim Treppensteigen (nach Reid u. a. 2007)
3.2 Alternative Fußtrajektorien
3.2.1 Parameter
Es werden Trajektorien vorgegeben für die Postion des Fußes in 𝑥- und𝑧-Richtung sowie für die Orientierung des Fußes relativ zum Oberkörper1und für den Zehengelenkwinkel𝑞𝑍,∗∗. Der Index ∗∗gibt im Folgenden stets an, ob es sich um das Stand- oder Schwungbein (st=Stand,
1Da angenommen wird, dass der Torso nicht geneigt ist, entspricht diese Orientierung hier derjenigen relativ zum aktuellen Inertialsystem.
sw=Schwung) handelt. Für den Standfuß sind die Koordinaten𝑥𝑠𝑡 und𝑧𝑠𝑡 immer0, da dieser sich genau im aktuellen Planungssystem befindet. Die Bewegung des Schwungfußes von der ak- tuellen zur nächsten Standposition wird über die Trajektorien für die𝑥𝑠𝑤- und𝑧𝑠𝑤-Koordinaten beschrieben. Um ein Zehengehen zu realisieren, d. h. dass der initiale Kontakt mit dem Bo- den nur mit dem Zehensegment erfolgt, wird eine Trajektorie für den Zehengelenkwinkel des Schwungfußes vorgegeben, der diese Bewegung erzeugt. Dies ist gegenüber den bisher verwen- deten Trajektorien neu.𝜑∗∗stellt die Rotation des Fußes gegenüber dem Torsokoordinatensystem dar. Es gilt also immer𝜑𝑠𝑡 = 0° für das Standbein. Bei flach aufliegendem Fuß entspricht dies den Winkeln𝜑∗∗= 0° und𝑞𝑍,∗∗= 0°.
3.2.2 Polynome
Für die alternativen Fußtrajektorien werden, wie auch für die bisherigen Fußtrajektorien, ab- schnittsweise definierte Polynome fünften Grades verwendet. Die Verwendung von Polynomen fünften Grades ist sinnvoll, da hierbei sechs Koeffizienten bestimmt werden müssen und dadurch die Vorgabe von Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu Anfangs- und Endzeitpunkt möglich ist. Dies ist für humanoide Laufroboter von Relevanz, da der Standfuß vor und nach der Schwungphase in Ruhe sein sollte, um Stabilität zu gewährleisten. Des Weiteren muss eine C2-Stetigkeit gegeben sein, damit die Beschleunigungen kontinuierlich sind. Die hier verwende- ten abschnittsweise definierten Polynome fünften Grades unterscheiden sich in der Anzahl der verwendeten Phasen𝑛, also Abschnitte. Die allgemeine Form der Polynome lautet:
𝑓(𝑡) =
∑5 𝑗=0
𝑎0,𝑗(𝑡−𝑡0)𝑗 for 𝑡0 ≤𝑡 < 𝑡1 (3.1)
𝑓(𝑡) =
∑5 𝑗=0
𝑎1,𝑗(𝑡−𝑡1)𝑗 for 𝑡1 ≤𝑡 < 𝑡2 ...
𝑓(𝑡) =
∑5 𝑗=0
𝑎𝑛−1,𝑗(𝑡−𝑡𝑛−1)𝑗 for 𝑡𝑛−1≤𝑡 < 𝑡𝑛
Das Vorgehen zur Berechnung der Koeffizienten ist an das bereits implementierte angelehnt. Vor- gegeben werden für jeden Freiheitsgrad die Zeiten der Phasengrenzen sowie die Werte zu diesen Zeitpunkten. Für ein Polynom mit𝑛Phasen werden𝑛+ 1Stützpunkte an den Phasengrenzen vor- gegeben. Matrix𝑨der Koeffizienten für ein abschnittsweise definiertes Polynom fünften Grades beinhaltet die sechs nötigen Koeffizienten je Abschnitt.
Anzahl der Phasen
Die Anzahl der Phasen wird für jeden Freiheitsgrad unabhängig gewählt, da sonst sehr viele Unterphasen definiert werden müssten, um eine sinnvolle Bewegung modellieren zu können.
Für die Trajektorien der𝑥-Koordinate des Fußes werden drei Phasen verwendet, für die der𝑧- Koordinate fünf. Zwei beispielhafte Trajektorien mit drei bzw. fünf Phasen sind in Abb.3.4dar- gestellt. Die Punkte stellen dabei die Stützpunkte an den Phasengrenzen dar. Für die𝑥-Trajektorie bedeutet dies, dass der Fuß während Phase 1 und 3 ruht und während Phase 2 von seiner Aus- gangsposition zur Zielposition in horizontaler Richtung bewegt wird. Bei der 𝑧-Trajektorie ist der Fuß während der ersten und dritten Phase nicht in Bewegung, die Phasen 2 und 4 stellen das Anheben und Absenken des Fußes dar.
Bei den bisherigen Trajektorien wird die Trajektorie in vertikaler Richtung mit nur vier Phasen modelliert. Der Schritt endet also damit, dass der Fuß seine Zielhöhe erreicht. In dieser Arbeit wird eine fünfte Phase hinzugefügt, damit der Fuß, nachdem er die Zielhöhe erreicht hat, noch eine Abrollbewegung ausführen kann. Diese soll erst beginnen, sobald das Zehensegment in Kontakt mit dem Boden ist.
Die Trajektorien für die Winkel𝜑und𝑞𝑍bestehen aus drei Phasen. So ist es möglich, die Winkel in den verschiedenen Phasen des Gangzyklus separat zu variieren.
Um eine Aussage über die sich ergebende Konfiguration treffen zu können, wird auch der Torso modelliert. Als Trajektorie für diesen werden vereinfachend abschnittsweise definierte Polynome fünften Grades mit zwei Phasen verwendet. In einer der Phasen wird der Torso um die gewünschte Distanz nach vorne bzw. unten bewegt und in der anderen ruht er.
Zeit[s]
x[m]
Zeit[s]
z[m]
Bild 3.4:Trajektorien mit 3 Phasen (links) und 5 Phasen (rechts)
Für den Fall, dass in der Ausgangsposition, durch eine Rotation des Fußes um einen vorgegebenen Winkel𝜑, die Zehenspitze einen𝑧-Wert annehmen würde, der geringer wäre als der des Bodens, wird eine Warnung ausgegeben. Dies stellt eine Art Kontaktbedingung dar, die ansonsten in dem Software-Werkzeug nicht berücksichtigt werden würde. Der Fuß könnte dann den Boden durchdringen.
3.2.3 Phasendauer
Um eine möglichst große Flexibilität bei der Variation der Trajektorien zu erzielen, können die Dauern der einzelnen Phasen unabhängig voneinander gewählt werden. So kann beeinflusst wer-
den, welche der Bewegungen parallel zueinander ablaufen, welche nacheinander aber auch wel- che sich nur teilweise überschneiden. Vorgegeben werden pro Trajektorie die Zeitpunkte der Phasengrenzen, anteilig an der Schrittdauer.
3.2.4 Koordinatensysteme
Angelehnt an die beiLolaverwendeten Koordinatensysteme werden im entwickelten Software- Werkzeug ebenfalls mehrere Koordinatensysteme verwendet, was die Darstellung der Trajekto- rien vereinfachen soll. Nach jedem Schritt wird das aktuelle Inertialsystem unter den derzeitigen Standfuß verschoben. In jedem Fuß befindet sich zusätzlich ein körperfestes Koordinatensys- tem mit Ursprung in der Mitte des Zehensegmentes. Dieses System ist also um den Winkel𝜑 relativ zu dem Koordinatensystem des Torsos bzw. zum Inertialsystem um die y-Achse rotiert.
Für𝜑= 0sind die beiden Systeme identisch. Die Fußtrajektorien werden relativ zum aktuellen Inertialsystem beschrieben.
