ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 10. Aufgabenblatt vom 21.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien
1. Aufgabe: Spaÿ bei der Post
50 verschiedene Briefe werden auf die dazugehörigen 50 verschiedenen Umschläge zufällig verteilt, pro Umschlag ein Brief und Gleichverteilung sei angenommen. Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der i-te Brief im richtigen Umschlag landet? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 48 Briefe im richtigen Umschlag landen bzw. dass genau 49 Briefe im richtigen Umschlag landen bzw. dass alle im richtigen Umschlag landen?
2. Aufgabe: Münzwürfe
Wir betrachten ein Experiment von 5 Münzwürfen (unabhängig, gleichverteilt) und bezeichnen mit(Ω,Pr) den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraum. Wir interessieren uns für die folgenden Ereignisse:
A: Die Ergebnisse der ersten drei Münzwürfe sind gleich.
B: Die Ergebnisse der letzten drei Münzwürfe sind gleich.
C: Die Ergebnisse des ersten, dritten und letzten Münzwurfs sind gleich.
D: Der erste und der letzte Wurf haben als Ergebnis Zahl.
(a) Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(A|B), Pr(B|C), Pr(D|A) undPr(D|C).
(b) Welche Paare der vier Ereignisse sind unabhängig?
3. Aufgabe: Bedingte Wahrscheinlichkeit Sei(Ω,Pr)ein Wahrscheinlichkeitsraum.
(a) Zeigen Sie, dass für beliebige Ereignisse A und B mit Pr(B) > 0 die Identität Pr( ¯A|B) = 1−Pr(A|B) gilt.
(b) Sei B ⊆ Ω ein Ereignis mit Pr(B) > 0. Beweisen Sie, dass die Abbildung PrB : Ω→[0,1]mit PrB:ω 7→Pr({ω}|B) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ωist.
4. Aufgabe: Unabhängigkeit
Seien A und B zwei unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie, dass dann auch die Komple- mentärereignisse A¯und B¯ unabhängig sind.
5. Aufgabe: Erwartungswert
Ein Glücksrad ist folgendermaÿen in drei Sektoren aufgeteilt: die erste Hälfte ergibt einen Gewinn von2Euro, das nächste Drittel einen Gewinn von4Euro und das restliche Sechstel einen Gewinn von8Euro.
(a) Errechnen Sie den zu erwartenden Gewinn und damit den fairen Einsatzbetrag beim Drehen dieses Glücksrads.
(b) Errechnen Sie den zu erwartenden Gewinn, wenn nun zwei baugleiche solche Glücks- räder gedreht werden und sich die Gewinne der Einzelräder addieren, falls sie un- terschiedlich sind, und ansonsten multiplizieren.
1
