Kapitel 3
Präferenzen und Nutzen
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Präferenzen und Nutzen
• Darstellung individueller Präferenzen
– Ordinale Ordnung vom Besten zum Schlechtesten
• Charakterisierung von Nutzenfunktionen
– Kardinale Ordnung, Alternativen werden mit Zahlen geordnet, sodass auch angegeben wird, um wie viel ein Warenkorb einem anderen vorgezogen wird.
• Graphische Darstellung: Indifferenzkurven
• Grenzrate der Substitution
– Individueller trade-off zwischen dem Konsum eines Gutes und dem eines Anderen.
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Präferenzrelationen
• Angenommen ein Konsument muss sich zwischen verschiedenen Alternativen entscheiden: w,x,y,z,…
• Beispiel: Diese Alternativen könnten z.B.
Fussballteams, Lieblingsfilme, etc. sein.
• Die Konsumentenwahl: Alternativen können zu Warenkörben zusammengefasst werden, i.e.
Mengen der konsumierten Güter (Nahrung, Bildung, Reisen, Bücher etc.): x=(x
1, x
2, …,x
n)
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Präferenzrelationen
Axiome der Konsumentenpräferenzen
1. Vollständigkeit: Für jede Alternativen y und z, entweder y ist mindestens so gut wie z, oder z ist mindestes so gut wie y, oder beides (y und z sind gleich gut). Jedes Paar von Alternativen kann verglichen werden.
2. Transitivität:Für jede Alternativen x,y, und z, wenn x mindestens so gut ist wie y und y mindestens so gut ist wie z, dann ist x auch mindestens so gut wie z. Interne Konsistenz von Vergleichen.
Vollständigkeit und Transitivität zusammen implizieren die Existenz einer ordinalen Ordnung vom Besten zum Schlechtesten.
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Präferenzrelationen
3. Stetigkeit: Wenn y strikt besser ist als z, dann sind Alternativennahe genugan y auch strikt besser als z.
Vollständigkeit, Transitivität und Stetigkeit zusammen implizieren die Existenz einer kardinalen Ordnung. Dies bedeutet, dass wir Alternativen mit Zahlen versehen können (höhere Zahlen für bessere Alternativen).
Für solche Wahrenkörbe nennen wir eine kardinale Ordnung eine Nutzenfunktion U(x).
Ein Beispiel für eine Präferenzordnung, die Vollständigkeit und Transitivität, aber nicht Stetigkeit erfüllt, sind lexikographische Präferenzen:
– (x1,y1) wird (x2,y2) vorgezogen, wenn x1>x2, oder x1=x2und y1>y2. – Wie die Namensordnung in einem Telefonbuch. 5
Präferenzrelationen
Nutzenfunktionen: messen die Befriedigung oder Wohlfahrt eines Konsumenten aus dem Konsum eines bestimmten Warenkorbes x.
• Ein relatives Maß: Nutzenfunktionen messen Wohlfahrt relativ zu anderen möglichen Warenkörben.
• Nutzenfunktionen sind nicht eindeutig: Wenn V(.) eine strikt steigende Funktion ist, dann definiert W(x)=V(U(x)) eine neue Nutzenfunktion mit denselben Präferenzen.
• Beispiel: Angenommen, dass John‘s Präferenzen über Hamburger h und Soda s durch die folgende Nutzenfunktion angegeben wird:
Dieselben Präferenzen werden angegeben durch die Nutzenfunktion:
s h s
h
u
( , ) s)
v(h,
s h
s) u(h,
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Präferenzrelationen
Weitere Annahmen über Präferenzen:
Monotonie: Gegeben zwei Warenkörbe x und y, wenn xn≥yn für alle n, dann ist x mindestens so gut wie y (und strikt besser, wenn mindestens eine Ungleichheit strikt ist).
• „Mehr ist besser als weniger“ impliziert Nichtsättigung.
• Nutzenfunktionen steigen in jedem ihrer Argumente.
Konvexität: Konsumenten bevorzugen „Ausgewogenes“
gegenüber „Extremen“.
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Indifferenzkurven
Indifferenzkurven
• Sind die graphische Darstellung von Präferenzen wie durch eine Nutzenfunktion U(x,y) festgelegt.
• Für einen gegeben Wert u, verbindet die Indifferenzkurve alle Warenkörbe, die eine Wohlfahrt u haben, d.h. alle (x,y) sodass
• Indifferenzkurven definieren eine implizite Funktion zwischen x und y.
• Eine Indifferenzkurvenschar ist eine Menge von Indifferenzkurven, die die Präferenzen einer Person für alle Werte von u vollständig beschreibt.
u y) U(x,
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Indifferenzkurven
Der Verlauf von Indifferenzkurven:
• Monotonie: Impliziert, dass Indifferenzkurven fallend sind und sie sich nicht schneiden können.
• Konvexität: Impliziert, dass Indifferenzkurven konvex sind, sie werden also flacher wenn x größer wird.
U1
U2
U3
Mehr Nutzen
y
x
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Indifferenzkurven
Indifferenzkurven können sich nicht schneiden:
• Monotonie impliziert, B>A und D>C.
• Weil sie auf derselben Indifferenzkurve liegen gilt:
A~D und B~C.
• Aber dann gilt: B>A~D>C
~B, ein Widerspruch!
y
x A
B
D C
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Die Grenzrate der Substitution
Grenzrate der Substitution
• Angenommen, der Konsument gibt eine Einheit von x ab. Wie viel muss sein Konsum von y steigen, damit sein Nutzen gleich bleibt?
• Wir messen die Rate, zu der wir x für y substituieren müssen, um den Nutzen konstant zu halten.
• Dies ist gleich der negativen Steigung der Indifferenzkurve.
y
x
U y x
dxU
y dy x MRS
) , (
) , (
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Die Grenzrate der Substitution
Berechnung der MRS:
• Definiere den Grenznutzen von x (und y):
• Der Grenznutzen gibt den Zuwachs des Nutzens bei einem kleinen Anstieg von x (oder y) an.
• Er ist definiert als die partielle Ableitung von U(x,y) bezüglich x (oder y).
x y x U
( , )
y y x U
( , )
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Die Grenzrate der Substitution
Berechnung der MRS:
• Betrachte eine kleine Veränderung in x und y, ∆x und
∆y. Die Veränderung im Nutzen ist dann in etwa:
• Auf einer Indifferenzkurve ist ∆U=0. Wähle ∆x und ∆y auf einer Indifferenzkurve. Dann setze∆U=0 und finde:
y y y x x U x
y x
U U
( , ) ( , )
y y x U
x y x U x
y
U y x
U
( , )
) , (
) , (
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Die Grenzrate der Substitution
• Wenn ∆x und ∆y gegen Null gehen, wird die Abschätzung immer besser. Im Limit ist sie perfekt und:
• Die MRS ist das Verhältnis der partiellen Ableitungen, d.h. des marginalen Nutzens bezüglich x und y.
• Aus Konvexität folgt, dass MRS in x fällt und in y steigt.
y y x U
x y x U dx
y dy x MRS
U y x
U
( , )
) , ( )
, (
) , (
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Beispiel
Angenommen, John‘s Präferenzen für Hamburger h und Soda s sind durch die Nutzenfunktion
gegeben.
• So hat John einen Nutzenlevel von 4 entweder durch den Konsum von 2 Hamburgern und 2 Soda, oder durch den Konsum von 1 Hamburger und 4 Soda oder durch 4 Hamburger und 1 Soda.
• Seine Indifferenzkurve wird für diesen Nutzenlevel durch 4=h·s angegeben.
• Andere Indifferenzkurven können durch andere Nutzenlevel durch U=h·s angegeben werden.
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s h s h
U ( , )
Beispiel
Diese Indifferenzkurven beschreiben eine implizite Funktion zwischen x und y. Diese Relation kann man sehen, wenn man die Indifferenzkurven als h=U/s umschreibt.
Grenznutzen und die Grenzrate der Substitution:
• Der Grenznutzen von Soda ist:
• Der Grenznutzen von Hamburgern ist:
• Die Grenzrate der Substitution zwischen Soda und Hamburgern ist:
s h U
h s U
s h h U s
MRS U
/
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Beispiel
• Wie oben gesehen ist John‘s Nutzenfunktion äquivalent zu:
Aufgabe:
• Zeichnen Sie John‘s Indifferenzkurven
• Berechnen Sie die Grenznutzen
• Berechnen Sie die MRS
s h
s) v(h,
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Besondere Nutzenfunktionen
Cobb-Douglas Nutzenfunktion Grenznutzen:
y x y x U( , )
x y y
x y x y U x MRS U
/ 1 1
1
x
y
y
U
x
y x
U
1
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Besondere Nutzenfunktionen
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Indifferenzkurven 2
1 2 2 1 1 2
1
, ) ( ) ( )
( .
. B U x x x x
z
Besondere Nutzenfunktionen
Vollkommene
Komplementärgüter:
• Güter werden immer in fixen Proportionen konsumiert, keine Substitution von x für y!
• Beispiele: rechte und linke Schuhe, Autos und Reifen, Brot und Hamburger.
ax by
y x
U ( , ) min ,
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Besondere Nutzenfunktionen
Vollkommene
Substitutionsgüter:
Grenznutzen:
Beispiele: Margarine und Butter.
by ax y
x
U ( , )
b a dx MRS dy
y b U
a x U
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Besondere Nutzenfunktionen
Konkave Indifferenzkurven:
Grenznutzen:
Steigende MRS!
2
)
2,
( x y x y
U
y x dx MRS dy
y y U 2
x x U 2
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Kapitel 3 Konzepte
• Warenbündel
• Präferenzrelationen
• Axiome der Konsumentenpräferenzen
• Ordinale und kardinale Ordnungen
• Nutzenfunktionen
• Nicht-Sättigung, Monotonie
• Konvexität
• Indifferenzkurven
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Kapitel 3 Konzepte
• Grenznutzen
• Partielle Ableitungen
• Grenzrate der Substitution
• Implizite Funktionen
• Totales Differential
• Implizites Funktionen Theorem
• Cobb-Douglas Nutzenfunktion
• Vollkommene Komplementärgüter
• Vollkommene Substitutionsgüter
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