KZO
AM C6a ; 26.1.2003 / Kh Dauer: 50 min.
AM-Pr¨ ufung: Anwendungen von Matrizen
Beachte: L¨osungswege vollst¨andig notieren, insbesondere alle 3-dimensionalen Fixvektoren exakt berechnen!
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Ein Mathematiker besitzt einen roten, einen gr¨unen und einen blauen Pullover. Jeden Sonntag entscheidet er, welchen Pullover er die folgende Woche tragen soll, nach folgender Regel:
Mit 10% Wahrscheinlichkeit tr¨agt er nochmals die gleiche Farbe, nach dem roten tr¨agt er mit 60% Wahr- scheinlichkeit den blauen, nach dem gr¨unen tr¨agt er mit 70% Wahrscheinlichkeit den roten und nach dem blauen tr¨agt er mit 80% Wahrscheinlichkeit den gr¨unen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tr¨agt der Mathematiker in der 5. Woche einen blauen Pullover, wenn er in der 1. Woche sicher einen gr¨unen Pullover tr¨agt?
b) Wie viele Wochen tr¨agt der Mathematiker im Mittel den roten, den gr¨unen und den blauen Pullover innerhalb von 40 Schulwochen ¨uber all die Jahre hinweg?
c) Begr¨unden Sie, weshalb jede stochstische Matrix mindestens einen Fixvektor haben muss.
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Ein Sportverband mit vier Kategorien (x Anf¨anger, y Fortgeschrittene, z K¨onner und u Profis) entwickelt sich von Jahr zu Jahr gem¨ass der MatrixA=
0 0 0 r
1
2 0 0 0
0 13 0 0 0 p 14 0
bez¨uglich des Vektors
x y z u
.
Ein paar sehr modellhafte Annahmen:
Die Zahl r bedeutet, dass jeder Profi r Anf¨anger rekrutiert. Nach jedem Jahr steigt ein Verbandsmitglied mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in eine obere Kategorie auf oder scheidet aus dem Verband aus, Profis werden nach einem Jahr Trainer und verlassen den Verband!
a) Welche Bedeutung besitzt der Parameter pin diesem Modell?
b) Setzen Sie jetzt p= 0.
Wie gross muss r gew¨ahlt werden, damit sich die Zusammensetzung des Verbands in Bezug auf die Gr¨osse der Kategorien periodisch wiederholt. (Begr¨undung!)
c) Setzen Sie jetzt p= 121.
Wie gross muss r gew¨ahlt werden, so dass sich mit der Zeit die Gr¨osse jeder Kategorie des Verbands nach einem Jahr verdoppelt.
Wie lautet in diesem Fall das Gr¨ossenverh¨altnis der einzelnen Kategorien in ganzen Zahlen?
Aufgabe 3 (6 Punkte)
In einem Betrieb mit drei Produkten A, B und C lautet die Matrix des internen BedarfsI =
0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.4 0.1 0.3
. Wir nehmen (modellhaft!) an, dass sich alle drei Produkte aus drei Rohstoffen U, V und W herstellen lassen. Um den Rohstoffverbrauchsvektor −→z zu bestimmen, rechnet man −→z =
1 0.375 0.5
1 0.5 1
2.5 1 0.5
• −→x, wobei −→x der Input-Vektor (Produktionsvektor) ist.
a) Welche Bedeutung hat die Zahl 2.5 in der obigen ”Rohstoffmatrix” R?
b) Berechne den Rohstoffverbrauchsvektor f¨ur den (Netto-)Output-Vektor
2000 3000 5000
.
c) Der Rohstoffvektor ist durch
1000 1500 1900
vorgegeben. Berechne den Produktionsvektor und den m¨oglichen (Netto-)Outputvektor.
d) Wie verh¨alt es sich mit dem Produktionsvektor und dem Outputvektor, wenn der Rohstoffvektor
1000 1500 2000
betr¨agt? (Erkl¨arung!)
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Ein Kaninchenpaar bringt ab dem zweiten Lebensmonat jedes Monatsende wiederum ein Kaninchenpaar zur Welt. Die neuen Paare vermehren sich gleichermassen. Wir nehmen weiter an, dass kein Kaninchen stirbt. Mit x bezeichnen wir die Anzahl der in einem bestimmten Monat nicht-werfender Paare (also die ganz jungen), mit y die dann werfenden Paare. Im ersten Monat gilt also x= 1 undy= 0.
a) Bestimmen Sie die 2×2-MatrixM, welche den ¨Ubergang von einem Monat zum n¨achsten beschreibt.
b) Berechnen Sie die Anzahl werfender Paare im 2., 3., 4., 5. und 6. Monat.
c) Berechnen Sie das Verh¨altnis der Anzahl werfender Paare zur Anzahlnicht-werfender Paare auf 4 Nachkommastellen genau:
1. nach 10 Monaten:
2. nach 100 Monaten:
d) Es gibt eine positive Zahl r f¨ur welche gilt: M• x y
!
=r· x y
! . Dann muss (M −r·E)• x
y
!
= 0
0
! sein.
Berechne daraus den exakten Wert und den auf 4 Nachkommastellen gerundeten Wert von r.
