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”Maturit¨ atspr¨ ufung” f¨ ur Kursteilnehmer

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Prof. H. Klemenz

”Matrizen im gymnasialen Mathematikunterricht”

8./15. Juni 2006

”Maturit¨ atspr¨ ufung” f¨ ur Kursteilnehmer

Aufgabe 1: Geometrische Abbildungen

a) Bestimmen Sie die MatrixAder Achsenspiegelung an der Geradena:

 x y z

=t·

 3 4 5

b) Beschreiben Sie die durch die MatrixB=

1 0 0

0 0 1

0 −1 0

bestimmte Abbildung m¨oglichst genau. (ohne Rechnen!)

c) Ermitteln Sie durch geeignete Untersuchungen die Art der Abbildung, welche durch die Matrix C=19

7 −4 4

−4 1 8

4 8 1

erzeugt wird und berechnen Sie die bestimmenden Objekte der Abbildung.

d) Zeigen Sie, dass die durch die Matrix D = B •C bestimmte Abbildung eine Bewegung darstellt, aber keine Fixvektoren hat.

Aufgabe 2: Stochastische Matrizen

Wetterfrosch Markow geht bei der Prognose im s¨udlichen Stochasien von folgendem Modell aus:

• Das Wetter ist entwedersonnigoderwolkigodernassund bleibt den ganzen Tag gleich.

• Auf einen sonnigen Tag folgt in 75% der F¨alle wieder ein sonniger Tag.

• Auf einen wolkigen Tag folgt in 25% der F¨alle wieder ein wolkiger Tag.

• Auf einen nassen Tag folgt in 50% der F¨alle wieder ein nasser Tag.

• Auf einen sonnigen Tag folgt in 20% der F¨alle ein wolkiger Tag.

• Auf einen wolkigen Tag folgt in 60% der F¨alle ein nasser Tag.

• Auf einen nassen Tag folgt in 40% der F¨alle ein sonniger Tag.

a) Heute sei es wolkig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) ist es in 14 Tagen nass?

b) Wie viele sonnige Tage sind gem¨ass Wetterfrosch Markow w¨ahrend 365 Tagen in Stochasien zu erwarten? (Da Markow auch Mathematiker ist, verlangt er eine exakte L¨osung!)

Aufgabe 3: Zyklische Matrizen

Die monatliche Entwicklung einer Population mit drei Altersstufen (x Neugeborene, y Junge, z Alte) wird durch die MatrixM =

0 5 8 a 0 0 0 12 0

beschrieben.

a) Erl¨autere die in der Matrix vorkommenden Zahlen. Was bedeuten sie?

b) Untersuche, ob M f¨ur irgendeinen Wert vonazyklisch von der Ordnungn= 3 sein kann.

c) Bestimme einen Wert f¨ura, so dass es nach einem Monat in jeder Altersstufe wieder gleich viele Individuen haben kann. Wieviele Neugeborene, Junge und Alte hat es dann, wenn die Population insgesamt 3192 Individuen z¨ahlt?

d) Bestimme einen Wert f¨ura, so dass es nach einem Monat in jeder Altersstufe doppelt so viele Individuen haben kann. Wieviele Neugeborene, Junge und Alte hat es dann nach einem Jahr, wenn die Population anf¨anglich 3192 Individuen z¨ahlt?

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Aufgabe 4: Input-Output-Analyse

Zwischen den SektorenS1,S2 undS3 einer Volkswirtschaft bestehen folgende Beziehungen:

S1liefert 120 Einheiten an S1, 150 Einheiten anS2und 36 Einheiten anS3. S2liefert 72 Einheiten anS1, 0 Einheiten anS2 und 135 Einheiten anS3. S3liefert 36 Einheiten anS1, 30 Einheiten anS2und 15 Einheiten anS3.

Der gesamte Output (interner Bedarf und externe Nachfrage) betr¨agt bei S1 6000, bei S2 3600 und bei S3 4650 Einheiten.

a) Bestimme die Matrix des internen Bedarfs.

b) Bestimme den Output-Vektor der externen Nachfrage bei dieser Volkswirtschaft.

c) Begr¨unde, weshalb in dieser Volkswirtschaft theoretisch jede beliebige Nachfrage befriedigt werden kann.

d) Wie lauten die Zahlen der gesamten Produktion, wenn der (externe) Markt mit 4500 Einheiten von S1, 3000 Einheiten vonS2 und 12000 Einheiten vonS3beliefert wird?

Aufgabe 5: Eigenwerte und Eigenvektoren

a) Bestimmen Sie die MatrixA, welche folgende Beziehung herstellt:A• −→v =−→u × −→v mit −→u =

 2

−2 1

.

Falls SieAnicht bestimmen k¨onnen, arbeiten Sie bei b) und c) mit der ”Ersatzmatrix”A=

0 −8 4

8 0 −1

−4 1 0

.

b) Begr¨unden Sie anschaulich (ohne Rechnung!), weshalb die MatrixAausser 0 keinen Eigenwert besitzen kann.

c) Bestimmen Sie von Hand (durch Rechnung!) einen ganzahligen Eigenvektor zum Eigenwert 0 vonA.

d) Bestimmen Sie von Hand die Menge aller Eigenvektoren (Eigenraum) der MatrixB=

1 0 0 0 1 1 0 0 1

.

e) Beschreiben Sie die durch die MatrixB erzeugte Abbildung anschaulich.

Aufgabe 6: Matrizen in Graphen

1 2

3

4 5

a) Wie viele Wege mit 6 oder 7 Kanten f¨uhren vom Knoten 3 zum Knoten 4?

b) Berechne: Welcher Knoten ist der beste ”Hub”, welcher Knoten die gr¨osste ”Autorit¨at”? Wie gross sind die beiden Gewichte?

c) Berechne: Welcher Knoten hat den besten ”Page-Rank”? (p1= 0.85, p2= 0.5) Wie gross ist seine Relevanz?

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