U ber die Aggregation von Value-at-Risk und Expected Shortfall - Schranken und klassische Verteilungsfamilien

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D iplomarbeit

Uber die Aggregation von Value-at-Risk ¨ und Expected Shortfall - Schranken und klassische Verteilungsfamilien

zur Erlangung des akademischen Grades

Diplom-Ingenieurin

im Rahmen des Studiums

Finanz- und Versicherungsmathematik

eingereicht von

Agnes Karlinger, B.Sc.

Matrikelnummer 01325146

ausgef ¨uhrt am Institut f ¨ur Stochastik und Wirtschaftsmathematik

der Fakultät f ür Mathematik und Geoinformation der Technischen Universität Wien Betreuer: Ao.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Friedrich Hubalek

Wien, 03.09.2018

(Unterschrift Verfasserin) (Unterschrift Betreuer)

Die approbierte Originalversion dieser Diplom-/

Masterarbeit ist in der Hauptbibliothek der Tech- nischen Universität Wien aufgestellt und zugänglich.

http://www.ub.tuwien.ac.at

The approved original version of this diploma or master thesis is available at the main library of the Vienna University of Technology.

http://www.ub.tuwien.ac.at/eng

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Eidesstattliche Erkl ¨arung

Ich erkläre an Eides statt, dass die vorliegende Arbeit nach den anerkannten Grundsätzen f ür wissenschaftliche Abhandlungen von mir selbstständig erstellt wurde. Alle verwendeten Hilfsmittel, insbesondere die zugrunde gelegte Literatur, sind in dieser Arbeit genannt und aufgelistet. Die aus den Quellen w örtlich entnommenen Stellen, sind als solche kenntlich gemacht.

Das Thema dieser Arbeit wurde von mir bisher weder im In- noch Ausland einer Beurteile- rin/einem Beurteiler zur Begutachtung in irgendeiner Form als Pr ¨ufungsarbeit vorgelegt. Diese Arbeit stimmt mit der von den Begutachterinnen/Begutachtern beurteilten Arbeit ¨uberein.

Ort, Datum und Unterschrift

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Zusammenfassung

Wie kann man voneinander abhängige Risiken aggregieren und messen? Mit dieser Frage beschäftigen wir uns in dieser Diplomarbeit. Dazu werden wir multivariate Verteilungen und die beiden Risikomaße Value-at-Risk und Expected-Shortfall verwenden. Multivariate Vertei- lungen bestehen aus den einzelnen Randerteilungen und einer Copula, welche die gegenseitei- gen Abhängigkeiten der Risiken repräsentiert. Einerseits wollen wir den Fall betrachten, dass die Randverteilungen der einzelnen Risiken gegeben sind und wir obere und untere Grenzen f ür den Value-at-Risk und den Expected Shortfall suchen, sodass diese f ür alle Copulae g ültig sind. Andererseits wollen wir ein konkretes bivariates Beispiel betrachten und zwei verschiedene numerische Methoden durchf ühren, um die Verteilung zu berechnen: die numerische Integration und den Arbenz-Embrechts-Puccetti-Algorithmus.

Abstract

How is it possible to aggregate and measure dependent risks? This thesis deals with this question. Therefore, we will use joint probability distribution and two risk measures, Value- at-Risk and Expected Shortfall. Joint probability distributions consist of separate marginal distributions and a copula, which represents the dependence structure. On the one hand we want to consider the case, that the separate marginal distributions are given and we look for upper and lower bounds of the Value-at-Risk and Expected Shortfall. These bounds should be valid for all copulas. On the other hand, we want to consider a bivariate example and conduct two different numerical approaches to calculate the distribution: numerical integration and the Arbenz-Embrechts-Puccetti-Algorithm.

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Motivation 3

2.1 Anwendung in der Praxis . . . 3

2.2 M ¨ogliche L ¨osungswege . . . 3

3 Mathematische Grundlagen 5 3.1 Wichtige univariate Verteilungen und ihre Risikomaße . . . 7

3.2 Bivariate Verteilungen . . . 27

3.3 Konzept der Mischbarkeit . . . 29

4 Randverteilung+Copula Ansatz 31 4.1 Obere und Untere Grenzen . . . 31

4.1.1 Value-at-Risk . . . 31

4.1.2 Expected Shortfall . . . 42

4.2 Zusammenhang Value-at-Risk und Expected Shortfall . . . 44

4.3 Rearrangement-Algorithmus . . . 47

4.4 Komonotonie- und Kontramonotoniecopula . . . 52

4.4.1 Komonotonie . . . 52

4.4.2 Kontramonotonie . . . 52

5 Bivariate Verteilungsfunktionen 53 5.1 Hyperw ¨urfel und Simplex . . . 53

5.2 Arbenz-Embrechts-Puccetti-Algorithmus . . . 54

5.3 Numerische Integration . . . 57

5.4 Kontrolle der Ergebnisse . . . 58

A R-Codes I

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Abbildungsverzeichnis

3.1 Die Dichte einer Pareto-Verteilung mit unterschiedlichemθ . . . 8 3.2 Die Dichte einer Pareto-Verteilung mit unterschiedlichemβ. . . 8 3.3 Die Verteilungsfunktion einer Pareto-Verteilung mit unterschiedlichemθ . . . . 9 3.4 Die Verteilungsfunktion einer Pareto-Verteilung mit unterschiedlichemβ . . . 9 3.5 Die Dichte einer Normalverteilung mit unterschiedlichemσ . . . 11 3.6 Die Dichte einer Normalverteilung mit unterschiedlichemµ . . . 12 3.7 Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit unterschiedlichemσ . . . . 13 3.8 Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit unterschiedlichemµ . . . . 13 3.9 Die Dichte einer stetigen Gleichverteilung mit unterschiedlichem a und b . . . . 15 3.10 Die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung mit unterschiedlichem

a und b . . . 16 3.11 Die Dichte einer Gammaverteilung mit unterschiedlichemγ . . . 18 3.12 Die Dichte einer Gammaverteilung mit unterschiedlichemβ . . . 19 3.13 Die Verteilungsfunktion einer Gammaverteilung mit unterschiedlichemγ . . . . 20 3.14 Die Verteilungsfunktion einer Gammaverteilung mit unterschiedlichemβ . . . . 20 3.15 Die Dichte einer Exponentialverteilung mit unterschiedlichemβ . . . 22 3.16 Die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung mit unterschiedlichemβ . . 23 3.17 Die Dichte einer Chi-Quadrat-Verteilung mit unterschiedlichemγ . . . 26 3.18 Die Verteilungsfunktion einer Chi-Quadrat-Verteilung mit unterschiedlichemγ . 26 3.19 Die Dichtefunktion der bivariaten Exponentialverteilung von Gumbel mit un-

terschiedlichemθ . . . 28 3.20 Die Verteilungsfunktion der bivariaten Exponentialverteilung von Gumbel mit

unterschiedlichemθ . . . 28 4.1 Obere und untere Grenzen des Value-at-Risk bei zwei Chi-Quadrat-Verteilungen

mit drei Freiheitsgraden mittels Satz 4.1 . . . 32 4.2 Obere und untere Grenzen des Value-at-Risk bei zwei Chi-Quadrat-Verteilungen

mit drei Freiheitsgraden mittels Satz 4.3 . . . 33 4.3 Obere und untere Grenzen des Value-at-Risk bei einer Exponentialverteilung

mitβ=1.5 und einer Normalverteilung mitµ=0 undσ=1 mittels Satz 4.3 . . . 33 4.4 Obere und untere Grenzen des Value-at-Risk bei drei Pareto-Verteilungen mit

β=2 undθ=1 . . . 41

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4.5 Obere und untere Grenzen des Expected Shortfall bei drei Pareto-Verteilungen mitβ=2 undθ=1 . . . 44 4.6 Asymptotische ¨Aquivalenz zwischen der oberen Grenze des Expected Shortfall

und der oberen Grenze des Value-at-Risk f ¨ur Pareto-Verteilungen mitβ=2 und θ=1 bei einem Konfidenzniveau vonα=0.95 . . . 45 4.7 Analyse der Abh¨angigkeitsunsicherheit anhand Pareto-Verteilungen mit β = 2

undθ=1 bei einem Konfidenzniveau vonα=0.95 . . . 47 5.1 Zerlegung des SimplexesS(0,s) . . . 54 5.2 Die ersten drei Iterationsschritte des AEP-Algorithmus . . . 56 5.3 Value-at-Risk f ¨ur Gumbels Bivariate Exponentialverteilung f ¨ur unterschiedliche

θmittels AEP-Algorithmus und die theoretischen Grenzen des Value-at-Risk f ür zwei exponentialverteilte Risiken mitβ=1 . . . 57 5.4 Value-at-Risk f ür Gumbel’s Bivariate Exponentialverteilung f ür unterschiedliche

θmittels Integration der Dichte und die theoretischen Grenzen des Value-at-Risk f ¨ur zwei exponentialverteilte Risiken mitβ=1 . . . 58

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Kapitel 1

Einleitung

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist die Messung von voneinander abhängigen aggregierten Ri- siken. Zuerst wollen wir f ür gegebene Randverteilungen Formeln f ür die obere und untere Grenze des Value-at-Risk und des Expected Shortfall finden, sodass diese f ür alle Copulae g ültig sind. Danach betrachten wir ein konkretes bivariates Beispiel, bei dem wir die Vertei- lungsfunktion auf zwei unterschiedliche Arten berechnen werden: mithilfe der numerischen Integration und mithilfe des Arbenz-Embrechts-Puccetti-Algorithmus.

Nach dieser Einleitung werden wir im zweiten Kapitel die m ¨oglichen Anwendungsbereiche von Risikoaggregationen in der Praxis diskutieren. Danach werden wir uns einen ¨Uberblick

über die verschiedenen Aggregationsm öglichkeiten und Aggregationsansätze verschaffen.

Im dritten Kapitel werden wir die mathematischen Grundlagen vorbereiten. Außerdem werden wir f ¨ur einige univariate Verteilungen die beiden Risikomaße Value-at-Risk und Ex- pected Shortfall berechnen. Danach werden wir eine bivariate Verteilung genau betrachten, indem wir sie in ihre Randverteilungen und ihre Copula aufspalten. Am Ende des Kapitels werden wir noch das Konzept der Mischbarkeit einf ¨uhren.

Kapitel 4 ist der erste Hauptteil: wir werden uns mit dem Fall beschäftigen, dass wir Portfo- lios gegeben haben, bei denen die Ränder bekannt sind, aber die gegenseitigen Abhängigkeiten unbekannt sind. Dieses Problem nennen wir Abhängigkeitsunsicherheit. Zuerst werden wir obere und untere Grenzen f ür den Value-at-Risk erhalten. Dazu betrachten wir verschiedene Fälle: den zweidimensionalen homogenen Fall, den zweidimensionalen heterogenen Fall und den mehrdimensionalen homogenen Fall. Wir werden f ür alle drei Fälle Beispiele untersuchen und f ür den mehrdimensionalen homogenen Fall werden wir auch näher auf den Beweis der Formel f ür die obere Grenze eingehen. F ür den Expected Shortfall ist die obere Grenze, wegen der komonotonen Additivität, trivial. F ür die untere Grenze gibt es im homogenen Fall eine Formel. Wieder werden wir ein Beispiel betrachten. Danach werden wir zwei Sätze diskutieren, die einen Zusammenhang zwischen dem Value-at-Risk und dem Expected Shortfall herstel- len: f ür große Portfolios kann man die obere Grenze der Value-at-Risk mit der oberen Grenze des Expected Shortfall approximieren und die Spanne der Abhängigkeitsunsicherheit ist beim Value-at-Risk gr ößer als beim Expected Shortfall. Die Spanne der Abhängigkeitsunsicherheit ist die Differenz zwischen der oberen und unteren Grenze. F ür beide Sätze werden wir wieder

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Beispiele betrachten. Danach lernen wir ein numerisches Verfahren kennen, mit dem man auch im mehrdimensionalen heterogenen Fall die Grenzen berechnen kann: den Rearrangement- Algorithmus. Wie werden die Ergebnisse der bisherigen Beispiele mit dem Rearrangement- Algorithmus kontrollieren. Am Ende des Kapitels werden wir testen, ob die untere und obere Grenze mit der Ko- und Kontramonotoniecopula ¨ubereinstimmen.

Im zweiten Hauptteil, Kapitel 5, werden wir ein konkretes bivariates Beispiel betrachten.

F ¨ur die Berechnung der Verteilung werden zwei verschiedene numerische Methoden ver- wendet: der Arbenz-Embrechts-Puccetti-Algorithmus und die numerische Integration. Damit k ¨onnen wir den Value-at-Risk der Verteilung inklusive der theoretischen Schranken zeichnen.

Im Anschluss kontrollieren wir die Ergebnisse, indem wir annehmen, dass die beiden Risiken unabh¨angig sind.

Im Anhang befindet sich eine Auswahl an ben ¨utzter R-Codes.

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Kapitel 2

Motivation

2.1 Anwendung in der Praxis

Sowohl in Banken als auch in Versicherungen spielen Vorschriften zur Regulierung eine wichtige Rolle. Versicherungen m ¨ussen sich an die Richtlinien von Solvency II und Banken an die von Basel III halten. In beiden Richtlinien gibt es den Begriffdes regulatorischen Kapitals (engl.

Regulatory Capital). Das ist die Menge an Kapital, das ein Unternehmen laut den Vorschriften ben ötigt, damit es sein Geschäft fortf ühren darf. Dieses regulatorische Kapital dient als Buffer bei Verlusten.

Hat man die Kapitalmenge von den einzelnen Niederlassungen oder Geschäftsbereichen berechnet, stellt sich die Frage wie man diese einzelnen Risiken aggregieren kann, damit man die gesamte Kapitalmenge erhält. Ein ähnliches Problem hat man, wenn man die Kapitalmen- gen f ür die verschiedenen Assetklassen berechnet hat und man die H öhe der aggregierten Kapitalmenge wissen will, damit alle Assets abgedeckt sind.

Um Risiken zu messen, ben ¨otigt man Risikomaße. Die gel¨aufigsten und bekanntesten sind der Value-at-Risk und der Expected Shortfall.

2.2 M ¨ogliche L ¨osungswege

In [2, S.299-300] wird zwischen zwei Aggregationsm ¨oglichkeiten unterschieden: Bei dervor- schriftsbasierten Aggregationwendet man Regeln an, ohne ein multivariates Modell oder ein Risikomaß zu verwenden. Die einfache Summation

EC=EC₁+...+EC_d oder die korrelationsangepasste Summation

EC= vu ut d

X

i=1

Xd

j=1

ρi jEC_iEC_j

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mit 0≤ρi j≤1 sind Beispiele f ¨ur die vorschriftsbasierte Aggregation. Bei derprinzipienbasier- ten Aggregationkommt es zur Anwendung von Risikomaßen und multivariaten Modellen.

Im Hauptteil werden wir diese Aggregation betrachten, da sie theoretisch begr ¨undbar ist.

Weiters werden in [2, S.303-304] drei verschiedene Ansätze präsentiert: Beim modularen Ansatzwird das Risiko in den einzelnen Modulen berechnet und anschließend aggregiert. Die Abhängigkeitsstrukturen werden hier mit Korrelationen beschrieben. Von diesem Ansatz wird eher abgeraten, da die Modellierung von multivariaten Abhängigkeiten mit Copulae besser ist als die mit Korrelationen. BeimRandverteilung+Copula Ansatzbaut man eine multivariate Verlustverteilung

F(x)=C(F₁(x₁), ...,F_d(x_d))

mithilfe der Umkehrung des Satzes von Sklar. Beim voll-integrierten Ansatz baut man ein multivariates Modell f ¨ur die ¨Anderung der zugrundeliegenden RisikofaktorenX=(X1, ..,X_k).

Die Verluste ergeben sich aus den Risikofaktoren mit den Funktionen g_i:R^k→R

mitg_i(X)=L_i. Danach wird ein Risikomaß auf die Verteilung von L=g₁(X)+...+g_d(X)

angewendet.

Im weiteren Verlauf werden wir uns mit dem Randverteilung+Copula Ansatz besch¨aftigen.

Dazu nehmen wir die RänderF₁, ...,F_dals bekannt an. F ür diese Ränder gibt es nun unzählige verschiedene M öglichkeiten, wie die gemeinsame Verteilung von (L1, ...,L_d) aussehen kann.

Wählt man eine passende Copula, erhält man eine gemeinsame Verteilung C(F₁, ..Fd). Mit dieser Methode kann jedes verteilungsinvariante Risikomaß berechnet werden, also auch der Value-at-Risk und der Expected Shortfall, wie wir später sehen werden.

Durch die Wahl der passenden Copula entsteht eine Modellunsicherheit. Um diese zu vermeiden, suchen wir obere und untere Grenzen f ür den Value-at-Risk und den Expected Shortfall, damit wir eine Abschätzung erhalten, die f ür jede Copula gilt. Solche Probleme werden

”Fr´echet-Probleme“ genannt.

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Kapitel 3

Mathematische Grundlagen

DieInverse Funktioneiner steigenden FunktionTist definiert alsT⁻¹(y) := inf{x: T(x) ≥ y}, wobei inf∅=∞.In [2, S.641-642] findet man folgende Eigenschaften:

Satz 3.1. Sei T eine steigende Funktion. Dann gilt:

1. T ist strikt wachsend.⇔T⁻¹ist stetig.

Falls sie zus¨atzlich−∞<T⁻¹(y)<∞erf ¨ullt, dann gilt:

2. Ist T stetig, dann gilt T(T⁻¹(a))=a.

3. Ist T rechtsstetig, dann gilt

T⁻¹(a)≤x⇔T(x)≥a.

Im vorigen Kapitel wurden bereits Copulae erwähnt. In [2, S.221] findet man folgende Definition und Eigenschaften: Eined-dimensionale Copula ist eine Verteilungsfunktion auf [0,1]^dmit gleichverteilten Rändern. Sie erf üllt folgende Eigenschaften:

• C(u₁, ...ud)=0 fallsu_i =0 f ¨ur eini∈1, ...,d.

• C(1, ..,1,u_i,1, ...,1)=u_if ¨ur allei∈ {1, ...,d},u_i ∈[0,1].

• F ¨ur alle (a₁, ...,a_d),(b₁, ...,b_d)∈[0,1]^dmita_i ≤b_igilt:

X2 i₁=1

...

X2 i_d=1

(−1)ⁱ¹^+...+i^dC(u_1i₁, ...,u_di_d)≥0

mituj1=aj unduj2=bjf ¨ur alle j∈ {1, ...d}.

Ein wichtiger Satz bez ¨uglich Copulae ist der Satz von Sklar, siehe [2, S.222]:

Satz 3.2. Satz von Sklar: Sei F eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit R¨andern F₁, ...Fd. Dann existiert eine Copula C: [0,1]^d→[0,1], sodass f ¨ur alle x1, ..,x_d∈R=[−∞,∞]:

, .., = ), .., )).

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F ¨ur stetige R¨ander ist die Copula eindeutig.

Einen weiteren wichtigen Satz findet man in [4, S.3]:

Satz 3.3. Seien eine Copula C und d-univariate R¨ander F₁, ..,F_d bekannt. Dann kann immer eine Verteilungsfunktion F aufR^dgefunden werden, sodass

F(x₁, ..,x_d)=C(F₁(x₁), ...,F_d(x_d)), x₁, ...,x_d∈R.

F ¨ur jede CopulaC(u1, ..,u_d) gelten folgende Grenzen, auchFr´echet-Grenzengenannt:

max





 Xd

i=1

u_i+1−d,0







≤C(u)≤min(u₁, ...,u_d).

DieKomonotonie-Copulaist die obere Fr´echet-Grenze:

M(u₁, ...,u_d)=min(u₁, ...,u_d).

DieKontramonotonie-Copulaist die zweidimensionale untere Fr´echet-Grenze:

W(u₁,u2)=max(u₁+u2−1,0).

Die Zufallsvariablen X₁, ...,X_d werden komonoton genannt, wenn ihre gemeinsame Ver- teilungsfunktion im Satz von Sklar mit der Komonotonie-Copula dargestellt werden kann.

Komonotonie entspricht perfekter positiver Abh¨angigkeit.

Die ZufallsvariablenX₁undX₂ werdenkontramonoton genannt, wenn ihre gemeinsame Verteilungsfunktion im Satz von Sklar mit der Kontramonotonie-Copula dargestellt werden kann. Kontramonotonie entspricht perfekter negativer Abh¨angigkeit.

SeiMein linearer Raum von Zufallsvariablen. EinRisikomaß%ist eine reellwertige Funk- tion, definiert auf M. Sie ordnet Finanzposten einen quantitativen Wert zu, der den Verlust repr¨asentiert. Wir werden die beiden Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall betrachten. Folgende Eigenschaften k ¨onnen Risikomaße besitzen:

Monotonie: F ¨urL₁,L2 ∈ MmitL₁≤L2ist%(L1)≤%(L2).

Translationsinvarianz: F ¨ur alleL∈ Mund allel∈Rist%(L+l)=%(L)+l.

Subadditivit¨at: F ¨ur alleL₁,L2 ∈ Mist%(L1+L2)≤%(L1)+%(L2).

Positive Homogenit¨at: F ¨ur alleL∈ Mund alleλ >0 ist%(λL)=λ%(L).

Koh¨arenz: %ist monoton, translationsinvariant, subadditiv und positiv homogen.

Konvex: F ¨urL₁,L₂∈ Mund alleλ∈[0,1] ist%(λL1+(1−λ)L2)≤λ%(L1)+(1−λ)%(L2).

Komonotone Additivit¨at: F ¨ur einen Vektor mit komonotonen Risiken (L1, ...,L_d) ist

%(L1+...+L_d)=%(L1)+...+%(Ld).

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Verteilungsinvarianz: FallsL₁undL2dieselbe Verteilung haben ist%(L1)=%(L2).

F ¨ur ein Konfidenzlevelα∈(0,1) , ist derValue at Risk (VaR)eines Portfolios mit Verlust L zum Konfidenzniveauαgegeben durch

VaR_α=VaR_α(L)=inf{l∈R:P(L>l)≤1−α}=inf{l∈R:F_L(l)≥α}.

Der Value-at-Risk ist monoton, translationsinvariant, positiv homogen und verteilungsin- variant [3, S.5-6]. Im Allgemeinen ist er aber nicht subadditiv. M ögliche Ursachen daf ür k önnen heavy-tailed oder schiefe Verluste oder besondere Abhängigkeiten der Verluste sein, siehe dazu [4, S.2].

F ¨ur einen Verlust L mitE(|L|) < ∞ist derExpected Shortfall (ES)zum Konfidenzniveau α∈(0,1) definiert als

ES_α= 1 1−α

Z ₁

α VaR_u(L)du. (3.1)

Der Expected Shortfall ist koh¨arent [2, S.76], komonoton additiv [2, S.306] und verteilungsin- variant [3, S.6].

SeienL_idie einzelnen Risiken. Dann sind alle M ¨oglichkeiten sie mit einer Copula zu aggregieren definiert als

S_d=S_d(F₁, ...,F_d)={L= Xd

i=1

L_i:L₁, ...,L_dZufallsvariablen mitL_i ∼F_i,i=1, ...d}. Die untere Grenze eines Risikomaßes definieren wir als

%(S_d)=inf{%(L) :L∈S_d(F₁, ...,F_d)}.

Die untere Grenze wird bestes%genannt. Die obere Grenze definieren wir als

%(Sd)=sup{%(L) :L∈S_d(F₁, ...,F_d)}. Die obere Grenze wird schlechtestes%genannt. Es gilt daher

%(Sd)≤%(Sd)≤%(Sd).

3.1 Wichtige univariate Verteilungen und ihre Risikomaße

Pareto-Verteilung Pa(β,θ)

Die Pareto-Verteilung hat zwei Parameter. Üblicherweise schreibt man Pa(α,θ), da wir aber den Parameter α f ür das Konfidenzniveau ben ützen wollen, werden wir Pa(β,θ) schreiben.

Der Parameter β ist ein Skalenparameter, da er das Gr ößenverhältnis der Zufallsvariable in Abhängigkeit von ihrer Häufigkeit beschreibt. Es soll gelten, dassβ > 0 ist. Der Parameterθ

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ist ein Lageparameter, da er den Mindestwert der Verteilung angibt. Das bedeutet, dass die Verteilung am Punktθstartet.θsoll ebenfalls>0 sein.

Die Dichte ist gegeben durch f(x) = βθ^βx⁻^β⁻¹ mit x > θ. Sie ist strikt fallend und strikt positiv auf (θ,∞).

Bemerkung 3.4. M¨ochte man die Pareto-Verteilung in R plotten, muss man beachten, dass die Pareto- Verteilung aus dem Packagermutil nicht mit unserer Definition ¨ubereinstimmt. Das bedeutet, dass man in R zuerst eine Dichte-, Verteilungs- und Quantilfunktion laut unserer Definition erstellen muss.

F ¨ur mehr Details siehe [15, S.51-52]

Abbildung 3.1: Die Dichte einer Pareto-Verteilung mit unterschiedlichemθ

Abbildung 3.2: Die Dichte einer Pareto-Verteilung mit unterschiedlichemβ

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Wir berechnen uns nun die Verteilungsfunktion:

F(x)=Z x

θ f(y)dy=Z x

θ βθ^βy⁻^β⁻¹dy=βθ^βZ x

θ y⁻^β⁻¹dy=βθ^β y⁻^β

−β

!_x

θ

=βθ^β x⁻^β

−β −θ⁻^β

−β

!

=βθ^β θ⁻^β β − x⁻^β

β

!

= βθ^βθ⁻^β

β −βθ^βx⁻^β

β =1−θ^βx⁻^β.

Somit ist die VerteilungsfunktionF(x) =1−θ^βx⁻^βmitx > θ. Um nun die Quantilfunktion zu erhalten, m ¨ussen wir die Verteilungsfunktion invertieren:

1−θ^βx⁻^β=u⇔1−u=θ^βx⁻^β ⇔ 1−u

θ^β =x⁻^β ⇔x=θ(1−u)⁻¹^β. Damit erhalten wir f ¨ur die QuantilfunktionF⁻¹(u)=θ(1−u)⁻¹^β mitu∈(0,1).

Abbildung 3.3: Die Verteilungsfunktion einer Pareto-Verteilung mit unterschiedlichemθ

Abbildung 3.4: Die Verteilungsfunktion einer Pareto-Verteilung mit unterschiedlichemβ

(16)

Als n¨achstes berechnen wir die Momente:

E[Xⁿ]=Z ^∞

θ xⁿf(x)dx=Z ^∞

θ xⁿβθ^βx⁻^β⁻¹dx=βθ^βZ ^∞

θ xⁿ⁻^β⁻¹dx=βθ^β xⁿ⁻^β n−β

!∞

θ

.

Dieses Integral ist nur f ¨urβ >nwohldefiniert. Wir erhalten dann:

βθ^β xⁿ⁻^β n−β

!∞

θ

=−βθ^βθⁿ⁻^β

n−β = βθⁿ β−n f ¨urβ >n.F ¨ur den Erwartungswert setzen wir n=1 und erhalten:

E[X]= βθ β−1

mitβ >1. F ¨ur die Varianz benutzen wir den Verschiebungssatz und setzten dann in die 1. und 2. Momente ein:

Var[X]=E[X²]−(E[X])²= βθ²

β−2 − βθ β−1

!2

= βθ²

β−2 − β²θ²

(β−1)² = (β−1)²βθ²−(β−2)β²θ² (β−2)(β−1)²

= (β²−2β+1)βθ²−β³θ²+2β²θ²

(β−2)(β−1)² = β³θ²−2β²θ²+βθ²−β³θ²+2β²θ² (β−2)(β−1)²

= βθ² (β−1)²(β−2). mitβ >2.

Den Value-at-Risk erhalten wir sofort aus der Quantilfunktion:

VaR_α[X]=θ(1−α)⁻¹^β.

F ¨ur der Expected Shortfall m ¨ussen wir den Value-at-Risk in die Formel (3.1) einsetzen:

ES_α[X]= 1 1−α

Z 1

α VaRu(X)du= 1 1−α

Z 1

α θ(1−u)⁻¹^βdu= θ 1−α

Z 1

α (1−u)⁻¹^βdu.

Als n¨achstes f ¨uhren wir die Substitutiont=1−udurch:

t(u)=1−u

dt du =−1 du=−dt Z

(1−u)⁻¹^βdu=− Z

t⁻¹^β =− t¹⁻¹^β 1−¹

β

+c.

(17)

Insgesamt haben wir nun:

θ 1−α

Z 1

α (1−u)⁻¹^βdu= θ 1−α







−(1−u)¹⁻¹^β 1−¹

β







1

α= θ

1−α







−0+ (1−α)¹⁻¹^β 1− ¹

β





= θ(1−α)¹⁻¹^β (1−α)(1−¹

β). Erweitert man Z¨ahler und Nenner umβerh¨alt man:

θ(1−α)¹⁻¹^β (1−α)(1− ¹

β) = βθ(1−α)¹⁻¹^β

(1−α)(β−1) = βθ

β−1(1−α)⁻^β¹. Wir erhalten also insgesamt f ¨urβ >1:

ES_α[X]= βθ

β−1(1−α)⁻¹^β. (3.2)

Normalverteilung N(µ,σ²)

Die Normalverteilung hat zwei Parameter:µ∈Rist ein Lageparameter und gibt die Lage des Erwartungswertes an,σ²>0 ist ein Skalenparameter und gibt die Varianz an.

Die Dichte ist gegeben durch f(x)= ^√_2πσ¹ ₂ exp

−^(x⁻^µ⁾²

2σ²

.

Abbildung 3.5: Die Dichte einer Normalverteilung mit unterschiedlichemσ

(18)

Abbildung 3.6: Die Dichte einer Normalverteilung mit unterschiedlichemµ

Die Dichte ist symmetrisch um µ und unimodal. Um den Modalwert zu berechnen, ben ¨otigen wir die Ableitung der Dichte:

f⁰(x)= 1

√

2πσ²e⁻

(x−µ)2 2σ2

−2(x−µ)

2σ² ⇒ f⁰(x)

f(x) =−x−µ σ² .

Also erhalten wir f ¨ur den Modalwert:

f⁰(x)=0⇔ f⁰(x)

f(x) =0⇔ −x−µ

σ² =0⇔x−µ=0⇔x=µ.

Somit ist die Dichtefunktion f ¨urx< µsteigend und f ¨urx> µfallend.

Als n¨achstes berechnen wir die Verteilungsfunktion:

F(x)= Z x

−∞

f(t)dt= Z x

−∞

√ 1

2πσ²exp −(t−µ)² 2σ²

!

dt= 1

√2πσ² Z x

−∞

exp −1 2

t−µ σ

2! dt.

Wir k ¨onnen nun eine Substitution durchf ¨uhren.

z(t)= ^t⁻_σ^µ

dz dt = ¹_σ dt=σdz z(−∞)=−∞

z(x)= ^x⁻_σ^µ Wir erhalten also:

√ 1 2πσ²

Z x

−∞

exp −1 2

t−µ σ

²!

dt= 1

√ 2πσ²

Z ^x

−µ σ

−∞

exp







−1 2

(σz+µ)−µ σ

!2



σdz

= 1

√2π Z ^x

−µ σ

−∞

exp −z² 2

!

dz= Φx−µ σ

,

(19)

wobeiΦ(x) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist:

Φ(x)= 1

√ 2π

Z x

−∞

e⁻¹²^t²dt.

Abbildung 3.7: Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit unterschiedlichemσ

Abbildung 3.8: Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit unterschiedlichemµ F ¨ur die Quantilfunktion erhalten wir:

α= Φx−µ σ

⇔Φ⁻¹(α)= x−µ

σ ⇔x=µ+σΦ⁻¹(α).

Also erhalten wir f ¨ur den Value-at-Risk

VaR_α[X]=µ+σΦ⁻¹(α).

(20)

Als n¨achstes berechnen wir uns den Expected-Shortfall:

ES_α[X]=µ+ σ 1−α

Z 1

α Φ⁻¹(u)du.

Wir f ¨uhren eine Substitution durch:

z(u)= Φ⁻¹(u)⇔Φ(z)=u

du dz =φ(z) du=φ(z)dz z(α)= Φ⁻¹(α)

z(1)=∞ Wir erhalten also:

µ+ σ

1−α Z 1

α Φ⁻¹(u)du=µ+ σ 1−α

Z ^∞

Φ⁻¹(α)zφ(z)dz.

Es gilt folgende Umformung:

φ⁰(z)= 1

√2πe⁻^z

2 2

!⁰

= 1

√2πe⁻^z

2 2

−2z 2

=−zφ(z).

Damit k ¨onnen wir die Formel des Expected Shortfall weiter umformen:

µ+ σ

1−α Z ^∞

Φ⁻¹(α)

zφ(z)dz=µ− σ 1−α

Z ^∞

Φ⁻¹(α)

φ⁰(z)dz=µ− σ 1−αφ(z)

∞

Φ⁻¹(α)

=µ− σ 1−α

φ(∞)−φ(Φ⁻¹(α))

=µ+ σ

1−αφ(Φ⁻¹(α)).

Insgesamt erhalten wir f ¨ur den Expected Shortfall also ES_α[X]=µ+ σ

1−αφ(Φ⁻¹(α)).

Bevor wir den Erwartungswert einer Normalverteilung betrachten, berechnen wir den Erwartungswert einer Standardnormalverteilung:

E[X]= 1

√2π Z ^∞

−∞

xe⁻¹²^x²dx.

Wegen der Integrierbarkeit und Punktesymmetrie erhalten wir:

E[X]=0.

Nun betrachten wir eine normalverteilte Zufallsvariable Y ∼ N(µ, σ²). Es gilt also: X =

Y−µ

σ ∼ N(0,1).Damit erhalten wir:

E[Y]=E[σX+µ]=σE[X]+µ=µ.

(21)

Die Stetige Gleichverteilung U(a,b)

Die Dichte der stetigen Gleichverteilung ist f ¨ura<bgegeben durch

f(x)=











1

b−a a≤x≤b, 0 sonst.

Abbildung 3.9: Die Dichte einer stetigen Gleichverteilung mit unterschiedlichem a und b Um die Verteilungsfunktion zu erhalten m üssen wir 3 Fälle betrachten: F ürx ≤aerhalten wir:

F(x)= Z x

−∞

f(y)dy=0.

Als n¨achstes betrachten wir den Falla<x<b:

F(x)= Z x

−∞

f(y)dy= Z x

a

1

b−ady= 1 b−a

Z x a

1dy= 1 b−a(y)

x

a

= x−a b−a. Nun betrachten wir den letzten Fallx≥b:

F(x)= Z x

−∞

f(y)dy= Z b

a

f(y)dy+ Z x

b

f(y)dy= b−a

b−a+0=1.

Insgesamt erhalten wir damit:

F(x)=











0 x≤a,

x−a

b−a a<x<b 1 x≥b.

(22)

Abbildung 3.10: Die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung mit unterschiedlichem a und b

Als n¨achstes berechnen wir dir Quantilfunktion f ¨uru∈(0,1):

x−a

b−a =u⇔u(b−a)=x−a⇔x=u(b−a)+a.

Wir erhalten f ¨ur die Quantilfunktion also

F⁻¹(u)=u(b−a)+a.

Nun berechnen wir die Momente:

E[Xⁿ]= Z ^∞

−∞

xⁿf(x)dx= Z b

a

xⁿ 1

b−adx= 1 b−a

Z b a

xⁿdx= 1 b−a

xⁿ⁺¹ n+1

!_b

a

= 1 b−a

bⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹ n+1 . Damit erhalten wir f ¨ur den Erwartungswert:

E[X]= 1 b−a

b²−a²

2 = (a+b)(b²−a²)

(b−a)(a+b)2 = (a+b)(b²−a²)

2(ab+b²−a²−ab) = (a+b)(b²−a²)

2(b²−a²) = a+b 2 . F ¨ur die Varianz erhalten wir:

Var[X]=E[X²]−(E[X])²= b³−a³

(b−a)3−(a+b)²

4 = 4(b³−a³)−3(a+b)²(b−a) 12(b−a)

= 4(b³−a³)−3(a²+2ab+b²)(b−a)

12(b−a) = 4b³−4a³−3a²b−6ab²−3b³+3a³+6a²b+3ab² 12(b−a)

= b³−a³−3ab²+3a²b

12(b−a) = (b−a)³

12(b−a) = (b−a)² 12 .

Den Value-at-Risk erh¨alt man wieder sofort aus der Quantilfunktion:

VaR_α[X]=α(b−a)+a.

(23)

Nun berechnen wir den Expected Shortfall:

ES_α[X]= 1 a−α

Z 1

α VaR_u(X)du= 1 1−α

Z 1

α a+u(b−a)du= a 1−α(u)

1

α+b−a 1−α

u² 2

!₁

α

= a(1−α)

1−α + b−a 1−α

1−α² 2

!

=a+ (b−a)(1−α²)

2(1−α) =a+ (b−a)(1−α)(1+α) 2(1−α)

=a+(b−a)(1+α)

2 .

Wir erhalten f ¨ur den Expected Shortfall also die folgende Formel:

ES_α[X]=a+ (b−a)(1+α)

2 .

Die GammaverteilungΓ(γ, β)

Bevor wir die Gammaverteilung betrachten, werden wir die Gammafunktion und verwandte Funktionen definieren:

• Gammafunktionf ¨ura>0:

Γ(a)= Z ^∞

0

t^a⁻¹e⁻^tdt

• Untere unvollst¨andige Gammafunktionf ¨ura>0 undx>0:

γ(a,x)= Z x

0

t^a⁻¹e⁻^tdt

• Obere unvollst¨andige Gammafunktionf ¨ura∈Rundx>0:

Γ(a,x)= Z ^∞

x

t^a⁻¹e⁻^tdt

• Untere regularisierte unvollst¨andige Gammafunktionf ¨ura>0:

P(a,x)= 1 Γ(a)

Z x 0

t^a⁻¹e⁻^tdt

• Obere regularisierte unvollst¨andige Gammafunktionf ¨ura∈R:

Q(a,x)= 1 Γ(a)

Z ^∞

x

t^a⁻¹e⁻^tdt

Die Gammaverteilung hat die beiden Parameterγ >0 undβ >0.

Die Dichte ist gegeben durch

f(x)= β^γ

Γ(γ)x^γ⁻¹e⁻^βx

(24)

f ür x > 0. F ür die Eigenschaften der Dichte ben ötigen wir den Modus. Diesen erhalten wir durch Nullsetzen der Ableitung: f⁰(x)=0. Dazu berechnen wir zuerst die Ableitung:

f⁰(x)= β^γ Γ(γ)

(γ−1)x^γ⁻²e⁻^βx+x^γ⁻¹(−β)e⁻^βx . Deshalb gilt:

f⁰(x)

f(x) = γ−1 x −β.

Wir berechnen nun den Modus:

f⁰(x)=0⇔ f⁰(x)

f(x) =0⇔ γ−1

x −β=0⇔ γ−1

x =β⇔x= γ−1 β Das bedeutet, wie man auch in Abbildung 3.11 sehen kann:

• Ist 0< γ <1, dann geht f(x) f ¨urx→0 gegen+∞. Außerdem ist f(x) fallend.

• Istγ = 1 erh¨alt man die Exponentialverteilung Exp(β) und f(0) = β. Auch hier ist f(x) fallend.

• Istγ >1, dann ist f(0)=0 und f(x) ist wachsend aufh 0,^γ⁻_β¹i

und fallend aufh_γ−1 β ,∞

.

Abbildung 3.11: Die Dichte einer Gammaverteilung mit unterschiedlichemγ

(25)

Abbildung 3.12: Die Dichte einer Gammaverteilung mit unterschiedlichemβ Die Gammaverteilung ist die untere regularisierte unvollst¨andige Gammafunktion:

F(x)= Z x

0

β^γ

Γ(γ)y^γ⁻¹e⁻^βydy.

Wir f ¨uhren nun eine Substitution durch:

z(y)=βy

dz dy =β dy= ^dz_β z(0)=β·0=0

z(x)=βx Z x

0

β^γ

Γ(γ)y^γ⁻¹e⁻^βydy= Z _βx

0

β^γ Γ(γ)

z β

!γ−1

e⁻^zdz

β = 1

Γ(γ) Z _βx

0

z^γ⁻¹e⁻^zdz=P(γ, βx).

Also erhalten wir f ¨ur die Verteilung der Gammafunktion insgesamt folgende Formel:

F(x)=P(γ, βx).

(26)

Abbildung 3.13: Die Verteilungsfunktion einer Gammaverteilung mit unterschiedlichemγ

Abbildung 3.14: Die Verteilungsfunktion einer Gammaverteilung mit unterschiedlichemβ Die Quantilfunktion, und somit auch den Value-at-Risk, kann man im Allgemeinen nicht elementar darstellen. F ¨ur den Expected Shortfall k ¨onnen wir eine Formel finden:

ES_α[X]= 1 1−α

Z 1

α F⁻¹(u)du. Als erstes f ¨uhren wir eine Substitution durch:

v(u)=F⁻¹(u)⇔u=F(v)

du

dv =F⁰(v)= f(v) du= f(v)dv v(α)=F⁻¹(α) v(1)=F⁻¹(1)=∞

(27)

1 1−α

Z 1

α F⁻¹(u)du= 1 1−α

Z ^∞

F⁻¹(α)v f(v)dv= 1 1−α

Z ^∞

F⁻¹(α)v β^γ

Γ(γ)v^γ⁻¹e⁻^βvdv

= β^γ (1−α)Γ(γ)

Z ^∞

F⁻¹(α)v^γe⁻^β^vdv= β^γ (1−α)Γ(γ)

Γ(γ+1) β^γ+¹

Z ^∞

F⁻¹(α)

β^γ+1

Γ(γ+1)v^γe⁻^β^vdv

= γ β(1−α)

Z ^∞

F⁻¹(α)

β^γ+1

Γ(γ+1)v^γe⁻^βvdv. Wir f ¨uhren noch eine Substitution durch:

u(v)=βv

du dv =β dv= ^du_β u(F⁻¹(α))=βF⁻¹(α)

u(∞)=∞

γ β(1−α)

Z ^∞

F⁻¹(α)

β^γ+1

Γ(γ+1)v^γe⁻^βvdv= γ β(1−α)

Z ^∞

βF⁻¹(α)

β^γ+1 Γ(γ+1)

u β

!γ

e⁻^udu β

= γ β(1−α)

Z ^∞

βF⁻¹(α)

1

Γ(γ+1)u^γe⁻^udu

= γ

β(1−α)Q(γ+1, βF⁻¹(α)).

Also erhalten wir f ¨ur den Expected Shortfall folgende Formel:

ES_α[X]= γ

β(1−α)Q(γ+1, βF⁻¹(α)).

Als n¨achstes berechnen wir die Momente der Gammaverteilung:

E[Xⁿ]= Z ^∞

0

xⁿf(x)dx= Z ^∞

0

xⁿ β^γ

Γ(γ)x^γ⁻¹e⁻^β^xdx= β^γ Γ(γ)

Z ^∞

0

xⁿ^+γ⁻¹e⁻^β^xdx

= β^γ Γ(γ)







e⁻^βxx^n+γ⁻¹ (−β)

∞

0

− Z ^∞

0

(n+γ−1)e⁻^βxx^n+γ⁻² (−β) dx





= β^γ Γ(γ)

n+γ−1 β

Z ^∞

0

e⁻^β^xxⁿ^+γ⁻²dx

= β^γ Γ(γ)

(n+γ−1)(n+γ−2) β²

Z ^∞

0

e⁻^βxx^n+γ⁻³dx=...= β^γ Γ(γ)

(n+γ−1)!

β^n+γ⁻¹

Z ^∞

0

e⁻^βxdx

= (n+γ−1)!

βⁿ⁻¹Γ(γ)





 e⁻^βx

−β

∞

0





= (n+γ−1)!

βⁿ⁻¹Γ(γ)

0−1

−β

!

= (n+γ−1)!

βⁿΓ(γ) .

Damit k ¨onnen wir uns wieder den Erwartungswert und die Varianz berechnen:

E[X]= γ!

Γ(γ)β = γ!

(γ−1)!β = γ β.

(28)

Var[X]=E[X²]−(E[X])²= (γ+1)!

Γ(γ)β² − γ β

!2

= (γ+1)γ β² − γ²

β² = γ²+γ−γ²

β² = γ

β².

Wir werden noch zwei Spezialf¨alle der Gammaverteilung betrachten: die Exponentialver- teilung und die Chi-Quadrat-Verteilung.

Exponentialverteilung Exp(β)

Die Exponentialverteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung, denn es gilt: Γ(1, β) = Exp(β). Die Summe vonnunabh¨angigen Exp(β)-verteilten Zufallsvariablen istΓ(n, β)-verteilt.

Die Exponentialverteilung hat einen Parameterβ, der gr ¨oßer als 0 ist. Er ist ein Skalenpara- meter und gibt die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall wieder.

Die Dichte ist f ¨ur x>0 gegeben durch f(x)= βe⁻^β^x. Sie ist strikt fallend und strikt positiv auf (0,∞).

Abbildung 3.15: Die Dichte einer Exponentialverteilung mit unterschiedlichemβ Als erstes berechnen wir die Verteilungsfunktion:

F(x)= Z x

0

f(y)dy= Z x

0

βe⁻^βydy=β Z x

0

e⁻^βydy. Wir substituieren nun:

u(y)=−βy

du dy =−β dy=−^du

β

Z

e⁻^β^ydy=−1 β

Z

e^udu=−1 βe^u+c.

Insgesamt erhalten wir also:

β Z x

0

e⁻^β^ydy=−β βe⁻^β^y

x

0

=−e⁻^β^x+e⁰=1−e⁻^β^x.

(29)

Wir haben alsF(x)=1−e⁻^βx.

Abbildung 3.16: Die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung mit unterschiedlichemβ Als n¨achstes berechnen wir uns wieder die Quantilfunktion:

u=1−e⁻^β^x ⇔e⁻^β^x=1−u⇔ −βx=ln(1−u)⇔x=−ln(1−u)

β .

Es ist also

F⁻¹(u)=−ln(1−u) β f ¨uru∈(0,1).

Nun berechnen wir mittels partieller Integration die Momente:

E[Xⁿ]= Z ^∞

0

xⁿf(x)dx= Z ^∞

0

xⁿβe⁻^βxdx=β Z ^∞

0

xⁿe⁻^βxdx=β







−e⁻^βxxⁿ β

∞

0

+ Z ^∞

0

n

βe⁻^βxxⁿ⁻¹dx







=β Z ^∞

0

n

βe⁻^βxxⁿ⁻¹dx=n Z ^∞

0

e⁻^βxxⁿ⁻¹dx=n

"

n−1 β

Z ^∞

0

e⁻^βxxⁿ⁻²dx

#

= n(n−1) β

Z ^∞

0

e⁻^β^xxⁿ⁻²dx=...= n(n−1)...(n−(n−1)) βⁿ⁻¹

Z ^∞

0

e⁻^β^xxⁿ⁻ⁿdx

= n!

βⁿ⁻¹ Z ^∞

0

e⁻^β^xdx= n!

βⁿ⁻¹







−1 βe⁻^β^x

∞

0





=−n!

βⁿ0+ n!

βⁿe⁰= n!

βⁿ.

Damit erhalten wir wieder sofort den Erwartungswert und die Varianz:

E[X]= 1 β, Var[X]=E[X²]−(E[X])²= 2

β² − 1 β

!2

= 2 β² − 1

β² = 1 β².

(30)

Den Value-at-Risk erhalten wir wieder sofort aus der Quantilfunktion:

VaR_α[X]=−ln(1−α)

β .

Nun berechnen wir den Expected Shortfall:

ES_α[X]= 1 1−α

Z 1

α VaRudu= 1 1−α

Z 1 α

−ln(1−u)

β du=− 1

(1−α)β Z 1

α ln(1−u)du.

Als n¨achstes f ¨uhren wir die Substitutions=1−udurch:

s(u)=1−u

ds du =−1 du=−ds Z

ln(1−u)du=− Z

ln(s)ds.

Um diesen Ausdruck integrieren zu k ¨onnen, wenden wir partielle Integration an und substituieren danach zur ¨uck:

− Z

ln(s)·1ds=− s·ln(s)− Z

s1 sds

!

=−(s·ln(s)−s)+c=−((1−u) ln(1−u)−(1−u))+c

=(u−1)(ln(1−u)−1)+c.

Insgesamt erhalten wir also:

− 1 (1−α)β

Z 1

α ln(1−u)du=− 1 (1−α)β





(u−1)(ln(1−u)−1)

1

α





=

=− 1

(1−α)β((1−1)(ln(1−1)−1)−(α−1)(ln(1−α)−1))

= (α−1)(ln(1−α)−1)

(1−α)β =−ln(1−α)−1

β .

Zur Kontrolle k ¨onnen wir die Formel der Gammaverteilung ben ¨utzen:

ES_α[X]= Q(2, βF⁻¹(α)) β(1−α) . Wir wissen, dassF⁻¹(α)=−^ln(1⁻^u)

β ist. Also haben wir:

Q(2,−β^ln(1_β⁻^α))

β(1−α) = Q(2,−ln(1−α)) β(1−α) .

(31)

Wir berechnen als erstes den Ausdruck mit der oberen regularisierten Gammafunktion:

Q(2,−ln(1−α))= 1 Γ(2)

Z ^∞

−ln(1−α)t²⁻¹e⁻^tdt= 1 1!

Z ^∞

−ln(1−α)te⁻^tdt=(−te⁻^t)

∞

−ln(1−α)

+ Z ^∞

−ln(1−α)e⁻^tdt

=(−ln(1−α))e^ln(1⁻^α)−e⁻^t

∞

−ln(1−α)

=(−ln(1−α))(1−α)+e^ln(1⁻^α)

=(1−α)(−ln(1−α)+1).

Wir erhalten also insgesamt:

ES_α[X]= (1−α)(−ln(1−α)+1)

β(1−α) =−ln(1−α)−1

β .

Somit erhalten wir dieselbe Formel f ¨ur den Expected Shortfall wie zuvor.

Die Chi-Quadrat-Verteilungχ²(γ)

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ebenfalls ein Spezialfall der Gammaverteilung:χ²(γ)= Γ(^γ₂,¹₂), wobeiγ∈Ngelten soll. Die Dichte ist deshalb f ¨urx>0 gegeben durch:

f(x)= x^γ²⁻¹e⁻^x² 2^γ²Γ_γ

2

.

Wir berechnen nun wieder den Modus, also berechnen wir zuerst die Ableitung:

f⁰(x)= _γ

2 −1

x^γ²⁻²e⁻^x² +x^γ²⁻¹e⁻^x²

−¹

2

2^γ²Γ_γ

2

.

Deshalb gilt:

f⁰(x) f(x) =

γ 2 −1

x −1 2. Wir berechnen nun den Modus:

f⁰(x)=0⇔ f⁰(x)

f(x) =0⇔

γ 2 −1

x −1

2 =0⇔

γ 2 −1

x = 1 2 ⇔ γ

2 −1= x

2 ⇔x=γ−2 Das bedeutet, wie man auch in Abbildung 3.17 sehen kann:

• Ist 0< γ <2, dann geht f(x) f ¨urx→0 gegen+∞. Außerdem ist f(x) fallend.

• Istγ= 2 erh¨alt man die Exponentialverteilung Exp₁

2

und f(0) = ¹₂. Auch hier ist f(x) fallend.

• Istγ >2, dann ist f(0)=0 und f(x) ist wachsend auf0, γ−2

und fallend aufγ−2,∞ .

(32)

Abbildung 3.17: Die Dichte einer Chi-Quadrat-Verteilung mit unterschiedlichemγ F ¨ur die Verteilungsfunktion werden wir eine Substitution durchf ¨uhren:

z(y)= ^y₂

dz dy = ¹₂ dy=2dz

z(0)=0 z(x)= ^x₂

F(x)= Z x

0

y^γ²⁻¹e⁻^y² 2^γ²Γ_γ

2

= 1 Γ(^γ₂)

Z ^x₂

0

(2z)^γ²⁻¹e⁻^z

2^γ² 2dz= 1 Γ(^γ₂)

Z ^x₂

0

z^γ²⁻¹e⁻^zdz=P γ

2,x 2

.

Man kann die Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung also wieder mithilfe der unteren regularisierten Gammafunktion darstellen.

Abbildung 3.18: Die Verteilungsfunktion einer Chi-Quadrat-Verteilung mit unterschiedlichem γ