Der Einsatz der 3D-Druck-Technologie im Mathematikunterricht

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Theoretische Grundlagen und exemplarische

Anwendungen für die Analysis

Der Einsatz der

3D-Druck-Technologie im Mathematikunterricht

Frederik Dilling

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BestMasters

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Mit „BestMasters“ zeichnet Springer die besten Masterarbeiten aus, die an renom- mierten Hochschulen in Deutschland, Österreich und der Schweiz entstanden sind.

Die mit Höchstnote ausgezeichneten Arbeiten wurden durch Gutachter zur Veröf- fentlichung empfohlen und behandeln aktuelle Themen aus unterschiedlichen Fachgebieten der Naturwissenschaften, Psychologie, Technik und Wirtschaftswis- senschaften. Die Reihe wendet sich an Praktiker und Wissenschaftler gleicherma- ßen und soll insbesondere auch Nachwuchswissenschaftlern Orientierung geben.

Springer awards “BestMasters” to the best master’s theses which have been com- pleted at renowned Universities in Germany, Austria, and Switzerland. The studies received highest marks and were recommended for publication by supervisors.

They address current issues from various fields of research in natural sciences, psychology, technology, and economics. The series addresses practitioners as well as scientists and, in particular, offers guidance for early stage researchers.

Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/13198

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Frederik Dilling

Der Einsatz der

3D-Druck-Technologie im Mathematikunterricht

Theoretische Grundlagen und exemplarische

Anwendungen für die Analysis

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Frederik Dilling

Didaktik der Mathematik Universität Siegen Siegen, Deutschland

ISSN 2625-3577 ISSN 2625-3615 (electronic) BestMasters

ISBN 978-3-658-24985-4 ISBN 978-3-658-24986-1 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-24986-1

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ... 1

2 Funktionsweise der 3D-Druck-Technologie ... 3

3 Einordnung der 3D-Druck-Technologie in die fachdidaktische Forschung... 5

3.1 Didaktische Prinzipien und lerntheoretische Konzepte ... 6

3.2 Materialeinsatz und Anschauung im Mathematikunterricht ... 17

3.3 Technologieeinsatz im Mathematikunterricht ... 26

4 Einordnung der 3D-Druck-Technologie in die curricularen Vorgaben ... 39

5 3D-Druck im Analysisunterricht... 41

5.1 Der Graphendrucker ... 44

5.2 Das Tangentenmodell ... 59

5.3 Der Integraph... 65

5.4 Der Graphendrucker mit zwei Variablen... 74

5.5 Weitere Modelle ... 79

6 Fazit ... 83

Anhang ... 87

Dokumente der Erprobung ... 87

Kategoriensystem: Erprobung des Programms „Graphendrucker“ ... 101

Transkript: Interview 1 ... 113

Transkript: Interview 2 ... 141

Literaturverzeichnis ... 163

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Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Screenshot der Benutzeroberfläche des Programms

„Graphendrucker“ ... 45

Abbildung 2 3D-Modelle der Graphen von Polynomen vierten Grades ... 45

Abbildung 3 Stempeln des Funktionsgraphen auf ein Blatt Papier ... 47

Abbildung 4 Stetigkeit und Steigung des Graphen mit der Hand fühlen ... 52

Abbildung 5 Tangentenmodell mit der Kurve mit der Gleichung f(x) = 0,2 x² ... 59

Abbildung 6 Schematische Darstellung des Tangentenmodells ... 60

Abbildung 7 Weitere Kurven für das Tangentenmodell ... 62

Abbildung 8 Abwandlung des Tangentenmodells ... 62

Abbildung 9 Schematische Darstellung des Integraphen Ott ... 66

Abbildung 10 3D-gedruckter Nachbau des Integraphen Ott ... 68

Abbildung 11 Entwurf des Integraphen nach Leibniz ... 70

Abbildung 12 Schematische Darstellung des Integraphen nach Leibniz ... 70

Abbildung 13 Screenshot der Benutzeroberfläche des Programms „Graphendrucker mit zwei Variablen“ ... 75

Abbildung 14 Funktionsgraphen mit der Gleichung f(x, y) = 0,5 x y² mit diskreten und kontinuierlichen x-Werten ... 75

Abbildung 15 3D-gedruckte Rotationskörper ... 80

Abbildung 16 Modell zur Veranschaulichung des „Integrierens als Mitteln“ ... 81

Abbildung 17 Modell zum Abrollen der Sinusfunktion ... 81

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Kurzzusammenfassung

Die 3D-Druck-Technologie hat in den letzten Jahren sowohl gesamtgesellschaft- lich als auch in der Schule zunehmende Bedeutung erlangt. Sie ermöglicht das individuelle Erstellen komplexer dreidimensionaler Objekte.

Im Allgemeinen lassen sich zwei Anwendungsszenarien für den Einsatz der 3D- Druck-Technologie unterscheiden. Zum einen ist es möglich, Arbeitsmaterialien für den Mathematikunterricht zu drucken (Replikation bestehender Materialien o- der Entwicklung durch die Lehrkraft). Zum anderen können die Schülerinnen und Schüler selbst Materialien entwickeln. Damit hängt die 3D-Druck-Technologie stark mit Hintergrundtheorien zum Materialeinsatz und zum Technologieeinsatz im Mathematikunterricht zusammen.

Bei den Materialien, die im Rahmen dieser Arbeit mit der 3D-Druck-Technologie entwickelt wurden, handelt es sich um räumliche Modelle, die bestimmte mathematische Sachverhalte darstellen. Dabei repräsentieren sie nicht nur Objekte, son- dern auch Beziehungen dieser Objekte, die durch das Handeln der Schüler aufge- deckt werden können. Daher eignen sie sich als paradigmatische Beispiele auch für die mathematische Begriffsentwicklung. 3D-gedruckte Materialien haben insbesondere auf Grund ihrer hohen Individualität, der beliebigen Reproduzierbar- keit, der nachhaltigen Nutzbarkeit und der Möglichkeit der Einbeziehung der Schüler in den Entwicklungsprozess einige Vorteile gegenüber traditionellen Ma- terialien. Dennoch lassen sich auch Einschränkungen in Bezug auf die Dauer des Druckprozesses sowie die Größe und Qualität der Objekte feststellen.

Um die Beziehung zwischen dem Lernenden und der 3D-Druck-Technologie genauer zu verstehen, eignet sich die Theorie der Instrumentellen Genese. Diese beschreibt den Prozess, in welchem ein Gerät (CAD -Software und 3D-Drucker) zu einem hilfreichen Instrument in Problemlösesituationen wird. Dieser Prozess lässt sich durch einen speziellen Unterrichtsaufbau (Instrumental Integration) und durch verschiedene Formen der Intervention (Instrumental Orchestration) von der Lehrkraft unterstützen.

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X Kurzzusammenfassung

Es werden drei Arten von CAD-Software unterschieden. Bei direkter Modellie- rungssoftware können Objekte aus verschiedenen veränderbaren Grundkörpern zusammengesetzt werden. Solche Programme sind vergleichsweise leicht zu erlernen, komplexe Objekt sind allerdings nur schwer realisierbar. Parametrische Modellierungssoftware arbeitet dagegen auf Basis von zweidimensionalen Skiz- zen, die dann zu dreidimensionalen Objekten extrudiert werden. Komplexe Ob- jekte sind so vergleichsweise leicht erstellbar, die Benutzung der Software ist dagegen schwierig zu erlernen. Bei skriptbasierter Modellierungssoftware werden 3D-Modelle in einem Textfeld programmiert. Dies ermöglicht das Einbeziehen von Variablen und logischen Operatoren, die Benutzung verlangt aber das Erler- nen der jeweiligen Programmiersprache.

Der virtuelle Raum, in dem Schüler bei der Benutzung von CAD-Software agie- ren, erlaubt nur eine begrenzte Simulation physischer Handlungen. Dennoch lassen sich deutliche Beziehungen zwischen grundlegenden Arbeitsweisen mit CAD- Programmen und Faktoren räumlichen Vorstellungsvermögens identifizieren, sodass eine Förderung dieser durch die Arbeit mit der 3D-Druck-Technolgie mög- lich wäre. Auch die Begriffsentwicklung scheint in Bezug auf das Entwickeln von Modellen durch Schüler in den Vordergrund zu rücken. Durch das aktive Operie- ren bei der Arbeit mit 3D-Druck können Beziehungen innerhalb mathematischer Sachverhalte erkannt werden und so relationale Begriffe gebildet und gefestigt werden.

Die Einordnung in grundlegende didaktische Prinzipien und lerntheoretische Kon- zepte, darunter das EIS-Prinzip nach Jerome Bruner, die „Three Worlds of Mathe- matics“ nach David Tall, das Entdeckende Lernen nach Heinrich Winter und die Subjektiven Erfahrungsbereiche nach Heinrich Bauersfeld, liefert zusätzliche Er- kenntnisse.

Der Analysisunterricht in der Schule ist geprägt von einem Spannungsfeld zwischen kalkülhaftem Arbeiten einerseits und Begriffsbildung andererseits. Auch wenn viele ikonische Visualisierungen eingesetzt werden, wird mit gegenständli- chen Modellen kaum gearbeitet. Die 3D-Druck-Technologie ermöglicht die Rea- lisierung einer Vielzahl von Arbeitsmitteln für den Analysisunterricht und kann damit für eine Förderung der Begriffsentwicklung sorgen. Einige Materialien wurden im Rahmen dieser Arbeit entwickelt.

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Kurzzusammenfassung XI

Bei dem Programm „Graphendrucker“ handelt es sich um eine mit Hilfe des skriptbasierten CAD-Programms OpenSCAD programmierte Anwendung, die das einfache und individuelle Drucken dreidimensionaler Repräsentationen von Funk- tionsgraphen ermöglicht. Dadurch wird der Graph zu einem qualitativ wahrnehm- baren Objekt, was vielfältige Anwendungen in der Entwicklung Funktionalen Denkens und begrifflicher Grundlagen der Analysis ermöglicht. Das Programm und die Modelle wurden in einer empirischen Erprobung untersucht. Dabei wurden zwei Schülergruppen bei der Arbeit mit dem Programm und den Modellen sowie in Reflexionsphasen videografiert. Die Aufnahmen wurden im Anschluss transkribiert und im Rahmen einer qualitativen Inhaltsanalyse codiert. Es konnten acht Kategorien induktiv gebildet werden, wobei insbesondere vier Kategorien in- teressant waren. Das Programm wurde als Grundlage zum Experimentieren mit Funktionen genutzt. Außerdem konnten viele gegenstandsbezogene Assoziationen (Farbe, Material, etc.) festgestellt werden und der Funktionsgraph wurde als ei- genständiges geometrisches Objekt wahrgenommen. Des Weiteren haben die Schüler versucht, zentrale Funktionseigenschaften mit den Händen zu erfühlen.

Der Integraph ist ein Gerät, das auf mechanische Weise den Graphen der Stamm- funktion zu einem gegebenen Funktionsgraphen zeichnet. Dies ermöglicht im Un- terricht eine Begründung für den Hauptsatz der Differential- und Integralrech- nung. Weitere Anwendungsmöglichkeiten ergeben sich durch das graphische Dif- ferenzieren und Integrieren, das Bestimmen von Flächen unter Kurven und das Lösen algebraischer Gleichungen. Bei dem Tangentenmodell handelt es sich um in Holz geschnittene Funktionsgraphen, auf denen sich eine Tangente frei ver- schieben lässt. Es eignet sich unter anderem zur Einführung des Tangentenbegriffs an Kurven. Das Programm „Graphendrucker mit zwei Variablen“ ermöglicht das schnelle Erstellen dreidimensionaler Modelle von Funktionsgraphen mit zwei Va- riablen. Auf diese Weise können solche Funktionen anschaulich in den Unterricht integriert werden, sodass eine Erweiterung des schulischen Funktionsbegriffs er- folgen kann.

Zusammenfassend zeigt die Arbeit sowohl Chancen als auch Probleme der In- tegration der 3D-Druck-Technologie in den Unterricht auf. Diese werden anhand verschiedener Beispiele aus der Analysis verdeutlicht. Ausgewählte Ergebnisse sind unter anderem in Dilling & Witzke (2019) sowie Witzke & Dilling (2018) dargestellt.

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1 Einleitung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Einsatz der 3D-Druck-Technologie im Analysisunterricht der Sekundarstufe II. Dies umfasst sowohl den theoreti- schen und fachdidaktischen Hintergrund der 3D-Druck-Technologie als auch die Entwicklung von Konstruktionssoftware und konkretem Arbeitsmaterial für den Unterricht.

In der Handreichung zum Thema „3D-Druck in der Schule“ der Qualitäts- und Unterstützungsagentur des Landesinstituts für Schule in Nordrhein-Westfalen wird von der 3D-Druck-Technologie als „exponierte[m] Beispiel“ für die „immer noch zunehmende Rolle […] [des] digitale[n] Lernen[s] und [der] Medienbildung“

gesprochen. Die Technologie werde in Zukunft zu tiefgreifenden wirtschaftlichen und sozialen Veränderungen führen und könne schon jetzt den Unterricht der verschiedenen Fächer bereichern. Damit die Technologie ein „Werkzeug[…] im Lerngeschehen“ werden könne, müsse der Einsatz in ein pädagogisches Konzept eingegliedert sein (QUA-LiS NRW, 2016, S.3).

In dieser Arbeit sollen die pädagogischen und fachdidaktischen Grundlagen für den Einsatz der Technologie im Mathematikunterricht erörtert und einige Bei- spiele für den Einsatz im Analysisunterricht vorgestellt werden.

Zunächst wird im folgenden zweiten Kapitel die Funktionsweise der 3D-Druck- Technologie dargestellt. In diesem Zusammenhang werden sowohl Vor- und Nachteile des 3D-Drucks als auch grundlegende Schritte im Druckprozess beschrieben.

Das dritte Kapitel befasst sich mit der Einordnung der 3D-Druck-Technologie in die fachdidaktische Forschung. Dafür werden zunächst Bezüge zu vier grundlegenden didaktischen bzw. lerntheoretischen Konzepten hergestellt. Im weiteren Verlauf werden Theorien zum Materialeinsatz und Technologieeinsatz im Mathe- matikunterricht in den Blick genommen.

Im Fokus des vierten Kapitels steht die Einordnung der 3D-Druck-Technologie in die curricularen Vorgaben anhand der Bildungsstandards und des Kernlehrplans des Landes Nordrhein-Westfalen im Fach Mathematik für die Sekundarstufe II.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Dilling, Der Einsatz der 3D-Druck-Technologie im Mathematikunterricht, BestMasters, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24986-1_1

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2 1 Einleitung

Im fünften Kapitel wird die 3D-Druck-Technologie im Kontext des Analysisun- terrichts betrachtet. Dafür werden zunächst die Bedeutung der Anschauung im Analysisunterricht diskutiert und eine konzeptionelle Grundlage für die im Rah- men dieser Arbeit entworfenen Modelle und Konstruktionsprogramme erarbeitet.

Darauf folgend werden zwei Programme und zwei Modelle genauer vorgestellt.

Hierzu werden jeweils die Funktionsweise sowie der fachdidaktische Hintergrund beschrieben. Eines der Programme wurde zudem in einer empirischen Untersu- chung erprobt. Die Vorgehensweise und die anhand einer qualitativer Inhaltsana- lyse gewonnenen Ergebnisse werden dargestellt. In einem kurzen Abschnitt werden zudem weitere für den Analysisunterricht entwickelte Modelle vorgestellt.

Das Kapitel endet mit einer kurzen Diskussion über mögliche Veränderungen des Analysisunterrichts, die mit einem 3D-Druck-Einsatz einhergehen.

In einem abschließenden Fazit werden die Ergebnisse dieser Arbeit zusammenge- fasst.

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2 Funktionsweise der 3D-Druck-Technologie

Der 3D-Druck ist ein Fertigungsverfahren, mit dem sich schnell und verhältnis- mäßig preisgünstig Modelle und Prototypen, aber auch Werkzeuge und Endpro- dukte herstellen lassen. Die Technologie wird zu den generativen Fertigungsver- fahren gezählt, da die Herstellung direkt auf den rechnerinternen Modellen basiert.

Im Gegensatz zu den sogenannten subtraktiven Herstellungsverfahren, bei denen nicht zu dem Objekt gehörende Teile aus Material entfernt werden (z.B. Fräsen), wird der 3D-Druck zu den additiven Verfahren gezählt, da das Material Schicht für Schicht zu einem Objekt aufgebaut wird (vgl. Fastermann, 2016, S.11).

Als 3D-Druck werden eine Vielzahl verschiedener Druckverfahren bezeichnet.

Für den Einsatz in der Schule eignet sich insbesondere das Fused Filament Fabri- cation-Verfahren, bei dem Kunststoffe (z.B. PLA und ABS¹) oder Kunststoffmi- schungen geschmolzen und von einer Düse auf ein Druckbett aufgetragen werden (vgl. Feldmann & Pumpe, 2016, S.6).

Der 3D-Druck-Prozess kann anhand grundlegender Schritte erläutert werden. In einem ersten Schritt wird mit Hilfe von CAD²-Software ein digitales 3D-Modell entworfen (siehe hierzu auch die Ausführungen zu CAD-Software als digitales Mathematikwerkzeug in Kapitel 3.3.2). Dieses Modell wird anschließend als STL- Datei, die das Objekt als Kombination gerichteter Dreiecksflächen darstellt, ex- portiert. Mängel können von einer Reparatursoftware behoben werden. Danach konvertiert eine Slicer-Software die STL-Datei in den vom Drucker lesbaren G- Code. In diesem Schritt können Modellparameter wie Lage, Größe und Fülldichte verändert werden. Zudem können Stützstrukturen (bei überhängenden Bauteilen) und eine Plate Adhesion (zur Haftung am Druckbett) hinzugefügt werden. Wei- terhin können verschiedene Druckerparameter wie die Temperatur des Druckbet- tes oder die Druckgeschwindigkeit eingestellt werden. Hierauf folgt der eigentli- che Bauprozess, in dem der Drucker das Objekt schichtweise aufbaut. Nach dem Druck muss das Objekt eine kurze Zeit auskühlen und kann anschließend vom Druckbett gelöst werden. In der Nachbearbeitung werden Stützstrukturen und die

1 Polylactide und Acrylnitril-Butadien-Styrol-Copolymere 2 Computer-Aided-Design

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4 2 Funktionsweise der 3D-Druck-Technologie

Plate Adhesion entfernt. Raue Flächen werden gegebenenfalls geglättet. Anschlie- ßend ist das gedruckte 3D-Modell fertig (vgl. Feldmann & Gorj, 2017, S.27-31).

Der 3D-Druck hat einige Vorteile gegenüber anderen Fertigungstechniken. Es lassen sich beinahe alle geometrischen Formen realisieren, die mit anderen Verfahren teilweise nur schwer herstellbar sind. Sie lassen sich individuell und in einem vergleichsweise kurzen Prozess entwickeln. Produktspezifische Fertigungsmethoden können durch ein für jedes Modell gleiches Verfahren ersetzt werden. Im Gegen- satz zu subtraktiven Herstellungsmethoden können Abfallmengen reduziert werden und durch das Füllen der Hohlräume mittels einer Wabenstruktur kann Mate- rial eingespart werden (vgl. Feldmann & Pumpe, 2016, S.8-10).

Dennoch hat auch die 3D-Druck-Technologie Grenzen. Ein großes Problem ist die Geschwindigkeit des Druckprozesses, insbesondere wenn große Objekte oder große Stückzahlen produziert werden sollen. Auch die Nachbearbeitung kann viel Zeit in Anspruch nehmen. Die Größe des Druckraumes sorgt für eine teilweise starke Beschränkung der Objektgröße. Zum Teil treten auch Probleme mit der Qualität der gedruckten Teile auf (z.B. Maßhaltigkeit, mechanische Eigenschaf- ten, Temperaturbeständigkeit) (vgl. ebd. S.11).

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3 Einordnung der 3D-Druck-Technologie in die fachdidaktische Forschung

Die Nutzung der 3D-Druck-Technologie lässt sich im Mathematikunterricht im Wesentlichen in zwei Arten unterscheiden. Zum einen bietet sie die Möglichkeit, günstig, schnell und individuell Anschauungsmittel und Modelle für den Unter- richt herzustellen. Dies kann von der preiswerten Reproduktion bereits existieren- der Lehrmittel bis zur Entwicklung neuer Modelle für den Mathematikunterricht reichen. Zum anderen lassen sich die Schülerinnen und Schüler³ in den 3D-Druck- und Entwicklungsprozess einbeziehen. Auf diese Weise werden der 3D-Drucker und das Konstruieren am Computer selbst zum Unterrichtsgegenstand. Diese Nut- zungsform kann vom Nachvollziehen der Entwicklung und Herstellung von Ma- terialien bis zum eigenständigen Entwickeln durch die Schüler reichen.

Der folgende Abschnitt soll diese beiden Facetten des 3D-Druck-Einsatzes genauer beleuchten. Hierzu wird der 3D-Druck-Einsatz zunächst in vier für den 3D- Druck besonders relevante didaktische Prinzipien bzw. lerntheoretische Konzepte eingeordnet. Das „EIS-Prinzip“ nach Jerome Bruner betrachtet den Einfluss un- terschiedlicher Repräsentationsformen auf das Lernen von Schülern. Das Konzept der „Three Worlds of Mathematics“ nach David Tall nimmt die Langzeitentwick- lung des individuellen mathematischen Wissens in den Blick und bringt diese in Zusammenhang mit drei mathematischen Welten. Das Entdeckende Lernen in An- lehnung an Heinrich Winter beleuchtet eigenständig entdeckende Aktivitäten der Schüler im Unterricht. Zuletzt stellt das Konzept der „Subjektiven Erfahrungsbe- reiche“ nach Heinrich Bauersfeld die kontextgebundene Entstehung und Speiche- rung mathematischen Wissens in voneinander getrennten Erfahrungsbereichen dar.

Didaktische Prinzipien haben nach Krauthausen & Scherer (2007) das Ziel, „die in lernpsychologischen und erkenntnistheoretischen Theorien gewonnen Erkennt- nisse für das (Mathematik-)Lernen im Unterricht fruchtbar zu machen“ (S.132).

3 Im Folgenden als Schüler bezeichnet

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6 3 Einordnung in die fachdidaktische Forschung

Aus diesem Grund ist es sinnvoll, lerntheoretische Konzepte, aber auch didaktische Prinzipien in die Diskussion um den Einsatz der 3D-Druck-Technologie ein- zubeziehen.

Im weiteren Verlauf des Kapitels wird der 3D-Druck zunächst in Theorien zum Materialeinsatz und zur Anschauung sowie anschließend in Konzepte des Tech- nologieeinsatzes im Mathematikunterricht eingeordnet. Im Rahmen des letzteren wird in einem Unterkapitel zusätzlich die Nutzung von CAD-Software als digitales Unterrichtswerkzeug diskutiert.

3.1 Didaktische Prinzipien und lerntheoretische Konzepte 3.1.1 Das „EIS-Prinzip“ nach Jerome Bruner

Die von dem Entwicklungspsychologen Jerome Bruner entworfene „Theorie der Darstellungsebenen“ (auch „EIS-Prinzip“ genannt) geht davon aus, dass jeder (mathematische) Inhalt und jede Problemstellung auf drei unterschiedlichen Ebe- nen dargestellt werden kann (vgl. Bruner, 1974, S.49).

Die „enaktive Repräsentation“ ist die Ebene der physischen Handlungen, welche zur Erreichung eines bestimmten Ziels führen. Bruner betont, dass es viele Dinge gibt, die sich mit Hilfe von Worten oder Bildern nur schwierig ausdrücken oder vermitteln lassen. Es handelt sich hierbei meist um das Erlernen von Reaktionen und Angewohnheiten (vgl. ebd. S.16f., S.49).

Zusammenfassende Bilder oder Grafiken bilden die Ebene der „ikonischen Reprä- sentation“. Sie sollen meist ein bestimmtes Konzept vermitteln, ohne dass dieses dabei vollständig definiert wird. Sie unterliegen den Prinzipien der sinnlichen Wahrnehmung (vgl. ebd. S.17, S.49).

Die „symbolische Repräsentation“ umfasst die symbolischen und logischen Lehrsätze. Innerhalb eines symbolischen Systems lassen sich aus bestehenden Aussagen durch regelhafte Umwandlungen neue sinnvolle Aussagen gewinnen.

Die Grammatik ermöglicht es zudem, irreale Aussagen zu formulieren (vgl. ebd.

S.17f., S.49).

Die Fähigkeit, auf den unterschiedlichen Ebenen zu denken, variiert je nach Al- tersstufe. Jüngere Kinder sind durch gewohnte Handlungen in der Auseinander- setzung mit ihrer Umwelt geprägt. Im Laufe der Zeit entwickelt sich eine vom

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3.1 Didaktische Prinzipien und lerntheoretische Konzepte 7

Handeln weitgehend unabhängige bildliche Darstellung. Schließlich beginnen Kinder, die Handlungen und Bilder in Sprache umzuwandeln (vgl. Bruner, 1971, S.21).

Für die Reihenfolge der Darstellungen im Unterricht bietet sich nach Bruner eine Orientierung an der geistigen Entwicklung der Kinder, also ein Übergang von der enaktiven über die ikonische zur symbolischen Darstellung an. Eine allgemeingül- tige Reihenfolge existiert allerdings nicht, da diese von der Lernvorgeschichte, dem Entwicklungsstand, der Art des Stoffes und weiteren individuellen Aspekten abhängt. Einige Schüler haben beispielsweise ein hohes Symbolverständnis und können daher die ersten beiden Ebenen überspringen. Dies kann aber zu einer feh- lenden Vernetzung mit den anderen Ebenen und damit zu mangelnden Problemlö- sefähigkeiten außerhalb des Symbolischen führen. Daher ist es wichtig, die symbolische Darstellung durch einen häufigen Wechsel der Darstellungsformen mit Veranschaulichungen zu verknüpfen (vgl. Bruner, 1974, S.53, S.69). Die Überset- zung in eine andere Darstellungsebene ist „eine wichtige Treibkraft für die geistige Entwicklung“ und „ein Hauptmerkmal des intellektuellen Lebens des Erwachse- nen“ (Bruner, 1971, S.21, S.33).

Das EIS-Prinzip nach Bruner wird in der modernen Fachliteratur vielfältig aufge- griffen und auf die Praxis des Mathematikunterrichts übertragen. Nach Zech (2002) sollen zu lange enaktive Phasen im Unterricht je nach Erfahrungsgrundlage der Schüler vermieden werden, da die mathematischen Beziehungen anderenfalls untergehen. Daher betont er die Wichtigkeit der Reflexion im Anschluss an enaktive Phasen. Dennoch ist ein zu frühes Verlassen der anschaulichen Ebenen und insbesondere eine mangelnde sprachliche Verknüpfung zwischen den Ebenen zu vermeiden, da dies zu einem verständnislosen Umgang mit mathematischen Zei- chen führen kann (vgl. S.117).

Hartmann, Näf & Reichert (2007) stellen in ihrem Grundlagenwerk zur Informa- tikdidaktik die Bedeutung der enaktiven Repräsentation für die Einführung eines Themas heraus. Von der rein enaktiven Darstellung unterscheiden sie die „semi- enaktive Darstellung“, in der die Lehrkraft enaktive Handlungen vorführt, und die

„virtuell-enaktive Darstellung“, in der enaktive Vorgänge durch Manipulationen von Objekten in einer computergestützten Umgebung simuliert werden (S.16f.).

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8 3 Einordnung in die fachdidaktische Forschung

Das EIS-Prinzip nach Bruner eignet sich auf der einen Seite dazu, die mit der 3D- Druck-Technologie einhergehenden unterschiedlichen Facetten zu klassifizieren.

Auf der anderen Seite lassen sich auf dessen Basis vielfältige Empfehlungen für einen sinnvollen Einsatz dieser Technologie im Unterricht entwickeln.

Durch den 3D-Druck hergestellte Materialien lassen sich der enaktiven Darstel- lungsebene zuordnen. Sie zeichnen sich durch ihre besondere Individualität aus, sodass sie auf die unterschiedlichen Bedürfnisse der Schüler (Lernvorgeschichte, Entwicklungsstand, etc.) zugeschnitten werden können. Bei ihrem Einsatz im Un- terricht sollte auf eine Reflexionsphase geachtet werden, in der die Anschauung mit der symbolischen Ebene verknüpft wird.

Die 3D-Druck-Technologie als Unterrichtswerkzeug lässt sich nicht eindeutig einer Repräsentationsform zuordnen. Der Konstruktionsprozess am Computer ent- spricht nur begrenzt einer enaktiven Handlung im Brunerschen Sinne, da die physischen Handlungen selbst nicht den mathematischen Inhalt repräsentieren. Auch die Eigenschaften ikonischer Repräsentationen lassen sich nur unvollständig in diesem Prozess wiederfinden. Die erweiterte Unterteilung der enaktiven Ebene nach Hartmann, Näf & Reichert kann dieses Problem lösen. Der Konstruktions- prozess findet auf der virtuell-enaktiven Ebene statt, indem die Schüler zumeist ausgehend von einer (mentalen) ikonischen Repräsentation auch im Nachhinein noch veränderbare virtuelle Objekte schaffen (siehe hierzu auch die Ausführungen zum „virtuellen Raum“ in Kapitel 3.3.2). Falls die Schüler die Beschaffenheit des zu entwickelnden Modells nicht oder kaum vorgegeben bekommen, setzt dies schon ein fortgeschrittenes Verständnis des Themas auch auf der symbolischen Darstellungsebene voraus. Andernfalls beschränkt sich die Tätigkeit weitestge- hend auf den Transfer einer ikonischen Darstellung durch eine virtuell-enaktive Handlung in eine andere ikonische Darstellung. Das 3D-Drucken selbst erzeugt daraus schließlich konkretes Material, an dem dann auch rein enaktiv gearbeitet werden kann. Auf diesen Prozess muss zwingend eine Phase der Reflexion folgen, damit die entstandene Anschauung mit der symbolischen Ebene vernetzt wird.

Hier sollte auch speziell auf die in den unterschiedlichen Kontexten verwendeten Begriffe eingegangen werden.

Der Entwicklungsprozess mit Hilfe der 3D-Druck-Technologie weist außerdem einige Parallelen zum Modellierungskreislauf nach Blum und Leiß (2005, S.19)

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3.1 Didaktische Prinzipien und lerntheoretische Konzepte 9

auf. Während das Modellieren eine Lösung für ein reales Problem durch das Bil- den eines mathematischen Modells sucht, ist das Ziel des 3D-Druck-Einsatzes im Mathematikunterricht die Bildung eines geeigneten realen physischen Modells zur Repräsentation eines mathematischen Inhalts. Gemeinsam haben beide Prozesse den Kreislaufcharakter, mit einer wiederkehrenden Reflexion bzw. Validierung und möglicherweise anschließender Modellverbesserung. Dies bewirkt den von Bruner geforderten häufigen Wechsel zwischen allen drei Darstellungsformen.

Damit zeigt sich, dass mit einer sinnvollen Einbindung der 3D-Druck-Technologie in den Unterricht vielfältige Darstellungsformen kennengelernt und der Transfer zwischen ihnen geübt werden kann.

3.1.2 „Three Worlds of Mathematics“ nach David Tall

Das in diesem Unterkapitel dargestellte Modell von David Tall beschreibt die Ent- wicklung mathematischen Denkens in Form von „Three Worlds of Mathematics“

aufbauend auf so genannten „set-befores“ und „met-befores“ (vgl. Tall, 2013, S.133).

„Set-befores“ sind angeborene mentale Strukturen, die von allen Menschen geteilt werden. Sie bilden sich in der frühen Kindheit mit der Entwicklung des Gehirns aus. Tall unterscheidet die „set-befores“ „recognition“, „repetition“ und „language“ (vgl. ebd. S.84).

Das Erkennen (recognition) von Mustern, Gemeinsamkeiten und Unterschieden ist eine evolutionäre Kombination aus den Interaktionswerkzeugen Sehen, Rie- chen, Fühlen, Schmecken, Hören, Muskelanspannung und Raumwahrnehmung, die dazu dient, die Welt zu verstehen. Die Wiederholung (repetition) einer Hand- lungsabfolge, bis diese automatisch ausgeführt werden kann, bildet die Basis für prozedurales Denken. Die Sprache (language) ist das einzige „set-before“, das die Menschen von anderen Lebewesen abhebt. Sie ermöglicht es, Eigenschaften, die wir wahrnehmen, zu benennen. Mathematische Ideen lassen sich mit Hilfe der Sprache kategorisieren und Konzepte lassen sich beschreiben. Die Sprache ist der wesentliche Faktor für die Entwicklung mathematischen Denkens und komplexen Denkens überhaupt (vgl. ebd. S.85f.).

„Met-befores“ sind mentale Strukturen, die sich als Ergebnis unserer individuellen Erlebnisse bilden. Sie beeinflussen wesentlich, wie neue Situationen interpretiert