Analysis II

Analysis II

Dr. Angela Ortega

8. April 2019

Inhaltsverzeichnis

1 Mehrdimensionale Konvergenz und Stetigkeit 3

1.1 Normen, Konvergenz von Folgen und Reihen . . . 3

1.2 Offene Mengen, abgeschlossen Mengen und Rand . . . 9

1.3 Konvergenz von Abbildungen . . . 11

1.4 Iteriere Grenzwerte und Vertauschung von Grenzwerten . . . 13

1.5 Stetige Abbildungen . . . 15

1.6 Stetige Funktionen auf kompakten Menge . . . 19

1.7 Zusammenhang und Gebiete . . . 20

2 Differentialrechnung in Rⁿ 22 2.1 Differenzierbarkeit und Ableitungen . . . 22

2.2 Partielle Ableitungen und die Jacobi-Matrix . . . 24

2.3 Rechenregeln f¨ur differenzierbare Funktionen . . . 28

2.3.1 I Linearit¨at der Ableitung . . . 28

2.4 Reellwertige Funktionen . . . 32

2.5 Satz von Taylor . . . 35

2.6 Lokale Extrema . . . 38

2.7 Der Umkehrsatz und Satz ¨uber implizite Funktionen . . . 41

2.8 Lokale Extrema unter Nebenbedingung . . . 44

3 Mehrdimensionale Integralrechnung 48 3.1 Riemann-Integral f¨ur Quader . . . 48

3.2 Das Riemann-Integral f¨ur Jordan-messbare Mengen . . . 51

3.3 Der Satz von Fubini . . . 53

Einleitung

Diese Vorlesung besch¨aftigt sich mit Differential- und Integralrechnung f¨ur mehrdi- mensionale Funktionen, das heißt Funktionen die Vektoren auf Vektoren abbilden,

f :Rⁿ→R^m beziehungsweise

f :XtoY,

wobeiX und Y endlichdimensionale Vektorr¨aume sind.

Obwohl der Fallf :R→R ein Spezialfall ist, handelt es sich hierbei in keinster- weise um eine Wiederholung von Analysis I. In dieser Vorlesung werden zum Beispiel die Verallgemeinerung von folgenden Konzepten behandelt:

1. Die Ableitung. F¨ur eine Funktion f :R→R ist diese wie folgt definiert als f⁰(x) = lim

h→0

f(x)−f(x+h)

h .

2. Der Hauptsatz f¨ur Differential- und Integralrechung. Laut diesem gilt f¨ur eine stetig differenzierbare Funktion f :R→R:

Z b a

f⁰(x)dx=f(b)−f(a).

3. Die Kettenregel:

(f ◦g)⁰(x) =f⁰(g(x))·g⁰(x).

Kapitel 1

Mehrdimensionale Konvergenz und Stetigkeit

1.1 Normen, Konvergenz von Folgen und Reihen

Um Konvergenz zu definieren, muss man zun¨achst eine Verallgemeinerung vom ,,Be- trag”finden. Hierf¨ur geben wir folgende Definition an.

Definition 1.1.1. Sei X ein endlichdimensionaler Vektorraum. Eine Abbildung || ·

||:X →[0;∞)heißt Norm in X falls f¨ur alle x, y ∈X und alle λ ∈R gilt 1. ||x||= 0 ⇒x= 0 (Definitheit),

2. ||λx||=|λ| ||x|| (Homogenit¨at),

3. ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| (Dreiecksungleichung).

F¨ur eine fixierte Norm sagen wir (X,|| · ||) ist ein normierter Vektorraum.

Bemerkung 1.1.2. Auf einem normierten Vektorraum (X,|| · ||) erf¨ullt die Norm folgende Eigenschaften f¨ur alle a, b, c, d∈X:

1. ||a|| − ||b|| ≤ ||a+b|| (Untere Dreiecksungleichung),

2. ||a−b|| − ||c−d|| ≤ ||a−c||+||b−d|| (Vierecksungleichung).

Beweis. 1. ||a||=||a+b−b|| ≤ ||a+b||+|| −b||=||a+b||+||b|| ⇒ ||a|| − ||b|| ≤

||a+b||.

2. ||a −b|| = ||a − b + c− c+ d − d|| ≤ ||a − c|| +|| − b + c− d + d|| ≤

||a−c||+|| −b+d||+||c−d|| ⇒ ||a−b|| − ||c−d|| ≤ ||a−c||+||b−d||

Beispiel 1.1.3. • Bespiele von Normen im Rⁿ sind 1. ||(x1, . . . , xn)||p :=

Pn

i=1|xi|^p1/p

, f¨ur p∈R, p≥1. || · ||2 heißt euklidi- sche Norm in Rⁿ.

2. ||(x₁, . . . , x_n)||∞= maxi∈{1≤i≤n}{|x_i|}

• F¨ur Matrizen M(m, n) = (

A =







a₁₁ . . . a_1n ... ... am1 . . . amn





|a_ij ∈ R )

defniert man die Frobenius Norm:

||







a₁₁ . . . a_1n ... ... a_m1 . . . a_mn





||:=

m

X

j=1 n

X

k=1

|a_jk|²

!1/2

Die Frobenius und euklidische Normen erf¨ullen die submultiplikativen Eigen- schaften:

1. ||Ax||₂ ≤ ||A|| · ||x||₂, ∀A∈M(m, n), ∀x∈Rⁿ. 2. ||AB|| ≤ ||A|| ||B||, ∀A∈M(l, m), B ∈M(m, n), Insbesondere gilt: ||A⁻¹|| ≥ _||A||¹ , ∀A∈M(m, n),det(A)6= 0.

Definition / Bemerkung 1.1.4. Zwei Normen || · ||¹ und || · ||² sind ¨aquivalent in X, falls es Konstanten c, d >0 gibt, sodass f¨ur jedes x∈X gilt

c||x||¹ ≤ ||x||² ≤d||x||¹.

In einem endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen ¨aquivalent.

Definition 1.1.5. Ein Skalarprodukt in X ist eine Abbildung <·,·>:X×X →R, sodass f¨ur alle x, y ∈X und alle λ, µ∈R gilt:

1. < x, x >≥0 und < x, x >= 0 ⇔x= 0 (Definitheit), 2. < x, y >=< y, x > (Symmetrie),

3. < λx+µy, z >=λ < x, z >+µ < y, z > (Bilinerait¨at).

Proposition 1.1.6. Sei < ·,· >: X ×X → R ein Skalarprodukt in X, dann ist

||x||:=√

< x, x > eine Norm.

Bemerkung 1.1.7. Der Beweis verwendet folgende zwei Eigenschaften, die es eben- falls zu beweisen gilt.

1. |< x, y > | ≤ ||x|| · ||y|| (Cauchy-Schwarz Ungleichung) 2. ||x+y||² =||x||²+||y||²+ 2< x, y > . (Binomische Formel) Beweis. Sei < ·,· > Skalarprodukt, ||x|| := √

< x, x > muss Definitheit, Homoge- nit¨at und Dreiecksungleichung erf¨ullen.

1. ||x||= 0 ⇒(< x, x >)^1/2 = 0 ⇒< x, x >= 0⇒x= 0.

2. ||λx||= (< λx, λx >)^1/2 = (λ² < x, x >)^1/2 =|λ| ||x||.

3. ||x+y||² =||x||²+||y||²+2< x, y >≤ ||x||²+||y||²+2||x||||y||= (||x||²+||y||)².

Beispiele 1.1.8. • Sei X = P2(R) = {p(x) = a0 +a1x +a2x²|ai ∈ R} der R-Vektorraum aller quadratischen Polynome. Dann ist

< P, Q >=

Z 1

−1

P ·Qdx ein Skalarprodukt auf X.

• Die euklidische Norm ||(x₁, . . . , x_n)||₂ = Pn

i=1|x_i|²1/2

ist induziert vom eu- klidischen Skalarprodukt

<(x₁, . . . , x_n),(y₁, . . . , y_n)>:=

n

X

i=1

x_iy_i.

Bemerkung 1.1.9.Da alle Normen in endlichdimensionalen Vektorr¨aumen ¨aquivalent sind, bezeichnen wir fortan mit || · || eine beliebige Norm in X.

Definition 1.1.10. Sei (X,|| · ||) ein normierter Vektorraum.

• Eine Folge (xj)j∈N ⊂X heißt konvergent falls ein x∈X existiert, sodass

∀ >0 ∃j₀ ∈N ∀j ≥j₀ : ||x_j −x_j0||< .

Der Vektor x heißt Grenzwert der Folge. Man sagt die Folge konvergiert gegen x und man schreibt

x= lim

j→∞x_j oder x_j →x f¨ur j → ∞.

• Eine Reihe P∞

j=1x_j heißt konvergent gegen x falls die Folge ihrer Partialsum- men

s₁ =x₁ s₂ =x₁+x₂

... s_n=

n

X

j=1

s_j

konvergent gegen x ist. Man schreibt x=

∞

X

j=1

x_j = lim

n→∞

n

X

j=1

x_j = lim

n→∞s_n.

Definition 1.1.11. Sei {b₁, . . . , b_n} eine Basis von X (X sei n-dimensionaler R- Vektorraum). Wir setzen

x_j =

n

X

k=1

x_jkb_k, x_j ∈N, x_jk ∈R, y =

n

X

k=1

y_kb_k y_k ∈R.

(i) Die Folge (x_j)j∈N konvergiert gegen y genau dann wenn f¨ur jedes k ∈ N die Folge(x_jk)j∈N gegen y_k konvergiert. Es gilt

j→∞lim

n

X

k=1

x_jkb_k =

n

X

k=1

j→∞lim x_jkb_k=y.

Die Konvergenz der Vektoren ist somit die koordinatenweise Konvergenz.

(ii) Die Vektorreihe P∞

j=1x_j konvergiert gegen y =









 y₁ y₂ ... y_n











, falls f¨ur jedes k ∈ N die Reihe P∞

j=1x_jk gegen y_k konvergiert. Es gilt

∞

X

j=1

Xⁿ

k=1

x_jk b_k=

n

X

k=1

X^∞

j=1

x_jk b_k.

Beispiele 1.1.12.

1. lim_j→∞





√j

j 3

1 j



=





limj→∞ ^j

√j limj→∞3 limj→∞ 1 j



=



 1 3 0



.

2. P∞ j=0

1 j!

1 j²

= e⁻¹

π² 6

.

3. P∞ j=0

₁

2^j 1 j

divergiert, das heißt konvergiert nicht, da P∞ j=1

1

j nicht konver- giert.

Eigenschaften 1.1.13.

• (Linearit¨at des Limes). Seien (x_j)_j∈N und (y_j)_j∈N konvergente Vektorfolgen in X und (λ_j)j∈N und (µ_j)j∈N konvergente Zahlenfolgen in R, dann konvergiert die Folge (λ_jx_j+µ_jy_j)j∈N ebenfalls und es gilt

j→∞lim λ_jx_j +µ_jy_j = lim

j→∞λ_j lim

j→∞x_j+ lim

j→∞µ_j lim

j→∞y_j.

• Seien außerdem (A_j)j∈Nund (B_j)j∈N konvergente Matrizen folgen inM(m, n), dann gilt:

(i) limj→∞A_jx_j = limj→∞A_jlimj→∞x_j, (ii) limj→∞(AjBj) = limj→∞Ajlimj → ∞Bj, (iii) limj→∞ < x_j, y_j >=<limj→∞x_j,limj→∞y_j > .

Beweis. Es gelte A_j →A, x_j →x, es gilt zu zeigen, dass A_jx_j →Ax∈Rⁿ. Sei >0, dann existieren j₁, j₂ ∈N mit

||A_j−A|| ≤

2||x||, ∀j ≥j₁,

||x_j−x|| ≤

2M, ∀j ≥j₂.

Laut nachfolgender Bemerkung ∃M > 0, sodass ||Aj|| ≤ M ∀j. Dann folgt

∀j ≥j₀ := max{j₁, j₂}

||Ax_j −Ax||=||A_jx_j −A_jx+A_jx−Ax||

≤ ||Aj(x−xj)||+||Aj −A||||x||

≤ ||A_j||||x−x_j||+||A_j −A||||x||

≤M

2M +

2||x||||x||=, falls||x|| 6= 0, das heißt falls x6= 0.

Bemerkung 1.1.14. Jede konvergent Folge (x_j) aus X ist beschr¨ankt, das heißt

∃M >0 so dass ||x_j|| ≤M∀j ∈N. Satz 1.1.15. Cauchy Kriterium

1. Eine Vektorfolge (xj) aus X konvergiert genau dann wenn ∀ >0 ∃j0 ∈N so dass ∀k, j ≥j₀ :||x_j−x_k|| ≤.

2. Eine Vektorreihe konvergiert genau dann wenn ∀ > 0∃j₀ ∈ N so dass∀k, j ≥ j₀ :||Pk

l=jx_l|| ≤. Insbesondere gilt

∞

X

j=1

x_j konvergiert⇒ ∀j ≥j₀ :||x_j|| ≤⇔ ||x_j|| →0.

Mit dem Cauchy Kriterium kann man ¨uberpr¨ufen, ob eine Folge oder Reihe konvergent ist, ohne den Grenzwert zu kennen.

Beispiel 1.1.16 (Die Neumann Reihe). Sei A ∈ M(m, m) mit ||A|| < 1 (z.B.

mit der Frobenius Norm), dann ist I −A invertierbar (wobei mit I die m × m Identit¨atsmatrix gemeint ist) und es gilt

(I−A)⁻¹

∞

X

j=0

A^j.

Dies ist eine Verallgemeinerung der geometrischen Reihe f¨ur n = 1. Falls |x| < 1 gilt

1 1−x =

∞

X

j=0

x^j.

Beweis.

Setzen s_n =

n

X

j=0

A^j ∈M(n, n)

⇒s_n−As_n =

n

X

j=0

A^j −

n+1

X

j=1

A^j =I−Aⁿ⁺¹

⇒(I−A)s_n =I−Aⁿ⁺¹

⇒(I−A) lim

n→∞s_n lim

n→∞(I−Aⁿ⁺¹) =I− lim

n→∞Aⁿ⁺¹.

Nun gilt es zu zeigen, dass limn→∞Aⁿ⁺¹ = 0 f¨urA∈M(m, m) mit||A||<1 gilt.

Sei >0. Da||A||ⁿ→0 f¨urn → ∞,∃n₀ ∈N, so dass∀n ≥n₀ :||A||ⁿ ≤. Dann folgt mit den submultipikativen Eigenschaften der Matrixnorm: ∀n≥n₀ gilt

||Aⁿ−0||=||Aⁿ|| ≤ ||A||ⁿ ≤. Und somit folgtAⁿ→0 f¨urn → ∞.

Exponentialfunktion f¨ ur Matrizen

Definition 1.1.17. Sei A∈M(n, n). Dann konvergiert die Reihe exp(A) :=

∞

X

j=0

A^j j!

und die Abbildung A7→exp(A) wird Exponentialfunktion f¨ur Matrizen genannt.

Zur Konvergenz. Sei >0, dann gilt nach dem Cauchy-Kriterium :

∃j₀ ∈N,∀k, j ≥j0 :||

k

X

l=j

||A||^l l! ≤, da exp(||A||

|{z}

∈R

) =P∞ l=0

||A||^l

l! konvergiert.

Eigenschaften 1.1.18. ∀A, B ∈M(n, n) gilt:

1. exp(A+B) = expAexpB, falls AB=BA 2. exp(BAB⁻¹) =BexpAB⁻¹, falls det(B)6= 0, 3. expA= limj→∞(I+ ^A_j)^j,

4. dete^A=6= 0 und (e^A)⁻¹ =e^−A. Beispiele 1.1.19.

1. exp a 0

0 b

= 1 0

0 1

=

a 0 0 b

+ _2!¹

a² 0 0 b²

+· · ·=

e^a 0 0 e^b

,

2. exp 0 a

0 0

= 1 0

0 1

+ 0 a

0 0

+ a 0

0 b 2

| {z }

=0

+0 =

1 a 0 1

,

3. exp

0 −ϕ

ϕ 0

=

P∞

j=0(−1)^{j ϕ}_(2j)!^2j −P∞

j=0(−1)^{j ϕ}_(2j+1)!^2j+1 P∞

j=0(−1)^{j ϕ}_(2j+1)!^2j+1 P∞

j=0(−1)^{j ϕ}_(2j)!^2j

!

=

cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ

.

1.2 Offene Mengen, abgeschlossen Mengen und Rand

Sei (X,|| · ||) ein normierter Vektorraum und M ⊆X eine Teilmenge von X.

Definition 1.2.1. Seien x∈X, r >0, r ∈R.

• Die Mengen

K_r(x) := {y∈X| ||x−y||< r}

bzw.

Kr(x) := {y∈X| ||x−y|| ≤r}

heißen offene bzw. abgeschlossene Kugel um x mit Radius r.

• Ein Punkt x∈M heißt innerer Punkt von M wenn ∃r >0 mit K_r(x)⊆M.

• Die Menge aller inneren Punkte von M heißt innerer Kern von M und wird mit intM oder M˚ bezeichnet. Es gilt M˚ ⊆M.

• M ist offen, wenn M = ˚M.

• x∈X heißt Randpunkt von M, wenn∀r >0 giltK_r(x)∩M 6=∅ und K_r(x)∩ (X\M)6=∅, wobei X\M :={x ∈X| x /∈ M}(=M^c) das Komplement von M in X bezeichnet.

• Die Menge aller Randpunkte von M heißt Rand von M und wird mit ∂M bezeichnet. z.B: ∂K_r(x) = {y∈X| ||x−y||=r}.

• Die Menge M ∪∂M =:M heißt abgeschlossene H¨ulle von M oder Abschluss von M. Allgemein gilt M ⊆M.

• M ist abgeschlossen, wenn M =M. Beispiele 1.2.2.

1. Endliche Mengen M = {x₁, . . . , x_n} sind abgeschlossen, da ∂M = M, weil

∃r >0 mit K_r(x_i)∩(X∩M)6=∅∀i= 1, . . . , n.

2. X und die leere Menge ∅ sind die einzigen Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind.

3. X = R, ∀a < b gilt: (a, b) ist offen, [a, b] ist abgeschlossen [a, b) ist weder abgeschlossen noch offen. ∂(a, b) = ∂[a, b) = ∂[a, b]) = {a, b} und int[a, b] = (a, b).

4. X =R². Sei M die x-Achse, dann ist M abgeschlossen mit der leeren Menge als innerer Kern. Das gleiche gilt falls M = [a, b]⊂R².

5. Betrachten Q⊂R, dann gilt ˚Q=∅ und ∂Q=Q=R. Lemma 1.2.3 (Dualit¨at von Offenheit und Abgeschlossenheit).

1. Eine Menge M ⊂X ist offen genau dann, wenn X\M abgeschlossen ist.

2. Der Durchschnitt beliebig vieler und die Vereinigung endlich vieler abgeschlos- sener Mengen ist wieder abgeschlossen.

3. Die Vereinigung beliebig vieler und der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder offen.

4. Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn sie all ihre Randpunkte enth¨alt.

5. Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie keinen ihrer Randpunkte enth¨alt.

6. Die Morganschen Regeln : Seien M_i ⊂X, i∈I ⊂N, dann

• X\ ∪i∈IMi

=∩i∈I X\Mi

,

• X\ ∩i∈IMi

=∪i∈I X\Mi),

• X\X =∅.

Gegenbeispiele 1.2.4.

• F¨ur jedesj ∈N^∗ ist −¹_j,¹_j

⊂R eine offene Menge, aber ∩^∞_j=1 −¹_j,¹_j

={0}

ist nicht offen.

• F¨ur jedes j ∈ N^∗ ist

−1 + ¹_j,1− ¹_j

⊂ R eine abgeschlossene Menge, aber

∪^∞_j=1

1− ¹_j,1 + ¹_j

= (−1,1) ist nicht abgeschlossen (sogar offen).

Beweis. Wir beweisen nur den dritten Punkt von 1.2.3. Zu zeigen: Die Vereinigung

∪i∈IM_i beliebig vieler offener Mengen M_i, i∈I ist offen.

Sei x ∈ ∪_i∈IMi, dann ∃i₀, so dass x ∈ Mi0. Da Mi0 offen ist ∃r > 0, so dass K_r(x)⊆M_i0 ⊆ ∪i∈IM_i, alsoK_r(x)⊆ ∪i∈IM_i undx∈int ∪i∈IM_i

. Also ist∪i∈IM_i offen.

Zu zeigen: Der Durchschnitt ∩ⁿ_j=1Mi endlich vieler offener Mengen Mi, i = 1, . . . , n ist offen.

Sei x ∈ ∩ⁿ_j=1M_i, dann ist x ∈ M_i, ∀i = 1,2, . . . , n und ∃r_i > 0 mit K_ri(x) ⊆ M_i,

∀i = 1,2, . . . , n, da die Mi’s offen sind. Man setzt r = min1≤i≤n{ri} somit ist K_r(x) ⊂ M_i, ∀i = 1, . . . , n. Es folgt K_r(x) ⊆ ∩ⁿ_j=1M_i und x ∈ int(∩ⁿ_j=1M_i), so- mit ist∩ⁿ_j=1M_i offen.

Satz 1.2.5.

1. Die Menge M˚ ist die gr¨oßte offene Teilmenge von M, d.h. f¨ur jede offene Teilmenge A⊆M gilt A⊆M.˚

2. Die Menge M ist die kleinste abgeschlossene Menge die M enth¨alt, d.h. f¨ur jede abgeschlossene Teilmenge A⊆X mit M ⊂A gilt M ⊆A.

3. Ein Element x ist im Rand von M, ∂M genau dann, wenn Folgen (yj) ⊂M und (z_j)⊂X\M exisitieren, sodass y_j →x und z_j →x f¨ur j → ∞.

4. M ist genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwerter jeder konvergenten Folge in M ebenfalls in M liegt, das heißt f¨ur (xn) ⊆ M konvergent gilt limn→∞x_n∈M.

1.3 Konvergenz von Abbildungen

Abbildungen in mehrdimensionalen Vektorr¨aumen haben verschieden Bezeichnun- gen, zum Beispiel:

• Skalare Felder sind Abbildungen Rⁿ→R, z.B.T :R⁴ →R,T(x₁, x₂, x₃, t) ist die Temperatur am Ort (x1, x2, x3) am Zeitpinktt.

• Vektorfelder sind Abbildungen Rⁿ → Rⁿ, z.B. v : R³ → R³, v(x₁, x₂, x₃) ist die Geschwindigkeit einer Fl¨ussigkeit am Ort (x₁, x₂, x₃).

• Tensorfelder sind Abbildungen Rⁿ → M(k, l), z.B. die Spannungen in einem elastischen K¨orper M ⊆ R³ kann man durch eine Abbildung M → M(3,3) beschreiben.

• Der zeitliche Ablauf eines Teilchens wird durch eine Abbildung x : R → R³ beschrieben.

Im Folgenden seien X, Y normierte Vektorr¨aume, M ⊆X und f : X → Y eine Abbildung.

Definition 1.3.1.

1. Ein Element x0 ∈X heißt H¨aufungspunkt von M, wenn

∀δ >0∃x∈X : 0<||x−x₀||< δ, das heißt es gibt eine Folge (x_j)⊂M \ {x₀} mit x_j →x.

2. Sei x₀ ein H¨aufungspunkt von M, y₀ ∈Y und es gelte

∀ >0∃δ >0 :∀x∈M,0<||x−x₀|| ≤δ⇒ ||f(x₀)−y₀|| ≤. (1.1) Dann nennt man f konvergent f¨ur x gegen x0, y0 heißt Grenzwert von f f¨ur x gegen x₀ und man schreibt limx→x₀f(x) =y₀ oder f(x)→y₀ f¨ur x→x₀. Bemerkungen 1.3.2.

a 1.1 h¨angt nicht davon ab, ob f in x₀ definiert ist oder nicht.

b Weil x₀ H¨aufungspunkt vonM ist, ist y₀ durch 1.1 eindeutig bestimmt.

c Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent:

(a) limx→x0f(x) =y₀.

(b) F¨ur jede Folge x₁, x₂,· · · ⊂M \ {x₀} mit x_n→x₀ gilt f(x_n)→y₀. Beispiele 1.3.3.

1. Sei A(M) die Menge aller H¨aufungspunkte von M ⊆R, dann ist A(N) = ∅, A(Q) = R, A({1 + 1

n|nN) = {1}

2. Der Limes lim(x,y)→(0,0) x−y

x²+y² existiert nicht f :R² → R, (x, y)7→ _x^x−y2+y². Man betrachte hierf¨ur den Weg entlang der y-Achse: (xn,0)→ (0,0) mit xn → ∞ f¨ur n→ ∞. Es muss gelten :

n→∞lim f(x_n,0) = lim

(x,y)→(0,0)f(x, y), aber

n→∞lim f(xn,0) = lim

n→∞

x_n

x²_n+ 0 = lim

n→∞

1 x_n =∞ existiert nicht.

3. f :R² →R, f(x, y) = _x^x2²+y^y22. F¨ur (x, y)6= (0,0) gilt 0≤ x²y²

x²+y² =x² y² x²+y²

≤x²

⇒0≤ lim

(x,y)→(0,0)f(x, y)≤ lim

(x,y)→(0,0)x² = 0

⇒ lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0.

In ”δ-Sprache”: Sei >0, es gilt

| x²y²

x²+y² −0|=|x²|| y²

x² +y²| ≤ |x²| ≤, falls

|x| ≤ ||(x, y)−(0,0)||=p

x²+y² ≤δ und wir δ=√

setzen.

4. fR² → R, f(x, y) = _x−1^y . lim(x,y)→(1,0)f(x, y) existiert nicht. Sei (x_n,0) → (1,0) mit xn→1 eine Folge in R². Dann ist

(x,y)→(1,0)lim = lim

n→∞f(x_n,0) = lim

n→∞0 = 0, aber f¨ur (xn, xn−1)→(1,0) mit xn→1 gilt

(x,y)→(1,0)lim = lim

n→∞f(x_n, x_n−1) = lim

n→∞

x_n−1 x_n−1 = 1.

”Konvergenz ist koordinatenweise Konvergenz”

Sei b₁, . . . , b_n eine Basis inX und f(x) = Pn

k=1f_k(x)b_k, ∀x∈M ⊂R. Dann heißen die f_k : M → R die Koordinatenfunktionen zu f bez¨uglich der Basis {b₁, . . . , b_n}.

Wennx0 H¨aufungspunkt von M ist, so gilt:

x→xlim0

f(x) = lim

x→x0

n

X

k=1

f_k(x)b_k

=

n

X

k=1 x→xlim0

f_k(x) b_k,

wobei der Grenzwert von f auf der linken Seite existiert genau dann, wenn der Grenzwert allerf_k auf der rechten Seite existiert.

Beispiele 1.3.4. Sei X =Rⁿ mit der kanonischen Basis in Rⁿ. f :Rⁿ→R^m, x= (x₁, . . . , x_n)→(f₁(x), . . . , f_m(x))

x→xlim0

(f₁(x), . . . , f_m)(x) = ( lim

x→x0

f₁(x), lim

x→x0

. . . , f_m).

1. f :R² →R³,(x, y)7→(sin(x),cos(y),exp(x+y), dann istlim(x,y)→(0,0)f(x, y) = (0,1,1).

2. f :R² →R², (x, y)7→(_y2^x−1³ ,_x−1^y ). lim(x,y)→(1,0)f(x, y) existiert nicht.

3. f :R² →R³,(x, y)7→(x²y³+2,sin(xy),_x^x2²+y^y22), dann istlim(x,y)→(0,0)f(x, y) = (2,0,0).

Eigenschaften 1.3.5. Seien M ⊂ X, λ, µ : M → R, f, g : MRⁿ, A : X → M(m, n), B : X → M(n, l) Abbildungen und x₀ ∈ X ein H¨aufungspunkt von M, dann gilt:

1. limx→x₀(λ(x)f(x)+µ(x)g(x) = limx→x₀λ(x)

limx→x₀f(x)

+ limx→x₀µ(x)

limx→x₀g(x) . 2. limx→x0(A(x)f(x)) = (limx→x0A(x))(limx→x0f(x)).

3. limx→x₀(A(x)B(x)) = (limx→x₀A(x))(limx→x₀B(x)).

4. limx→x0 < f(x), g(x)>=<limx→x0f(x),limx→x0g(x)>.

Hierbei existieren die Grenzwerte auf der linken Seite genau dann, wenn die Grenz- werte auf der jeweiligen rechten Seite existieren.

Beweis. Der Beweis benutzt die Eigenschaften 1.1.13.

1.4 Iteriere Grenzwerte und Vertauschung von Grenz- werten

Sei f : R² ⊃ M → R eine Abbildung und (x₀, y₀) ∈ R². Wir betrachten den allgemeinen Grenzwert

(x,y)→(xlim₀,y0)f(x, y) (1.2)

und die iterierten Grenzwerte

y→ylim0

x→xlim0

f(x, y)

, (1.3)

x→xlim₀

y→ylim₀f(x, y)

. (1.4)

Nun k¨onnen wir uns zwei Fragen stellen. Folgt aus der Existenz von 1.3 und 1.4 die Existenz von 1.4 ? Falls 1.3 und 1.4 existieren, sind die Grenzwerte dann gleich

? Es stellt sich heraus, dass beide Fragen eine negative Antwort haben.

Gegenbeispiele 1.4.1.

1. Sei M = [0,∞)×[0,∞)

\ {(0,0)} ⊆R² und f(x, y) = _x2^x+y^{2 2}, dann

y→0lim lim

x→0f(x, y)

= lim

y→00 = 0 und

x→0lim lim

y→0f(x, y)

= lim

y→01 = 1.

lim(x,y)→(0,0)f(x, y) existiert nicht, weil entlang des Weges y= 0 gilt

(x,y)→(0,0),y=0lim = lim

x→0

x²

x²+ 0 = lim

x→01 = 1 , aber entlang des Weges y=x gilt

(x,y)→(0,0),y=xlim = lim

x→0

x² x² = ₂. Also existiert lim(x,y)→(0,0)f(x, y) nicht.

2. Sei f(x, y) = _x2^xy+y², dann

y→0lim lim

x→0f(x, y)

= lim

x→0 lim

y→0f(x, y)

= 0, aber lim(x,y)→(0,0)f(x, y) existiert nicht, da

lim

(x,y)→(0,0),y=0f(x, y) = lim

x→00 = 0, lim

(x,y)→(0,0),y=xf(x, y) = lim

x→0

x² 2x² = 1

2.

Lemma 1.4.2. Hinreichende Bedingung daf¨ur, dass 1.2 nicht existiert sind:

1. Die Limes 1.3 und 1.4 existieren, aber sind ungleich.

2. Es existieren Folgen, x_j → x₀, y_j → y₀, so dass die Folge f(x_j, y_j) nicht konvergiert.

3. Es existieren Folgen x_j →x₀, x˜_j →x˜₀ , y_j →y₀ und y˜_j →y˜₀ sodass f(x_j, y_j) und f(˜x_j,y˜_j) konvergieren, aber verschieden Grenzwerte haben.

Bemerkung 1.4.3. Der Limes 1.3 existiert und ist gleichz₀ genau dann, wenn ein r >0und eine Abbildungg : (y₀−r, y₀+r)→Rexistieren, so dass∀y∈(y₀−r, y₀+r) f(x, y)→g(y) f¨ur x→x₀ und g(y)→z₀ f¨ur y→y₀ gilt.

Definition 1.4.4. F¨urx→x₀ konvergiert die Funktionf(x,·)gleichm¨aßig gegeng auf (y₀−r, y₀+r), wenn

∃ >0 :∀y∈(y₀−r, y₀+r)∃δ >0,∀x∈K_δ(x₀) :|f(x, y)−g(y)| ≤.

Satz 1.4.5 (Hinreichende Bedigung f¨ur die Existenz von 1.2). Wenn f(x,·) f¨ur x → x0 gleichm¨aßig gegen g auf (y0 −r, y0 +r) konvergiert und g(y) → z0 f¨ur y→y₀, dann existiert der Limes 1.2 und

(x,y)→(xlim₀,y0)f(x, y) =z₀. Beispiel 1.4.6. Sei f(x, y) = _x¹sin ^x_y sin(y)

und (x₀, y₀) = (0,0). Nach der Regel von l’Hospital gilt

x→0lim 1 xsin x

y sin(y)

= lim

x→0

cos(^x_y sin(y))^sin(y)_y

1 = sin(y)

y .

Also konvergiert f(x,·) punktweise gegen ^sin(y)_y f¨ur x→0. Die Konvergenz ist auch gleichm¨aßig. Wir betrachten hierf¨ur die Taylor-Entwicklung von sin(u) um 0:

sinu=u− u³ 3! + u⁵

5! +· · · F¨ur u= ^x_ysiny gilt

sin(x

y sin(y))≈ x

ysin(y)−1 6(x

ysin(y))³+· · · Also folgt mit >0

|1 xsin(x

ysin(y))− 1

ysin(y)|=|sin(y)

y − 1

6x(x

ysiny)³− 1 ysiny|

=|x²

6 (sin(y) y )³|

≤ |x²

6| sin(y)≈y f¨ur kleine y

≤ falls x∈(−√ 6,√

6) Und aus limy→0 sin(y)

y = 1 folgt lim(x,y)→(0,0) 1

xsin ^x_ysin(y)

= 1.

1.5 Stetige Abbildungen

SeienX, Y normierte Vektorr¨aume, M ⊆X und f :M →Y eine Abbildung.

Definition 1.5.1. Die Abbildung f heißt stetig in x₀ ∈M, wenn folgendes gilt:

∀ >0∃δ >0 :∀x∈M,||x−x₀|| ⇒ ||f(x)−f(x₀)|| ≤. Die Abbildung heißt stetig, falls sie in jedem Punkt x0 ∈M stetig ist.

Bemerkung 1.5.2.

• Wenn x₀ ∈M kein H¨aufungspunkt von M ist (d.h. x ist ein isolierter Punkt), dann ist jede Abbildung f :M →y stetig in x₀.

• Wenn x₀ H¨aufungspunkt von M ist , dann ist f :M → Y stetig in x₀ genau dann, wenn limx→x₀f(x) = f(x₀)

• Wenn x₀ H¨aufungspunkt von M ist , dann ist f :M → Y stetig in x₀ genau dann, wenn f¨ur jede Folge (x)_n∈N ⊂ M aus lim_j→∞x_j lim_j→∞f(x_j) = f(x₀) folgt.

Beispiele 1.5.3.

1. Jede konstante Funktion f :X →Y ist stetig.

2. id : X →X, x7→x ist stetig.

3. Jede lineare Abbildung A : Rⁿ → R^m, x 7→ Ax, A = (a_ik) ∈ M(m, n), ist stetig. Wir haben ||Ax||² ≤ ||A||²||x||². Sei >0 und

||Ax−Ay||=||A(x−y)|| ≤ ||A||||x−y||, dann setzen wir δ:= _||A|| ≥ ||x−y||.

4. Eine Abbildung f : Rⁿ → R^m heißt Vektorpolynom (oder einfach Polynom), mit n Variablen, wenn f von folgender Form ist

f = (f₁, . . . , f_m), f_i :Rⁿ→R, f_i(x) =

si

X

j1,...,jn

cⁱ_j1,...,jnx^j₁¹. . . x^j_nⁿ, cⁱ_j1,...,jn ∈R, ∀x= (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ. Polynome sind stetig.

Zum Beispiel ist die Determinantenabbildung det :M(n, n)→R, A= (a_ij)7→

detAein Polynom inn² Variablen. In der Tat ist diese mit der Leibniz-Formel:

det((a_ij)) =

n

X

j1,...,jn

_j1,...,jn

| {z }

∈{1,−1,0}

a_1j1. . . a_njn.

5. Die Exponentialfunktion M(n, n)→M(n, n), A7→e^A ist stetig.

Satz 1.5.4. Seien X, Y, Z normierte Vektorr¨aume M ⊆ X, N ⊆ Y, f : M → Y, g : N → Z mit f(M) ⊆ N. Wenn f in x₀ ∈ M und g in y₀ = f(x₀) stetig sind, dann ist

g◦f :M →Z stetiginx₀.

Beweis. Sei >0. Da g stetig iny₀ =f(x₀) ist, ∃δ₁ >0, so dass ,

||g(f(x))−g(y₀)|| ≤

∀f(x)∈M :||f(x)−y₀|| ≤δ

Da f stetig in x0 ist ∃δ > 0, sodass 1.5 gilt, ∀x ∈ M mit ||x−x0|| ≤ δ. Es folgt, dass g◦f stetig in x₀ ist.

Beispiele 1.5.5.

1. f(x, y) = (_y2

x, x6= 0

0, x= 0 ist nicht stetig in x₀, da die Folge (¹_n,^√1_n → 0, f¨ur n → ∞, aber f(_n¹,^√1_n = 1, ∀n. Somit gilt

n→∞lim f(1 n, 1

√n = 1 6=f(0,0) = 0.

2. f(x, y) =

(_sin(xy)

xy , (x, y)∈R\ {0} ×R\ {0}

1 sonst . Wir setzen u=xy, h:R

mathbbR,

(u7→ ^sin(u)_u , u6= 0

07→1 . Man bemerkt limu→0sin(u)

u = 1. Das heißt h ist stetig in u= 0 und somit in ganzR. Sei g :R² →R, (x, y) 7→xy, dann ist g stetig ∀(x, y)∈ R², da g ein Polynom ist. Und somit ist f =h◦g stetig auf R².

Satz 1.5.6. Aus der Stetigkeit der Funktionen f, g : M → Y, M ⊆ X folgt die Stetigkeit von

af+bg:M →Y ∀a, b∈R.

Beweis. Sei > 0 und angenommen a, b 6= 0. Da f und g stetig sind ∀x₀ ∈ M.

∃δ₁ >0, δ₂ >0, sodass

||f(x)−f(x₀)|| ≤

2|a| ∀xmit||x−x₀|| ≤δ₁,

||f(x)−f(x₀)|| ≤

2|b| ∀xmit||x−x₀|| ≤δ₂. Sei δ= min{δ₁, δ₂}. Dann gilt∀x∈M mit ||x−x₀|| ≤δ

||(af −bg)(x)−(af +bg)(x0)||=||a(f(x)−f(x0))−b(g(x)−g(x0))||

≤ |a|||f(x)−f(x₀)||+|b|||g(x)−g(x₀)

≤ 2 +

2 =.

Satz 1.5.7. Sind f, g :M →R stetige Funktionen, so ist das Produkt f g:M →R ebenfalls stetig auf M.

Beweis. Dies folgt aus 1.3.5, ∀x₀ ∈M gilt

x→xlim0

f(x)g(x) = lim

x→x0

f(x) lim

x→x0

g(x) =f(x0)g(x0) = (f g)(x0).

Wir erinnern an die Definition des Urbilds einer Abbildung. Seien f : M →Y, M subsetX, B ⊆Y, dann ist das Urbild von B

f⁻¹(B) = {x∈M|f(x)∈B}.

Satz 1.5.8. F¨ur eine stetige Funktion f :M →Y gilt

1. Ist M offen, so ist f⁻¹(B) offen f¨ur jede offene Menge B ⊆Y.

2. Ist M abgeschlossen, so istf⁻¹(B)abgeschlossen f¨ur jede abgeschlossene Men- gen B ⊆Y.

Beweis.

1. Sei B ⊂ Y offen, dann gilt y₀ = f(x₀) ∈ B,∀x₀inf⁻¹(B) und ∃ > 0, sodass K(y₀)⊂B.f ist stetig, also,∃δ >0 mit

f(M ∩Kδ(x0)⊂K(y0).

Da M offen ist, kann δ > 0 so klein gew¨ahlt werden, dass K_δ(x₀) ⊂ M und f(K_δ(x₀))⊂K_epsilon(y₀)⊂B. Damit folgt

K_δ(x₀)⊂f⁻¹(B).

2. Sei B abgeschlossen und (x_n) Folge in f⁻¹(B) mit x_n →x f¨ur n → ∞, dann ist x ∈ M, da M abgeschlossen ist. Wir wollen nun zeigen, dass x∈ f⁻¹(B).

Aus der Stetigkeit von f folgt limn→∞f(x_n) = f(x). Da f(x_n) ∈ B∀n, folgt aus der Abgeschlossenheit f(x)∈B und somit x∈f⁻¹(B).

Beispiele 1.5.9. Seien f, g :M →R, M ⊆X stetige Funktionen.

• {x∈M|f(x)≥0}=f⁻¹([0,∞)) ist abgeschlossen, falls M abgeschlossen ist.

• {x∈M|f(x)< g(x)}= (g−f)⁻¹((0,∞)) ist offen, falls M offen ist.

• {x ∈ M|f(x)g(x) = c} = (f g)⁻¹(c) ist abgeschlossen, falls M abgeschlossen ist.

Bemerkung 1.5.10. Aus 1.5.6 und 1.5.7 folgt die Stetigkeit von Polynomen.

1.6 Stetige Funktionen auf kompakten Menge

Definition 1.6.1. Eine Teilmenge M ⊆ X heißt kompakt, wenn jede Folge aus M eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M enth¨alt.

Satz 1.6.2. In einem endlichdimensionalen VektorraumX ist eine Teilmenge M ⊆ X kompakt genau dann, wenn M beschr¨ankt und abgeschlossen ist.

Beweis. (⇒): Zur Abgeschlossenheit. Sei (x_n)⊂M eine konvergente Folge mitx_n→ x. Nach 1.6.1 besitzt (x_n) eine konvergente Teilfolge (x_nk) mit Grenzwert y ∈ M.

Es folgt (siehe ¨Ubungsblatt 3), dassy=x∈M und somit istM abgeschlossen.

Zur Beschr¨ankheit. Angenommen M sei nicht beschr¨ankt, dann existiert zu je- dem n ∈ N ein Folgenglied x_n mit ||x_n|| > n. Dann ist jede Teilfolge von (x_n) unbeschr¨ankt und somit (siehe ¨Ubungsblatt 1) auch nicht konvergent, was ein Wie- derspruch zur Kompaktheit vonM ist.

(⇐): IstM beschr¨ankt so besitzt jede Folge ausM nach dem Satz von Bolzano- Weierstrass eine konvergente Teilfolge. IstM dazu auch abgeschlossen, so geh¨ort der Grenzwert zuM.

Bemerkung 1.6.3.

• Der Satz von Bolzano-Weierstrass in Rⁿ: Jede beschr¨ankte Folge in Rⁿ (mit unendlich vielen Gliedern) enth¨alt (mindestens) eine konvergente Teilfolge.

• (⇒) gilt auch in nicht endlichdimensionalen Vektorr¨aumen.

Beispiele 1.6.4.

1. [a, b]⊂R ist kompakt ∀a, b∈R, a≤b.

2. K_r(x)⊂X ist kompakt.

3. [a₁, b₁]×[a₂, b−2]⊆R² ist kompakt.

Satz 1.6.5. Istf :M →X, M ⊆X und K ⊂M kompakt, dann ist f(K) ebenfalls kompakt.

Beweis. Sei (y_n) eine Folge in f(K), d.h. y_n = f(x_n) mit x_n ∈ K, ∀n ∈ N. Da K kompakt ist existiert eine konvergente Teilfolge x_nk mit x_nk → x ∈ K. Da f stetig ist, folgty_nk =f(x_nk)→f(x)∈f(K).

Satz 1.6.6. Sei f : KR eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge K 6= ∅.

Dann besitzt f ein Maximum und ein Minimum.

Beweis. Sei f :K →R stetig, M kompakt. Nach 1.6.5 ist f(K)⊆R kompakt und somit beschr¨ankt und abgeschlossen. Setzen

s= supf(K)∈R.

Dann existiert eine Folge (s_n) aus f(K) mit s_n → s. Da f(K) abgeschlossen ist, gilt s ∈ f(K), das heißt s = f(x₀) f¨ur ein x₀ ∈ K und somit ist x₀ ein Maximum (f(x)≤f(x₀), ∀x∈K).

F¨ur das Minimum betrachtet man −f.

1.7 Zusammenhang und Gebiete

Definition 1.7.1.

1. Eine stetige Abbildung ϕ: [a, b] →X, t 7→ϕ(t) definiert einen Weg in X mit Endpunkten ϕ(a) und ϕ(b).

2. Eine Menge M ⊆ X heißt wegzusammenh¨angend, wenn sich je zwei Punkte von M durch einen Weg verbinden lassen.

Bemerkung 1.7.2. Sind ϕ₁ : [a, b] → X und ϕ₂ : [c, d] → X Wege mit ϕ₁(b) = ϕ2(c), so liefert

Ψ(t) =

(ϕ₁(t) t∈[a, b]

ϕ₂(c+ (t−b)) t ∈[b, d+b−c] . einen Weg Ψ : [a, b+d−c]→X.

Beispiele 1.7.3.

1. F¨ur x, y ∈ X liefert ϕ:t7→ x+t(y−x) die (stetige) Strecke zwischen x und y. Somit ist jeder endlichdimensionale Vektorraum wegzusammenh¨angend.

2. K_r(x₀)⊂X ist wegzusammenh¨angend.

3. In R sind die wegzusammenh¨angenden Mengen die Intervalle.

4. M = {(x, y) ∈ R²|(x− 1)² +y² < 1} ∪ {(x, y) ∈ R²|(x + 1)² + y² < 1}

ist nicht wegzusammenh¨angend. Jeder Weg mit Endpunkten in verschiedenen Kreisscheiben muss M verlassen.

5. M ={(x, y, z)∈R³|x²+y² = 1} ist wegzusammenh¨angend.

Satz 1.7.4. Sei f : M → Y stetig, M ⊂ X wegzusammenh¨angend, so ist auch f(M) wegzusammenh¨angend.

Beweis. Seieny1, y2 ∈f(M) dann w¨ahlen wirx1, x2 ∈M mitf(x1) =y1, f(x2) = y2. Nach Voraussetzung existiert dann ein Weg ϕ : [a, b] → M mit ϕ(a) = x₁ und ϕ(b) = x₂. Dann ist

Ψ :=f ◦ϕ: [a, b]→f(M)⊂Y ein Weg mit Ψ(a) =y₁ und Ψ(b) =y₂.

Definition 1.7.5. Eine offene wegzusammenh¨angende Menge∅ 6= Ω⊆Rⁿ heißt ein Gebiet.

Satz 1.7.6. In einem Gebiet Ω lassen sich je zwei Punkte durch einen Polynomzug verbinden, der durch ganz Ω verl¨auft.

Aneinandersetzen von Strecken. F¨ur x₁, x₂, . . . x_n liefert

ϕ(t) =















(x1+t(x2−x1) t∈[0,1], x2+ (t−1)(x3−x2) t ∈[1,2], ...

xn−1+ (t−(n−2))(x_n−xn−1) t∈[n−2, n−1]

einen Polynomzug.

Gegenbeispiel 1.7.7.

A={(x, y)∈R²|||(x, y)−(0,4)|| ≤4,||(x, y)−(0,2)|| ≥2,0≤y≤2}.

Obwohl ein Weg in A von (−2,2) bis (2,2) existiert, gibt es keinen Polynomzug zwischen den beiden Punkten.

Kapitel 2

Differentialrechnung in R ⁿ

2.1 Differenzierbarkeit und Ableitungen

Notation 2.1.1.

• Ω⊂Rⁿ ist ein Gebiet.

• Eine Umgebung eines Punktes a ist eine Gebiet Ω mita ∈Ω.

• |t|<<1 bedeutet ,,f¨ur alle hinreichend kleine t”.

• f : Rⁿ ⊃ Ω → R^m, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ, f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)), mit f_k : Ω→R Komponentenfunktionen.

• Wir verwenden das Standardskalarprodukt und die euklidische Norm auf auf Rⁿ.

• Das kartesische Produkt zweier Mengen A⊂Rⁿ, B ⊂R^m ist A×B :={(x, y)∈Rⁿ×R^m|x∈A, y ∈B} ⊂R^m+n. Definition 2.1.2.

• Eine Abbildung f : Rⁿ ⊃ Ω → R^m heißt an der Stelle a ∈ Ω differenzierbar, wenn ∃A :Rⁿ →R^m lineare Abbildung, so dass f¨ur jedes xin einer Umgebung U von a gilt

f(x) =f(a) +A(x−a) +R(x−a), und lim

xtoa

R(x−a)

||x−a|| = 0.

Das heißt f kann in einer Umgebung von a durch eine affine Abbildung x7→

f(a) +A(x−a) gut approximiert werden.

• Aquivalent ist:¨ f ist an der Stelle a ∈ Ω differenzierbar, wenn eine lineare Abbildung A existiert, so dass

f(a+h) = f(a) +Ah+R(h) f¨ur ||h||<<1, wobei

h→0lim R(h)

||h|| = 0.

• f heißt im Gebiet Ωdifferenzierbar, wennf an jeder Stellea∈Ωdifferenzier- bar ist.

• Die Abbildung A ist durch diese Bedingung eindeutig definiert und heißt Ab- leitung von f an der Stelle a und wird mitdf(a), f⁰(a)oderDf(a)bezeichnet.

Beispiele 2.1.3.

1. Eine affine Abbildungf :Rⁿ→R^m, x7→c+Ax ist ¨uberall differenzierbar und es gilt f⁰(a) =A ∀a∈Ω, weil f(x) = f(a) +A(x−a) mit R= 0.

2. Eine quadratische Form Q(x) =< x, Ax > auf Rⁿ mit A^t = A ist ¨uberall differnzierbar.

Q:Rⁿ→R ⇒dQ(a)∈M(1, n)∀a∈mathbbRⁿ. Q(a+h) =< a+h, A(a+h)>

=< a, Aa >+< h, Aa >+< a, Ah >+< a, Ah >

| {z }

=<A^ta,h>

+< h, Ah >

=Q(a) + 2< Aa, h >+< h, Ah >

| {z }

=R(h)

.

Also gilt f¨ur h ∈ Rⁿ: dQ⁰(a)· h = 2 < Aa, h > und limh→0R(h)

||h|| = 0, da

|< h, Ah >| ≤ ||h||||Ah|| und ^R(h)_||h|| ≤ ||Ah|| ≤ ||A||||h|| →0 f¨ur h→0.

3. f : R² →R³,(x1, x2)7→ (x²₁ +x²₂, x1, x2) ist differenzierbar auf R². Die Ablei- tung ist, mit x= (x₁, x₂)∈R²

df(x) =





2x₁ 2x₂

1 0

0 1



∈M(3,2).

Dies kann man anhand der Definition beweisen. Es gilt zu zeigen

||R(h)||

||h|| =||f(x+h)−f(x)−





2x₁ 2x₂

1 0

0 1



·h→0 mit ||h|| →0.

Es gilt 1

||h||||f(x+h)−f(x)−





2x₁ 2x₂

1 0

0 1



 h₁

h₂

||

= 1

||h||||





(x₁+h₁)² (x₂+h₂)² x₁+h₁

x2+h2



−





x²₁+x²₂ x₁ x2



−





2x₁h₁ + 2x₂h₂ h₁ h2



||

= 1

||h||||





h²₁+h²₂ 0 0



||

= 1

(h²₁+h²₂)^1/2 (h²₁+h²₂)²+ 01/2

=(h²₁+h²₂)^1/2 =||h|| →0

2.2 Partielle Ableitungen und die Jacobi-Matrix

Definition 2.2.1. Sei f :Rⁿ ⊃Ω→R und a= (a₁, . . . , a_n)∈Rⁿ, v = (v₁, . . . , v_n).

Wir betrachten die Funktion

Φ_v :R→R. t7→f(a+tv)

Falls Φ_v an der Stelle t= 0 differenzierbar ist, nennen wir Dvf(a) := d

dtΨv|t=0 = lim

t→0

f(a+tv)−f(a) t

Die Richtungsableitung von f in Richtung v an der Stelle a.

Falls v =e_k = (0, . . . ,0, 1

|{z}

k

,0, . . . ,0) der k-te kanonische Basisvektor ist, nen- nen wir

D_ekf(a) =: ∂f

∂x_k(a) = lim

t→0

f(a+te_k)−f(a) t

die partielle Ableitung vonf nach der Variable xk an der Stelle a.

Wir bezeichnen diese mit ^∂f_∂x(x, y, z)oder∂_xf(x, y, z), ^∂f_∂y(x, y, z)oder∂_yf(x, y, z), usw.

Beispiele 2.2.2.

1. f(x, y, z) =x²e^y + sin(z),

∂f

x (x, y, z) = 2xe^y, ,∂f

∂y(x, y, z) = x²e^y, ,∂f

∂z(x, y, z) = cosz.

2. f(x, y) = (x²+y², x, y) = (f₁, f₂, f₃),

∂f₁

x 2x, ,∂f₁

y = 2y, ,∂f₂

x = 1, ,∂f₂

y = 0, ,∂f₃

x = 0, ,∂f₃ y = 1.

Satz 2.2.3. Ist f :Rⁿ ⊃Ω→R^m an der Stelle a∈Ω differenzierbar, so ist f dort stetig.

Beweis. Da limh→0 ||R(h)||

||h|| = 0 gilt, existiert f¨ur = 1 ein δ > 0, sodass K_δ(a) ⊂ Ω und ^||R(h)||_||h|| ≤= 1, ∀h mit 0<||h||< δ. Es gilt also

||f(a+h)−f(a)||=||f(a)h+R(h)||

c≤ ||df(a)|| · ||h||+||R(h)||

≤ ||df(a)|| · ||h||+||h||

= (||df(a)||+ 1)· ||h|| →0, ||h|| →0.

Satz 2.2.4. Istf :Rⁿ ⊃Ω→R^m in a∈Ωdifferenzierbar so sin die Komponenten- funktionen f1, . . . , fm in a partiell differenzierbar und die Ableitung df(a) hat, bzgl der kanonischen Basen von R^m und Rⁿ die Jacobi-Matrix

df(a) =







∂f1

∂x1a . . . _∂x^∂f1

n(a) ... ...

∂fm

∂x1 . . . ^∂f_∂x^m

n





= (∂f_i

∂x_k(a))

1≤i≤m 1≤k≤n

=

∂_kf_i(a)) .

Insbesondere ist die Ableitung durch f und a eindeutig bestimmt.

Beispiele 2.2.5. Sei f : R² → R², (x, y) 7→ (e^x+y +y, y²x), dann ist die Jacobi- Matrix

df(x, y) =

∂f1

∂x

∂f1

∂y

∂f2

∂x

∂f2

∂y

!

=

e^x+y e^x+y + 1 y² 2xy

Beweis. Seien e₁, . . . , e_n und e⁰₁, . . . , e⁰_m die kanonischen Basen von Rⁿ und R^m. Nach der Definition der Matrix einer linearen Abbildung ist zu zeigen:

df(a)e_k=

m

X

i=1

∂fi

∂x_ke⁰_i, k = 1, . . . , n.

Wir haben∀i, k

∂fi

∂x_k(a) = d

dtf_i(a+te_k)

| {z }

Φ_ek(t)

|_t=0 = lim

t→0

fi(a+tek)−fi(a)

t .

Dann ist

m

X

i=1

f_i(a+te_k)−f_i(a) t

e⁰_i = f(a+te_k t

=df(a)(te_k)−R(te_k)

t =df(a)(ek)±R(te_k)

||te_k|| .