Plan
Die wichtigsten (und einfachen) Begriffe definieren:
I
Kurve
IGlatte Kurve
ITangentialvektor
IRegul¨ are Kurve
Definition: Kurve
Definition.
Sei
I:= [a,
b]⊆Rein Intervall. Wir erlauben auch, dass
I(halb-)offen, eine Halbgerade oder
I=
Rist.Eine
(parametrisierte) Kurve
ist eine stetige (sp¨ ater wird differenzierbar vorausgesetzt) Abbildung
c: [a,
b]→Rn(i.d.R. wird
n= 2, 3 sein). Das Bild dieser Abbildung heißt
Spur(oder Bahn) der Kurve.
c
(t) =
c1
(t)
.. .
cn(t)
Die Bedingung, dass
cstetig ist, bedeutet, dass alle
cistetig sind.
Quelle von (Gegen-)Beispielen: Graph einer Funktion
Sei
f:
I →Reine stetige Funktion (einer Variablen). Wir betrachten die (stetige) Kurve
c
:
I →R2 , c(t) = tf
(t)
Definition: Glatte Kurve
Def. Eine parametrisierte Kurvec:I →Rn istglatt, wenn die Ableitung
c0 :I →Rn, c0(t) =
c10(t)
... cn0(t)
existiert und stetig ist (also alle Komponentenc1, ...,cnstetig differenzierbar sind). Sie istk-glatt, wenn alle Komponenten c1, ...,cn k-mal stetig differenzierbar sind.
Definition: Tangentialvektor und Regul¨ are Kurve
Def. F¨ur eine glatte Kurvec definieren wir denTangentialvektor(auch Geschwindigkeitsvektor) im Punktt0∈I als die Ableitung
c0(t0) =
c10(t0)
... cn0(t0)
.
DieTangente(oder Tangentialgerade) im Punktt0ist die Gerade s∈R7→c(t0) +s·c0(t0)
oder kurzs ∈R7→c0+s·v (mitc0=c(t0) undv =c0(t0)).
Def. Eine glatte Kurvec istregul¨ar, wenn kein Tangentialvektor verschwindet, d. h., wennc0(t)6=~0 f¨ur allet ∈I.
Ein paar Beispiele
Def. c0(t0) ist der Tangentialvektor im Punktt0unds7→c(t0) +s·c0(t0) die Tangentialgerade.
Wir berechnen und zeichnen die Tangentialvektoren und Tangentialgeraden in den Punkten
t0= 0 und
t0=
π/4 derKreislinie
c
:
R→R2,c(t) =rr··cos(t)sin(t).Def. Eine glatte Kurve ist eine Abbildungc:I→Rnsodassc0ist stetig.
Bsp. Eine Gerade k¨onnen wir folgendermaßen als glatte parametrisierte Kurve schreiben:
c : R → Rn, c(t) = c0+t ·v, wobei c0 ∈ Rn und v ∈ Rn\ {0}. Das ist eine regul¨are Kurve, weil die Bedingung c0(t) =v 6=~0 offensichtlich erf¨ullt ist.
Bsp.EineKreisliniein der Ebene um den Mittelpunkt (0,0) mit Radiusr >0 ist gegeben durch
c:R→R2,c(t) =rr··cos(t)sin(t).
Die Kurve ist ebenfalls glatt, dac0(t) =−rr··cos(t)sin(t). Bsp. EineSchraubenlinieim 3-dimensionalen Raum ist ge- geben durchc :R→R3,c(t) =
r·sint r·cost h·t
f¨ur festes r >0 undh>0.
Bsp.
Die parametrisierte Kurve
c
:
R→R2,c(t) =
t2t3
heißt
Neil‘sche Parabel. Obwohl die parametrisierteKurve glatt ist, hat sie im Ursprung einen
” Knick“.
Das liegt daran, dass sie nicht regul¨ ar ist. In der Tat verschwindet
c0(t) =
2t 3t
2
genau in
t= 0. Wir
werden das Ph¨ anomen sp¨ ater besprechen.
Analytische Interpretation der Tangentialgeraden:
Taylor-Reihe
Betrachten wir die Taylorreihe vonc(t) (im Punktt=t0):
c(t) = c1(t)
c2(t)
=
c1(t0) + (t−t0)·c10(t0)+O1(t−t0) c2(t0) + (t−t0)·c20(t0)+O2(t−t0)
wobeiOi(t−t0)) nahet=t0 “klein” sind, d. h. limt→t0Oit−t(t−t0)
0 = 0.
Der blaue Teilder Taylorreihe ist die Tangentialgerade. D. h., die
Tangentialgerade (im Punktt0) ist diejenige (parametrisierte) Gerade, die die Kurve in einer Umgebung vont0 am besten approximiert.
Der Tangentialvektor ist dabei der Richtungsvektor der Tangentialgeraden.
Physikalische Interpretation des Tangentialvektors
In der Physik beschreibt eine parametrisierte Kurveceine Bewegung: t indiziert die Zeit undc(t) ist ein bewegtes Objekt (Massepunkt). In diesem Fall ist (in der physikalischen Terminologie)c0(t) der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunktt.
c(t0)
c(t0+ t)
c(t0+t)- c(t0)
Geschwindigkeit ist definiert als WegZeit. Mathematisch ist der Weg gegeben durchc(t0+t)−c(t0) und die Zeit durcht. Somit beschreibt
c0(t0) = lim
t→0
c(t0+t)−c(t0)
t = Weg in sehr kurzer Zeit Zeit
die “momentane” Geschwindigkeit.
Geometrische Interpretation der (Spur der) Tangentialgeraden
Geometrische Interpretation: Be- trachte f¨urti→t0die Folge derSe- kanten(= die Geraden durch c(t0) undc(ti)). Dann ist dieTangential- geradeder Grenzwert dieser Folge in folgendem Sinne:
Jede Gerade ist durch eine Gleichung der Formax+by+c= 0 gegeben.
OBdA seic6= 0. Die Gerade wird dann durch die beiden Bedingungen (∗)a2+b2= 1 (Hessische Normalform), (∗∗)c>0
eindeutig bestimmt. F¨ur die Sekanten bekommen wir somit Folgenai,bi, ci, welche gegen die Parameter ¯a, ¯b, ¯c der Tangente kovergieren. D. h., die Tangente ist gegeben durch ¯ax+ ¯by+ ¯c= 0.
Eine glatte Kurvecistregul¨ar, wenn der Tangentialvektorc0(t) nicht verschwindet (d.h.,6=~0 ist) f¨ur allet∈I.
Bsp. Eine Gerade: c : R→ Rn, c(t) = c0+t ·v, wobei c0 ∈ Rn und v ∈ Rn\ {0}. (F¨ur v =~0 ist die Kurve die
‘triviale’ Punkt-Kurve).
BspEineKreislinie in der Ebene um den Mittelpunkt (0,0) mit Radiusr >0 ist gegeben durch
c:R→R2,c(t) =rr··cos(t)sin(t).
Bsp.EineSchraubenlinieim 3-dimensionalen Raum ist ge- geben durchc:R→R3,c(t) =
r·sint r·cost h·t
wobeir >0 und h>0.
Bsp. Die Neil‘sche Parabelc:R→R2,c(t) = t2
t3
: Obwohl diese parametrisierte Kurve offensichtlich glatt ist, hat sie im Ursprung einen
”Knick“. Das liegt daran, dass sie nicht regul¨ar ist. In der Tat verschwindet c0(t) = (2t,3t2) genau int= 0.
Ist die folgende Kurve glatt und regul¨ ar?
Regul¨ar ist sie nicht – es gibt keine Tangentialgerade im “Eckpunkt”.
Die Antwort auf die Frage, ob die Kurve glatt ist, h¨angt von der Parametrisierung ab (und auf dem Bild ist die Parametrisie- rung nicht zu erkennen!):
Die Kurvec(t) = t
|t|
ist selbstverst¨andlich nicht glatt, weil die zweite Komponentec2(t) =|t|im Punktt0= 0 nicht differenzierbar ist.
Die Kurvec(t) = t3
|t3|
dagegen hat dieselbe Spur wie auf dem Bild oben, ist aber stetig differenzierbar (siehe das Bild rechts mit dem Graphen der zweiten Komponentenc2(t) =|t|3).
Wir haben das Phenomen bereits gesehen
Bsp.
Die Neil’sche Parabel
c
:
R→R2,c(t) =
t2t3
ist offensichtlich glatt, aber nicht regul¨ ar, da sie im Ursprung einen
” Knick“ hat. In der Tat verschwindet
c0(t) =
2t 3t
2