Kern- und Teilchenphysik I — SS 2007 — Prof. F. Pauss — Serie 4

Kern- und Teilchenphysik I — SS 2007 — Prof. F. Pauss — Serie 4

L¨osungen

1. Wirkungsquerschnitt

Einfallende Rate : ˙Na = Na/t Fl¨ache des Strahls :A

Einfallender Fluss : Φa = ˙Na/A

Avogadro-Konstante :NAvo = 6.0·10²³Mol⁻¹ Molmasse des Targets :mm,T = 2.0·10⁻³kg Mol⁻¹ L¨ange des Targets :l = 0.45m

Masse der Targetteilchen :V ̺ = Al̺

Anzahl der Targetteilchen :Nb = 2Al̺NAvo/mm,T

Wirkungsquerschnitt :σ

Reaktionsrate : ˙N = ΦaNbσ = ˙Na2NAvol̺σ/mm,T

Anteil gestreuter Protonen :ps = N^N˙^˙a = ^2N_m^Avol̺σ

m,T

ps = ^{2·6.0·1023M ol−1·0.45}2·10^m·70−3^{kg m−3·40mb·10−31m2mb−1}

kg M ol⁻¹ = 0.076 = 7.6%

2. Formfaktoren

(dσ/dΩ) (dσ/dΩ)M ott

= G²_E(Q²) +τ G²_M(Q²)

1 +τ + 2τ G²M(Q²) tan²θ/2

= A+Btan²θ/2

⇒

( G²E = (1 +τ)A−τ G²M

G²_M = B 2τ Q² = 2.92GeV² mp = 0.938GeV /c²

τ = Q²

4m²_pc² = 2.92(GeV /c)²

4·0.938²(GeV /c²)²c² = 0.83 A = 2/3·0.01 = 0.0066

B = (0.028−0.0066)/(1.0−0) = 0.021 G²_M = 0.021

2·0.83= 0.0127 ⇒ GM= 0.112

G²E = (1 + 0.83)·0.0066−0.83·0.0127 = 1.54·10⁻³ ⇒ GE= 0.039

3. Tiefinelastische Streuung am HERA-Speicherring

a) Die Schwerpunktsenergie der Elektron-Proton-Kollision ergibt sich mit s = (ppc+pec)²=m²_pc⁴+m²_ec⁴+ 2(EpEe−p_pp_ec²)≈4EpEe

zu √s= 314 GeV,

wenn man die Massen von Proton und Elektron vernachl¨assigt. F¨ur ein station¨ares Proton- target (Ep=mpc²; p_p=0) berechnet sich die Schwerpunktsenergie der Elektron-Proton- Kollision zus≈2Eempc².

Damit m¨usste der Elektronstrahl die EnergieEe = 2m^spc² = 52.5 TeV besitzen, um eine Schwerpunktsenergie von√

s= 314 GeV aufzubringen.

b) Wir betrachten die elementare Elektron-Quark-Streureaktion e(Ee) +q(xEp)−→e(Ee^′) +q(Eq^′),

wobei die Gr¨ossen in Klammern die Teilchenenergien angeben. Aus Energie- und Impul- serhaltung ergeben sich die folgenden drei Relationen:

Ee+xEp = E_e^′+E^′_q Gesamtenergie (1)

Ee^′sin Θ/c = Eq^′sinφ/c Transversalimpuls (2) (xEp−Ee)/c = (E_q^′cosφ−E_e^′cos Θ)/c Longitudinalimpuls (3) Mit den ElektronvariablenEe,E_e^′ und Θ berechnet sichQ²zu

Q²= 2EeE_e^′(1−cos Θ)/c².

Aus der Gesamtenergieerhaltung folgtE^′_e=Ee+xEp−E_q^′. Gleichung (2) nachE_q^′ und Gleichung (3) nachxEpaufgel¨ost und eingesetzt:

Ee^′ = 2Ee+Eq^′cosφ−Ee^′cos Θ−E_e^′sin Θ sinφ

und nach erneuter Verwendung von (2):E_q^′=E^′_esin Θ/sinφergibt sich daraus

2Ee = Ee^′

1 + cos Θ +sin Θ

sinφ−sin Θ cosφ sinφ

⇒E^′_e = 2Eesinφ

sinφ+ cos Θ sinφ+ sin Θ−sin Θ cosφ

= 2Eesinφ

sin Θ + sinφ−sin(Θ−φ) und damit

Q²= 4Ee²sinφ(1−cos Θ) [sin Θ + sinφ−sin(Θ−φ)]c²

Experimentell kann man den Streuwinkelφdes gestreuten Quarks durch den mittleren, mit der Energie gewichteten Winkel der erzeugten Hadronen bestimmen,

cosφ= P

iEicosφi

P

iEi

.

c) Der maximale Wert f¨ur Q² betr¨agt Q²max = s/c². Er tritt bei Streuung des Elektrons um Θ = 180^◦ (R¨uckstreuung) und vollst¨andigem Energie¨ubertrag vom Proton auf das Elektron,E_e^′ =Epauf. Bei HERA ist damitQ²_max= 98400 GeV²/c². Die Aufl¨osung wird durch die de Broglie-L¨ange bestimmt:λ= ¯h/Q. Damit ergibt sich f¨ur den Collider ein Aufl¨osungsverm¨ogen von 0.63·10⁻³ fm und f¨ur das Fix-Target-Experiment, wobei 300 GeV einemQ²von ca. 562.8 GeV²/c² entspricht, 8.32·10⁻³ fm. Das entspricht ungef¨ahr einem Tausendstel bzw. einem Hundertstel des Protonradius. Messungen sind in der Praxis wegen des mitQ² stark abfallenden Wirkungsquerschnittes in der Regel nur bisQ²_max/2 m¨oglich.

4. Entdeckung des Antiprotons

a) Minimale kinetische Energie des Proton Strahls:

MitE1=q

p²1+m²_p=Ekin+mp, ECM>4mpundE²_CM= (P

Ei)²−(P Pi)²

daP²= 0 vereinfacht sich die Gleichung zu 14m²p=E1²+m²p+ 2E¹mp−P1²und 7mp< E1also giltEkin>6mp= 5.63 GeV.

b) Welche Detektortypen wurden benutzt?

Szintillationsz¨ahler zur Flugzeitmessung und “threshold” Cherenkov Z¨ahler.

Siehe Skript Seite 22 zur dE/dx Messung. Sehr grosse Unterschiede beobachtet man f¨ur Im- pulse unterhalb von 500 MeV.

c) Signal f¨ur einen “annihilation process”

Bei der Annihilation eines Antiprotons (in Ruhe) mit einem Proton (oder Neutron) wird eine Energie von 2mp, knapp 2 GeV, freigesetzt und auf einige geladene und neutral Pionen wie- der verteilt. Man w¨urde also eine Art Stern von Teilchen am Ende der Antiproton Flugbahn erwarten.

Eine andere M¨oglichkeit w¨are eine dE/dx Messung beim Abbremsen in einer Emulsion oder Blasenkammer. Man w¨urde entsprechend eine sehr grosse Dichte von “Blasen” am Ende der Spur beobachten.

d) Warum k¨onnen negativ geladen Kaonen (und Hyperonen) als Quelle des Signals ausge- schlossen werden?

Sie werden viel seltener als Pionen erzeugt, geben etwa das gleiche Signal und die Lebensdauer ist kurz! (K^±habencτ= 370.9 cm). Bei einem Impuls von etwa 1 GeV sind bei einem Abstand von 12 m schon etwa 90% der Kaonen zerfallen. Zum Beispiel sind nach 7 m (βγcτ≈7.4 m) nur noch etwa 1/e der urspr¨unglichen Kaonen ¨ubrig. Mitβ=P/E= 0.98 ist die Flugzeit von Pionen und Kaonen aber praktisch gleich und das Signal in den Cherenkov Z¨ahlern auch.