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Discrete Time Finance

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Academic year: 2021

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Discrete Time Finance

SS 2017

Vorlesung: Prof. Dr. Thorsten Schmidt Übung: Wahid Khosrawi-Sardroudi

http://http://www.stochastik.uni-freiburg.de/lehre/ss-2017/vorlesung-discrete-time-nance-ss-2017

Übung 9

Abgabe: 04.07.2017 zu Beginn der Übung.

Aufgabe 1 (4 Punkte). Beweisen Sie die folgende Aussage:

Jedes Supermartingal X kann zerlegt werden in ein MartingalM und einen fallenden, vorherse- hbaren ProzessA, sodass

Xt = Mt+At, t∈ {0, . . . , T} gilt. Für A0 = 0 ist die Zerlegung eindeutig.

Aufgabe 2 (2+2+2 Punkte). Wir betrachten einen zweiperiodigen Markt mit einer risikolosen Anlage mitr = 0und zwei AktienSt1 undSt2. Die Kursentwicklung der Aktien in Tupelschreib- weise(St1;St2) sei

(10; 10)

(11; 9)

(10; 11)

(8; 11)

(14; 8) (10; 13)

(10; 8) (14; 12)

(6; 10)

(6; 11) (10; 14)

(12; 5) (ω8) (ω7) (ω6) (ω5) (ω4)

1) (ω2) (ω3)

(a) Ist der Markt arbitragefrei? Bestimmen Sie ggf. die Menge der äquivalenten Martingalmaÿe oder geben Sie eine Arbitragemöglichkeit an.

(b) Was kostet ein Call mit Strike K = 10auf die zweite AktieST2?

(c) Bestimmen Sie eine selbstnanzierende Handelsstrategie zur Replikation einer Put-Option auf ST1 mit Strike K = 11und damit den Preis der Option.

Aufgabe 3 (2+2+2 Punkte). Seien (Yk)k=1,...,T i.i.d. Zufallsvariablen in L1(Ω,F, P), und nehmen Sie an dass diese Yk P−f.s. nicht deterministisch sind. Es gelte E[Yk] = 0. Ferner sei für X0 deterministisch

Xt:=X0+

t

X

k=1

Yk, t= 0, . . . , T.

Dann ist X bzgl. der Filtration F0 ={∅,Ω},Ft=σ(Y1, . . . , Yt) ein Martingal. Wir vergröÿern nun die Filtration durch "insider" Informationen, nämlich den Wert von X zum Zeitpunkt T. Konkret betrachten wir die Filtration

n:=σ(Fn∪σ(XT)).

Bitte wenden

(2)

(a) Zeigen Sie, dass X kein P-Martingal mehr bzgl. der Filtration ( ˜Ft)t=1,...,T ist.

(b) Zeigen Sie, dass der Prozess

t:=Xt

t−1

X

k=0

1

T −k(XT −Xk) einP-Martingal bzgl( ˜Ft)t=1,...,T ist.

(c) Die Zusatzinformation XT impliziert die Existenz einer selbstnanzierenden Han- delsstrategie mit positivem erwarteten Prot. Konstruieren Sie eine solche Strategie H die den erwarteten Prot

E

" T X

t=1

Ht(Xt−Xt−1)

#

innerhalb der Menge allerF˜-vorhersehbaren StrategienH mit|Ht| ≤1P-f.s. max- imiert.

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