Fakultät für Mathematik und Informatik 5. November 2013 TU Bergakademie Freiberg

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Fakultät für Mathematik und Informatik 5. November 2013 TU Bergakademie Freiberg

Dr. M. Helm, Dr. A. Franke-Börner

Numerik linearer und nichtlinearer Parameterschätzprobleme Ausgleichsrechnung

Aufgabe 1

In den Punkten x

i

, i = 1, . . . , 5 wurden die Werte y

i

, i = 1, . . . , 5 gemessen.

x

i

2.45 2.50 2.55 2.60 2.65

y

i

1.24 1.27 1.31 1.32 1.36

Die Meßpunkte (x

_i

, y

_i

) sollen nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate durch eine Gerade approximiert werden.

a) Formulieren Sie das zugehörige Kleinste-Quadrate-Problem!

b) Wie lautet das Normalengleichungssystem? Lösen Sie dieses!

c) Welchen Wert liefert die Ausgleichsgerade für x = 2.70?

d) Wie lautet die Koeffizientenmatrix A des Ausgleichsproblems, wenn zur Approximation eine Ausgleichsparabel bestimmt werden soll?

e) Betrachten Sie auch das Problem der orthogonalen Regression!

Aufgabe 2

Eine Schwingung soll durch eine Funktion der Form y = a · sin t + b · sin 2t

approximiert werden. Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten a und b werden in verschie- denen Punkten t

i

, i = 1, 2, 3, 4 die Amplitudenwerte y

i

gemessen.

t

_i

0

¹₄

π

¹₂

π

³₄

π

y

_i

0.3 · 10

⁻⁸

4.2 −0.9598 1.4

a) Wie lautet das lineare Ausgleichsproblem zur Bestimmung von a und b mit den angegebenen Daten t

i

und y

i

?

b) Lösen Sie das Ausgleichsproblem über das Normalengleichungssystem!

c) Bestimmen Sie den Defekt für die Lösung des Ausgleichsproblems und die (zum Ausgleichs- problem gehörende) Norm des Defekts!

d) Visualisieren Sie die Situation und bewerten Sie das Ergebnis!

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass für die Ausgleichsgerade y = a + bx durch die Punkte {(x

i

, y

i

)}

ⁿ_i=1

gilt:

b = n P

n

i=1

x

i

y

i

− P

n

i=1

x

i

P

n i=1

y

i

n P

n

i=1

x

²_i

− ( P

n

i=1

x

i

)

²

Fakultät für Mathematik und Informatik 5. November 2013 TU Bergakademie Freiberg

Fakultät für Mathematik und Informatik 5. November 2013 TU Bergakademie Freiberg

Dr. M. Helm, Dr. A. Franke-Börner

Numerik linearer und nichtlinearer Parameterschätzprobleme Ausgleichsrechnung

Aufgabe 1

In den Punkten x

, i = 1, . . . , 5 wurden die Werte y

, i = 1, . . . , 5 gemessen.

x

2.45 2.50 2.55 2.60 2.65

y

1.24 1.27 1.31 1.32 1.36

Die Meßpunkte (x

, y

) sollen nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate durch eine Gerade approximiert werden.

a) Formulieren Sie das zugehörige Kleinste-Quadrate-Problem!

b) Wie lautet das Normalengleichungssystem? Lösen Sie dieses!

c) Welchen Wert liefert die Ausgleichsgerade für x = 2.70?

d) Wie lautet die Koeffizientenmatrix A des Ausgleichsproblems, wenn zur Approximation eine Ausgleichsparabel bestimmt werden soll?

e) Betrachten Sie auch das Problem der orthogonalen Regression!

Aufgabe 2

Eine Schwingung soll durch eine Funktion der Form y = a · sin t + b · sin 2t

approximiert werden. Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten a und b werden in verschie- denen Punkten t

, i = 1, 2, 3, 4 die Amplitudenwerte y

gemessen.

t

0

π

π

π

y

0.3 · 10

4.2 −0.9598 1.4

a) Wie lautet das lineare Ausgleichsproblem zur Bestimmung von a und b mit den angegebenen Daten t

und y

?

b) Lösen Sie das Ausgleichsproblem über das Normalengleichungssystem!

c) Bestimmen Sie den Defekt für die Lösung des Ausgleichsproblems und die (zum Ausgleichs- problem gehörende) Norm des Defekts!

d) Visualisieren Sie die Situation und bewerten Sie das Ergebnis!

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass für die Ausgleichsgerade y = a + bx durch die Punkte {(x

, y

)}

gilt:

b = n P

x

y

− P

x

P

y

n P

x

− ( P

x

)

und a = ¯ y − b x ¯ !