Für jedes Dreieck ABC gilt:
Wenn
€
γ = 90°, so ist
€
a2 + b2 = c2.
Bildung der Umkehrung als ein Weg zu einer neuen Vermutung führt zu:
Für jedes Dreieck ABC gilt:
Wenn
€
a2 + b2 = c2, so ist
€
γ = 90°.
Wie kann man sich davon überzeugen, ob diese neue Vermutung stimmt?
Die Analyse der Schlüsse in den Beweisen zeigt das Folgende:
Formalisierung von »Wenn
€
a2 + b2 = c2, so ist
€
γ = 90°.« ergibt:
€
A→B
Folgerung Beweis 1:
€
(A ∧(¬B))→B Folgerung Beweis 2: ¬B →(¬A)
Man kann wie folgt klassifizieren:
Beweis
direkter Beweis indirekter Beweis
Kontrapositionsbeweis »echter« indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis)
W1 W2 W3 W1:
€
A→B⇔(A∧(¬B))→B W2:
€
A→B⇔(A∧(¬B))→(¬A) W3:
€
A→B⇔(A∧(¬B))→(C∧(¬C))
Beispiel für W3:
Sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und B ein Punkt auf dem Kreis. Die Gerade g verlaufe durch B.
Wenn g orthogonal zum Radius r verläuft, ist g Tangente an dem Kreis.
Probleme, die beim Führen eines indirekten Beweises auftreten:
· Das Gelangen in die Einsicht des Grundgedankens des indirekten Beweises ist nicht selbstverständlich.
· Das konkrete Ziel ist nicht klar, d.h., worin besteht der Widerspruch, an welcher Stelle tritt er auf. Das wird insbesondere bei langen Beweisführungen zu einem Problem.
· Bei geometrischen Beweisen unterstützen die Beweisskizzen nicht den Sachverhalt, da sie gerade das Gegenteil illustrieren.
· Es gibt kaum eine Heuristik.
Vorschläge zum Lösen der Probleme
· Zu bekannten Vorübungen des Beweisens kommt das Negieren hinzu.
· Üben einfacher indirekter Schlüsse, wobei es hilft, wenn diese im Konjunktiv formuliert werden.
· Der Beweis sollte nicht abgebrochen werden, wenn der Widerspruch aufgetreten ist.
· Wiedergabe des Grundgedankens des indirekten Beweises im konkreten Fall.
· Anfertigen zweier Beweisskizzen, und zwar derjenigen, die den Sachverhalt richtig wiedergibt und der »falschen«
· Indirekte Beweise bieten Aussicht auf Erfolg beim Beweis der Umkehrung eines Satzes, dem Nachweis der Eindeutigkeit, dem Nachweis der Nichtexistenz.
Wo kann der indirekte Beweis in der Schule behandelt werden?
Schwerpunkt sollte in der Klasse 9 liegen.
Wo kann der indirekte Beweis in der Schule behandelt werden?
Stoffverteilung: Reelle Zahlen, Ähnlichkeit und Strahlensätze, Satzgruppe des Pythagoras, Quadratische und Potenzfunktionen
Möglichkeiten: Irrationalität
€
2 (hierbei Hilfssatz:
€
2 | x2 →2 | x .)
Eindeutigkeit der inneren Zahl bei der Intervallschachtelung Nichtabzählbarkeit von IR
Umkehrung 1. Strahlensatz
Umkehrungen in der Satzgruppe des Pythagoras Monotonie von Umkehrfunktionen
Literatur
König, Helmut: Indirekte Beweise und ihre Behandlung im Unterricht. Mathematik in der Schule, 1972 (11)
Knoche, Norbert: Die Konstruktion der pythagoreischen Zahlentripel - ein elementarer Zugang zur Behandlung des indirekten Beweises im Schulunterricht. MNU 1972 (4)
Matuschek, Dieter; Walter Harald: Die vier Varianten des indirekten Beweises. Mathematik in der Schule 1999 (37)
Stein, Martin: Der indirekte Beweis. In: Dörfler, W.; Fischer, R.: Beweisen im Mathematik- unterricht. Wien - Stuttgart 1979
