Chromodynamis with Twisted Mass Fermions
Dissertation
zurErlangung desDoktorgrades
derNaturwissenshaften
vorgelegt beim Fahbereih Physik
derJohann WolfgangGoethe-Universität
inFrankfurtamMain
von
LarsZeidlewiz
ausRheine
Frankfurt2011
(D30)
Dekan: ProfessorDr. M. Huth
Gutahter: Prof.Dr. O.Philipsen
Prof.Dr. G. Münster(Universiät Münster)
Datum derDisputation: 01.07.2011
Quantenhromodynamik (QCD) istdieetablierteTheoriezurBeshreibungderstarken
WehselwirkungzwishendenKonstituentenderhadronishenMaterie.Dieelementaren
Freiheitsgrade inderQCD-Wirkung sinddabeiQuarks und Gluonen.Die Existenz der
Quarks wurde erstmals von Gell-Mann und Zweig inden 1960er Jahren postuliert. In
diesemZusammenhangbeshreibtderBegrionnement dieErfahrungstatsahe,dass
freieQuarks niht beobahtet werden.
Bei der QCD handelt es sih um eine niht-Abel'she Eihtheorie bzgl. der Gruppe
SU(3)
und der zugehörigen Farbladung. Das bedeutet, dass die QCD eine lokale Ei- hinvarianzunterSU (3)
-Farbtransformationen aufweist.Insofernlässtsihonnement auh so formulieren, dass nur Farbsingulett-Zustände beobahtbar sind. Ein wesent-lihes Merkmal der QCD ist die asymptotishe Freiheit, d.h. das Vershwinden der
Kopplungsstärke,
α s
,fürwahsende Impulsüberträgebzw. Energieskalen,α s (Q 2 → ∞ ) → 0 .
InUmkehrung dieser Beziehung wähst die Kopplung für groÿe Abstände starkan, so
dasseineperturbative Beshreibung aufBasisderursprünglihenFreiheitsgradezusam-
menbriht,wasletztlih Voraussetzung für dasAuftretenvon onnement ist.
Während gerade derstörungstheoretishe Zugang beisehr hohen Energien erfolgrei-
he Tests derTheoriegegenüberExperimentenan Teilhenbeshleunigern erlaubt,sind
weite Energiebereihe niht perturbativ zugänglih. Dies trit neben der Vorhersage
des Hadronspektrums insbesondere auf die Untersuhung des thermishen Übergangs,
d.h.desÜbergangs von derhadronishen Phaseineinstark wehselwirkendes Plasma,
undder Materieeigenshaften oberhalb diesesÜbergangs zu. Dieser Bereih desQCD-
PhasendiagrammswirddurhShwerionenkollisionsexperimente anmodernenTeilhen-
beshleunigern (RHIC,LHC) untersuht.Inden Shwerionenkollisionen entsteht Mate-
rie sehr hoher Energiedihte, die dann in einen thermalisierten Zustand oberhalb des
thermishen Übergangs mündet. Während beitieferen Temperaturen diebeobahteten
HadronenMesonen(wiez.B.PionenundKaonen)undBaryonen(z.B.Protonenund
Neutronen)dierelevantenFreiheitsgradebilden,istdiesoberhalbdesÜbergangsniht
mehrder Fall.Dort interagieren dieursprünglih inder Wirkung auftretendenQuarks
undGluonen als Teilhen ineinem starkgekoppelten Plasma. Tatsählih hat sih ge-
zeigt,dass diesesQuark-Gluon-Plasma (QGP)zumindest inder Nähedesthermishen
ÜbergangsdurhidealeHydrodynamik beshriebenwerdenkann.DastatsähliheAuf-
brehenderBeshreibunghinzuwirklih freienTeilhen wirderstbeisehrvielhöheren
Temperaturen als Folge derasymptotishen Freiheiterwartet.
Durh dieEinführung derGitterregularisierung durh Wilson 1974 wurde eine Mög-
lihkeit geshaen, jenseits derStörungstheorie dieQCD niht-perturbativ zu untersu-
hen. Dazu werden die Minkowski-Raumzeit durh Wik-Rotation in eine Euklid'she
MetriküberführtunddaskontinuierliheRaumzeitvolumendurheinvierdimensionales
hyperkubishes Gitter mit Gitterabstand
a
ersetzt. Diese Regularisierung der Theoriemit einem Abshneiden derImpulse bei
1/a
briht dieLorentz-Invarianz und führt zu einer komplizierten Behandlung in Störungstheorie. Der eigentlihe Grund, dieGitter-formulierung der QCD zu verwenden besteht vielmehr darin, dass für endlihes Vo-
lumen numerishe Berehnungen unter Zuhilfenahme von leistungsfähigen Computern
bzw. Groÿrehnern durhgeführt werden können. Der dabei typisherweise verwendete
hybrideMonte-CarloAlgorithmus erzeugt eineMarkov-KettevonEihfeldkonguratio-
nen, die gegen die entsprehende Gleihgewihtsverteilung konvergieren. Derart lassen
sih statistishe Mittelwerte für primäre Observablen, die als Funktion des Eihfeldes
aufgefasst werdenkönnen, bestimmen.
Aufdiese Weise werdenimRahmenderGitter-QCD, bzw. allgemeinerinGittereih-
theorie, Vakuumerwartungswerte und auh thermishe Gleihgewihtserwartungswer te
berehnet.InthermisheSystemenwirdüberdieLängeder(Euklid'shen)Zeitrihtung
mit
N τ
Gitterpunkten eine Temperatur eingestellt, d.h.T = 1/(aN τ )
.Dabei sind dieentsprehenden Randbedingungen derFelder inZeitrihtung zu beahten.
Während die Diskretisierung der reinen Eihtheorie keine weiteren konzeptionellen
Probleme aufweist,ist dieSituationfür Fermionenwesentlihkomplizierter.Einenaive
Diskretisierung der fermionishen Ableitungsterme führt dazu, dass sih die Anzahl
der Freiheitsgrade im Kontinuumslimes für jede Raumdimension verdoppelt. Diesem
DopplerproblemwirddurhvershiedeneMethodenderFermiondiskretisierungentgegen
getreten, diejeweilsandereVor- undNahteilebesitzen.
Gegenstand dieserDissertationist die Anwendung einer speziellen Variantegitterre-
gularisierterFermionenmitsogenanntemhiral verdrehtem Massenterm (twisted mass)
fürStudienderthermishenEigenshaftenderQuantenhromodynamik.Währenddiese
FermionenzurBerehnungvonVakuumeigenshaftenderQCDbereitserfolgreihdurh
dieEuropean Twisted Mass Collaboration (ETMC) eingesetzt wordensind, ist dieerst-
malige Anwendung auf physikalishe Fragestellungen bei endlihen Temperaturen in
dieser Arbeitenthalten. Nebenkonkreten physikalishen Problemen geht es alsoinsbe-
sondere darum, die spezishen Eigenshaften der twisted mass-Formulierung jenseits
desVakuumszu untersuhen undeinSimulationskonzept zu erstellen.
Dabeiliegt der Fokus im Wesentlihen auf dereinfahsten Formulierung dertwisted
mass QCD (tmQCD), die ein massenentartetes leihtes Quarkdublett berüksihtigt.
Diesist dernatürlihe Anfangspunktfür Untersuhungen mit twisted mass Fermionen,
dadieseFermiondiskretisierungaufBasissolheravour-Dublettskonstruiertwird.Die
Grundlage für die Massenverdrehung bilden Gitterfermionen vom Wilson-Typ. Dieser
TypusvermeidetdasDopplerproblem,indemdiehiraleSymmetriedurheinenzusätz-
lihen Term in derWirkung explizit gebrohen wird. Diesführt neben einer additiven
Massenrenormierung insbesondere dazu, dassGitterartefakte bereits ineiner Ordnung
früher als bei anderen Fermionen auftauhen, d.h. in
O (a)
. Derartige Probleme ha-ben andere Arten derFermiondiskretisierung niht. Insbesondere staggered Fermionen
sindsehroftfür thermishe Studienverwendetworden.AllerdingsistdieGültigkeitder
staggered FermionformulierungjenseitsderStörungstheorieumstritten,sodassweitest-
gehendanerkannt ist,dass diestaggered-Ergebnisse durhUntersuhungen mitalterna-
tiven Fermiontypen kontrolliert werden müssen.
Die Modikation der Wilson'shen Fermionen durh den hiral verdrehten Massen-
termerlaubtnun,zumindestdieführendeOrdnungderDiskretisierungsartefaktewieder
zu
O (a 2 )
zu korrigieren, wenn man den unverdrehten Anteil der Quarkmasse zu Null einstellt. DiesespezielleWahl,dieletztlihzu einerVerdrehungumπ/2
korrespondiert,bezeihnet man übliherweise als maximale Verdrehung bzw. maximal twist. Maximal
verdrehte Wilson-Fermionenbilden damit neben denauh benutztenlover Fermio-
nen eine vielversprehende Wahl für die Anwendung auf thermishe Systeme, die
typisherweise stark durhDiskretisierungeekte beeinträhtigt sind.
DieseDissertationistwiefolgtstrukturiert.DiebisherigeneinleitendenErläuterungen
entsprehen den Kapiteln 1 bis3, wobei dort natürlih in weit gröÿerem Maÿe auf die
theoretishen Grundlagen eingegangen wird. Dies shlieÿt insbesondere die Diskussion
derlaufenden KopplungundhiralerSymmetrien inKapitel2 ein.Bei denErläuterun-
genderGitter-QCDwirdinsbesonderedietmQCDmit ihrenbesonderen Eigenshaften
betrahtet. Neben derautomatishen
O (a)
-Verbesserung beimaximalemtwist umfasst diesauh dieETMC-Untersuhungen zu derniht-trivialen Vakuumstrukturim Raumderunrenormierten Parameter
κ
,β
undµ 0
.κ = (2am 0 + 8) −1
ist dabei derHopping-parameter,
β = 6/g 2
dieGitterkopplungundµ 0
dertwisted mass-Parameter.InKapitel4werdenanshlieÿendeinigegenerelleEigenshaftendertmQCDbeiniht-
vershwindenderTemperaturbehandelt.DiesbetritzumeinendiezuvorgenanntePha-
senraumstruktur.BeiendlihenTemperaturenkommtalsneuesElementderthermishe
Überganghinzu.TatsählihkonntenwirbasierendaufeinerVermutungvonCreutzden
thermishen Übergang als Flähe im Phasendiagramm ausmahen, die sih kegelartig
umden kritishen Hoppingparameter windet und zu gröÿeren Temperaturen sprih
β
immergröÿerwird.Dieentsprehenden SimulationenwurdenvordieserDissertati- onbegonnen. Allerdings mahen wir deutlih,welhe wesentlihen Aspekte tatsählihTeil dieser Arbeit sind. Alles in allem ist es wihtig anzumerken, dass die unphysika-
lishen Phasen verstanden sind und für den eigentlih interessanten Kontinuumslimes
keinbedeutendes Hindernisdarstellen.
Der zweite Zugang, der inKapitel 4 verfolgt wird, besteht in störungstheoretishen
Berehnungen desDruks.Hierbeiextrahieren wirdieAbhängigkeit vonden führenden
Ordnungen in
a
explizit für den freien Druk und nden, dass sih die vershiedenen Diskretisierungenima 2
-Skalierungsbereih niht starkuntersheiden. Allerdings bleibt festzuhalten, dassa 2
-Verhalten niht vorN τ ∼ 10
beobahtet wird. Qualitativ gleiheShlussfolgerungen lassen sih auh aus der nähsten Ordnung, den Zweishleifendia-
grammen, ziehen.
Kapitel 5 enthält unsere Untersuhung des
N f = 2
thermishen Übergangs.N f
be-zeihnet hierbei die Anzahl der Quark-Arten bzw. avours. Während sowohl für den
N f = 3
hiralen Limes als auh für die reine Eihtheorie klar ist, dass der thermisheÜbergang ein ehter Phasenübergang erster Ordnung ist, bleibt die Situation für den
thermishen ÜbergangimhiralenLimeszweierQuark-Artenunklar.Es gibtzweimög-
lihe Szenarien, die von Pisarski und Wilzek identiziert wurden. Das erste Szenario
sieht einenÜbergangzweiterOrdnungimhiralenLimesvor. Dieserwürdeinder drei-
dimensionalen
O(4)
-Universalitätsklasseliegen.DiezweiteMöglihkeitisteinÜbergang erster Ordnung gerade so wie in den zuvor genannten zwei anderen Grenzfällen. Ent-sheidend ist hier die Stärke der
U A (1)
-Anomalie, die stark genug durh thermisheEekte unterdrükt sein muss, damit es zu einem Übergang erster Ordnung kommen
kann.
Imersten Teil vonKapitel 5präsentierenwirunsere Simulationsläufe. Dabeihandelt
essih umLäufe mit vershiedenen Werten derGitterkopplung
β
beikonstanterPion-masseundmaximalerhiralerVerdrehung.DurhdieVeränderung von
β
verändernwirüberdenGitterabstandletztlihdieTemperatur
T = 1/(aN τ )
.FürdieAnalyserelevantsind vier Datensätze bei drei vershiedenen Pionmassen,
300
MeV≤ m π ≤ 500
MeV.Viel kleinere Massen, womöglih sogar die physikalishe Pionmasse, sind mit Fermio-
nen vom Wilson-Typ derzeit niht zu erreihen. Die einzelnen Datensätze werden von
uns mit A12, B10, B12 und C12 benannt; die Zahl gibt die Anzahl der Gitterpunkte
in Zeitrihtung
N τ
an, sodass bei physikalish konstanten Bedingungen gröÿereN τ
inden Kontinuumslimes führen. Die Pionmassen sind im Einzelnen 316(16)MeV (A12),
398(20)MeV (B10, B12) und 469(24)MeV (C12). Die Ausdehnung des Gitters in die
räumlihen Rihtungenbeträgtin allenFällen
L = aN σ
mitN σ = 32
Gitterpunkten.Für die mittlere Masse gibt eszwei Gitterabstände, so dass sih die Gröÿe der Dis-
kretisierungseekte abshätzenlässt.Es zeigtsih,dassdiese kleinsindimVergleihzu
den Unsiherheiten, diedurh Statistikund Skalensetzung auftreten.
UmdenGitterabstand und diePionmassefür unsere Simulationsläufezu bestimmen
sowie um den kritishen Hoppingparameter als Bedingung für maximalen twist einzu-
stellen, haben wir auf die Daten zurükgegrien, die ETMC publiziert hat. Basierend
auf den
β
-Werten von ETMC,β ∈ { 3.8, 3.9, 4.05, 4.2 }
, können wir sodie für uns inte-ressanten Gröÿen zuverlässig interpolieren.
DiebetrahtetenObservablensinddashiraleKondensat,diePlaketteundderPolya-
kov-loop (Wilson-Linie).Letzterer istinderreinenEihtheoriederOrdnungsparameter
für den Phasenübergang von onnement zu deonnement. Von weiterem besonderen
Interesseist dashiraleKondensat,dasimGrenzfallmasseloser Quarksden Ordnungs-
parameter deshiralenPhasenübergangs darstellt.
Die Kategorisierung der vershiedenen Möglihkeiten von Phasenübergängen zwei-
ter Ordnung inUniversalitätsklassenerfolgt nah Spinmodellen.Im hiralenLimes der
zwei-avour-Theoriekönntediedreidimensionale
O(4)
-Universalitätvorliegen,wenndie Anomalie genügend starkist. Andererseits könntees zum Phasenübergang erster Ord-nung kommen, dersih zu endlihen Quarkmassen erstreken würde. Dannmüsste ein
EndpunktzweiterOrdnunginder3d-IsingUniversalitätsklasseexistieren.DaunsereSi-
mulationendeutlihesVerhalteneinesanalytishenÜbergangesaufweisen,erwartetman
folglih für die Annäherung an den hiralen Limes entweder
O(4)
- oderZ (2)
- (Ising)Verhalten, wobeider
Z (2)
-Punkt beiendliherPionmasse zu nden wäre.DieseBeobahtungderUniversalitätsklassemahtsihzuNutze,dassSkalenverhalten
shon ineinem kritishen Bereih um den eigentlihen Übergangspunkt vorherrshend
ist. Die erste von uns angewandte Extrapolationsmethode basiert auf dem Verhalten
derpseudokritishen Temperatur alsFunktionderPionmasse,
T c (m π ) = T c (0) + A(m π ) 2/(βδ) ,
wobei
β
undδ
diefürdieUniversalitätsklasseharakteristishen kritishen Exponenten sind. Ein Fit mit freien Exponenten erweist sih als niht aussagekräftig. Tatsählihsind die Exponenten zu nah beieinander, um die vershiedenen Szenarienzu trennen.
Allerdings nden wir aufgrund der Gröÿe derextrapolierten Temperatur im Vergleih
zu anderen existierenden Untersuhungen eine leihte Präferenz für
O(4)
-Verhalten.Zu beahten ist, dass das Quadrat der Pionmasse als Argument die Quarkmasse er-
setzt, die dem eigentlihen symmetriebrehenden äuÿeren Feld entspriht. Die verwen-
dete Beziehung,
m 2 π ∼ m q
,stellt allerdingsnur dieführendeOrdnung indersogenann-ten hiralen Störungstheorie dar, weshalb dieGültigkeitder obigen Formelfür Massen
m π & 500
MeV niht erwartet werden kann. Diesbegründet insbesondere unsere WahlderoberenGrenze derbetrahteten Pionmassen.
Eine zweite Möglihkeit, Skalenverhalten zu untersuhen, ist die magnetishe Zu-
standsgleihung,
ψψ
= h 1/δ f (x) ,
mitderSkalenvariablen
x = (β − β
hiral)/h 1/(δβ)
,wobeiderkritisheExponent von derGitterkopplungimZählerzuuntersheidenist.DieobigeGleihungsetztdenOrdnungs-
parameter,dashiraleKondensat,miteinerSkalenfunktioninVerbindung,diefür
O(4)
bekanntist.Das dieSymmetrieexplizit brehende äuÿereFeldist hierwiederum durh
die Quarkmasse gegeben, die aber niht wie zuvor durh die Pionmasse ersetzt wird.
Insgesamt erlaubt die magnetishe Zustandsgleihung die Betrahtung etwas gröÿerer
TemperaturbereiheundistnihtunmittelbaraufdieBestimmungderpseudokritishen
Temperatur beigegebenerPionmasse angewiesen.
Wir stellen fest, dass wir die beiden leihteren Massen durh die magnetishe Zu-
standsgleihung unter Zuhilfenahme führender Skalenverletzungen für
O(4)
-Verhaltenbeshreiben können. Aufgrund derÄhnlihkeit derExponenten führtdies aber keines-
wegszueinemAusshlussderanderenmöglihenSzenarien.Jedohkönnenwirfeststel-
len,dasswireinselbstkonsistentesBildmit
O(4)
-VerhaltenimhiralenLimeserhalten.Einen direkten Zugang, die Stärke der Anomalie zu untersuhen, bieten sogenann-
tesreening-Massen. DieseshirmenMediumanregungen mitentsprehenden Quanten-
zahlen räumlih ab. Neben den Massen bietet es sih auh an, das Integral über die
Korrelatoren, ausdenen die Massen bestimmt werden, zu betrahten, da hier ohne die
Notwendigkeit eines Fits weniger systematishe Eekte auftreten können. Tatsählih
zeigtsih,dasswiraufdiesesVorgehenangewiesen sind,daaufBasisderunszurVerfü-
gung stehenden Datenmenge die sreening-Massen selbst niht genau genug bestimmt
werdenkönnen.Wirverwenden dieKorrelatoren,diedengeladenen avour-Multiplett-
Teilhenentsprehen.DieserleihtertdieAuswertung,dakeineunverbundenenBeiträge
vorkommen, diesehrstark durhnumerishes Raushen beeinträhtigt sind.
Neben derAnalyse auf Grundlage der inunseren o.g.Simulationen erzeugten Eih-
feldkongurationen betrahten wir auÿerdem den freien Limes der Theorie. In diesem
Grenzfalllassensih Diskretisierungs-und Volumeneekte untersuhen. Zumindestfür
diese Theorie ohne Wehselwirkungen nden wir, dass Korrekturen durh den Gitter-
abstanddieMassen verringern, während Volumeneekte zueiner Vergöÿerung führen.
DieAufspaltung derpseudoskalarenund skalaren sreening-Observablenist einMaÿ
für die Anomalie, da es sih um Partner unter Transformationen der
U A (1)
handelt.Zum hiralen Limes hinbeobahten wirsogar eine anwahsende Stärke der Anomalie,
waswiederum auf das
O(4)
-Szenario hinweist, ohne dass letztgültige Shlüssegezogen werdenkönnten, dakeine absoluteSkalafür dieAnomaliestärke zurVerfügung steht.In Kapitel 6 diskutieren wir die Erweiterung auf den Fall
N f = 2 + 1 + 1
, d.h. dieBerüksihtigung von dynamishen strange und harm Quarks. Dies ist von theoreti-
sherSeitekeinProblem,dasiheinmassenaufspaltenderTermindietmQCD-Wirkung
integrieren lässt. Geradedas strange Quark hat eine Masse im Bereih der Übergang-
stemperatur,sodassmangenerelleinenstarkenEinussvermutenkann.Wirbetrahten
wiederum den freien Druk, für den wirdiefreie, indiesemFallallerdings aufgespalte-
ne Dispersionsrelation inOrdnungen des Gitterabstandes entwikeln. Die zusätzlihen
Gitterartefaktedurhdie Aufspaltungerweisen sih alssehr klein.
Letztlih geben wir möglihe Parameterwerte für einen ersten Simulationslauf im
N f = 2 + 1 + 1
Rahmen an. Aufgrund der Erfahrung fürN f = 2
und basierend aufdenDaten,diebereitsvonETMCpubliziertwordensind,istdieWahleinesvielverspre-
henden Bereihs möglih.
Zusammenfassungund Ausblik geben wirinKapitel 7. DieseDissertation stellt die
erste Anwendung von gitterregularisierten Fermionen mit hiral verdrehtem Massen-
term auf physikalishe Fragestellungen im Rahmen der thermishen QCD dar. Unsere
Untersuhungen liefernerste Ergebnisse, dieuntermauern, dass dietmQCD einenviel-
versprehendenAnsatz fürdieseArtphysikalisherProblemezurVerfügungstellt.Dar-
über hinaus erlauben die hier vorgestellten Resultate die Vertiefung und Erweiterung
derbisherigen Studien inzukünftigen Projekten.
AngeführtsindnoheinigeAnhänge,indenenwirzusätzliheInformationen zurver-
wendeten Notation(A)undDetailsfürRehnungenimGrenzfallderfreienTheorie(C)
sowie Simulationsdetails (B, D)sammeln.
1. Introdution 1
2. Quantum Chromodynamis inthe Continuum 5
2.1. QCD andthe Standard Model. . . 5
2.1.1. Ation ofQCD . . . 6
2.1.2. Running Coupling . . . 7
2.2. Chiral Symmetry . . . 8
2.3. Thermal Systems . . . 11
2.3.1. Thermal Field Theory . . . 11
2.3.2. Heavy Ion Collisionsand theQuark-Gluon-Plasma . . . 13
3. Quantum Chromodynamis on the Lattie 15 3.1. Lattie GaugeTheory . . . 16
3.2. Wilson Fermions . . . 18
3.3. TwistedMass Fermions . . . 20
3.3.1. TwistedMass Formulation . . . 20
3.3.2. Automati Improvement . . . 21
3.3.3. Phase Diagram . . . 23
3.4. Alternative FermionDisretisations . . . 25
3.5. Numerial Simulations . . . 26
3.5.1. Hybrid Monte-Carlo . . . 27
3.5.2. Data Analysis. . . 28
4. Properties of Twisted Mass QCD at Finite Temperature 31 4.1. Phase Diagram . . . 31
4.1.1. Theoretial Expetations . . . 31
4.1.2. Comparison to Simulations . . . 32
4.2. WeakCoupling Limit. . . 34
4.2.1. Ideal Gas . . . 35
4.2.2. Two-loop Contribution . . . 38
5. Thermal Transition for Two Quark Flavours 41 5.1. Saling Properties . . . 42
5.2. Observables . . . 44
5.2.1. Chiral Condensate . . . 44
5.2.2. Gauge Observables . . . 46
5.3. Simulations . . . 47
5.3.1. Setup . . . 48
5.3.2. Signal Extration . . . 49
5.4. Transition inthe ChiralLimit . . . 53
5.5. Strength of the Anomaly . . . 57
5.5.1. Sreening Correlators. . . 57
5.5.2. Free SreeningMasses . . . 59
5.5.3. Large MassRegime. . . 62
5.5.4. Towards the Chiral Limit . . . 63
5.6. Summary and Disussion. . . 67
6. InludingStrange and Charm Quarks 69 6.1. Twisted Mass Ation withFour Flavours . . . 69
6.2. Four Flavours at FiniteTemperature . . . 70
6.2.1. CutoEets forthe Non-Interating Pressure . . . 70
6.2.2. SimulationSetup . . . 72
7. Conlusions and Researh Perspetives 75 A. Notations and Conventions 79 A.1. NaturalUnits . . . 79
A.2. DiraMatries andEulidean Spaetime . . . 79
B. Thermal Transitions inthe Bare Phase Diagram 81 C. Calulationsin the Non-InteratingLimit 83 C.1. Integralsfor the Free Pressure . . . 83
C.2. Free LattieSreeningMasses . . . 85
D. SimulationDetails 89 D.1. Interpolationof
κ c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89D.2. Monte-CarloData . . . 89
D.3. Gaussian Fits . . . 93
D.3.1. Run A12. . . 93
D.3.2. Run B10. . . 94
D.3.3. Run B12. . . 94
D.3.4. Run C12. . . 95
D.4. Resultsof SreeningMass Fits . . . 97
D.4.1. Run A12. . . 97
D.4.2. Run B10. . . 98
D.4.3. Run B12. . . 98
D.4.4. Run C12. . . 98
Bibliography 99
Danksagung 113
Lebenslauf 115
Sinethe rapiddevelopment ofquantumeldtheoriesinthe1960'sand 1970'sand the
disovery of asymptoti freedom in 1973 [1, 2℄ quantum hromodynamis (QCD) has
been established as the theory of strong interation. The main soure of ondene
for the validity of QCD is the high energy regime in whih ollider experiments an
be ompared to perturbative alulations. The outome of these experiments an be
desribedto very highauraybyQCDtogether withtheeletroweak theoryforming
the so-alled Standard Model of partile physis; for a olletion of those results see
e.g.[3℄.
For lower energies perturbation theory is not appliable due to the inreasing ou-
plingstrength. Thisprohibits,forinstane,perturbativealulationsofhadronmasses.
The oupling as a funtion of temperature is already too large for temperature sales
that are relevant to studies of thermal QCD systems. Moreover, perturbation theory
at nite temperature beyond the leading orders is in general obstruted by infrared
divergenes. This phenomenon is known as the Linde problem [4℄. Thermodynamis
of strongly interating matter is experimentally studied at the olliders RHIC 1
and
LHC 2
.Theheavyionollisionsatthoseollidersaremeant toprodueaveryhotstate
of matter in whih quarks and gluons are at least partially deonned, the so-alled
quark-gluonplasma (QGP). Of ourse, sine the evolution of the universe is a history
of dereasing temperature, at some early stage the QCD transition from a QGP-like
state to the hadroni phase as we observe it in today's universe must have ourred
andthus knowledge about thattransition isimportant for osmology. A seondfamily
of experiments, espeiallyFAIR at GSI 3
, addresses matter with higher density. This
regime, too, is not aessible for perturbation theory. Model studies suggest a phase
struturesimilar tothe onedepited ingure 1.1,whih isbased onthereviewin[5 ℄.
Lattiegaugetheorywasintroduedinthe1970sandearly1980sasatoolthatallows
to investigate QCD non-perturbatively by numerial means [6, 7, 8, 9℄. This applies
to both zero and non-vanishing temperature but is restrited to small baryon density
or equivalently small hemial potential. The latter is the more appropriate quantity
in terms of the grand anonial partition funtion usually used in lattie QCD. The
restritionis due to the so far unsolved sign-problem, seee.g. [10 ℄. Thisthesis fouses
on the rst appliation of a partiular formulation of lattie fermions with a so-alled
hirally twisted mass term to simulations addressing questions of nite temperature
QCD.Twistedmassfermionsoveromesomeproblemsofordinary(unimproved)Wilson
fermionsandoera theoretiallysoundontinuumlimit. We demonstratethattwisted
massfermions arewell appliable to study thermalproblems.
The physial objet of interest for this work is the thermal transition itself. The
transitionbetween the deonned andonned phaseis, asexplained above,under in-
1
SeetheRHICwebsite, www.bnl.gov/rhi.
2
SeetheLHCwebsite,lh.web.ern.h/lh.
3
SeetheFAIRportraitontheGSIhomepage,http://www.gsi.de/portrait/fa ir.ht ml.
?
?
µ µ µ T
sQGP
Quark-Gluon-
Plasma
hadrons
olor
superonduting
phases
?
?
?
?
? quarkyoni?
Figure 1.1.:Conjetured phasediagramof QCD.Theaxisofvanishing hemialpotentialis
aessible by non-perturbative lattie simulations. Most features of the phase
struture are expeted from model studies. This visualisation is based on the
reviewbyFukushimaandHatsuda[5℄.
vestigationinmodernollider experiments. Itsapparent entanglement withhiralsym-
metry breaking poses further questionsto theoretialresearh. The thermal transition
hasbeenstudiedinlattiesimulationsutilisingdierenttypesoffermiondisretisations,
the most detailed studies relying on the staggered fermion formulation by Kogut and
Susskind [11℄ aswell asimproved versions thereof. Exhaustive reviewsan befound in
the proeedingsof the annualLattie onferenes, e.g.[12 ℄. Various attempts to go to
nitehemialpotentialbasedondierenttehniqueshavebeenmadeandareurrently
being pursued [10, 13℄. Whereas in priniple those methods are appliable to twisted
massfermionsaswellastoanyotherfermiondisretisation,thisthesisisonlyonerned
with vanishing hemial potential pioneering theuse oftwisted massfermions at nite
temperature.
Partiularly important is to know the nature of the phase transition depending on
the quark mass. That is beause omputational ost varies with a negative exponent
forthequarkmassandforalongtimethepointofphysialquarkmasseshasonlybeen
aessible by extrapolations [14 ℄. For Wilson type fermions physial quarkmasses are
stillbeyondreahforpratialpurposeswhereasstaggeredfermionsarealotheaperin
termsof omputingtime. However, theomputationaladvantageofstaggeredfermions
omes withan on-going dispute about their validity[15,16 ℄.
Theurrentunderstanding ofthenatureofthephasetransitionintheplanespanned
bythemassof up anddownquarks
m ud
taken to be degenerate and thestrangequark mass
m s
is skethed ingure 1.2in thepopular way. It has been demonstrated that thetransition at the physial point is really an analytial rossover [17 , 18 ℄ thattakes plae in a temperature interval
T ∼ 150 − 200
MeV [19, 20 , 21 ℄. On the otherhand,thetemperatureoftherstordertransitionforinnitequarkmasses,i.e.inpure
SU(3) gauge theory, is about 280MeV [22℄. We give more details with fous on the
two-avour limit later whendisussingour results inhapter5.
Twisted mass fermions have been used suessfully by the European Twisted Mass
m ud
m s
1
st1
stgauge
N f
= 3
N f = 2 + 1
phys.pt.
Z(2)
Z(2)
C
R
OSSO
VER
N f = 2
m
tris
N f = 1
O(4)?
Figure1.2.:The nature of the phase transition in the
m ud − m s
plane asit is often shownin reviews, see e.g. [12℄. The upper right orner orresponds to
SU (3)
puregaugetheory with arst order deonnement transition. The masslesslimitin
the lower left orner exhibits the rst order transition due to hiral symmetry
breaking. Thesituationforthetwoavourhirallimit,i.e.theupperleftorner,
isnotompletelylear. Onepossibilityisshownintheplotwiththeseondorder
transitionofthe3d
O(4)
universalitylassthatextends downtosometriritial strangequarkmass. ButalsoarstordertransitionwithaZ (2)
boundaryasinthetwopreviouslymentionedasesisnotruled out.
Collaboration(ETMC)toalulatevauumpropertiesofQCDsuhashadronmassesor
deayonstants[23,24 ℄. Appliationofthesefermionstonitetemperaturesystemshas
been pursued by thetwisted mass nite temperature (tmfT) ollaboration [25, 26 , 27,
28,29,30 ℄aspartof whih the workfor thisthesishaspredominantly been performed.
Theproperties of twisted mass fermions at nite temperature and thephysial results
obtained and presented here an serve for further researh relying on this partiular
type of fermions.
Thisthesisisstruturedasfollows. ThenexthapterontainsapresentationofQuan-
tumChromodynamis asa part of theStandard Model. This inludes the ontinuum
ation, hiral symmetries and the treatment in thermal eld theory. We also give a
shortoverviewabout the relevant heavy ionollisionexperiments.
Chapter3isusedto introdue thelattie disretisationoffermions andinpartiular
Wilsontypefermionswithtwistedmassterm. Thefollowinghapter4ontinuesthedis-
ussionoftwistedmassQCDbypresentingourstudiesofthenon-trivialphasestruture
inbare parameterspae [29℄ andof theperturbative properties ofimprovement [31℄.
Chapter5isdevotedtosimulationswithtwo avoursofmassdegeneratequarks. For
this setup the nature of thetransition in thehiral limit is still an open question that
wedisuss inthelight ofour results. Weassess thepotential ofpossibleapproahesto
solvethatquestion,viz.extrapolations ofthepseudo-ritialtemperature asafuntion
of pion mass and omparison of thehiral ondensate to universal saling. Moreover,
we investigate the splitting in the spetrum of sreening masses that gives indiret
information on the nature of the transition by the strength of the axial anomaly. We
spend part of the hapter to disuss possible systemati errorsin thedetermination of
sreening masses bylooking at theinnitetemperature limit.
Ina short hapter 6,we onsider theextension of twistedmass QCDto strange and
harmquarksinthe so-alled
N f = 2 + 1 + 1
setup. Althoughsofarnonumerial simu-lations areavailable, we present some thoughtson possible strategiesand theexpeted
size ofutoeets. Finally,onlusionsaredrawnandperspetivesforfutureresearh
are given inhapter7.
Continuum
This hapter serves to present Quantum Chromodynamis (QCD) as a quantum eld
theoryinits ontinuum formulation. We begin inthefollowing setionbyintroduing
the ation of QCD, being part of the Standard Model. The ruial onept of hiral
symmetryis then disussed insetion 2.2. Setion 2.3 ontains the treatment of ther-
mal QCD systems and is used to give a short overview about the heavy ion ollider
experimentsomplementing the theoretialstudy of hot nulear matter.
For the basis of quantum eld theory and the Standard Model, we refer to the
textbookbyPeskinand Shroeder[32 ℄,additionalinspirationhasbeen taken from[33℄.
Ourpresentation ofthermal eldtheoryis basedonKapusta's book[34 ℄.
2.1. QCD and the Standard Model
The Standard Model of elementary partile physis ombines the strong, weak and
eletromagnetiinterations into the ommon framework ofquantum eldtheory. The
fourthfundamentalinteration,gravity,standsapartbeauseaomparablequantisation
hasnot been aomplishedup to thepresent.
The key onept that renders quantum eld theory interating is the priniple of
loal gauge invariane. The gauge groups are harateristi for the partiular type of
interation,i.e.
SU (3)
forthestronginterationandSU w (2) × U Y (1)
fortheeletroweaksetor. The latter symmetry group is broken to the eletromagneti
U em (1)
allowingthe
W ±
andZ
bosons to be massive. It is hoped that the outome of the urrentLHC experiments will shed light on themehanism of this symmetrybreaking, whih
an be desribed by introduing the so-far unobserved Higgs partile into the theory,
f. e.g. [35 ℄. In the following, we onentrate on QCD whih this thesis is onerned
with.
An early stage in the development of QCD as theory of the strong interation was
theidentiation of quarks as onstituents of hadroni matter by Gell-Mann [36 ℄ and
Zweig [37 ℄ motivated by the lassiation of hadron multiplets that are at least ap-
proximately mass degenerate. The dynamial desription of strong interation is then
obtainedinterms ofa Yang-Millstheory[38 ℄ withagaugegroup
SU(N c )
for three so-alledolourdegreesoffreedom,
N c = 3
. AlthoughYang-Millstheorieshadbeenknownsine the 1950s, their true relevane only beame lear due to thedisovery of asymp-
toti freedom by Politzer [1 ℄, Gross and Wilzek [2 ℄. Asymptoti freedom desribes a
dereasinginterationstrengthforlargemomentumtransfer,i.e.onsmalllengthsales.
Aordingly, interations beome stronger and stronger for large distanes. This prop-
ertyof thenon-Abelian Yang-Millstheoryallowsfor onnement, i.e.theexperimental
fatthatquarksareneverobserved asfreepartiles.
2.1.1. Ation of QCD
Webeginthedisussion ofQCDbygivingits ation funtional,
S[ψ, ψ, A µ ] = Z
d
4 x
X
f
ψ f (x) (
iγ µ D µ − m f ) ψ f (x) − 1
4 F µν a (x)F a,µν (x)
.
(2.1)In more detail, we an identify the integrand to onsist of fermioni and pure gauge
(Yang-Mills) Lagrangian densities,
L F = X
f
ψ f (x) (
iγ µ D µ − m f ) ψ f (x) ,
(2.2a)L Y M = − 1
4 F µν a (x)F a,µν (x) .
(2.2b)Conentratingonthefermionipartrst,weseethatthequarksaselementaryfermions
are expressedby the ontinuous spinor elds
ψ f (x)
,one for eah quarkavourf
. TheDira
γ
-matriesat inspinorspae and have to full{ γ µ , γ ν } = 2g µν ,
(2.3)with the Minkowski metri
g µν
. Note that the right hand side is really proportional to theunit matrix inspinor spae on whih also theDira matries at. However, wefollowtheommononventionandusuallysuppresstheexpliitappearaneofsuhunit
matriesin our formulae.
Interations are mediated by the gluons whih are desribed bymeans of the gauge
elds
A a µ (x)
,a = 1, . . . , N c 2 − 1
. The oupling appears intermsoftheovariant deriva-tive,
D µ = ∂ µ −
igA a µ T a .
(2.4)The generators of
SU (N c )
,T a
, form a Lie algebra with the properommutation rela-tions,
[T a , T b ] =
if abc T c .
(2.5)The seond part of the QCD ation orresponding to the Yang-Mills Lagrangian
density given in equation (2.2b) aounts for the pure gauge dynamis. The eld
strength
F µν a
an be dened bytheovariant derivative,[D µ , D ν ] = −
igF µν a T a .
(2.6)Sine thegauge groupis non-Abelian, the Yang-Mills ation ontains three- and four-
gluon self-interations. This is the essential dierene between the Abelian Quantum
Eletrodynamis andthe non-Abelian QCD.
Thespinor elds transformin thefundamental representation of olour
SU (3)
. Thegaugeelds,
A a µ
,ensureloalgaugeinvarianethroughtheovariantderivativeandhaveto transform themselves in the adjoint representation of
SU (3)
. Correspondingly, the innitesimal gaugetransformationsreadψ(x) → (1 +
iα a (x)T a )ψ(x) ,
(2.7a)A a µ (x) → A a µ (x) + 1
g ∂ µ α a (x) + f abc A b µ (x)α c µ (x) ,
(2.7b)orrespondingto aglobal transformation matrix
exp (
iα a (x)T a ) ∈ SU (3)
.Onethe ation isgiven,theexpetationvaluefor some primary observable,
K
,anbe expressed as a path integral, i.e. as an integral that is dened on the spae of all
possible eldongurations,
h K i = 1 Z
Z
D [ψ, ψ, A µ ] K[ψ, ψ, A µ ]
eiS[ψ,ψ,A µ ] ,
(2.8)withthe normalisation given by
Z = Z
D [ψ, ψ, A µ ]
eiS[ψ,ψ,A µ ] .
(2.9)For later purposes it is useful to note that the fermioni part of the ation an be
rewrittenby meansof a fermionkernel,the Diraoperator,
M F
,S F [ψ, ψ, A µ ] =
Z
d
4 x
X
f
ψ f (x) (
iγ µ D µ − m f ) ψ f (x)
=: (ψ, M F [A µ ]ψ) .
(2.10)Sinethefermionipathintegral isquadratiintheelds,itanbeevaluatedexpliitly,
rendering
Z
D [ψ, ψ]
ei(ψ,M F [A µ ]ψ) =
DetM F [A µ ] .
(2.11)2.1.2. Running Coupling
It is possible to perform perturbative QCD alulations for a small oupling strength
α s = g 2 /(4π)
. However,onehasto takeinto aounttherunningoftheouplingwhihisgovernedbytherenormalisationgroup equationwithrespettosomerenormalisation
sale
µ R
,µ 2 R
dd
µ 2 R α s = β(α s ) ,
(2.12)whereweusethenotationasinthereviewonQCDbythePartileDataGroup[39℄. In
thisontext,asymptotifreedomorrespondstoanegative
β
-funtion. IfQ 2
denotesthesale of momentum transferinsome proess of interest, then
α s (µ 2 R ≈ Q 2 )
determinesthe eetive interation strength and the negative
β
-funtion leads to a stable xedpoint for
Q 2 → ∞
,α s (Q 2 → ∞ ) = 0 .
(2.13)Inaseof QCDwith
N c = 3
andN f
fermions,theβ
-funtionto leading order,β(α s ) = − α 2 s
12π (11N c − 2N f ) ,
(2.14)ensuresasymptoti freedom aslong as
N f < 17
. Solving equation (2.12) expliitly toleading order,
α s = 1
1
6π (11N c − 2N f ) ln (µ R /Λ) ,
(2.15)theoupling approahesits asymptoti valuelogarithmially for largesales. Onsmall
sales, the divergene for
µ R /Λ → 1
indiates that the leading order approximationbeomes insuient. The integration onstant
Λ
introdues a typial sale into thetheory, for QCD
Λ
QCD≈ 200
MeV (see e.g.[32℄).Inpartiular,
α s (M Z 2 ) ∼ 0.12
withaZ
boson massM Z ≈ 91
GeV [39℄. Thisalreadyindiatesthatalulationsofhadronmassesandrelatedquantitiesonmuhlowersales
fallinthenon-perturbative regimeofQCDwithouplingstoolarge foranexpansionin
α s
to be validand thus neessitating anon-perturbative approah aswe pursueinthis thesis bymeans of lattieQCD.2.2. Chiral Symmetry
Inthissetion,wedisussthehiralsymmetriesofQCD.Thenotionofhiralsymmetry
will be important for the later analyses in hapter 5. Our ompilation onentrates
on well established properties of QCD, an extensive review that goes far beyond the
sope of this introdution was given by Gasser and Leutwyler [40 ℄. Additionally, we
ontinue to use the book by Peskin and Shroeder [32 ℄ as the standard referene. For
thefollowing,weonsiderthespinorelds
ψ
to bevetorsinavour spaewithN f = 2
or 3 omponents, i.e. we onentrate on the light quarks up, down and strange
relevant inthis ontext.
Introduing leftand right handed projetion operators,
P L = 1
2 (1 − γ 5 )
andP R = 1
2 (1 + γ 5 ) ,
(2.16)we an rewritethe fermioni partoftheQCDationfromequation(2.1) for
ψ L = P L ψ
and
ψ R = P R ψ
,obtaininga separation ofψ L
andψ R
for masslessfermions,S F [ψ, ψ, A µ ] =
Z
d
4 x ψ L (x)
iγ µ D µ ψ L (x) + ψ R (x)
iγ µ D µ ψ R (x)
.
(2.17)Themasslessationpossessesaglobal
SU L (N f ) × SU R (N f ) × U L (1) × U R (1)
symmetry.However, this symmetry is not ompletely realised by theQCD vauum as the orre-
sponding order parameter, the hiral ondensate
ψψ
, does not vanish. This breaks
the symmetryfor separate left and right handed transformations of thefermion elds.
Forthe following disussionit isthus advantageous to identify therelevant subgroups,
SU L (N f ) × SU R (N f ) × U L (N f ) × U R (1) ∼ = SU A (N f ) × SU V (N f ) × U A (1) × U V (1) ,
(2.18)where
ψψ
6
= 0
indues spontaneous breaking of the subgroupSU A (N f )
. The orre-sponding symmetrybreakingpattern reads
SU L (N f ) × SU R (N f ) → SU V (N f ) .
(2.19)To disuss the symmetries and in partiular the speial situation of
U A (1)
in moredetail,we beginbystatingthe relatedsymmetrytransformations.
SU A (N f ) :
( ψ →
eiα j τ j γ 5 ψ
ψ → ψ
eiα j τ j γ 5 ,
(2.20a)SU V (N f ) :
( ψ →
eiα j τ j ψ
ψ → ψ
e−
iα j τ j ,
(2.20b)U A (1) :
ψ →
eiαγ 5 ψ
ψ → ψ
eiαγ 5 ,
(2.20)U V (1) :
ψ →
eiα ψ
ψ → ψ
e−
iα .
(2.20d)Thematries
τ j
generateSU (N f )
.Expliitbreaking of hiral symmetrydue to nite quark masses an be investigated
bymeans ofthe hiral urrents,
j V µ = ψγ µ ψ ,
(2.21a)j A µ = ψγ µ γ 5 ψ ,
(2.21b)j V µ,a = ψγ µ τ a ψ ,
(2.21)j A µ,a = ψγ µ γ 5 τ a ψ .
(2.21d)Fromthe lassial Diraequation,
i
∂ µ γ µ ψ = M ψ ,
(2.22)where wenowallowthe mass,
M
,tobea matrix inavour spae, we have∂ µ j V µ = 0 ,
(2.23a)∂ µ j A µ = 2
iψM γ 5 ψ ,
(2.23b)∂ µ j µ,a V =
iψ [M, τ a ] ψ ,
(2.23)∂ µ j µ,a A =
iψ { M, τ a } γ 5 ψ .
(2.23d)As an be seen from (2.23a),
U V (1)
is always onserved whih orresponds to baryonnumber onservation. Although (2.23b) indiates
U A (1)
symmetry for vanishingquarkmasses,this isonly true on thelassiallevel. The interating theoryexpliitly breaks
U A (1)
byquantumorretions even inthehiral limit,∂ µ j µ A = − g 2 N f
32π 2 ε αβµν F αβ c F αβ c .
(2.24)Thisisknownasthe Adler-Bell-Jakiwanomaly of QCD. Thisanomaly isexpetedto
be restored at high temperatures [41℄ with possible impliations on the
N f = 2
hiraltransitionthataredisussed inhapter 5.
Suh an anomaly doesnot exist for the avour-multiplet axial urrent (2.23d) sine
theorrespondingalulationisproportionalto Tr
τ a = 0
. Infat,SU A (N f )
issponta-neouslybrokenbythenon-vanishinghiralondensate. Theexpliitsymmetrybreaking
for
SU A (N f )
sets in assoon asthe quarkmass is non-zero. This is dierent from thesituation for the vetor symmetry and its urrent, (2.23), whih is onserved even for
non-vanishingquarkmasses aslongasthe quarkmassmatrix isproportional to
1
,i.e.aslong asallonsidered avours aremassdegenerate.
In nature neither ondition is realised. We have non-zero, non-degenerate quark
masses,viz.
m u ≈ (1.7
3.3)
MeV,
(2.25a)m d ≈ (4.1
5.8)
MeV,
(2.25b)m s ≈ (80
130)
MeV (2.25)≈ (22
30) · m u + m d
2 ,
(2.25d)where wequotethenumbersasgivenbythePartileDataGroup[39 ℄intheMSsheme
at a renormalisation sale of 2GeV. One an still onsider the symmetries to be ap-
proximately realisedwiththemassesintroduing relativelysmallorretions. Thisisin
partiular true for
N f = 2
withm u
,m d
,m d − m u ≪ Λ
QCD. From this point of view,thethreepions arethe almostmasslesspseudo-Goldstonebosonsfor thespontaneously
broken
SU A (2)
symmetrywithm 2 π = B (m u + m d ) .
(2.26)Toalesserauraythisalsoholdsfor
SU A (3)
augmentingthesetofpseudo-Goldstone bosons by the pseudo-salar mesons withstrange valene quarks,K 0
,K 0
,K ±
,η
. A-ordingly,wean expetthekaonmassto bedetermined via
m 2 K = B (m u + m s ) ;
(2.27)also f. thedisussion on hiral symmetry breakingin [42 ℄. Note thatin later parts of
this thesiswe willalwaysonsiderthe lightup anddownquarksto be massdegenerate
sothat itisnot neessaryto further distinguishtheir masses intheabove formulae.
The approximate
SU V (2)
andSU V (3)
symmetries allow to lassify the hadrons a-ording to multiplets in the sense of Gell-Mann and Ne'eman. We show as an ex-
ample the multiplet of pseudo-Goldstone bosons in gure 2.1. The isospin triplet of
pions for
SU V (2)
is realised to a good auray, withm π ± = 139.57018(35)
MeV andm π 0 = 134.9766(6)
MeV, whereas the dierene to the other partiles in the enlargedSU V (3)
multiplet,with massesoftheorderof500MeV,ismuhlarger. Theexperimen-tal valueshave been takenfrom [39℄.
Finally,wementionthatequations(2.26)and(2.27)anbeunderstoodintheontext
of a systemati approah. This is ahieved by means of a low energy eetive theory,
viz. hiral perturbation theory (
χ
PT). For an extensive review, also inluding lattieregularisation, we refer to the letures by Sharpe [43℄. The eetive theory is built
aording to the hiral symmetry of QCD utilising the elds
Σ(x) ∈ SU (N f )
thattransform as
Σ → U L Σ(x)U R † ,
(2.28)where
U L
,U R ∈ SU (N f )
. Those elds arerelatedto the(pseudo-)Goldstone partiles,Σ(x) = exp (2
iπ a (x)T a /f ) ,
(2.29)I 3
S
π 0
η π +
π −
K + K 0
K − K 0
Figure2.1.:Pseudo-salarmesonmultiplet. Thehorizontal axismarksthethird omponent
of
SU (2)
isospin,I 3
, for the(u, d)
quark doublet. Along the vertial axis, thestrangeness
S
ofthepartilesinreases. Thepartiularvisualisationhosenhere isommonlyfoundintextbooks,see e.g.gure4.14ain[3℄.following the notation in [43 ℄ for a eld withvauum expetation value
h Σ i = 1
. Theonstant
f
balanes dimensions and an eventually be assoiated with the pion deayonstant. Toonstrutthe Lagrangian densitythatdeterminesthelowenergy eetive
theory,one hasnow to onsider all terms that areallowed by thesymmetries of QCD
toa givenorder inthepower ounting for derivativesand masses,
∂ 2 ∼ M
. To leadingorderone obtains
L χ = f 2 4
Tr∂ µ Σ∂ µ Σ †
− f 2 4
TrχΣ † + Σχ †
,
(2.30)with
χ = 2B 0 M
. Expanding the above Lagrangian density for the Goldstone elds,equation (2.29), leads to the relations between quark and Goldstone masses, i.e. the
previouslymentioned equations (2.26) and (2.27).
Werelyonresultsobtained in
χ
PTseveraltimeslater on. Thisinludesinpartiularthedisussionofthe strutureofbareparameterphasespaefor twisted massfermions
insetion 4.1 and the ruial determination of thepion mass from the simulation pa-
rameters asexplained insetion5.3.1.
2.3. Thermal Systems
Setion2.3.1 ontains asummaryofthermaleldtheoryforQCD, basedon [34 ℄,asfar
asweneeditforthisthesis. Connetionstoexperimentarethendrawninsetion2.3.2.
2.3.1. Thermal Field Theory
Todesribethermalsystemsinequilibrium,westart withthegrand-anonialpartition
funtion,
Z =
Tre−β(H −µ j N j ) ,
(2.31)where
µ j
arethe hemial potentials for onserved partile numbersn j = h N j i
. How-ever, for numerial simulations the inlusion ofa non-zero hemial potential isa very
intriate taskdue to the so-alled sign problem of hybrid Monte-Carlo simulations. A
numberof possible approahesto inlude at leastsmallvalues of
µ/T
for thequark-orbaryon-hemial potential havebeen pursued, for reviewssee [10, 13℄. Sine thisthesis
onentrates on the rst appliation of twisted mass fermions to thermodynamis of
QCD, we will fromnowon workwith zerohemialpotential.
Itisneessaryto onnetequation (2.31) toquantumeldtheories andinpartiular
to QCD. This relation is known from textbooks [34℄. The partition funtion is then
written asa path integraloveralldegrees offreedom,
Z = Z
D [ψ, ψ, A µ ]
e−S
E[ψ,ψ,A µ ] .
(2.32)The time diretion whih is meaningless to systems in equilibrium is traded for an
additionalEulideandimensionofniteextent,
β = 1/T
,deningthetemperature. The Eulidean ationS
E anbe obtained fromits Minkowski ounterpart inequation (2.1)bymeansofaWikrotationfromrealtoimaginarytime,i.e.
τ = −
it
,whereweidentifytheEulidean time
τ
tobethefourthomponentofafourdimensionalEulideanvetorx
E= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
,see appendix A.2. Finally,theEulidean ationreadsS
E= Z
d
3 x
1/T
Z
0
d
τ
X
f
ψ f (x) (γ µ D µ + m f ) ψ f (x) + 1
4 F µν a (x)F µν a (x)
.
(2.33)The nite extent in time diretion leads to disrete energy levels determined by the
so-alled Matsubara frequenies,
ω n =
2πnT
(bosons)(2n + 1)πT
(fermions), n ∈ Z .
(2.34)Correspondingly, integrals in time diretion are turned into disrete Matsubara sums.
The dierene between bosons and fermions is introdued by theboundary onditions
for theelds intemporal diretion. Whereas bosoni elds areperiodi, fermions obey
antiperiodiboundary onditions,i.e.
ψ(x + 1/T e ˆ 4 ) = − ψ(x) .
(2.35)Thisdiereneisultimatelyrelatedtothedierentstatistisofthetwotypesofpartiles
leading to Fermi-Dira andBose-Einstein oupation numbers respetively.
Given thepath integralrepresentation ofthegrand anonial partition funtion,the
thermal expetation value for aprimary observable,
K
,isobtained ash K i = 1
Z Z
D [ψ, ψ, A µ ] K[ψ, ψ, A µ ]
e−S
E[ψ,ψ,A µ ] .
(2.36)Moreover, basi thermodynami quantities an be alulated from the standard rela-
tions. For instane, the pressure of a homogeneous system is related to the partition
funtion by
p = T
V ln Z .
(2.37)Note however, that in partiular for numerial alulations in lattie QCD the overall
normalisation ofthepartitionfuntionisnotknown. Thisposesnoproblemtoexpeta-
tionvaluesasinequation(2.36). Buttoalulatethepressureorsimilarthermodynami
z t
strong fields classical dynamics gluons & quarks out of eq. viscous hydro
gluons & quarks in eq. ideal hydro hadrons kinetic theory freeze out
Figure2.2.:Timeevolutionofrelativistiheavyionollisions(from[50℄). Theheavynuleian
ollidewithdierententrality. Shownistheevolutionoftheollisionregion. The
rsttwostages referto theearlyout-of-equilibrium situation before theQuark-
Gluon Plasma is formed. With dereasing temperature the QGP undergoes a
transitionorrossoverto thehadroniphasewhihnallyfreezesout.
quantities,a detourvia derivatives andsubsequent integrationhasto befollowed sine
thosederivatives an thenbe expressedin termsof standard expetation values whih
areaessibleby thenumerial simulations.
For theperturbativetreatmentofthermal systems,therelevant salefor therunning
oupling is set by the temperature [34, 44℄,
µ R ∼ T
. Aording to equation(2.15) theoupling beomes temperature dependent, vanishing inthe innite temperature limit.
Thisisthe reasontoexpetafreegasofquarksand gluonsforvery hightemperatures.
However, lose to the thermal transition the oupling is still large. Perturbative be-
haviourisnotexpetedbeforetemperaturesmanytimeslargerthanthetransitiontem-
perature. Moreover,duetotheLindeproblem[4℄,astraightforwardexpansionintosmall
ouplingsis ingeneral not possibleto arbitraryorders. Therefore,perturbation theory
at nitetemperature needs moresophistiated tehniquesto lead to results away from
asymptotiallylarge temperaturessuh asdimensional redutionor hard thermal loop
alulations. For reent perturbative alulationsof thepressure, seee.g. [45 ,46, 47℄.
2.3.2. Heavy Ion Collisions and the Quark-Gluon-Plasma
Heavyionollisionsstudiedatthelargeolliders,RHICandLHC,provideexperimental
insight among others into the physis aessible to lattie QCD simulations at
vanishinghemialpotential. Hereweolletsomeinformationonheavyionollisionsin
ordertoskeththeonnetionoftheseexperimentsandtherelatedphysistothisthesis.
We baseour olletionmainly on the reviewsbyBraun-Munzinger and Stahel [48℄ as
wellasbyBraun-Munzingerand Wambah [49 ℄.
In ollisions of heavy ions, suh as gold or lead, the overlapping parts of the nulei
reate some intermediate partoni matter of high energy density far from equilibrium.
Thephysis of this stage isnot very well understood but there are models suh asthe
olourglassondensatethatareapabletoprovideinitial onditionsforthesubsequent
evolution(see e.g.[50℄). For an illustration, see gure 2.2. It is supposed thatshortly
after the ollision this matter reahes the (loally) equilibrated state of a quark-gluon
plasma (QGP), i.e. a thermal system with quarks and gluons as relevant degrees of
freedom. Note thatthis doesnot imply thatthe systeman be desribed bya weakly
oupledtheory. Infat, the opposite is trueand in theQGP just above the transition
non-perturbativeeetsmustnotbenegleted. Lattiesimulationswhihareatleast
in their standard version restrited to thermal equilibrium are apable to desribe
properties of this stage of evolution. The QGP formed in the ollision is rapidly ex-
panding and the desriptionbyhydrodynami evolution hasbeen suessful, assuming
an ideal uid,i.e.vanishingvisosity.
The most prominent input of lattie QCD to the study of QGP so far has been the
equation of state that is needed for a omplete hydrodynamial treatment. The di-
ulties that an arise for mapping lattie results to the experiment are illustrated by
another quantity, the transitiontemperature
T c
. Lattie simulations allow to alulate this temperature assoiated with the thermal transition or rossover. The latter aseis already ambiguous initself sine a rossover temperature neessarily dependendson
the hosen observable. In any ase, experiments atually measure something dierent,
the so-alled freeze-out temperature
T
h. The freeze-out temperature an be deter-
minedfrompartilemultipliitiesbyapplyingastatistialmodelthatassumeshemial
equilibrium has been reahed after entering the hadroni phase [51℄. Dueto the lose
agreement betweentherangeoflattievaluesfor
T c
andexperimentalresultsonT
h ,atleastfor smallhemialpotential where lattieQCDis mostreliable,it hashenebeen
argued that
T c & T
h shouldindeed be expeted for general reasons[52 ℄.SineneitherlattieQCDnor perturbativetehniquesanbeusedto investigate the
phase transition of QCD for smaller temperatures but larger hemial potential, this
regime an only be studied from models that have ommon symmetries with QCD or
fromsomekindofgeneralisationsuhasthelimitoflarge
N c
. Foraolletionofresults,we refer to the review byFukushima andHatsuda [5℄. Whereasfor vanishinghemial
potential thethermal transitionseemstoombine thedeonnement ofquarksand the
restoration of hiral symmetry, there ould be separate transitions at larger values of
the hemial potential, possibly exhibiting dierent orders of phase transitions. For
instane, based on alulations at large
N c
it hasbeen speulated that the parting ofthe two transitions introdues a new, hirally restoredbut still onnedphase into the
phase diagramofQCD [53 ,54℄.