OPUS 4 | The thermal transition of quantum chromodynamics with Twisted Mass Fermions

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(1)

Chromodynamis with Twisted Mass Fermions

Dissertation

zurErlangung desDoktorgrades

derNaturwissenshaften

vorgelegt beim Fahbereih Physik

derJohann WolfgangGoethe-Universität

inFrankfurtamMain

von

LarsZeidlewiz

ausRheine

Frankfurt2011

(D30)

(2)

Dekan: ProfessorDr. M. Huth

Gutahter: Prof.Dr. O.Philipsen

Prof.Dr. G. Münster(Universiät Münster)

Datum derDisputation: 01.07.2011

(3)

Quantenhromodynamik (QCD) istdieetablierteTheoriezurBeshreibungderstarken

WehselwirkungzwishendenKonstituentenderhadronishenMaterie.Dieelementaren

Freiheitsgrade inderQCD-Wirkung sinddabeiQuarks und Gluonen.Die Existenz der

Quarks wurde erstmals von Gell-Mann und Zweig inden 1960er Jahren postuliert. In

diesemZusammenhangbeshreibtderBegrionnement dieErfahrungstatsahe,dass

freieQuarks niht beobahtet werden.

Bei der QCD handelt es sih um eine niht-Abel'she Eihtheorie bzgl. der Gruppe

SU(3)

und der zugehörigen Farbladung. Das bedeutet, dass die QCD eine lokale Ei- hinvarianzunter

SU (3)

-Farbtransformationen aufweist.Insofernlässtsihonnement auh so formulieren, dass nur Farbsingulett-Zustände beobahtbar sind. Ein wesent-

lihes Merkmal der QCD ist die asymptotishe Freiheit, d.h. das Vershwinden der

Kopplungsstärke,

α s

,fürwahsende Impulsüberträgebzw. Energieskalen,

α s (Q 2 → ∞ ) → 0 .

InUmkehrung dieser Beziehung wähst die Kopplung für groÿe Abstände starkan, so

dasseineperturbative Beshreibung aufBasisderursprünglihenFreiheitsgradezusam-

menbriht,wasletztlih Voraussetzung für dasAuftretenvon onnement ist.

Während gerade derstörungstheoretishe Zugang beisehr hohen Energien erfolgrei-

he Tests derTheoriegegenüberExperimentenan Teilhenbeshleunigern erlaubt,sind

weite Energiebereihe niht perturbativ zugänglih. Dies trit neben der Vorhersage

des Hadronspektrums insbesondere auf die Untersuhung des thermishen Übergangs,

d.h.desÜbergangs von derhadronishen Phaseineinstark wehselwirkendes Plasma,

undder Materieeigenshaften oberhalb diesesÜbergangs zu. Dieser Bereih desQCD-

PhasendiagrammswirddurhShwerionenkollisionsexperimente anmodernenTeilhen-

beshleunigern (RHIC,LHC) untersuht.Inden Shwerionenkollisionen entsteht Mate-

rie sehr hoher Energiedihte, die dann in einen thermalisierten Zustand oberhalb des

thermishen Übergangs mündet. Während beitieferen Temperaturen diebeobahteten

HadronenMesonen(wiez.B.PionenundKaonen)undBaryonen(z.B.Protonenund

Neutronen)dierelevantenFreiheitsgradebilden,istdiesoberhalbdesÜbergangsniht

mehrder Fall.Dort interagieren dieursprünglih inder Wirkung auftretendenQuarks

undGluonen als Teilhen ineinem starkgekoppelten Plasma. Tatsählih hat sih ge-

zeigt,dass diesesQuark-Gluon-Plasma (QGP)zumindest inder Nähedesthermishen

ÜbergangsdurhidealeHydrodynamik beshriebenwerdenkann.DastatsähliheAuf-

brehenderBeshreibunghinzuwirklih freienTeilhen wirderstbeisehrvielhöheren

Temperaturen als Folge derasymptotishen Freiheiterwartet.

Durh dieEinführung derGitterregularisierung durh Wilson 1974 wurde eine Mög-

lihkeit geshaen, jenseits derStörungstheorie dieQCD niht-perturbativ zu untersu-

hen. Dazu werden die Minkowski-Raumzeit durh Wik-Rotation in eine Euklid'she

MetriküberführtunddaskontinuierliheRaumzeitvolumendurheinvierdimensionales

hyperkubishes Gitter mit Gitterabstand

a

ersetzt. Diese Regularisierung der Theorie

(4)

mit einem Abshneiden derImpulse bei

1/a

briht dieLorentz-Invarianz und führt zu einer komplizierten Behandlung in Störungstheorie. Der eigentlihe Grund, dieGitter-

formulierung der QCD zu verwenden besteht vielmehr darin, dass für endlihes Vo-

lumen numerishe Berehnungen unter Zuhilfenahme von leistungsfähigen Computern

bzw. Groÿrehnern durhgeführt werden können. Der dabei typisherweise verwendete

hybrideMonte-CarloAlgorithmus erzeugt eineMarkov-KettevonEihfeldkonguratio-

nen, die gegen die entsprehende Gleihgewihtsverteilung konvergieren. Derart lassen

sih statistishe Mittelwerte für primäre Observablen, die als Funktion des Eihfeldes

aufgefasst werdenkönnen, bestimmen.

Aufdiese Weise werdenimRahmenderGitter-QCD, bzw. allgemeinerinGittereih-

theorie, Vakuumerwartungswerte und auh thermishe Gleihgewihtserwartungswer te

berehnet.InthermisheSystemenwirdüberdieLängeder(Euklid'shen)Zeitrihtung

mit

N τ

Gitterpunkten eine Temperatur eingestellt, d.h.

T = 1/(aN τ )

.Dabei sind die

entsprehenden Randbedingungen derFelder inZeitrihtung zu beahten.

Während die Diskretisierung der reinen Eihtheorie keine weiteren konzeptionellen

Probleme aufweist,ist dieSituationfür Fermionenwesentlihkomplizierter.Einenaive

Diskretisierung der fermionishen Ableitungsterme führt dazu, dass sih die Anzahl

der Freiheitsgrade im Kontinuumslimes für jede Raumdimension verdoppelt. Diesem

DopplerproblemwirddurhvershiedeneMethodenderFermiondiskretisierungentgegen

getreten, diejeweilsandereVor- undNahteilebesitzen.

Gegenstand dieserDissertationist die Anwendung einer speziellen Variantegitterre-

gularisierterFermionenmitsogenanntemhiral verdrehtem Massenterm (twisted mass)

fürStudienderthermishenEigenshaftenderQuantenhromodynamik.Währenddiese

FermionenzurBerehnungvonVakuumeigenshaftenderQCDbereitserfolgreihdurh

dieEuropean Twisted Mass Collaboration (ETMC) eingesetzt wordensind, ist dieerst-

malige Anwendung auf physikalishe Fragestellungen bei endlihen Temperaturen in

dieser Arbeitenthalten. Nebenkonkreten physikalishen Problemen geht es alsoinsbe-

sondere darum, die spezishen Eigenshaften der twisted mass-Formulierung jenseits

desVakuumszu untersuhen undeinSimulationskonzept zu erstellen.

Dabeiliegt der Fokus im Wesentlihen auf dereinfahsten Formulierung dertwisted

mass QCD (tmQCD), die ein massenentartetes leihtes Quarkdublett berüksihtigt.

Diesist dernatürlihe Anfangspunktfür Untersuhungen mit twisted mass Fermionen,

dadieseFermiondiskretisierungaufBasissolheravour-Dublettskonstruiertwird.Die

Grundlage für die Massenverdrehung bilden Gitterfermionen vom Wilson-Typ. Dieser

TypusvermeidetdasDopplerproblem,indemdiehiraleSymmetriedurheinenzusätz-

lihen Term in derWirkung explizit gebrohen wird. Diesführt neben einer additiven

Massenrenormierung insbesondere dazu, dassGitterartefakte bereits ineiner Ordnung

früher als bei anderen Fermionen auftauhen, d.h. in

O (a)

. Derartige Probleme ha-

ben andere Arten derFermiondiskretisierung niht. Insbesondere staggered Fermionen

sindsehroftfür thermishe Studienverwendetworden.AllerdingsistdieGültigkeitder

staggered FermionformulierungjenseitsderStörungstheorieumstritten,sodassweitest-

gehendanerkannt ist,dass diestaggered-Ergebnisse durhUntersuhungen mitalterna-

tiven Fermiontypen kontrolliert werden müssen.

Die Modikation der Wilson'shen Fermionen durh den hiral verdrehten Massen-

termerlaubtnun,zumindestdieführendeOrdnungderDiskretisierungsartefaktewieder

zu

O (a 2 )

zu korrigieren, wenn man den unverdrehten Anteil der Quarkmasse zu Null einstellt. DiesespezielleWahl,dieletztlihzu einerVerdrehungum

π/2

korrespondiert,

(5)

bezeihnet man übliherweise als maximale Verdrehung bzw. maximal twist. Maximal

verdrehte Wilson-Fermionenbilden damit neben denauh benutztenlover Fermio-

nen eine vielversprehende Wahl für die Anwendung auf thermishe Systeme, die

typisherweise stark durhDiskretisierungeekte beeinträhtigt sind.

DieseDissertationistwiefolgtstrukturiert.DiebisherigeneinleitendenErläuterungen

entsprehen den Kapiteln 1 bis3, wobei dort natürlih in weit gröÿerem Maÿe auf die

theoretishen Grundlagen eingegangen wird. Dies shlieÿt insbesondere die Diskussion

derlaufenden KopplungundhiralerSymmetrien inKapitel2 ein.Bei denErläuterun-

genderGitter-QCDwirdinsbesonderedietmQCDmit ihrenbesonderen Eigenshaften

betrahtet. Neben derautomatishen

O (a)

-Verbesserung beimaximalemtwist umfasst diesauh dieETMC-Untersuhungen zu derniht-trivialen Vakuumstrukturim Raum

derunrenormierten Parameter

κ

,

β

und

µ 0

.

κ = (2am 0 + 8) −1

ist dabei derHopping-

parameter,

β = 6/g 2

dieGitterkopplungund

µ 0

dertwisted mass-Parameter.

InKapitel4werdenanshlieÿendeinigegenerelleEigenshaftendertmQCDbeiniht-

vershwindenderTemperaturbehandelt.DiesbetritzumeinendiezuvorgenanntePha-

senraumstruktur.BeiendlihenTemperaturenkommtalsneuesElementderthermishe

Überganghinzu.TatsählihkonntenwirbasierendaufeinerVermutungvonCreutzden

thermishen Übergang als Flähe im Phasendiagramm ausmahen, die sih kegelartig

umden kritishen Hoppingparameter windet und zu gröÿeren Temperaturen sprih

β

immergröÿerwird.Dieentsprehenden SimulationenwurdenvordieserDissertati- onbegonnen. Allerdings mahen wir deutlih,welhe wesentlihen Aspekte tatsählih

Teil dieser Arbeit sind. Alles in allem ist es wihtig anzumerken, dass die unphysika-

lishen Phasen verstanden sind und für den eigentlih interessanten Kontinuumslimes

keinbedeutendes Hindernisdarstellen.

Der zweite Zugang, der inKapitel 4 verfolgt wird, besteht in störungstheoretishen

Berehnungen desDruks.Hierbeiextrahieren wirdieAbhängigkeit vonden führenden

Ordnungen in

a

explizit für den freien Druk und nden, dass sih die vershiedenen Diskretisierungenim

a 2

-Skalierungsbereih niht starkuntersheiden. Allerdings bleibt festzuhalten, dass

a 2

-Verhalten niht vor

N τ ∼ 10

beobahtet wird. Qualitativ gleihe

Shlussfolgerungen lassen sih auh aus der nähsten Ordnung, den Zweishleifendia-

grammen, ziehen.

Kapitel 5 enthält unsere Untersuhung des

N f = 2

thermishen Übergangs.

N f

be-

zeihnet hierbei die Anzahl der Quark-Arten bzw. avours. Während sowohl für den

N f = 3

hiralen Limes als auh für die reine Eihtheorie klar ist, dass der thermishe

Übergang ein ehter Phasenübergang erster Ordnung ist, bleibt die Situation für den

thermishen ÜbergangimhiralenLimeszweierQuark-Artenunklar.Es gibtzweimög-

lihe Szenarien, die von Pisarski und Wilzek identiziert wurden. Das erste Szenario

sieht einenÜbergangzweiterOrdnungimhiralenLimesvor. Dieserwürdeinder drei-

dimensionalen

O(4)

-Universalitätsklasseliegen.DiezweiteMöglihkeitisteinÜbergang erster Ordnung gerade so wie in den zuvor genannten zwei anderen Grenzfällen. Ent-

sheidend ist hier die Stärke der

U A (1)

-Anomalie, die stark genug durh thermishe

Eekte unterdrükt sein muss, damit es zu einem Übergang erster Ordnung kommen

kann.

Imersten Teil vonKapitel 5präsentierenwirunsere Simulationsläufe. Dabeihandelt

essih umLäufe mit vershiedenen Werten derGitterkopplung

β

beikonstanterPion-

masseundmaximalerhiralerVerdrehung.DurhdieVeränderung von

β

verändernwir

überdenGitterabstandletztlihdieTemperatur

T = 1/(aN τ )

.FürdieAnalyserelevant

(6)

sind vier Datensätze bei drei vershiedenen Pionmassen,

300

MeV

≤ m π ≤ 500

MeV.

Viel kleinere Massen, womöglih sogar die physikalishe Pionmasse, sind mit Fermio-

nen vom Wilson-Typ derzeit niht zu erreihen. Die einzelnen Datensätze werden von

uns mit A12, B10, B12 und C12 benannt; die Zahl gibt die Anzahl der Gitterpunkte

in Zeitrihtung

N τ

an, sodass bei physikalish konstanten Bedingungen gröÿere

N τ

in

den Kontinuumslimes führen. Die Pionmassen sind im Einzelnen 316(16)MeV (A12),

398(20)MeV (B10, B12) und 469(24)MeV (C12). Die Ausdehnung des Gitters in die

räumlihen Rihtungenbeträgtin allenFällen

L = aN σ

mit

N σ = 32

Gitterpunkten.

Für die mittlere Masse gibt eszwei Gitterabstände, so dass sih die Gröÿe der Dis-

kretisierungseekte abshätzenlässt.Es zeigtsih,dassdiese kleinsindimVergleihzu

den Unsiherheiten, diedurh Statistikund Skalensetzung auftreten.

UmdenGitterabstand und diePionmassefür unsere Simulationsläufezu bestimmen

sowie um den kritishen Hoppingparameter als Bedingung für maximalen twist einzu-

stellen, haben wir auf die Daten zurükgegrien, die ETMC publiziert hat. Basierend

auf den

β

-Werten von ETMC,

β ∈ { 3.8, 3.9, 4.05, 4.2 }

, können wir sodie für uns inte-

ressanten Gröÿen zuverlässig interpolieren.

DiebetrahtetenObservablensinddashiraleKondensat,diePlaketteundderPolya-

kov-loop (Wilson-Linie).Letzterer istinderreinenEihtheoriederOrdnungsparameter

für den Phasenübergang von onnement zu deonnement. Von weiterem besonderen

Interesseist dashiraleKondensat,dasimGrenzfallmasseloser Quarksden Ordnungs-

parameter deshiralenPhasenübergangs darstellt.

Die Kategorisierung der vershiedenen Möglihkeiten von Phasenübergängen zwei-

ter Ordnung inUniversalitätsklassenerfolgt nah Spinmodellen.Im hiralenLimes der

zwei-avour-Theoriekönntediedreidimensionale

O(4)

-Universalitätvorliegen,wenndie Anomalie genügend starkist. Andererseits könntees zum Phasenübergang erster Ord-

nung kommen, dersih zu endlihen Quarkmassen erstreken würde. Dannmüsste ein

EndpunktzweiterOrdnunginder3d-IsingUniversalitätsklasseexistieren.DaunsereSi-

mulationendeutlihesVerhalteneinesanalytishenÜbergangesaufweisen,erwartetman

folglih für die Annäherung an den hiralen Limes entweder

O(4)

- oder

Z (2)

- (Ising)

Verhalten, wobeider

Z (2)

-Punkt beiendliherPionmasse zu nden wäre.

DieseBeobahtungderUniversalitätsklassemahtsihzuNutze,dassSkalenverhalten

shon ineinem kritishen Bereih um den eigentlihen Übergangspunkt vorherrshend

ist. Die erste von uns angewandte Extrapolationsmethode basiert auf dem Verhalten

derpseudokritishen Temperatur alsFunktionderPionmasse,

T c (m π ) = T c (0) + A(m π ) 2/(βδ) ,

wobei

β

und

δ

diefürdieUniversalitätsklasseharakteristishen kritishen Exponenten sind. Ein Fit mit freien Exponenten erweist sih als niht aussagekräftig. Tatsählih

sind die Exponenten zu nah beieinander, um die vershiedenen Szenarienzu trennen.

Allerdings nden wir aufgrund der Gröÿe derextrapolierten Temperatur im Vergleih

zu anderen existierenden Untersuhungen eine leihte Präferenz für

O(4)

-Verhalten.

Zu beahten ist, dass das Quadrat der Pionmasse als Argument die Quarkmasse er-

setzt, die dem eigentlihen symmetriebrehenden äuÿeren Feld entspriht. Die verwen-

dete Beziehung,

m 2 π ∼ m q

,stellt allerdingsnur dieführendeOrdnung indersogenann-

ten hiralen Störungstheorie dar, weshalb dieGültigkeitder obigen Formelfür Massen

m π & 500

MeV niht erwartet werden kann. Diesbegründet insbesondere unsere Wahl

deroberenGrenze derbetrahteten Pionmassen.

(7)

Eine zweite Möglihkeit, Skalenverhalten zu untersuhen, ist die magnetishe Zu-

standsgleihung,

ψψ

= h 1/δ f (x) ,

mitderSkalenvariablen

x = (β − β

hiral

)/h 1/(δβ)

,wobeiderkritisheExponent von der

GitterkopplungimZählerzuuntersheidenist.DieobigeGleihungsetztdenOrdnungs-

parameter,dashiraleKondensat,miteinerSkalenfunktioninVerbindung,diefür

O(4)

bekanntist.Das dieSymmetrieexplizit brehende äuÿereFeldist hierwiederum durh

die Quarkmasse gegeben, die aber niht wie zuvor durh die Pionmasse ersetzt wird.

Insgesamt erlaubt die magnetishe Zustandsgleihung die Betrahtung etwas gröÿerer

TemperaturbereiheundistnihtunmittelbaraufdieBestimmungderpseudokritishen

Temperatur beigegebenerPionmasse angewiesen.

Wir stellen fest, dass wir die beiden leihteren Massen durh die magnetishe Zu-

standsgleihung unter Zuhilfenahme führender Skalenverletzungen für

O(4)

-Verhalten

beshreiben können. Aufgrund derÄhnlihkeit derExponenten führtdies aber keines-

wegszueinemAusshlussderanderenmöglihenSzenarien.Jedohkönnenwirfeststel-

len,dasswireinselbstkonsistentesBildmit

O(4)

-VerhaltenimhiralenLimeserhalten.

Einen direkten Zugang, die Stärke der Anomalie zu untersuhen, bieten sogenann-

tesreening-Massen. DieseshirmenMediumanregungen mitentsprehenden Quanten-

zahlen räumlih ab. Neben den Massen bietet es sih auh an, das Integral über die

Korrelatoren, ausdenen die Massen bestimmt werden, zu betrahten, da hier ohne die

Notwendigkeit eines Fits weniger systematishe Eekte auftreten können. Tatsählih

zeigtsih,dasswiraufdiesesVorgehenangewiesen sind,daaufBasisderunszurVerfü-

gung stehenden Datenmenge die sreening-Massen selbst niht genau genug bestimmt

werdenkönnen.Wirverwenden dieKorrelatoren,diedengeladenen avour-Multiplett-

Teilhenentsprehen.DieserleihtertdieAuswertung,dakeineunverbundenenBeiträge

vorkommen, diesehrstark durhnumerishes Raushen beeinträhtigt sind.

Neben derAnalyse auf Grundlage der inunseren o.g.Simulationen erzeugten Eih-

feldkongurationen betrahten wir auÿerdem den freien Limes der Theorie. In diesem

Grenzfalllassensih Diskretisierungs-und Volumeneekte untersuhen. Zumindestfür

diese Theorie ohne Wehselwirkungen nden wir, dass Korrekturen durh den Gitter-

abstanddieMassen verringern, während Volumeneekte zueiner Vergöÿerung führen.

DieAufspaltung derpseudoskalarenund skalaren sreening-Observablenist einMaÿ

für die Anomalie, da es sih um Partner unter Transformationen der

U A (1)

handelt.

Zum hiralen Limes hinbeobahten wirsogar eine anwahsende Stärke der Anomalie,

waswiederum auf das

O(4)

-Szenario hinweist, ohne dass letztgültige Shlüssegezogen werdenkönnten, dakeine absoluteSkalafür dieAnomaliestärke zurVerfügung steht.

In Kapitel 6 diskutieren wir die Erweiterung auf den Fall

N f = 2 + 1 + 1

, d.h. die

Berüksihtigung von dynamishen strange und harm Quarks. Dies ist von theoreti-

sherSeitekeinProblem,dasiheinmassenaufspaltenderTermindietmQCD-Wirkung

integrieren lässt. Geradedas strange Quark hat eine Masse im Bereih der Übergang-

stemperatur,sodassmangenerelleinenstarkenEinussvermutenkann.Wirbetrahten

wiederum den freien Druk, für den wirdiefreie, indiesemFallallerdings aufgespalte-

ne Dispersionsrelation inOrdnungen des Gitterabstandes entwikeln. Die zusätzlihen

Gitterartefaktedurhdie Aufspaltungerweisen sih alssehr klein.

Letztlih geben wir möglihe Parameterwerte für einen ersten Simulationslauf im

N f = 2 + 1 + 1

Rahmen an. Aufgrund der Erfahrung für

N f = 2

und basierend auf

(8)

denDaten,diebereitsvonETMCpubliziertwordensind,istdieWahleinesvielverspre-

henden Bereihs möglih.

Zusammenfassungund Ausblik geben wirinKapitel 7. DieseDissertation stellt die

erste Anwendung von gitterregularisierten Fermionen mit hiral verdrehtem Massen-

term auf physikalishe Fragestellungen im Rahmen der thermishen QCD dar. Unsere

Untersuhungen liefernerste Ergebnisse, dieuntermauern, dass dietmQCD einenviel-

versprehendenAnsatz fürdieseArtphysikalisherProblemezurVerfügungstellt.Dar-

über hinaus erlauben die hier vorgestellten Resultate die Vertiefung und Erweiterung

derbisherigen Studien inzukünftigen Projekten.

AngeführtsindnoheinigeAnhänge,indenenwirzusätzliheInformationen zurver-

wendeten Notation(A)undDetailsfürRehnungenimGrenzfallderfreienTheorie(C)

sowie Simulationsdetails (B, D)sammeln.

(9)

1. Introdution 1

2. Quantum Chromodynamis inthe Continuum 5

2.1. QCD andthe Standard Model. . . 5

2.1.1. Ation ofQCD . . . 6

2.1.2. Running Coupling . . . 7

2.2. Chiral Symmetry . . . 8

2.3. Thermal Systems . . . 11

2.3.1. Thermal Field Theory . . . 11

2.3.2. Heavy Ion Collisionsand theQuark-Gluon-Plasma . . . 13

3. Quantum Chromodynamis on the Lattie 15 3.1. Lattie GaugeTheory . . . 16

3.2. Wilson Fermions . . . 18

3.3. TwistedMass Fermions . . . 20

3.3.1. TwistedMass Formulation . . . 20

3.3.2. Automati Improvement . . . 21

3.3.3. Phase Diagram . . . 23

3.4. Alternative FermionDisretisations . . . 25

3.5. Numerial Simulations . . . 26

3.5.1. Hybrid Monte-Carlo . . . 27

3.5.2. Data Analysis. . . 28

4. Properties of Twisted Mass QCD at Finite Temperature 31 4.1. Phase Diagram . . . 31

4.1.1. Theoretial Expetations . . . 31

4.1.2. Comparison to Simulations . . . 32

4.2. WeakCoupling Limit. . . 34

4.2.1. Ideal Gas . . . 35

4.2.2. Two-loop Contribution . . . 38

5. Thermal Transition for Two Quark Flavours 41 5.1. Saling Properties . . . 42

5.2. Observables . . . 44

5.2.1. Chiral Condensate . . . 44

5.2.2. Gauge Observables . . . 46

5.3. Simulations . . . 47

5.3.1. Setup . . . 48

5.3.2. Signal Extration . . . 49

5.4. Transition inthe ChiralLimit . . . 53

(10)

5.5. Strength of the Anomaly . . . 57

5.5.1. Sreening Correlators. . . 57

5.5.2. Free SreeningMasses . . . 59

5.5.3. Large MassRegime. . . 62

5.5.4. Towards the Chiral Limit . . . 63

5.6. Summary and Disussion. . . 67

6. InludingStrange and Charm Quarks 69 6.1. Twisted Mass Ation withFour Flavours . . . 69

6.2. Four Flavours at FiniteTemperature . . . 70

6.2.1. CutoEets forthe Non-Interating Pressure . . . 70

6.2.2. SimulationSetup . . . 72

7. Conlusions and Researh Perspetives 75 A. Notations and Conventions 79 A.1. NaturalUnits . . . 79

A.2. DiraMatries andEulidean Spaetime . . . 79

B. Thermal Transitions inthe Bare Phase Diagram 81 C. Calulationsin the Non-InteratingLimit 83 C.1. Integralsfor the Free Pressure . . . 83

C.2. Free LattieSreeningMasses . . . 85

D. SimulationDetails 89 D.1. Interpolationof

κ c

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

D.2. Monte-CarloData . . . 89

D.3. Gaussian Fits . . . 93

D.3.1. Run A12. . . 93

D.3.2. Run B10. . . 94

D.3.3. Run B12. . . 94

D.3.4. Run C12. . . 95

D.4. Resultsof SreeningMass Fits . . . 97

D.4.1. Run A12. . . 97

D.4.2. Run B10. . . 98

D.4.3. Run B12. . . 98

D.4.4. Run C12. . . 98

Bibliography 99

Danksagung 113

Lebenslauf 115

(11)

Sinethe rapiddevelopment ofquantumeldtheoriesinthe1960'sand 1970'sand the

disovery of asymptoti freedom in 1973 [1, 2℄ quantum hromodynamis (QCD) has

been established as the theory of strong interation. The main soure of ondene

for the validity of QCD is the high energy regime in whih ollider experiments an

be ompared to perturbative alulations. The outome of these experiments an be

desribedto very highauraybyQCDtogether withtheeletroweak theoryforming

the so-alled Standard Model of partile physis; for a olletion of those results see

e.g.[3℄.

For lower energies perturbation theory is not appliable due to the inreasing ou-

plingstrength. Thisprohibits,forinstane,perturbativealulationsofhadronmasses.

The oupling as a funtion of temperature is already too large for temperature sales

that are relevant to studies of thermal QCD systems. Moreover, perturbation theory

at nite temperature beyond the leading orders is in general obstruted by infrared

divergenes. This phenomenon is known as the Linde problem [4℄. Thermodynamis

of strongly interating matter is experimentally studied at the olliders RHIC 1

and

LHC 2

.Theheavyionollisionsatthoseollidersaremeant toprodueaveryhotstate

of matter in whih quarks and gluons are at least partially deonned, the so-alled

quark-gluonplasma (QGP). Of ourse, sine the evolution of the universe is a history

of dereasing temperature, at some early stage the QCD transition from a QGP-like

state to the hadroni phase as we observe it in today's universe must have ourred

andthus knowledge about thattransition isimportant for osmology. A seondfamily

of experiments, espeiallyFAIR at GSI 3

, addresses matter with higher density. This

regime, too, is not aessible for perturbation theory. Model studies suggest a phase

struturesimilar tothe onedepited ingure 1.1,whih isbased onthereviewin[5 ℄.

Lattiegaugetheorywasintroduedinthe1970sandearly1980sasatoolthatallows

to investigate QCD non-perturbatively by numerial means [6, 7, 8, 9℄. This applies

to both zero and non-vanishing temperature but is restrited to small baryon density

or equivalently small hemial potential. The latter is the more appropriate quantity

in terms of the grand anonial partition funtion usually used in lattie QCD. The

restritionis due to the so far unsolved sign-problem, seee.g. [10 ℄. Thisthesis fouses

on the rst appliation of a partiular formulation of lattie fermions with a so-alled

hirally twisted mass term to simulations addressing questions of nite temperature

QCD.Twistedmassfermionsoveromesomeproblemsofordinary(unimproved)Wilson

fermionsandoera theoretiallysoundontinuumlimit. We demonstratethattwisted

massfermions arewell appliable to study thermalproblems.

The physial objet of interest for this work is the thermal transition itself. The

transitionbetween the deonned andonned phaseis, asexplained above,under in-

1

SeetheRHICwebsite, www.bnl.gov/rhi.

2

SeetheLHCwebsite,lh.web.ern.h/lh.

3

SeetheFAIRportraitontheGSIhomepage,http://www.gsi.de/portrait/fa ir.ht ml.

(12)

?

?

µ µ µ T

sQGP

Quark-Gluon-

Plasma

hadrons

olor

superonduting

phases

?

?

?

?

? quarkyoni?

Figure 1.1.:Conjetured phasediagramof QCD.Theaxisofvanishing hemialpotentialis

aessible by non-perturbative lattie simulations. Most features of the phase

struture are expeted from model studies. This visualisation is based on the

reviewbyFukushimaandHatsuda[5℄.

vestigationinmodernollider experiments. Itsapparent entanglement withhiralsym-

metry breaking poses further questionsto theoretialresearh. The thermal transition

hasbeenstudiedinlattiesimulationsutilisingdierenttypesoffermiondisretisations,

the most detailed studies relying on the staggered fermion formulation by Kogut and

Susskind [11℄ aswell asimproved versions thereof. Exhaustive reviewsan befound in

the proeedingsof the annualLattie onferenes, e.g.[12 ℄. Various attempts to go to

nitehemialpotentialbasedondierenttehniqueshavebeenmadeandareurrently

being pursued [10, 13℄. Whereas in priniple those methods are appliable to twisted

massfermionsaswellastoanyotherfermiondisretisation,thisthesisisonlyonerned

with vanishing hemial potential pioneering theuse oftwisted massfermions at nite

temperature.

Partiularly important is to know the nature of the phase transition depending on

the quark mass. That is beause omputational ost varies with a negative exponent

forthequarkmassandforalongtimethepointofphysialquarkmasseshasonlybeen

aessible by extrapolations [14 ℄. For Wilson type fermions physial quarkmasses are

stillbeyondreahforpratialpurposeswhereasstaggeredfermionsarealotheaperin

termsof omputingtime. However, theomputationaladvantageofstaggeredfermions

omes withan on-going dispute about their validity[15,16 ℄.

Theurrentunderstanding ofthenatureofthephasetransitionintheplanespanned

bythemassof up anddownquarks

m ud

taken to be degenerate and thestrange

quark mass

m s

is skethed ingure 1.2in thepopular way. It has been demonstrated that thetransition at the physial point is really an analytial rossover [17 , 18 ℄ that

takes plae in a temperature interval

T ∼ 150 − 200

MeV [19, 20 , 21 ℄. On the other

hand,thetemperatureoftherstordertransitionforinnitequarkmasses,i.e.inpure

SU(3) gauge theory, is about 280MeV [22℄. We give more details with fous on the

two-avour limit later whendisussingour results inhapter5.

Twisted mass fermions have been used suessfully by the European Twisted Mass

(13)

m ud

m s

1

st

1

st

gauge

N f

= 3

N f = 2 + 1

phys.pt.

Z(2)

Z(2)

C

R

OSSO

VER

N f = 2

m

tri

s

N f = 1

O(4)?

Figure1.2.:The nature of the phase transition in the

m ud − m s

plane asit is often shown

in reviews, see e.g. [12℄. The upper right orner orresponds to

SU (3)

pure

gaugetheory with arst order deonnement transition. The masslesslimitin

the lower left orner exhibits the rst order transition due to hiral symmetry

breaking. Thesituationforthetwoavourhirallimit,i.e.theupperleftorner,

isnotompletelylear. Onepossibilityisshownintheplotwiththeseondorder

transitionofthe3d

O(4)

universalitylassthatextends downtosometriritial strangequarkmass. Butalsoarstordertransitionwitha

Z (2)

boundaryasin

thetwopreviouslymentionedasesisnotruled out.

Collaboration(ETMC)toalulatevauumpropertiesofQCDsuhashadronmassesor

deayonstants[23,24 ℄. Appliationofthesefermionstonitetemperaturesystemshas

been pursued by thetwisted mass nite temperature (tmfT) ollaboration [25, 26 , 27,

28,29,30 ℄aspartof whih the workfor thisthesishaspredominantly been performed.

Theproperties of twisted mass fermions at nite temperature and thephysial results

obtained and presented here an serve for further researh relying on this partiular

type of fermions.

Thisthesisisstruturedasfollows. ThenexthapterontainsapresentationofQuan-

tumChromodynamis asa part of theStandard Model. This inludes the ontinuum

ation, hiral symmetries and the treatment in thermal eld theory. We also give a

shortoverviewabout the relevant heavy ionollisionexperiments.

Chapter3isusedto introdue thelattie disretisationoffermions andinpartiular

Wilsontypefermionswithtwistedmassterm. Thefollowinghapter4ontinuesthedis-

ussionoftwistedmassQCDbypresentingourstudiesofthenon-trivialphasestruture

inbare parameterspae [29℄ andof theperturbative properties ofimprovement [31℄.

Chapter5isdevotedtosimulationswithtwo avoursofmassdegeneratequarks. For

this setup the nature of thetransition in thehiral limit is still an open question that

wedisuss inthelight ofour results. Weassess thepotential ofpossibleapproahesto

solvethatquestion,viz.extrapolations ofthepseudo-ritialtemperature asafuntion

of pion mass and omparison of thehiral ondensate to universal saling. Moreover,

we investigate the splitting in the spetrum of sreening masses that gives indiret

information on the nature of the transition by the strength of the axial anomaly. We

(14)

spend part of the hapter to disuss possible systemati errorsin thedetermination of

sreening masses bylooking at theinnitetemperature limit.

Ina short hapter 6,we onsider theextension of twistedmass QCDto strange and

harmquarksinthe so-alled

N f = 2 + 1 + 1

setup. Althoughsofarnonumerial simu-

lations areavailable, we present some thoughtson possible strategiesand theexpeted

size ofutoeets. Finally,onlusionsaredrawnandperspetivesforfutureresearh

are given inhapter7.

(15)

Continuum

This hapter serves to present Quantum Chromodynamis (QCD) as a quantum eld

theoryinits ontinuum formulation. We begin inthefollowing setionbyintroduing

the ation of QCD, being part of the Standard Model. The ruial onept of hiral

symmetryis then disussed insetion 2.2. Setion 2.3 ontains the treatment of ther-

mal QCD systems and is used to give a short overview about the heavy ion ollider

experimentsomplementing the theoretialstudy of hot nulear matter.

For the basis of quantum eld theory and the Standard Model, we refer to the

textbookbyPeskinand Shroeder[32 ℄,additionalinspirationhasbeen taken from[33℄.

Ourpresentation ofthermal eldtheoryis basedonKapusta's book[34 ℄.

2.1. QCD and the Standard Model

The Standard Model of elementary partile physis ombines the strong, weak and

eletromagnetiinterations into the ommon framework ofquantum eldtheory. The

fourthfundamentalinteration,gravity,standsapartbeauseaomparablequantisation

hasnot been aomplishedup to thepresent.

The key onept that renders quantum eld theory interating is the priniple of

loal gauge invariane. The gauge groups are harateristi for the partiular type of

interation,i.e.

SU (3)

forthestronginterationand

SU w (2) × U Y (1)

fortheeletroweak

setor. The latter symmetry group is broken to the eletromagneti

U em (1)

allowing

the

W ±

and

Z

bosons to be massive. It is hoped that the outome of the urrent

LHC experiments will shed light on themehanism of this symmetrybreaking, whih

an be desribed by introduing the so-far unobserved Higgs partile into the theory,

f. e.g. [35 ℄. In the following, we onentrate on QCD whih this thesis is onerned

with.

An early stage in the development of QCD as theory of the strong interation was

theidentiation of quarks as onstituents of hadroni matter by Gell-Mann [36 ℄ and

Zweig [37 ℄ motivated by the lassiation of hadron multiplets that are at least ap-

proximately mass degenerate. The dynamial desription of strong interation is then

obtainedinterms ofa Yang-Millstheory[38 ℄ withagaugegroup

SU(N c )

for three so-

alledolourdegreesoffreedom,

N c = 3

. AlthoughYang-Millstheorieshadbeenknown

sine the 1950s, their true relevane only beame lear due to thedisovery of asymp-

toti freedom by Politzer [1 ℄, Gross and Wilzek [2 ℄. Asymptoti freedom desribes a

dereasinginterationstrengthforlargemomentumtransfer,i.e.onsmalllengthsales.

Aordingly, interations beome stronger and stronger for large distanes. This prop-

ertyof thenon-Abelian Yang-Millstheoryallowsfor onnement, i.e.theexperimental

fatthatquarksareneverobserved asfreepartiles.

(16)

2.1.1. Ation of QCD

Webeginthedisussion ofQCDbygivingits ation funtional,

S[ψ, ψ, A µ ] = Z

d

4 x

 X

f

ψ f (x) (

i

γ µ D µ − m f ) ψ f (x) − 1

4 F µν a (x)F a,µν (x)

 .

(2.1)

In more detail, we an identify the integrand to onsist of fermioni and pure gauge

(Yang-Mills) Lagrangian densities,

L F = X

f

ψ f (x) (

i

γ µ D µ − m f ) ψ f (x) ,

(2.2a)

L Y M = − 1

4 F µν a (x)F a,µν (x) .

(2.2b)

Conentratingonthefermionipartrst,weseethatthequarksaselementaryfermions

are expressedby the ontinuous spinor elds

ψ f (x)

,one for eah quarkavour

f

. The

Dira

γ

-matriesat inspinorspae and have to full

{ γ µ , γ ν } = 2g µν ,

(2.3)

with the Minkowski metri

g µν

. Note that the right hand side is really proportional to theunit matrix inspinor spae on whih also theDira matries at. However, we

followtheommononventionandusuallysuppresstheexpliitappearaneofsuhunit

matriesin our formulae.

Interations are mediated by the gluons whih are desribed bymeans of the gauge

elds

A a µ (x)

,

a = 1, . . . , N c 2 − 1

. The oupling appears intermsoftheovariant deriva-

tive,

D µ = ∂ µ −

i

gA a µ T a .

(2.4)

The generators of

SU (N c )

,

T a

, form a Lie algebra with the properommutation rela-

tions,

[T a , T b ] =

i

f abc T c .

(2.5)

The seond part of the QCD ation orresponding to the Yang-Mills Lagrangian

density given in equation (2.2b) aounts for the pure gauge dynamis. The eld

strength

F µν a

an be dened bytheovariant derivative,

[D µ , D ν ] = −

i

gF µν a T a .

(2.6)

Sine thegauge groupis non-Abelian, the Yang-Mills ation ontains three- and four-

gluon self-interations. This is the essential dierene between the Abelian Quantum

Eletrodynamis andthe non-Abelian QCD.

Thespinor elds transformin thefundamental representation of olour

SU (3)

. The

gaugeelds,

A a µ

,ensureloalgaugeinvarianethroughtheovariantderivativeandhave

to transform themselves in the adjoint representation of

SU (3)

. Correspondingly, the innitesimal gaugetransformationsread

ψ(x) → (1 +

i

α a (x)T a )ψ(x) ,

(2.7a)

A a µ (x) → A a µ (x) + 1

g ∂ µ α a (x) + f abc A b µ (x)α c µ (x) ,

(2.7b)

(17)

orrespondingto aglobal transformation matrix

exp (

i

α a (x)T a ) ∈ SU (3)

.

Onethe ation isgiven,theexpetationvaluefor some primary observable,

K

,an

be expressed as a path integral, i.e. as an integral that is dened on the spae of all

possible eldongurations,

h K i = 1 Z

Z

D [ψ, ψ, A µ ] K[ψ, ψ, A µ ]

ei

S[ψ,ψ,A µ ] ,

(2.8)

withthe normalisation given by

Z = Z

D [ψ, ψ, A µ ]

ei

S[ψ,ψ,A µ ] .

(2.9)

For later purposes it is useful to note that the fermioni part of the ation an be

rewrittenby meansof a fermionkernel,the Diraoperator,

M F

,

S F [ψ, ψ, A µ ] =

Z

d

4 x

 X

f

ψ f (x) (

i

γ µ D µ − m f ) ψ f (x)

 =: (ψ, M F [A µ ]ψ) .

(2.10)

Sinethefermionipathintegral isquadratiintheelds,itanbeevaluatedexpliitly,

rendering

Z

D [ψ, ψ]

ei

(ψ,M F [A µ ]ψ) =

Det

M F [A µ ] .

(2.11)

2.1.2. Running Coupling

It is possible to perform perturbative QCD alulations for a small oupling strength

α s = g 2 /(4π)

. However,onehasto takeinto aounttherunningoftheouplingwhih

isgovernedbytherenormalisationgroup equationwithrespettosomerenormalisation

sale

µ R

,

µ 2 R

d

d

µ 2 R α s = β(α s ) ,

(2.12)

whereweusethenotationasinthereviewonQCDbythePartileDataGroup[39℄. In

thisontext,asymptotifreedomorrespondstoanegative

β

-funtion. If

Q 2

denotesthe

sale of momentum transferinsome proess of interest, then

α s (µ 2 R ≈ Q 2 )

determines

the eetive interation strength and the negative

β

-funtion leads to a stable xed

point for

Q 2 → ∞

,

α s (Q 2 → ∞ ) = 0 .

(2.13)

Inaseof QCDwith

N c = 3

and

N f

fermions,the

β

-funtionto leading order,

β(α s ) = − α 2 s

12π (11N c − 2N f ) ,

(2.14)

ensuresasymptoti freedom aslong as

N f < 17

. Solving equation (2.12) expliitly to

leading order,

α s = 1

1

6π (11N c − 2N f ) ln (µ R /Λ) ,

(2.15)

theoupling approahesits asymptoti valuelogarithmially for largesales. Onsmall

sales, the divergene for

µ R /Λ → 1

indiates that the leading order approximation

(18)

beomes insuient. The integration onstant

Λ

introdues a typial sale into the

theory, for QCD

Λ

QCD

≈ 200

MeV (see e.g.[32℄).

Inpartiular,

α s (M Z 2 ) ∼ 0.12

witha

Z

boson mass

M Z ≈ 91

GeV [39℄. Thisalready

indiatesthatalulationsofhadronmassesandrelatedquantitiesonmuhlowersales

fallinthenon-perturbative regimeofQCDwithouplingstoolarge foranexpansionin

α s

to be validand thus neessitating anon-perturbative approah aswe pursueinthis thesis bymeans of lattieQCD.

2.2. Chiral Symmetry

Inthissetion,wedisussthehiralsymmetriesofQCD.Thenotionofhiralsymmetry

will be important for the later analyses in hapter 5. Our ompilation onentrates

on well established properties of QCD, an extensive review that goes far beyond the

sope of this introdution was given by Gasser and Leutwyler [40 ℄. Additionally, we

ontinue to use the book by Peskin and Shroeder [32 ℄ as the standard referene. For

thefollowing,weonsiderthespinorelds

ψ

to bevetorsinavour spaewith

N f = 2

or 3 omponents, i.e. we onentrate on the light quarks up, down and strange

relevant inthis ontext.

Introduing leftand right handed projetion operators,

P L = 1

2 (1 − γ 5 )

and

P R = 1

2 (1 + γ 5 ) ,

(2.16)

we an rewritethe fermioni partoftheQCDationfromequation(2.1) for

ψ L = P L ψ

and

ψ R = P R ψ

,obtaininga separation of

ψ L

and

ψ R

for masslessfermions,

S F [ψ, ψ, A µ ] =

Z

d

4 x ψ L (x)

i

γ µ D µ ψ L (x) + ψ R (x)

i

γ µ D µ ψ R (x)

.

(2.17)

Themasslessationpossessesaglobal

SU L (N f ) × SU R (N f ) × U L (1) × U R (1)

symmetry.

However, this symmetry is not ompletely realised by theQCD vauum as the orre-

sponding order parameter, the hiral ondensate

ψψ

, does not vanish. This breaks

the symmetryfor separate left and right handed transformations of thefermion elds.

Forthe following disussionit isthus advantageous to identify therelevant subgroups,

SU L (N f ) × SU R (N f ) × U L (N f ) × U R (1) ∼ = SU A (N f ) × SU V (N f ) × U A (1) × U V (1) ,

(2.18)

where

ψψ

6

= 0

indues spontaneous breaking of the subgroup

SU A (N f )

. The orre-

sponding symmetrybreakingpattern reads

SU L (N f ) × SU R (N f ) → SU V (N f ) .

(2.19)

To disuss the symmetries and in partiular the speial situation of

U A (1)

in more

(19)

detail,we beginbystatingthe relatedsymmetrytransformations.

SU A (N f ) :

( ψ →

ei

α j τ j γ 5 ψ

ψ → ψ

ei

α j τ j γ 5 ,

(2.20a)

SU V (N f ) :

( ψ →

ei

α j τ j ψ

ψ → ψ

e

i

α j τ j ,

(2.20b)

U A (1) :

ψ →

ei

αγ 5 ψ

ψ → ψ

ei

αγ 5 ,

(2.20)

U V (1) :

ψ →

ei

α ψ

ψ → ψ

e

i

α .

(2.20d)

Thematries

τ j

generate

SU (N f )

.

Expliitbreaking of hiral symmetrydue to nite quark masses an be investigated

bymeans ofthe hiral urrents,

j V µ = ψγ µ ψ ,

(2.21a)

j A µ = ψγ µ γ 5 ψ ,

(2.21b)

j V µ,a = ψγ µ τ a ψ ,

(2.21)

j A µ,a = ψγ µ γ 5 τ a ψ .

(2.21d)

Fromthe lassial Diraequation,

i

µ γ µ ψ = M ψ ,

(2.22)

where wenowallowthe mass,

M

,tobea matrix inavour spae, we have

µ j V µ = 0 ,

(2.23a)

µ j A µ = 2

i

ψM γ 5 ψ ,

(2.23b)

µ j µ,a V =

i

ψ [M, τ a ] ψ ,

(2.23)

∂ µ j µ,a A =

i

ψ { M, τ a } γ 5 ψ .

(2.23d)

As an be seen from (2.23a),

U V (1)

is always onserved whih orresponds to baryon

number onservation. Although (2.23b) indiates

U A (1)

symmetry for vanishingquark

masses,this isonly true on thelassiallevel. The interating theoryexpliitly breaks

U A (1)

byquantumorretions even inthehiral limit,

µ j µ A = − g 2 N f

32π 2 ε αβµν F αβ c F αβ c .

(2.24)

Thisisknownasthe Adler-Bell-Jakiwanomaly of QCD. Thisanomaly isexpetedto

be restored at high temperatures [41℄ with possible impliations on the

N f = 2

hiral

transitionthataredisussed inhapter 5.

Suh an anomaly doesnot exist for the avour-multiplet axial urrent (2.23d) sine

theorrespondingalulationisproportionalto Tr

τ a = 0

. Infat,

SU A (N f )

issponta-

neouslybrokenbythenon-vanishinghiralondensate. Theexpliitsymmetrybreaking

for

SU A (N f )

sets in assoon asthe quarkmass is non-zero. This is dierent from the

(20)

situation for the vetor symmetry and its urrent, (2.23), whih is onserved even for

non-vanishingquarkmasses aslongasthe quarkmassmatrix isproportional to

1

,i.e.

aslong asallonsidered avours aremassdegenerate.

In nature neither ondition is realised. We have non-zero, non-degenerate quark

masses,viz.

m u ≈ (1.7

3.3)

MeV

,

(2.25a)

m d ≈ (4.1

5.8)

MeV

,

(2.25b)

m s ≈ (80

130)

MeV (2.25)

≈ (22

30) · m u + m d

2 ,

(2.25d)

where wequotethenumbersasgivenbythePartileDataGroup[39 ℄intheMSsheme

at a renormalisation sale of 2GeV. One an still onsider the symmetries to be ap-

proximately realisedwiththemassesintroduing relativelysmallorretions. Thisisin

partiular true for

N f = 2

with

m u

,

m d

,

m d − m u ≪ Λ

QCD. From this point of view,

thethreepions arethe almostmasslesspseudo-Goldstonebosonsfor thespontaneously

broken

SU A (2)

symmetrywith

m 2 π = B (m u + m d ) .

(2.26)

Toalesserauraythisalsoholdsfor

SU A (3)

augmentingthesetofpseudo-Goldstone bosons by the pseudo-salar mesons withstrange valene quarks,

K 0

,

K 0

,

K ±

,

η

. A-

ordingly,wean expetthekaonmassto bedetermined via

m 2 K = B (m u + m s ) ;

(2.27)

also f. thedisussion on hiral symmetry breakingin [42 ℄. Note thatin later parts of

this thesiswe willalwaysonsiderthe lightup anddownquarksto be massdegenerate

sothat itisnot neessaryto further distinguishtheir masses intheabove formulae.

The approximate

SU V (2)

and

SU V (3)

symmetries allow to lassify the hadrons a-

ording to multiplets in the sense of Gell-Mann and Ne'eman. We show as an ex-

ample the multiplet of pseudo-Goldstone bosons in gure 2.1. The isospin triplet of

pions for

SU V (2)

is realised to a good auray, with

m π ± = 139.57018(35)

MeV and

m π 0 = 134.9766(6)

MeV, whereas the dierene to the other partiles in the enlarged

SU V (3)

multiplet,with massesoftheorderof500MeV,ismuhlarger. Theexperimen-

tal valueshave been takenfrom [39℄.

Finally,wementionthatequations(2.26)and(2.27)anbeunderstoodintheontext

of a systemati approah. This is ahieved by means of a low energy eetive theory,

viz. hiral perturbation theory (

χ

PT). For an extensive review, also inluding lattie

regularisation, we refer to the letures by Sharpe [43℄. The eetive theory is built

aording to the hiral symmetry of QCD utilising the elds

Σ(x) ∈ SU (N f )

that

transform as

Σ → U L Σ(x)U R ,

(2.28)

where

U L

,

U R ∈ SU (N f )

. Those elds arerelatedto the(pseudo-)Goldstone partiles,

Σ(x) = exp (2

i

π a (x)T a /f ) ,

(2.29)

(21)

I 3

S

π 0

η π +

π

K + K 0

K K 0

Figure2.1.:Pseudo-salarmesonmultiplet. Thehorizontal axismarksthethird omponent

of

SU (2)

isospin,

I 3

, for the

(u, d)

quark doublet. Along the vertial axis, the

strangeness

S

ofthepartilesinreases. Thepartiularvisualisationhosenhere isommonlyfoundintextbooks,see e.g.gure4.14ain[3℄.

following the notation in [43 ℄ for a eld withvauum expetation value

h Σ i = 1

. The

onstant

f

balanes dimensions and an eventually be assoiated with the pion deay

onstant. Toonstrutthe Lagrangian densitythatdeterminesthelowenergy eetive

theory,one hasnow to onsider all terms that areallowed by thesymmetries of QCD

toa givenorder inthepower ounting for derivativesand masses,

2 ∼ M

. To leading

orderone obtains

L χ = f 2 4

Tr

µ Σ∂ µ Σ

− f 2 4

Tr

χΣ + Σχ

,

(2.30)

with

χ = 2B 0 M

. Expanding the above Lagrangian density for the Goldstone elds,

equation (2.29), leads to the relations between quark and Goldstone masses, i.e. the

previouslymentioned equations (2.26) and (2.27).

Werelyonresultsobtained in

χ

PTseveraltimeslater on. Thisinludesinpartiular

thedisussionofthe strutureofbareparameterphasespaefor twisted massfermions

insetion 4.1 and the ruial determination of thepion mass from the simulation pa-

rameters asexplained insetion5.3.1.

2.3. Thermal Systems

Setion2.3.1 ontains asummaryofthermaleldtheoryforQCD, basedon [34 ℄,asfar

asweneeditforthisthesis. Connetionstoexperimentarethendrawninsetion2.3.2.

2.3.1. Thermal Field Theory

Todesribethermalsystemsinequilibrium,westart withthegrand-anonialpartition

funtion,

Z =

Tre

−β(H −µ j N j ) ,

(2.31)

where

µ j

arethe hemial potentials for onserved partile numbers

n j = h N j i

. How-

ever, for numerial simulations the inlusion ofa non-zero hemial potential isa very

intriate taskdue to the so-alled sign problem of hybrid Monte-Carlo simulations. A

(22)

numberof possible approahesto inlude at leastsmallvalues of

µ/T

for thequark-or

baryon-hemial potential havebeen pursued, for reviewssee [10, 13℄. Sine thisthesis

onentrates on the rst appliation of twisted mass fermions to thermodynamis of

QCD, we will fromnowon workwith zerohemialpotential.

Itisneessaryto onnetequation (2.31) toquantumeldtheories andinpartiular

to QCD. This relation is known from textbooks [34℄. The partition funtion is then

written asa path integraloveralldegrees offreedom,

Z = Z

D [ψ, ψ, A µ ]

e

−S

E

[ψ,ψ,A µ ] .

(2.32)

The time diretion whih is meaningless to systems in equilibrium is traded for an

additionalEulideandimensionofniteextent,

β = 1/T

,deningthetemperature. The Eulidean ation

S

E anbe obtained fromits Minkowski ounterpart inequation (2.1)

bymeansofaWikrotationfromrealtoimaginarytime,i.e.

τ = −

i

t

,whereweidentify

theEulidean time

τ

tobethefourthomponentofafourdimensionalEulideanvetor

x

E

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )

,see appendix A.2. Finally,theEulidean ationreads

S

E

= Z

d

3 x

1/T

Z

0

d

τ

 X

f

ψ f (x) (γ µ D µ + m f ) ψ f (x) + 1

4 F µν a (x)F µν a (x)

 .

(2.33)

The nite extent in time diretion leads to disrete energy levels determined by the

so-alled Matsubara frequenies,

ω n =

2πnT

(bosons)

(2n + 1)πT

(fermions)

, n ∈ Z .

(2.34)

Correspondingly, integrals in time diretion are turned into disrete Matsubara sums.

The dierene between bosons and fermions is introdued by theboundary onditions

for theelds intemporal diretion. Whereas bosoni elds areperiodi, fermions obey

antiperiodiboundary onditions,i.e.

ψ(x + 1/T e ˆ 4 ) = − ψ(x) .

(2.35)

Thisdiereneisultimatelyrelatedtothedierentstatistisofthetwotypesofpartiles

leading to Fermi-Dira andBose-Einstein oupation numbers respetively.

Given thepath integralrepresentation ofthegrand anonial partition funtion,the

thermal expetation value for aprimary observable,

K

,isobtained as

h K i = 1

Z Z

D [ψ, ψ, A µ ] K[ψ, ψ, A µ ]

e

−S

E

[ψ,ψ,A µ ] .

(2.36)

Moreover, basi thermodynami quantities an be alulated from the standard rela-

tions. For instane, the pressure of a homogeneous system is related to the partition

funtion by

p = T

V ln Z .

(2.37)

Note however, that in partiular for numerial alulations in lattie QCD the overall

normalisation ofthepartitionfuntionisnotknown. Thisposesnoproblemtoexpeta-

tionvaluesasinequation(2.36). Buttoalulatethepressureorsimilarthermodynami

(23)

z t

strong fields classical dynamics gluons & quarks out of eq. viscous hydro

gluons & quarks in eq. ideal hydro hadrons kinetic theory freeze out

Figure2.2.:Timeevolutionofrelativistiheavyionollisions(from[50℄). Theheavynuleian

ollidewithdierententrality. Shownistheevolutionoftheollisionregion. The

rsttwostages referto theearlyout-of-equilibrium situation before theQuark-

Gluon Plasma is formed. With dereasing temperature the QGP undergoes a

transitionorrossoverto thehadroniphasewhihnallyfreezesout.

quantities,a detourvia derivatives andsubsequent integrationhasto befollowed sine

thosederivatives an thenbe expressedin termsof standard expetation values whih

areaessibleby thenumerial simulations.

For theperturbativetreatmentofthermal systems,therelevant salefor therunning

oupling is set by the temperature [34, 44℄,

µ R ∼ T

. Aording to equation(2.15) the

oupling beomes temperature dependent, vanishing inthe innite temperature limit.

Thisisthe reasontoexpetafreegasofquarksand gluonsforvery hightemperatures.

However, lose to the thermal transition the oupling is still large. Perturbative be-

haviourisnotexpetedbeforetemperaturesmanytimeslargerthanthetransitiontem-

perature. Moreover,duetotheLindeproblem[4℄,astraightforwardexpansionintosmall

ouplingsis ingeneral not possibleto arbitraryorders. Therefore,perturbation theory

at nitetemperature needs moresophistiated tehniquesto lead to results away from

asymptotiallylarge temperaturessuh asdimensional redutionor hard thermal loop

alulations. For reent perturbative alulationsof thepressure, seee.g. [45 ,46, 47℄.

2.3.2. Heavy Ion Collisions and the Quark-Gluon-Plasma

Heavyionollisionsstudiedatthelargeolliders,RHICandLHC,provideexperimental

insight among others into the physis aessible to lattie QCD simulations at

vanishinghemialpotential. Hereweolletsomeinformationonheavyionollisionsin

ordertoskeththeonnetionoftheseexperimentsandtherelatedphysistothisthesis.

We baseour olletionmainly on the reviewsbyBraun-Munzinger and Stahel [48℄ as

wellasbyBraun-Munzingerand Wambah [49 ℄.

In ollisions of heavy ions, suh as gold or lead, the overlapping parts of the nulei

reate some intermediate partoni matter of high energy density far from equilibrium.

Thephysis of this stage isnot very well understood but there are models suh asthe

olourglassondensatethatareapabletoprovideinitial onditionsforthesubsequent

evolution(see e.g.[50℄). For an illustration, see gure 2.2. It is supposed thatshortly

after the ollision this matter reahes the (loally) equilibrated state of a quark-gluon

plasma (QGP), i.e. a thermal system with quarks and gluons as relevant degrees of

freedom. Note thatthis doesnot imply thatthe systeman be desribed bya weakly

oupledtheory. Infat, the opposite is trueand in theQGP just above the transition

non-perturbativeeetsmustnotbenegleted. Lattiesimulationswhihareatleast

(24)

in their standard version restrited to thermal equilibrium are apable to desribe

properties of this stage of evolution. The QGP formed in the ollision is rapidly ex-

panding and the desriptionbyhydrodynami evolution hasbeen suessful, assuming

an ideal uid,i.e.vanishingvisosity.

The most prominent input of lattie QCD to the study of QGP so far has been the

equation of state that is needed for a omplete hydrodynamial treatment. The di-

ulties that an arise for mapping lattie results to the experiment are illustrated by

another quantity, the transitiontemperature

T c

. Lattie simulations allow to alulate this temperature assoiated with the thermal transition or rossover. The latter ase

is already ambiguous initself sine a rossover temperature neessarily dependendson

the hosen observable. In any ase, experiments atually measure something dierent,

the so-alled freeze-out temperature

T

h

. The freeze-out temperature an be deter-

minedfrompartilemultipliitiesbyapplyingastatistialmodelthatassumeshemial

equilibrium has been reahed after entering the hadroni phase [51℄. Dueto the lose

agreement betweentherangeoflattievaluesfor

T c

andexperimentalresultson

T

h ,at

leastfor smallhemialpotential where lattieQCDis mostreliable,it hashenebeen

argued that

T c & T

h shouldindeed be expeted for general reasons[52 ℄.

SineneitherlattieQCDnor perturbativetehniquesanbeusedto investigate the

phase transition of QCD for smaller temperatures but larger hemial potential, this

regime an only be studied from models that have ommon symmetries with QCD or

fromsomekindofgeneralisationsuhasthelimitoflarge

N c

. Foraolletionofresults,

we refer to the review byFukushima andHatsuda [5℄. Whereasfor vanishinghemial

potential thethermal transitionseemstoombine thedeonnement ofquarksand the

restoration of hiral symmetry, there ould be separate transitions at larger values of

the hemial potential, possibly exhibiting dierent orders of phase transitions. For

instane, based on alulations at large

N c

it hasbeen speulated that the parting of

the two transitions introdues a new, hirally restoredbut still onnedphase into the

phase diagramofQCD [53 ,54℄.

Figure

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