y Was ist EPR?

Theoretische Berechnung Theoretische Berechnung

von EPR

von EPR - - Parametern Parametern

Hauptseminar SS 2008 von André Konopka

Ü Ü bersicht bersicht

y Was ist EPR?

y Elemente relativistischer Quantenmechanik

y Berechnung des g-Tensors

y Berechnung der Hyperfein-Wechselwirkung

y Zusammenfassung

2

17.07.2008 Übersicht

Was ist EPR?

Was ist EPR?

Elektron Paramagnetische Resonanz

17.07.2008 3

y

Aufspaltung der Energieniveaus durch (externe) Magnetfelder

y

Spinsystem im Grundzustand (tiefe Temperaturen)

y

Resonante Absorption elektromagnetischer Strahlung (z.B. Mikrowellen)

Was ist EPR?

17.07.2008 4

Einfaches EPR

Einfaches EPR - - Spektrum Spektrum

∑

+

=

i

i i

B

B g S I A S

H

1

ˆ ˆ

ˆ G G

G G µ

Spin-Hamilton- Operator

Parameter:

y

g-Tensor

y

Hyperfein-WW

Was ist EPR?

17.07.2008 5

komplexeres EPR

komplexeres EPR - - Spektrum Spektrum

Was ist EPR?

Drei (doppel-) Linien

Eine weitere Linie

Woher kommt welche Linie ?

Greulich-Weber, Zur Struktur von Punktdefekte in SiC

17.07.2008 6

Gesucht ist der Zusammenhang zur Gesucht ist der Zusammenhang zur

mikroskopischen Struktur mikroskopischen Struktur

Was ist EPR?

Drei verschieden Einbauplätze für N in SiC lassen sich identifizieren

yZwei quasi-kubische (k₁&k₂)

yEin hexagonaler (h)

Stickstoff auf k₁&k₂ liefert die 3 (Doppel-)Linien mit großer Aufspaltung und Stickstoff auf h die zusätzliche Linie

Greulich-Weber, Zur Struktur von Punktdefekte in SiC

Elemente relativistischer QM Elemente relativistischer QM

17.07.2008 Elemente relativistischer QM 7

Notwendigkeit einer relativistischen Beschreibung, da viele

Effekte die EPR beeinflussen relativistischer Natur sind

y

Wechselwirkung der Elektronen mit Kernen auch in Kernnähe wichtig

y

Spin-Bahn-Kopplung spielt entscheidende Rolle

17.07.2008 8

Relativistische Grundgleichung ist Dirac Relativistische Grundgleichung ist Dirac- -

Gleichung Gleichung

{ ^{+ +} } ^Ψ

∂ = Ψ

∂ c mc V

i ⁼ t α ^G π ^G β

c A p

e

π

mit (Minimale Kopplung)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

Ψ Ψ Ψ Ψ

=

⎟⎟ Ψ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

S L i

i

i E

E

φ β φ

σ α σ

4 3 2 1

2

2 ,

0 , 0

0 0

1

2

) 1 (

) ( 2 mit

) (

−

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ + −

⋅ =

= mc

r V r E

mc S r

S

S

G G G

G G

π φ φ σ

Kopplung groß &

kleine Komponete

Elemente relativistischer QM

17.07.2008 9

Relativistische und nicht

Relativistische und nicht - - relativistische relativistische Elektronendichte f

Elektronendichte f ü ü r des 1s- r des 1s - Orbital Orbital

Elemente relativistischer QM

Berechnung des g

Berechnung des g - - Tensors Tensors

17.07.2008 Was ist EPR? 10

Nach Foult-Wouthuysen-Transformation erhält man

( ) ^σ ( ) ^σ ( ^π )

µ σ

G G

×

⋅ +

×

∇ +

⋅

∇ +

⋅ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

E

c m E e

c m E ic

c m B e

m g c A p e

H

2

4 8

8 2

2

i j

ij

S B

g H

∂

∂

= ∂ 2

α ∑ ∫

±

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

× ∂

∇

=

1

)

, (

2

σ σ

α σ

r B d

B r V j

g S

i j eff

so ij

G G

G

Berechnung der Hyperfein

Berechnung der Hyperfein - - WW WW

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 11 Kerne können magnetisches Moment haben

µ G

= g

µ

I G

Zusätzliche radialsymetrische B-Felder (bzw. Vektorpotentiale)

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

∇ ⎛

×

−

=

×

∇

= r r

r

A

1

)

( µ µ ^G

G G G

) ( )

( )

( r A r A r

A K G K G K

=

=

Störungsrechnung 1.Ordnung

17.07.2008 12

Dirac-Gleichung und H₁ als Störung

( )

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

=

π ^G A ^G H

π ^G c

H e H

Ψ

⋅ Ψ

−

=

∆ E

e G A G α

Berechnung der Hyperfein-WW Da Dirac-Gleichung linear in

p G ,

( )

{ }

A

e mc

c e

mc c A

c e c

H c A

H e

H

G G

G G G

G G

G

G G G

α

φ β

π α φ

β α

π α

π π

−

=

+ +

⎭ −

⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧ − + +

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

=

2 2

1

17.07.2008 13 Oder mit großer und kleiner Komponente:

{

}

HF

e A A

E = − φ σ ^G ⋅ ^G φ + φ σ ^G ⋅ ^G φ

∆

Kopplung von großer und kleiner Komponente zeigt Hyperfein-WW als relativistischen Effekt !

Berechnung der Hyperfein-WW

Entkopplung

17.07.2008 14

1

2

) 1 (

) ( 2 mit

) (

−

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ + −

⋅ =

= mc

r V r E

mc S r

S

S

G G G

G σ G π φ φ

( ) ^{( ) ( )} ( )

HF

A S r A S r

mc

E e φ σ ( ) σ π σ π σ ( ) φ

2

G G G G G G

G G G

G ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

−

=

∆

Bahnanteil Spinanteil

Berechnung der Hyperfein-WW

( ) { ( ) }

(

)

HF

S r A iS r A i A S r

mc

E e φ

π φ φ

σ π σ π

φ

2

G G G G G G

G G G G

G ⋅ + × + ×

−

=

∆

( ^{σ G ⋅ a G} ) ( ) ^{σ G ⋅ b G = a G ⋅ b G + i σ G ⋅ a G × b G}

mit

Bahnanteil

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 15

L L

I Orbit

HF

I L

L Orbit

HF

r L r S mc

E e

r L p

A p

A r mc S

E e

φ φ

µ

φ µ φ

G G G

G G

"

G G G G

G

3

3

) (

mit )

(

−

=

∆

⇒

=

=

⋅

⋅

−

=

∆

Für leichte Kerne weniger relevant als für schwere

Bedeutung nimmt über S mit Stärke der Spin-Bahn zu

Spinanteil

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 16

( )

[ ( ) ]

L B

L L

Spin HF

A r

S A

r S

r S A p

A r mc S

E e

φ σ

φ µ

φ σ

σ φ

G G G G

G

G G G

G G G

= G

⋅

∇ +

×

∇

−

=

×

⋅ +

∇

×

−

=

∆

) ( )

(

) ( )

2 (

( )

( ^{r r r} )

r r A r

I B

I

I

G G G G

G G

G G

⋅

−

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ × ∇

×

∇

=

×

∇

µ µ

δ π µ

µ

1 3 )

3 ( 8 mit

2 5

dipol HF contact

HF Spin

HF E E

E = ∆ + ∆

∆

Spinanteil

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 17

dipol

HF contact

HF Spin

HF E E

E = ∆ + ∆

∆

( )( )

{

}

L B

dipol

HF

r r r

r r

E = µ φ S ^G µ ^G σ ^G − σ ^G ⋅ ^G µ ^G ⋅ ^G φ

∆ ( )

3

5

Dieser Term beschreibt die Dipol-Dipol-WW von Kern- &

Elektronenspin (typische r^-3-Abhängigkeit)

Ist der anisotrope Anteil der HF-WW und im Experiment bei Drehung der Probe zu beobachten

Spinanteil

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 18

dipol

HF contact

HF Spin

HF E E

E = ∆ + ∆

∆

( )( )

[

]

L B L

I L

B contact

HF r r r

r S r r

r S

E

π µ φ

µ

σ

δ

φ µ φ σ

µ

σ

µ

φ

∂

− ∂

⋅

−

=

∆ 1₄ ²

) ( )

3 ( 8

Term I Term II

Der Term II verschwindet im nicht relativistischen Grenzfall, während Term I gerade im bei relativistischer Rechnung wegfällt

Spinanteil

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 19 nichtrelativistischer Grenzfall ( ) 1 = 0

∂

⇒ ∂

=

r

r S S

. . .

. .

. . .

. ,

) ( )

0 ( mit

) 0 3 (

8

rel n rel

n rel

n

rel n I B rel

n contact HF

r m

m E

φ δ

σ φ

µ π µ

G G G

G G

=

−

=

∆

Magnetisierungs- dichte

Falls diese nur in eine Richtung

) 0 ( )

0 ( )

( )

0

( =

r

= n

− n

m

φ

σ

δ ^G φ

( )( )

[

]

L B L

I L

B contact

HF r r r

r S r r

r S

E

π µ φ

µ

σ

δ

φ µ φ σ

µ

σ

µ

φ

⋅

⋅

−

∂ ⋅

− ∂

⋅

−

=

∆ 1₄ ²

) ( )

3 ( 8

Spinanteil

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 20 relativistisch

( )( )

[

]

L B L

I L

B contact

HF r r r

r S r r

r S

E

π µ φ

µ

σ

δ

φ µ φ σ

µ

σ

µ

φ

⋅

⋅

−

∂ ⋅

− ∂

⋅

−

=

∆ 1₄ ²

) ( )

3 ( 8

Für kleine r divergieren die rel. s-artigen Wellenfunktionen

2 2

1

mit 1

)

( r r λ α Z

φ ∝

= −

In Kernnähe gilt dann mit

r r Ze

V

2

) (G ≈

Ze r r mc

S r

E Ze mc

r mc

S _{r 2}

2 0

2 2

2 2

) ( 2

) 2

( ⇒ ⎯⎯ →⎯

− +

= G _→

G

( )

0

)

( r

∝ r

r ∝ r

⎯

⎯ → ⎯

S ^G φ

Spinanteil

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 21 relativistisch

( )( )

[

]

L B L

I L

B contact

HF r r r

r S r r

r S

E

π µ φ

µ

σ

δ

φ µ φ σ

µ

σ

µ

φ

⋅

⋅

−

∂ ⋅

− ∂

⋅

−

=

∆ 1₄ ²

) ( )

3 ( 8

( )

[ ^r ] ^{r mc Ze r r S r}

r S

th r th

Emc r

th th

∂

= ∂

⇒ + =

= +

∂

∂

2 2

2 2

2 2

4 ) 1 ( Radius)

- (Thomas

1 2 mit

δ

π

∫

=

−

=

∆

' )

' ( ) ' ( mit

3 8

3 .

,

r d r

m r

m

m E

th av

av I

B rel

contact HF

G G G

G

G G δ

µ

π µ

Spinanteil

17.07.2008 Berechnung der Hyperfein-WW 22 Vergleich der beiden Fälle liefert

. . ,

. ,

. contact n rel

rel contact

rel

E

k E

∆

= ∆

Atom Z k_rel

Si 14 1,022

Ge 22 1,144

Sn 50 1,421

Pb 82 3,000

Eine (skalar-)relativistische Rechnung wird also schon bei „relativ leichten“ Elementen nötig!

Zusammenfassung Zusammenfassung

y EPR ist geeignet Defekte in Festkörpern zu identifizieren

y Berechnung von g-Tensor & HF-WW von modellierten Defekten erleichter dieses

y Hyperfein-WW „relativ leicht“ durch Störungsrechnung zu bestimmen

y Relativistische Effekte sind von entscheidender Bedeutung

17.07.2008 Zusammenfassung 23

Danke f

Danke f ü ü r die Aufmerksamkeit r die Aufmerksamkeit

17.07.2008 24