Fachoberschule
SACHSEN-ANHALT
Kultusministerium
Rahmenrichtlinien
Fachrichtungsübergreifender Lernbereich
Mathematik
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Rahmenrichtlinien Fachoberschule
Fachrichtungsübergreifender Lernbereich
Mathematik
Schuljahrgänge 11 und 12
An der Erarbeitung der Rahmenrichtlinien haben mitgewirkt:
Kowalski, Lutz Magdeburg
Dr. Pruzina, Manfred Halle/Saale (Leitung der Kommission)
Radeiski, Lutz Dessau
Vorwort
Eine gute Bildung ist von entscheidender Bedeutung für die Zukunft unseres Landes und seiner Menschen. Bildung und Ausbildung sind Voraussetzung für die Entfaltung der Persönlichkeit eines jeden wie auch für die Leistungsfähigkeit von Staat, Wirtschaft und Gesellschaft.
Schule ist also kein Selbstzweck, sondern hat die jeweils junge Generation gründlich und umfassend auf ihre persönliche, berufliche und gesellschaftliche Zukunft vorzubereiten. Alle Schülerinnen und Schüler sind zu fördern. Dies bedeutet auch, dass jede/jeder die ihr bzw.
ihm mögliche Leistung erbringen kann und die dafür gebührende Anerkennung erhält.
Dies gilt nicht nur für die Lerninhalte, sondern auch für alle anderen Bereiche einschließlich des Sozialverhaltens. Gleichwohl haben gerade Rahmenrichtlinien die Schule als Ort ernsthaften und konzentrierten Lernens zu begreifen und darzustellen. Lernen umfasst dabei über Faktenwissen hinaus alles, was dazu dient, die Welt in ihren verschiedenen Aspekten und Zusammenhängen besser zu verstehen und sich selbst an sinnvollen Zielen und Aufgaben zu entfalten.
Rahmenrichtlinien können und sollen die pädagogische Verantwortung der Lehrkräfte nicht ersetzen. Sie beschreiben nicht alles, was eine gute Schule braucht. Ebenso bedeutsam für die Qualität einer Schule ist die Lern- und Verhaltenskultur, die an ihr herrscht. Eine Atmosphäre, die die Lernfunktion der Schule in den Vordergrund stellt und die Einhaltung von Regeln des Zusammenlebens beachtet, kann nicht über Vorschriften, sondern nur durch die einzelne Lehrkraft und das Kollegium in enger Zusammenarbeit mit den Lernenden erreicht werden.
Konkret erfüllen die Rahmenrichtlinien verschiedene Zwecke: für die Schulaufsicht sind sie Anhaltspunkte zur Wahrnehmung der Fachaufsicht, für Betriebe und Lernende können sie das Unterrichtsgeschehen durchschaubarer machen; Hersteller von Lehr- und Lernmitteln erhalten Hinweise zur Erstellung von Unterrichtsmaterialien.
Alle Rahmenrichtlinien haben ein Anhörungsverfahren durchlaufen, an dem viele Institutionen und Personen beteiligt waren.
Die in diesem Heft enthaltenen Rahmenrichtlinien für die Fachoberschule - fachrichtungs- übergreifender Lernbereich - treten im Schuljahr 2007/08 in Kraft.
Allen, die an der Herausgabe dieses Heftes mitgewirkt haben, sage ich meinen herzlichen Dank.
Ich wünsche allen Lehrerinnen und Lehrern bei der Planung und Durchführung ihres Unterrichts viel Erfolg.
Magdeburg, im August 2007 Prof. Dr. Jan-Hendrik Olbertz Kultusminister
5 Inhaltsverzeichnis
Seite
1 Aufgaben des Faches Mathematik an der Fachoberschule...6
2 Ziele und fachdidaktische Konzeption...8
3 Zur Arbeit mit den Rahmenrichtlinien...12
4 Darstellung der Themen, Ziele und Inhalte der Schuljahrgänge 11 und 12 ...13
4.1 Themenübersicht...13
4.2 Ziele und Inhalte ...14
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1 Aufgaben des Faches Mathematik an der Fachober- schule
Der Mathematikunterricht an der Fachoberschule vertieft und erweitert die mathematische Bildung, die die Schülerinnen und Schüler gemäß denBildungsstandards im Fach Mathema- tik für den Mittleren Schulabschluss1erworben haben.
Zugleich hat er zur Herausbildung der allgemeinen Studierfähigkeit an Fachhochschulen beizutragen.
Die Schülerinnen und Schüler begreifen insbesondere das Spezifische des mathematischen Denkens, der mathematischen Abstraktion und der Symbolisierungsmittel und setzen dies zur Lösung inner- und außermathematischer Aufgaben ein.
Dementsprechend besteht das Hauptziel in der Weiterentwicklung mathematischer Kompe- tenz. Diese muss sich in der Fähigkeit zeigen, das mathematische Wissen und Können in vielfältigen Situationen flexibel und verständig anwenden zu können.
Hierzu gehören u. a. die Ausprägung von Problemlösefähigkeiten und grundlegende Techni- ken des wissenschaftlichen Arbeitens.
Es werden folgende allgemeine intellektuelle Fähigkeiten und Haltungen der Schülerinnen und Schüler ausgeprägt:
– Die Schülerinnen und Schüler erwerben die Bereitschaft und die Fähigkeit zur sachli- chen Argumentation.
– Sie entwickeln die Bereitschaft und die Fähigkeit zur aktiven Auseinandersetzung mit Problemsituationen weiter. Dabei geht es insbesondere um das Entdecken von Bezie- hungen und Strukturen, um das Entwickeln von Alternativen sowie um das Vernetzen verschiedener Sachverhalte.
– Die Schülerinnen und Schüler prägen die Bereitschaft und die Fähigkeit zum Mathema- tisieren aus.
Im Mathematikunterricht ist bewusst auf die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltens- weisen hinzuwirken, die für eine Studierfähigkeit besonders relevant sind:
– Befähigung zur Kontrolle der Lösungswege und der erzielten Resultate,
– Entwicklung von Willen und Ausdauer zur Überwindung von Schwierigkeiten bei der Lösung von Aufgaben,
1 Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4.12.2003, Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss.
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– Erziehung zu Ordnung, Sauberkeit, Exaktheit, Systematik und Planmäßigkeit,
– Bereitschaft und Fähigkeit zum kooperativen Arbeiten, mit dem Ziel, Aufgaben gemein- sam und Konflikte sachlich zu lösen,
– Befähigung, das eigene Leistungsvermögen und das anderer selbstkritisch und sachlich einzuschätzen.
Der Mathematikunterricht trägt zur Bildung der Schülerinnen und Schüler bei, indem er ihnen insbesondere folgende Grunderfahrungen ermöglicht, die miteinander in engem Zusammen- hang stehen:
– technische, natürliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mithilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen,
– Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern und Formeln in der Bedeutung für die Beschreibung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathema- tik kennen und begreifen,
– in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit erwerben.
Mit diesen Schwerpunktsetzungen leistet der Mathematikunterricht auf fachspezifische Weise einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung von Fachkompetenz, Humankompetenz und Sozialkompetenz.
Der Mathematikunterricht soll Interessen und Begabungen fördern, wobei er naturgemäß das Gewicht auf mathematische, naturwissenschaftliche und technische Interessen legen wird.
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2 Ziele und fachdidaktische Konzeption
Die Beschreibung und Entwicklung mathematischer Kompetenz fußt auf einer Konzeption, bei der zwei Komponenten unterschieden werden.
1. Komponente: Allgemeine mathematische Kompetenzen 2. Komponente: Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
Mit allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind bestimmte Leistungsdispositionen zur Lösung von Aufgaben gemeint, die Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse und Verhaltens- eigenschaften umfassen, die zwar fachspezifisch vom mathematischen Arbeiten geprägt sind, aber nicht an spezielle mathematische Inhalte gebunden sind. Sie können jedoch nur durch inhaltsbezogene mathematische Tätigkeiten entwickelt werden.
Probleme mathematisch lösen Die Schülerinnen und Schüler
– erschließen Aufgabentexte inhaltlich, analysieren diese und entnehmen aufgabenrele- vante Informationen,
– nutzen heuristische Regeln, Strategien oder Prinzipien (vor allem Vorwärts- und Rück- wärtsarbeiten, Probleme in Teilprobleme zerlegen und Zurückführen auf Bekanntes), – wählen Lösungsverfahren aus und wenden diese unter den Aufgabenbedingungen an, – kontrollieren und interpretieren Ergebnisse, wobei sie auch auf eine dem Sachverhalt
angemessene Genauigkeit achten,
– reflektieren über das Finden von Lösungsideen und Lösungswegen bzw. geben ggf.
alternative Lösungswege an,
– nutzen Hilfsmittel (insbesondere Formel- und Tabellensammlungen, wissenschaftliche Taschenrechner, Mathematik-Software) angemessen.
mathematisch modellieren Die Schülerinnen und Schüler
– erkennen Beziehungen oder Strukturen in inner- und außermathematischen Kontexten und beschreiben diese mithilfe mathematischer Begriffe und Relationen sowie unter Ver- wendung von Gleichungen und Funktionen,
– erkennen Beziehungen oder Strukturen in inner- und außermathematischen Kontexten und beschreiben diese mithilfe von Vektoren,
– erkennen Beziehungen oder Strukturen in inner- und außermathematischen Kontexten und beschreiben diese mithilfe binomialverteilter Zufallsgrößen,
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– prüfen und interpretieren Ergebnisse in dem zugehörigen Kontext, – ordnen mathematischen Modellen Anwendungssituationen zu.
mathematisch argumentieren, kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler
– erläutern Begriffe, Sätze und Verfahren,
– gebrauchen logische Bestandteile der Sprache sachgerecht (z. B. „und“, „oder“, notwen- dige Bedingung, hinreichende Bedingung),
– begründen Lösungen bzw. Lösungswege, – beurteilen mathematische Argumentationen,
– weisen die Wahrheit von mathematischen Aussagen zu bekannten Sachverhalten (insbesondere Existenzaussagen, Allaussagen, „Wenn ..., so …“-Aussagen) nach, – verstehen und überprüfen Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten.
mathematische Darstellungen und Symbole verwenden Die Schülerinnen und Schüler
– wenden Verfahren zur Darstellung geometrischer Gebilde, insbesondere des Raumes an und gewinnen umgekehrt aus derartigen Darstellungen eine Vorstellung von den Objekten,
– entnehmen und interpretieren Informationen aus grafischen Darstellungen und stellen Daten in grafischer Form dar,
– verstehen und verwenden symbolsprachliche Darstellungen,
– stellen Überlegungen und Lösungswege verständlich mündlich und schriftlich dar, – wählen unterschiedliche Darstellungsformen aus.
Mit inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind bestimmte Leistungsdispositionen gemeint, die ebenfalls Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse und Verhaltenseigenschaften umfassen, sich aber auf das Bewältigen von Anforderungen in speziellen mathematischen Inhaltsbereichen beziehen.
Eine detaillierte Beschreibung der inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen erfolgt im Kapitel 4. Der Schwerpunkt liegt dabei in den Inhaltsbereichen Analysis, Analytische Geometrie sowie Stochastik.
Die Nutzung von Mathematik-Software sowie von Mathematik-Taschencomputern (z. B. mit Funktionsplotter, CAS) wird ausdrücklich empfohlen. Ihr Einsatz im Mathematikunterricht soll einerseits so erfolgen, dass dadurch das inhaltliche Verständnis für zentrale mathematische
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Begriffe und die Vielfalt an Lösungsstrategien erhöht sowie der realitätsnahe Anwendungs- bezug gestärkt wird. Andererseits ist darauf zu achten, dass die Schülerinnen und Schüler diese Hilfsmittel verständig nutzen und in angemessener Weise auch hilfsmittelfrei arbeiten.
Im Mathematikunterricht sind die allgemeinen mathematischen Kompetenzen und die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen durch vielfältige geistige und praktische Tätigkeiten zu entwickeln bzw. auszuprägen.
Problemaufgaben mit wirtschaftlichem, technischem, sozialem und kulturellem Sachbezug aus der Lebens- oder Arbeitswelt werden bewusst für die Entwicklung der mathematischen Kompetenzen genutzt.
Damit trägt der Mathematikunterricht in spezifischer Weise zur Entwicklung von Handlungs- kompetenz bei, das heißt, der Bereitschaft und Fähigkeit des Einzelnen, sich in gesellschaft- lichen, beruflichen und privaten Situationen durchdacht sowie individuell und sozial verant- wortlich zu verhalten.
Aus dem Ziel der Kompetenzentwicklung ergeben sich Anforderungen an die Planung und Gestaltung des Unterrichts seitens der Lehrkräfte und an die Lern- und Verhaltenskultur der Schülerinnen und Schüler.
Handlungsorientierte Unterrichtsgestaltung
Der Unterricht ist in der Regel so angelegt, dass die Schülerinnen und Schüler durch eigene Tätigkeiten beim Lösen von vielfältigen mathematischen Aufgaben Einsichten und Erkennt- nisse gewinnen, Zusammenhänge erkennen, Fähigkeiten und Fertigkeiten entwickeln usw.
Dies erfordert, dass im Unterricht von mehr oder weniger komplexen Problemsituationen ausgegangen wird, die zur tätigen Auseinandersetzung anregen und dazu auch die Möglich- keit geben.
Selbstständigkeit
Die Unterrichtsgestaltung ermöglicht und fordert ein hohes Maß an Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler.
Für eigenes Nachdenken, für das Finden und Formulieren von Fragen, für die Planung des Vorgehens und für rückschauende Betrachtungen ist hinreichend Zeit zu lassen.
Verschiedene Sozialformen des Lernens wie Partner- und Gruppenarbeit werden zieladä- quat einbezogen.
11 Differenzierung und Individualisierung
Der Stand der Kompetenzentwicklung bei den Schülerinnen und Schülern ist zu analysieren.
Dies ist eine entscheidende Voraussetzung, um Überforderungen und Unterforderungen im Unterricht zu vermeiden und Entwicklungsfortschritte zu erreichen. Daher wird der kontinuier- lichen Diagnose von Schülerleistungen große Aufmerksamkeit gewidmet, um den Unterrichtsprozess didaktisch zu differenzieren und die Arbeit mit den Lernenden zu individualisieren.
Ergebniskontrolle und Ergebnissicherung
Die Lernkontrollen zielen konsequent auf die in den Rahmenrichtlinien ausgewiesenen allgemeinen und inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen. Festgestellte Stärken und Schwächen in der Kompetenzentwicklung sind für Lehrende und Lernende Anlass, über Ursachen nachzudenken und Schlussfolgerungen zu ziehen.
Entscheidende Zielgrößen der Planung und Gestaltung des Unterrichts sind mithin auf der einen Seite die in den Rahmenrichtlinien ausgewiesenen Kompetenzen und auf der anderen Seite der Stand der Kompetenzentwicklung bei den Schülerinnen und Schülern.
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3 Zur Arbeit mit den Rahmenrichtlinien
Die Rahmenrichtlinien stellen in ihrer Gesamtheit (Kapitel 1 bis 4) die Grundlage für die Planung des Mathematikunterrichts an der Fachoberschule dar.
Davon ausgehend und unter Berücksichtigung der Situation an der Schule und in den Lerngruppen entwickelt die Fachkonferenz Mathematik schulspezifische Konkretisierungen.
Die im Kapitel 2 dargestellten Ziele und die fachdidaktische Konzeption sind bei inhaltlichen Schwerpunktsetzungen und der Auswahl von Themen aus dem Kapitel 4.2 besonders zu beachten, da erst der Zusammenhang von allgemeinen mathematischen Kompetenzen (im Kapitel 2 dargestellt) mit den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen (im Kapitel 4.2 dargestellt) ein vollständiges Bild vom Ziel des Mathematikunterrichts an der Fachober- schule zeichnet. Dazu gehört auch, dass der spezifische Beitrag des Mathematikunterrichts bei der Entwicklung überfachlicher Kompetenzen immanenter Bestandteil von Planungsüber- legungen sein muss.
Die in Kapitel 4.2 ausgewiesenen Ziele und Inhalte sind als Einheit zu sehen. Vor allem aus den Zielen sind Schwerpunkte der Unterrichtsgestaltung abzuleiten.
Die Pflichtthemen P1 bis P5 sind verbindlich. Von den beiden Wahlpflichtthemen WP 6.1 und WP 6.2 ist eines auszuwählen.
Für die einjährige Fachoberschule sind die Ziele und Inhalte der einzelnen Themen unter Berücksichtigung der fachlichen Ziele und der Ausgangsvoraussetzungen der Lernenden an den zur Verfügung stehenden Gesamtstundenzahlen auszurichten.
Die Reihenfolge der Themen und Inhalte kann innerhalb der Schuljahrgänge verändert wer- den, wenn die Sachlogik nicht leidet.
Die in den Rahmenrichtlinien ausgewiesenen Themen sind mit Zeitrichtwerten (ZRW) verse- hen. Diese tragen Empfehlungscharakter und stellen eine Orientierung dar. Die angegebe- nen Zeitrichtwerte gehen davon aus, dass ein Drittel dieser ausgewiesenen Unterrichtszeit in pädagogischer Verantwortung genutzt wird für
– die zusätzliche bzw. vertiefende Behandlung von Inhalten entsprechend den Interessen der Schülerinnen und Schüler,
– die Berücksichtigung aktueller Entwicklungen in der Wissenschaft, – Wiederholungen, Zusammenfassungen, Systematisierungen.
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4 Darstellung der Themen, Ziele und Inhalte der Schul- jahrgänge 11 und 12
4.1 Themenübersicht
Zeitrichtwerte (in Std.) Themen
Sjg. 11 Sjg. 12 P 1: Mathematisches Modellieren mit Gleichungen und
Funktionen 50 40
P 2: Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufalls-
versuchen 30 -
P 3: Grenzwerte von Funktionen - 20
P 4: Differentialrechnung - 45
P 5: Integralrechnung - 25
WP 6.1: Analytische Geometrie - 30
WP 6.2: Stochastik - 30
Maßgeblich für die Festlegung der Zeitrichtwerte ist die Stundentafel in der jeweils geltenden Fassung. Sofern sich auf Grund einer geänderten Stundentafel Differenzen ergeben, sind die Zeitrichtwerte durch die zuständige Fachkonferenz anzupassen.
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4.2 Ziele und Inhalte
Thema P 1: Mathematisches Modellieren mit Gleichungen und Funktionen
ZRW: 50/40 Std.2 Ziele:
Die Schülerinnen und Schüler
– erkennen Termstrukturen und formen Terme um,
– wählen Verfahren (inhaltliche, algorithmische, kalkülmäßige, grafische) zum Lösen von Gleichungen sowie von linearen Gleichungssystemen aus und wenden sie an,
– erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachli- cher, tabellarischer oder grafischer Form sowie ggf. als Funktionsgleichung dar,
– lösen innermathematische Probleme im Zusammenhang mit linearen und quadratischen Funktionen, Potenz-, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, insbesondere durch
• grafisches Darstellen von Funktionen
• Berechnen von Schnittpunktkoordinaten
• Ermitteln von Funktionsgleichungen zu gegebenen Graphen bzw. aus Eigen- schaften
• Untersuchen des Einflusses von Parametern
– lösen außermathematische Probleme im Zusammenhang mit linearen und quadrati- schen Funktionen, Potenz-, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen.
Inhalte:
– Termwertberechnungen, Termumformungen – binomische Formeln, quadratische Ergänzung – Vereinfachen von Potenz- und Wurzeltermen – Logarithmus, Logarithmengesetze
– lineare und quadratische Gleichungen, Satz des Vieta, Linearfaktorzerlegung
– Gleichungen höheren Grades, die sich durch Rückführung auf quadratische und lineare Gleichungen lösen lassen
– Wurzel-, Logarithmen- und Exponentialgleichungen, die sich durch einmaliges Umfor- men lösen lassen
2 Der erste ZRW gibt die Stundenzahl im 11. und der zweite ZRW die Stundezahl im 12. Schuljahr- gang an.
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– Begriff „Funktion“, Eigenschaften von Funktionen (Nullstellen, Monotonie, Symmetrie bezüglich der y-Achse und des Koordinatenursprungs, globale und lokale Extrema) – lineare Zusammenhänge (Eigenschaften linearer Funktionen, Schnittwinkel mit der
x-Achse, Einfluss von Parametern, Lagebeziehung zweier Geraden)
– quadratische Zusammenhänge (Eigenschaften quadratischer Funktionen, Einfluss von Parametern)
– Potenzfunktionen mit y=f
( )
x =xn,n∈Z (Eigenschaften, Graphen, Asymptoten, Symmetrie)– Wurzelfunktionen mit y= f(x)=n x,n∈N,n≥2 (Eigenschaften, Graphen, Wurzel- funktion als inverse Funktion einer Potenzfunktion)
– Exponentialfunktionen mit y= f(x)=ax,a>0, a≠1 sowie Logarithmusfunktionen als inverse Funktionen von Exponentialfunktionen (Eigenschaften, Graphen)
– Beispiele für das Verknüpfen von Funktionen durch Addition/Subtraktion und Multiplika- tion/Division zu neuen Funktionen, Begriff „ganzrationale Funktion“
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Thema P 2: Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen ZRW: 30 Std.
Ziele:
Die Schülerinnen und Schüler
– unterscheiden zwischen dem „intuitiven“ und dem mathematischen Wahrscheinlichkeits- begriff und versachlichen fehlerhafte Alltagsvorstellungen im Zusammenhang mit Wahr- scheinlichkeit, Zufall, Glück, Chance, Schicksal, Risiko,
– ermitteln Anzahlen von Ergebnissen mehrstufiger Zufallsversuche, – ermitteln Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.
Inhalte:
– Zufallsversuch, Ergebnis, Ereignis, Gegenereignis, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis, Verknüpfung von Ereignissen
– klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten – Anzahl von Ergebnissen mehrstufiger Zufallsversuche
Baumdiagramme oder Urnenmodelle, geordnete und ungeordnete Auswahl beim Ziehen ohne Zurücklegen
– Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche, Baumdiagramme, Pfadregeln, Vier- feldertafel
– Simulation von Zufallsversuchen
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Thema P 3: Grenzwerte von Funktionen ZRW: 20 Std.
Ziele:
Die Schülerinnen und Schüler
– untersuchen Zahlenfolgen auf Monotonie und Beschränktheit, – erklären an Beispielen den Grenzwertbegriff von Zahlenfolgen,
– erklären an Beispielen die Begriffe „Grenzwert einer Funktion für x→±∞“ und „Grenz- wert einer Funktion für x→x0“,
– untersuchen das Verhalten von Funktionen für x→±∞ bzw. für x→x0, – erkennen Unstetigkeitsstellen von Funktionen,
– ermitteln näherungsweise Nullstellen durch Einschachteln.
Inhalte:
– Zahlenfolgen als spezielle Funktionen (Monotonie und Beschränktheit, Konvergenz und Divergenz, Grenzwert einer Zahlenfolge)
– Grenzwerte von Funktionen für x→±∞ und x→x0 – Beispiele für stetige und nichtstetige Funktionen – Zwischenwertsatz, Existenz von Nullstellen
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Thema P 4: Differentialrechnung ZRW: 45 Std.
Ziele:
Die Schülerinnen und Schüler
– wenden die Begriffe 1. und 2. Ableitung beim Beschreiben des Änderungsverhaltens nichtlinearer Funktionen an,
– differenzieren ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen,
– untersuchen ganzrationale Funktionen auf Eigenschaften wie Symmetrie, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Monotonie, Extrem- und Wendepunkte und zeichnen unter Verwendung dieser Funktionseigenschaften deren Graphen,
– ermitteln Gleichungen von Tangenten an Funktionsgraphen,
– ermitteln Gleichungen ganzrationaler Funktionen aus Eigenschaften,
– stellen Zielfunktionen zu Extremwertaufgaben auf und untersuchen diese auf globale Extrema,
– wenden Begriffe, Sätze und Verfahren der Differentialrechnung flexibel bei vielfältigen Sachverhalten an, wobei auch gebrochenrationale Funktionen mit einfacher Termstruk- tur vorkommen.
Inhalte:
– Änderungsverhalten von Funktionen (Anstieg, Momentangeschwindigkeit, mittlere und lokale Änderungsrate)
– Differenzenquotient, Differentialquotient bzw. Ableitung an einer Stelle – Differenzierbarkeit, Ableitungsfunktion
– Ableitungsregeln
Konstantenregel, Potenzregel (rationale Exponenten), Faktorregel, Summenregel – Ableitungen höheren Grades
– Sätze der Differentialrechnung (Monotoniesatz, notwendige und hinreichende Bedin- gung für lokale Extrema, notwendige und hinreichende Bedingung für Wendepunkte) – außermathematische Anwendungen, insbesondere Extremwertaufgaben
– Anwendung auf einfache gebrochenrationale Funktionen, in diesem Zusammenhang Quotientenregel, Kettenregel, Polstellen
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Thema P 5: Integralrechnung ZRW: 25 Std.
Ziele:
Die Schülerinnen und Schüler
– wenden den Begriff „bestimmtes Integral einer Funktion f im Intervall [a; b]“ bei der näherungsweisen Berechnung von Flächeninhalten unter dem Graphen einer Funktion im I. und II. Quadranten an,
– bilden Stammfunktionen bzw. unbestimmte Integrale ganzrationaler Funktionen,
– erklären an Beispielen Zusammenhänge zwischen Differential- und Integralrechnung (Integrieren als Umkehrung des Differenzierens, „Grenzwert eines Differenzenquotien- ten“ versus „Grenzwert einer Summe von Produkten“),
– berechnen bestimmte Integrale ganzrationaler Funktionen mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung,
– berechnen Flächeninhalte von Flächen, die durch Graphen ganzrationaler Funktionen und zum Teil von Strecken begrenzt sind.
Inhalte:
– bestimmtes Integral einer Funktion in einem Intervall [a; b]
– Eigenschaften des bestimmten Integrals, Integrierbarkeit
– bestimmtes Integral als Funktion der oberen Grenze, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
– unbestimmtes Integral, Stammfunktionen von Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten, Bilden von Stammfunktionen, Konstantenregel, Summenregel
– Anwendung: Flächeninhaltsberechnungen
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Thema WP 6.1: Analytische Geometrie ZRW: 30 Std.
Ziele:
Die Schülerinnen und Schüler
– stellen Vektoren im Koordinatensystem und mithilfe von Koordinaten dar,
– beschreiben Eigenschaften von Vektoren und von Rechenoperationen mit Vektoren an Beispielen,
– addieren, subtrahieren und vervielfachen Vektoren und ermitteln deren Beträge, – untersuchen Vektoren auf lineare Unabhängigkeit,
– berechnen Gradmaße von Winkeln zwischen Vektoren,
– stellen Parametergleichungen für Geraden im Raum auf und untersuchen damit Lage- beziehungen von Geraden, berechnen insbesondere die Koordinaten von Schnittpunk- ten und das Gradmaß von Schnittwinkeln einander schneidender Geraden,
– wenden Vektoren und Geradengleichungen in verschiedenen Kontexten flexibel an.
Inhalte:
– Koordinatensysteme im Raum, Spezialfall: kartesisches Koordinatensystem – Vektoren (Pfeilklassenmodell)
– Darstellung von Vektoren im Koordinatensystem, Ortsvektor, Komponenten bzw.
Koordinaten eines Vektors, Betrag eines Vektors
– Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation), entgegenge- setzter Vektor, Nullvektor
– Linearkombination von Vektoren, lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren
– Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren, Orthogonalitätsbedingung
– Anwendungen der Vektoren in der Geometrie, u. a. Berechnungen an Vielecken im Raum
– Parametergleichungen von Geraden im Raum – Lagebeziehungen von Geraden im Raum
– Schnittpunkte und Schnittwinkel einander schneidender Geraden
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Thema WP 6.2: Stochastik ZRW: 30 Std.
Ziele:
Die Schülerinnen und Schüler
– erkennen Zusammenhänge stochastisch unabhängiger Ereignisse und stellen diese zweckmäßig dar,
– berechnen bedingte Wahrscheinlichkeiten,
– berechnen Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses bei einer Bernoulli-Kette mithilfe der Bernoulli-Formel bzw. mithilfe von Tabellen,
– nutzen den Begriff Zufallsgröße zur Beschreibung von Zufallsversuchen,
– analysieren Anwendungssituationen unter dem Aspekt der Zufallsgröße und untersu- chen, ob diese binomialverteilt ist,
– berechnen Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Zufallsgrößen bzw. ihre Parameter, – wenden die Binomialverteilung in vielfältigen Problemstellungen an, darunter auch das
Testen von Hypothesen.
Inhalte:
– bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel, Multiplikationsregel, Unabhängigkeit von Ereignissen
– Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einer Bernoulli-Kette, Bernoulli-Formel, Binomialkoeffizient
– diskrete Zufallsgröße und ihre Verteilung
– Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung von Zufallsgrößen – binomialverteilte Zufallsgrößen
– Aufstellen und Testen von Hypothesen – Anwendungen
