und Darstellung von Magnetfeldern
Wettbewerb „Jugend Forscht“ 2002
Niko Biedermann (16 Jahre) & Tim Voss (17 Jahre)
Arbeitsgemeinschaft „Jugend Forscht“
des Christian-Gmynasiums Hermannsburg
Betreuung: StD Thomas Biedermann
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 3
1.1 Themenfindung. 3
2. Eigenschaften von Magnetfeldern 3
2.1 Inhomogene Felder 4
2.2 Homogene Felder 4
3. Messapparatur 5
3.1 Magnetfeldsensoren 5
3.2 Flip-Generator 6
3.3 Messkanäle 7
3.4 Messkopf 9
4. Auswertung der Daten 9
4.1 Aufnahme der Messwerte 9
4.2 Auswertung und Darstellung der Messwerte 10
5. Ergebnisse 14
5.1 Gemessene Felder 14
5.2 Fehlerquellen 15
5.3 Ideen zur Verbesserung 16
6. Literaturliste 17
7. Danksagung 17
8. Anhang 18
1. Einleitung
1.1 Themenfindung
Im letzten Jahr hatten wir uns mit der Konstruktion eines elektronischen Kompasses beschäftigt.
Dieses war eigentlich unter dem Gesichtspunkt geschehen, ein automatisches Segelschiff zu bau- en. Da allerdings genau dieses Thema bereits im letzten Jahr von einer anderen Gruppe behandelt wurde, kamen wir von unserem Vorhaben ab. Da wir jedoch auch die in den Kompass investierte Zeit weiter nutzen wollten, dachten wir über weitere Verwendungszwecke der Sensoren nach.
Beim Betrachten eines Magneten kam uns dann die Idee - wie sieht ein Magnetfeld eigentlich aus?
Jeder kennt die vereinfachte Darstellung von Magnetfeldern mit Linien, deren Abstand voneinan- der die Stärke und deren Richtung die Richtung des Magnetfeldes angibt, den Feldlinien. Doch zum einen ist diese Darstellung stark vereinfacht, zum anderen ist es auch sehr schwierig, in einer solchen Darstellung mehr als zwei Dimensionen darzustellen.
Wir begannen also mit der Planung eines Aufbaus, der zunächst das Magnetfeld ausmisst und es anschließend grafisch auswertet.
2. Eigenschaften von Magnetfeldern
Zunächst einmal gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten, ein Magnetfeld zu erzeugen, zum einen durch eine Permanentmagneten, zum anderen durch einen stromdurchflossenen Leiter. Beide sind auf das gleiche Prinzip zurückzuführen, auf die Bewegung von Ladung. Beim stromdurchflossenen Leiter ist dieses recht einfach, da Strom nichts anderes als bewegte Ladun- gen sind. Aber wie kann in einem massiven Eisenblock Ladung bewegt werden?
Für die Erklärung muss man im wahrsten Sinne sehr ins Detail gehen, genauer - in die Atom- struktur. Jedes Atom besteht aus einem positiv geladenen Atomkern und negativ geladenen Elek- tronen auf einer Umlaufbahn um den Atomkern. Diese Elektronen besitzen zusätzlich zu ihrer Rotation um den Atomkern auch noch eine Eigendrehung. Beide Bewegungen bewegen Ladun- gen auf einer ringförmigen Bahn, es wird also eine Art Ringstrom erzeugt. Diesem Ringstrom wird ein magnetisches Dipolmoment zugeordnet. Jedes Atom besitzt also ein eigenes Dipol- moment, aufgrund der Elektronenbewegungen. Man könnte sich jetzt fragen - ist Eisen denn von Natur aus magnetisch? Wir wissen, dass es das nicht ist, doch nach der bisherigen Theorie wäre dies eine logische Schlussfolgerung. Die Erklärung hierfür ist, dass in gewissen Bereichen, den sogenannten Weissschen Bezirken, die Dipolmomente zwar die gleiche Richtung haben, bei der Addition der Momente aller Weissschen Bezirke heben sich diese aber auf. Durch den Einfluss eines äußeren Magnetfeldes werden die Momente in diesen Weissschen Bezirken durch das anlie- gende Magnetfeld verändert, so dass die einzelnen Dipolmomente sich immer mehr dem, des anliegenden Magnetfeldes annähern. Bei vollständiger Magnetisierung des Eisens herrscht im
ganzen Körper nur noch ein Weissscher Bezirk vor. Das Dipolmoment in diesem entspricht der Ausrichtung des anliegenden Magnetfeldes. Bei reinem Eisen ist der Effekt recht einfach zu er- zielen, doch sobald man das externe Magnetfeld entfernt, fällt das Eisen sehr schnell wieder in seinen Normalzustand zurück. Schwieriger zu erzielen dafür aber beständiger ist der Effekt bei Stahl, dass zusätzlich zum Eisen auch noch Kohlenstoff- und andere Reste enthält. Heutzutage bestehen Permanentmagneten aus einem Gemisch von Eisen, Aluminium, Cobalt und Nickel (Alnicomagnete) oder aus Eisenoxid (Oxidmagnete).
Welcher Art der Magnet aber auch sein mag - er besitzt immer ein magnetisches Feld. Theore- tisch ist das magnetische Feld unendlich groß, allerdings nimmt es bei zunehmender Entfernung vom Magneten ab und kann somit nicht mehr nachgewiesen werden. Magnetfelder sind immer dipolare Felder, die beiden Pole werden als Nord- bzw. Süd-Pol bezeichnet. Das Feld wird mei- stens mit Hilfe der bereits erwähnten Feldlinien-Methode dargestellt. Dabei verlaufen die Linien vom Nordpol des Magneten zum Südpol.
Bei Magnetfeldern unterscheidet man zwei Typen:
2.1 Inhomogene Felder
Wenn die Richtungen und die Beträge der unterschiedlich sind, so spricht man von einem inho- mogenen Magnetfeld. Dieses ist der Fall bei nahe-
zu allen Arten von Magnetfeldern. Am bekannte- sten dürfte jedoch das Beispiel des Stabmagneten sein. Dieser besteht aus einem Stab dessen Enden jeweils der Nord- bzw. Süd-Pol sind. Innerhalb des Magneten verlaufen die Feldlinien parallel zueinan- der, außerhalb des Magneten müssen sie allerdings eine gekrümmte Bahn haben. Da für jede Feldlinie eine andere Krümmung von Nöten ist verlaufen die Bahnen auch nicht parallel zueinander. Das größte Beispiel eines Stabmagneten befindet sich ganz in unserer Nähe - unser Planet Erde selbst. Diese hat einen magnetischen Nord- und Süd-Pol, die Vor-
aussetzung für jegliches Navigieren mit magnetischem Kompass. Das Feldlinien-Modell des Erdmagnetfeldes ist in Abb. 1 dargestellt.
2.2 Homogene Felder
Im Gegensatz zum inhomogenen Magnetfeld gibt es auch das homogene Magnetfeld. Dieses liegt vor, wenn die Feldlinien die gleiche Richtung und den gleichen Betrag haben. Dieser spezi- elle Fall eines Magnetfeldes ist unter anderem bei Hufeisenmagneten zu beobachten. Zwischen den beiden Ästen des Magneten verlaufen die Feldlininen parallel zueinander. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich, wenn es darum geht, mit der Lorentzkraft zu experimentieren, da so die Rich-
Abb.1: Das Magnetfeld der Erde
tung des Magnetfeldes sehr eindeutig festzulegen ist. Ein Beispiel für das homogene Feld eines Hufeisenmagneten ist in Abb. 2 zu sehen.
Unschwer zu erkennen ist auch, dass nur zwischen den beiden Ästen ein homogenes Magnetfeld herrscht, im rest- lichen Raum liegt ein inhomogenes Magnetfeld vor, wie es am rechten Rand angedeutet ist.
3. Messapparatur
Wir hatten bereits im letzten Jahr eine eigene Schaltung entwickelt, mit der wir das Magnetfeld messen in zwei Dimensionen messen konnten. Allerdings war diese Messmethode noch nicht ganz ausgereift, wodurch sich Messungenauigkeiten ergaben. Der Grund hierfür war, dass wir die Werte der „kleinen“ Bauteile wie Widerstände und Kondensatoren mehr durch Herantasten als durch Berechnung ermittelt haben.
Da wir für unser neues Projekt aber eine höhere Messgenauigkeit benötigen, gingen wir von der exemplarischen Schaltung des Herstellers (Philips) aus. Diese modifizierten wir nach unseren Bedürfnissen, so dass die Schaltung ein wenig kompakter und die Bausteine mit der Spannungs- versorgung symmetrisch angesteuert wurden. (Schaltplan: siehe Anhang)
3.1 Magnetfeldsensoren
Der zentrale Teil unseres Feldplattensensors ist eine Wheatstone’sche Brückenschaltung aus vier magnetoresistiven Widerständen. Was ist magnetoresistiv?
Magnetoresistiv heißt, dass sich der Leitwert des Widerstandes unter Einwirkung eines Magnet- feldes ändert. Dies wird dadurch herbeigeführt, dass die Elektronen, die durch den Widerstand fließen, aufgrund der Lorentzkraft, die senkrecht zu der Elektronenflussrichtung und dem Ma- gnetfeld wirkt, abgelenkt werden. Dadurch verringert sich der Leitwert des Widerstandes. In unserem Falle besteht der Widerstand aus einer Halbleiterplatte, daher auch der Name „Feld- plattensensor“: die Platten messen indirekt das ma-
gnetische Feld.
Die Brücke besteht aus vier gleichen magneto- resistiven Widerständen mit unterschiedlicher Aus- richtung - angedeutet durch die beiden Pfeile.
Die beiden Widerstandspaare R1 und R2 sowie R3 und R4 bilden jeweils einen Spannungsteiler. Da sie mit der gleichen Spannung versorgt werden, sind die Teilspannungen +V0 und -V0 gleich groß, wenn die Teilerverhältnisse gleich groß sind. Ver- größert sich nun der Widerstandswert von R1 und
Abb.2: homogenes Magnetfeld beim Hufeisenmagneten
VCC +IC
+IF
-IF +VO -VO -IC
Z
2Z
1R
2R
1R
3R
4GND
Abb.3: Aufbau der Feldplattensensoren
verringert sich der von R2, so nimmt die Spannung +V0 ab. Da sich dabei aber gleichzeitig R3 verkleinert und R4 vergrößert, nimmt die Spannung -V0 zu: zwischen -V0 und +V0 tritt also eine Spannungsdifferenz auf. Diese kann weiterverarbeitet und werden und liefert letztendlich eine Aussage über das magnetische Feld.
Neben dieser Brückenschaltung befinden sich im Baustein noch zwei Spulen. Die Spule Z1 wird als Flip-Spule bezeichnet, während Z2 eine Kompensations-Spule darstellt. Mit der Flip-Spule kann die Vormagnetisierung der magnetoresistiven Platte auf positives oder negatives Vorzei- chen bezüglich der Ausrichtung des Bauelementes eingestellt werden. Außerdem kann nach Ein- wirken eines starken Magnetfeldes die Platte in den Ausgangszustand zurück geführt werden.
Diese Polarisation wird dadurch erzielt, dass die Spule kurzzeitig unmittelbar am Ort des Sensors ein starkes Magnetfeld generiert.
Die Kompensations-Spule Z2 erzeugt dagegen ein erheblich schwächeres Magnetfeld, dass dazu benutzt wird, um die Spannung zu kompensieren und die Brücke auf Null abzugleichen. Der Strom für die Erzeugung dieses Magnetfeld wird so eingestellt, dass das entstehende Magnetfeld am Ort des Sensors die gleiche Stärke hat wie das anliegende Magnetfeld, bei uns das Erdmagnetfeld. Die dafür notwendige Spannung steht für eine weitere Auswertung als Signal zur Verfügung.
Da die Lorentzkraft auf bewegte Ladungen den magnetoresistiven Effekt bewirkt, spielt auch die Ausrichtung von Feldplatte und den magnetischen Feldlinien eine Rolle. Verlaufen die Feldlinien senkrecht zum Sensor, so ist ihre Wirkung am größten, verlaufen sie dagegen parallel dazu, so tritt keine Wirkung ein. Je stärker das wirksame Magnetfeld wird, um so größer wird der Wider- stand auf der rechten.
3.2 Flip-Generator
Für die ordnungsgemäße Funktion der Flipspule auf die oben beschriebene Art und Weise, benö- tigen wir einen äußerst kurzen und starken Impuls. Laut Datenblatt des Sensors benötigen wir hierfür eine Stromstärke von etwa einem Ampere pro Sensor und eine ideale Impulslänge von 3 µs. Um unseren Sensoren mit diesen hohen Strömen versorgen zu können und dabei auch die zeitliche Länge von nur 3µs gewährleisten können, benötigen wir folgenden Aufbau:
Mit einem Operationsverstärker des Typs LM741 erzeugen wir durch die Ansteuerung der Ein- gänge mit einem Kondensator und einem Widerstand gegen +9V. Dieses Signal, wir nennen es Flip-Sync, wird über zwei parallel geschaltete Kondensatoren und damit verbundenen Wider- ständen geführt, so dass kurze, etwa 3µs lange Impulse entstehen. Zwei anti-parallel geschaltete Zenerdioden sorgen dafür, dass das Signal genau auf 0 V liegt wenn kein Impuls erzeugt wird, damit in diesem Fall keine Spannung an den Transistoren anliegt und somit auch keine Flip- Spannung die Spulen zur Erzeugung eines Magnetfeldes anregt, welches ansonsten die Messun- gen verfälschen würde.
Mit diesen Impulsen wird also eine Transistorschaltung angesteuert, die einen ausreichend hohen
Strom von insgesamt etwa 3 A für die Spulen erzeugen kann, die dafür benötigte Ladung wird von zwei ELKO’s geliefert, um ein Zusammenbrechen der Versorgungsspannung zu vermeiden.
Die Kollektoren der Transistoren BD 647 bzw. BD 648 sind an +9 bzw. -9 V angeschlossen.
Wenn jetzt ein positives Signal vom Operationsverstärker an der Basis des BD 647 ankommt, so wird dieser leitend, der BD 648 nicht. Kommt ein negativer Impuls beim BD 647 an, reagiert dieser nicht, der BD 648 wird allerdings leitend. Das am gemeinsamen Emitteranschluss erzeug- te Signal (Flip) geben wir dann in unsere Mess-Sensoren. Da die Impulse extrem kurz sind, brau- chen die Transistoren nicht gekühlt zu werden.
Damit diese starken Impulse nicht die Signale unserer Messleitungen verfälschen, werden sie über eine gesonderte Koaxialleitung zu unseren Sensoren geführt.
3.3 Messkanäle
Die Messkanäle sind auf gesonderten Platinen untergebracht. Die Absicht dahinter ist die Mini- mierung des Platzaufwandes, da ursprünglich ein wesentlich kleineres Gehäuse angedacht war.
Die Platinen werden auf die Bodenplatine mit der Flip-Erzeugung aufgesteckt. Ein weiterer Ef- fekt hierbei ist, die bessere Abschirmung gegenüber den Flip-Impulsen.
Flip- Generator
Differenz- verstärker Offset- Kompensation
Inverter
PI-Controller
Differenz- verstärker Offset- Kompensation
Inverter
PI-Controller
Differenz- verstärker Offset- Kompensation
Inverter
PI-Controller
Channel 0 (X)
Channel 1 (Y)
Channel 2 (Z)
Abb.4: Blockschaltskizze unserer Elektronik
Jeder Sensor hat einen separaten Messkanal, der für die Ansteuerung der Kompensations-Spule und für die Verstärkung der Ausgangsspannungen sorgt. Hierfür benötigen wir mehrere Instan- zen:
3.3.1 Differenzverstärker
Die Ausgangsspannung der Sensoren liegt an den Eingängen eines der Operationsverstärkers des von uns genutzten 4fach-Operationsverstärkers vom Typ LM324 an. Dieser bildet die Differenz der beiden Messsignale und verstärkt diese um das etwa 300fache.
3.3.2 Offset Kompensation
Da die Signale äußerst schwach sind, ist die Auswertung sehr kompliziert, falls man sich nicht auf die Genauigkeit der Messwerte verlassen kann. Da aber sowohl die Sensoren als auch die norma- len Operationsverstärker meistens eine bautechnisch begründete Ungenauigkeit aufweisen, muss man versuchen, diese Genauigkeit zu erzwingen. Dieses geschieht mit einer Integrator-Schal- tung, der Offset-Kompensation. Diese bekommt an ihrem Eingang das Signal von dem Differenz- verstärker. Wenn kein Magnetfeld am Sensor anliegt, erzeugt dieser ein symmetrisches Signal.
Legt man ein Magnetfeld an, so verschiebt sich die Spannung ein wenig in den positiven Bereich oder in den negativen Bereich, je nach Art des Magnetfeldes. Der Integrator summiert diese beiden Werte. Solange diese beiden Werte den gleichen Betrag haben, bleibt der Ausgang des Operationsverstärkers auf Masse. Sobald sich aber die Beträge unterscheiden, wird der Ausgang des Operationsverstärkers entsprechend nachgeregelt. Da der Ausgang der Offset-Kompensations- Schaltung an den Eingang des Differenzverstärkers angeschlossen ist, regelt die Integrator-Schal- tung das Signal so, dass am Eingang der Offset-Kompensation wieder symmetrische Signale anliegen.
3.3.3 Inverter
Durch die Flip-Impulse in entgegengesetzter Richtung werden die Vorzeichen der Ausgangs- signale des Sensors andauernd vertauscht. Um diese Umpolung der Messwerte rückgängig zu machen, müssen die Messsignale entsprechend der Polung der Flipspule entweder invertiert oder nicht invertiert werden. Dieses muss exakt im Rhythmus des Flip-Signals geschehen.
Damit wir dieses gewährleisten können, wird das Invertieren durch einen Schalter betätigt, der durch das bereits erwähnte Signal Flip-Sync gesteuert wird. Wird das Flip-Sync-Signal positiv, so wird der Schalter geschlossen und somit der positive Eingang des Operationsverstärkers auf Masse gelegt. Daraus ergibt sich eine Invertierung des Messsignals.
3.3.4 Proportionalitäts-Integral-Controller
Dieses Bauelement unserer Schaltung besteht eigentlich aus zwei Baugruppen - dem Integral- und dem Proportionalitäts-Controller.
Die Aufgabe dieser beiden Gruppen ist es, den Sensor zu kompensieren, so dass die Ausgänge
kein Signal mehr liefern. Die dafür benötigte Spannung wird dann zur eigentlichen Berechnung des zu messenden Magnetfeldes verwendet, diese Methode ist wesentlich präziser, als dass Ma- gnetfeld direkt zu messen.
Die Kombination von Integral- und Proportionalitäts-Controller führt dazu, dass wir sowohl sehr schwache als auch mäßige Magnetfelder innerhalb kürzester Zeit kompensieren können.
3.4 Messkopf
Da die Sensoren nur in die Komponente des Magnetfeldes messen können, die längs ihrer Rich- tung verlaufen, muss man für eine komplette dreidimensionale Erfas-
sung des Magnetfeldes, auch drei Sensoren verwenden.
Für die Konstruktion des Messkopfes haben wir die Bauteile auf klei- ne Platinen gelötet und diese auf einen im Querschnitt quadratischen Acrylglas-Stab geklebt. Die Anordnung der Platinen ist wie in Abb. 5 dargestellt.
Alle drei Sensoren sind rechtwinklig zueinander angeordnet, so dass
sie einen rechten Winkel im Raum (wie im Koordinatensystem die X-, Y-, Z-Achsen) bilden. Jeder Sensor misst also eine Raum-Komponente des magnetischen Feldes. Da für jeden Sensor eine Messplatine zustän- dig ist, laufen die Messleitungen getrennt bis zu einer weiteren aufge- klebten Platine, an die die Kabel von der Messstation angelötet wer- den.
Um die Flip-Impulse auf die einzelnen Sensoren zu verteilen, verwen- den wir eine gemischte Schaltung. Diese besteht aus zwei parallelen Schaltungsästen, wobei der eine Ast aus zwei in Reihe geschalteten Flip-Spulen und der andere aus der übrigen Flip-Spule und einem dazu in Reihe geschalteten Widerstand, der den Betrag des für die Sensoren typischen Flip-Widerstan- des hat.
4. Auswertung der Daten
Nachdem der technische Teil bewältigt war, was sich allerdings als langwieriger und komplizier- ter herausstellte, als im Voraus geplant, ging es an die Auswertung der Messdaten, oder vielmehr zunächst an die Aufnahme von Messwerten.
4.1 Aufnahme der Messwerte
Dazu verwendeten wir im wesentlichen einen X-Y-Schreiber, einen Computer und eine Messkarte des Typs PC20.
Unsere erste Überlegung war gewesen, den Messkopf in den X-Y-Schreiber einzuspannen, einen Magneten fest darüber zu montieren und anschließend den Messkopf einen gewissen Bereich
X
Z Y
Abb.5: Ausrichtung der Sensoren
Abb.6: Der Messkopf
abfahren zu lassen. Da allerdings der Messkopf aufgrund des dicken Kabels ein wenig unflexibel ist, spannten wir stattdessen den Magneten in den X-Y-Schreiber ein, und montierten den Messkopf an einem Stativ höhenverstell- bar darüber.
Die Ausgänge unserer eigentlichen Messapparatur wurden auf drei Eingänge der PC20-Messkarte gelegt. Diese Messkarte skaliert die anliegende Spannung auf einen In- teger-Wert im Bereich von 0 bis 4096.
Die Steuerung des X-Y-Schreibers erfolgt ebenfalls über die Messkarte, hierbei benutzen wir zwei Ausgänge der Messkarte, um eine bestimme Spannung zu generieren, die dann den X-Y-Schreiber dazu anregt, sich in eine bestimmte Position zu begeben.
Für unsere Messerfassung hieß das, dass nahezu der ge- samte Messvorgang automatisiert wurde. Dieses geschieht mit Hilfe eines kleinen Programmes, dessen Struktur in
Abbildung 8 zu sehen ist. Zunächst wird eine Protokolldatei erzeugt, anschließend wird die Kanten- länge der abzufahrenden Fläche, die Höhe des Messkopfes über dem Magneten, die manuell zu messen ist, und die Anzahl der Schritte, mit der die Fläche abgefahren werden soll. Nachdem diese Werte bekannt sind, wird der X-Y-Schreiber in Bewegung versetzt. Dabei fährt er immer zu dem nächsten Punkt, wartet dort kurz, damit der Schreiber wirklich zur Ruhe kommt, dann wird eine kurze Messreihe vorgenommen, aus der der Mittelwert gebildet wird. Auch hier liegen noch einmal kurze Abstände zwischen den Messungen. Sobald dieser Vorgang für alle drei Messkanäle abgeschlossen ist, fährt der Schreiber zur nächsten Position, wartet kurz, nimmt die Messungen und so weiter, bis der gesamte Bereich abgefahren ist. Die dabei aufgenommen Messwerte für die einzelnen Kanäle werden zusammen mit den dazugehörigen Positionen in die Protokolldatei ge- schrieben. Ist der Messvorgang abgeschlossen, wird die Protokolldatei wieder geschlossen.
4.2 Auswertung und Darstellung der Messwerte
Zunächst mussten wir uns hier Gedanken über die Art der Auswertung machen. Schließlich ka- men wir auf die Idee, die Messdaten in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzuzeichnen.
Da allerdings bei einer zweidimensionalen Zeichenfläche die dritte Dimension projiziert werden muss, ist es sehr schwierig, hier die tatsächliche Position der Vektoren zu bestimmen. Daher überlegten wir uns, dass wir das Koordinatensystem drehbar machen müssten, um somit den Blick auf die Messwerte aus mehreren Perspektiven zu ermöglichen.
Programmstart
Messkarte aktivieren Messkanäle anmelden Steuerkanäle anmelden Protokolldatei erstellen Fahrbereich einlesen
Sensorhöhe einlesen Schrittzahl einlesen
X-Richtung (1 TO Schrittzahl) Y-Richtung (1 TO Schrittzahl)
X-Messwerte / Mittelwert Y-Messwerte / Mittelwert Z-Messwerte / Mittelwert Protokolldatei schreiben Bis Höhe = -1, (ENDE = TRUE) Protokolldatei schließen
Programmende
Abb.8: Struktogramm der Messerfassung
4.2.1 Erzeugung des Koordinatensystems
Zunächst wird im Programm der Nullvektor definiert. Anschließend werden die Längen der Ach- sen sowohl für den positiven als auch für den negativen Bereich definiert. Nun werden die Stan- dard-Einheitsvektoren für das Koordinatensystem definiert, also die Lage des Koordinatensy- stems ohne jegliche Verdrehung. Diese werden in zweidimensionalen Koordinaten angegeben, daher gilt für die X-Achse der Vektor (1|0) und für die Y-Achse der Vektor (0|1). Nun stehen wir genau vor dem Problem mit der Z-Achse, da wir ja nicht aus dem Bildschirm herauszeichnen können. Daher projizieren wir die Z-Achse so, dass es für den Betrachter erscheint, er gucke leicht nach rechts versetzt und von oberhalb der Achse auf sie herab. Der Vektor lautet hierbei für die Standard-Darstellung (0,833|0,5), entspricht also einem Projektionswinkel von 45°.
Nun wird das Koordinatensystem gezeichnet. Dabei wird zunächst das Skalarprodukt aus der aktuellen Position der Einheitsvektoren und den Achsen des Koordinatensystems gebildet. Die- ses wird allerdings erst später für uns von Interesse sein. Anschließend wird die Skalierung des Zeichenfensters der Länge der zu projizierenden Achsen angeglichen. Für das tatsächliche Zeich- nen der Koordinatenachsen bedienen wir uns einer Prozedur zum Zeichnen von dreidimensiona- len Vektoren.
Für das Ausführen dieser Prozedur werden zunächst zwei Ortsvektoren benötigt, welche Anfang und Ende der zu zeichnenden Strecke bestimmen. Damit ist es uns auch möglich Vektoren zu zeichnen, die frei im Raum liegen und nicht nur solche Vektoren, die den Ursprung als einen ihrer Endpunkte haben. In dieser Prozedur werden die Ortsvektoren zunächst mit dem Einheitsvektor gestreckt oder gestaucht. Im Falle des Koordinatensystems ist dieses Transformieren nicht für uns Bedeutung, da dieses in einer anderen Prozedur übernommen wird. Um allerdings Vektoren in dieses System einzuzeichnen, müssen wir diese ja der Drehung des Koordinatensystems anpas- sen.
Anschließend werden die beiden Ortsvektoren auf die zweidimensionale Ebene projiziert. Dazu wird die X-Komponente des zweidimensionalen Vektors zusammengesetzt aus der X-Kompo- nente des ursprünglichen, dreidimensionalen Vektors und der an den Projektionswinkel angepassten Z-Komponente des dreidimensionalen Vektors. Die Y-Komponente setzt sich dementsprechend aus der Y-Komponente und der angepassten Z-Komponente des dreidimensionalen Vektors zu- sammen.
Für das Zeichnen der Strecke zwischen diesen beiden Ortsvektoren verwenden wir die Pascal- eigenen Befehle _MoveTo und _LineTo, indem wir den Stift zur Position des ersten Vektors fahren lassen und dann eine gerade Linie zur Position des zweiten Vektors zeichnen lassen.
Mit dieser Prozedur zeichnen wir nun also unsere Koordinatenachsen vom Ursprung bis zu den jeweiligen Maximal- bzw. Minimalwerten. Damit haben wir unser dreidimensionales Koordina- tensystem und können die Messwerte einzeichnen lassen.
Um das Koordinatensystem drehen zu können, müssen wir die Einheitsvektoren verändern. Bei
einer Drehung um eine Achse des Systems ist diese Umformung noch recht einfach. Nehmen wir an, wir drehen das System um den Winkel ϕ um die Z-Achse, so dreht sich die X-Achse um den Winkel ϕ und so dreht sich auch die Y-Achse um den Winkel ϕ. Die sich daraus ergebenden neuen Einheitsvektoren lassen sich recht einfach über die trigonometrischen Funktionen errech- nen. Doch bei einer Drehung um zwei Achsen wird diese Berechnung schon deutlich schwieriger, von einer Drehung um alle drei Achsen ganz zu schweigen.
Wir bemühten uns eine Funktion dafür herzuleiten, allerdings ergab sich diese Funktion beim Testen als falsch. Beim Nachschlagen in der Fachliteratur stießen wir auf folgende Transformat- ions-Determinante:
3 2 1
3 2 1
3 2 1
n n n
m m m
l l l
=
∆
Hierbei stehen die Variablen l, m und n für den Richtungskosinus der neuen Position der Achsen in Bezug auf die alten. Eine tabellarische Darstellung der Zusammenhänge ist in Tab. 1 zu sehen.
Die Richtungskosinusse lassen sich dann anhand der trigonometrischen Funktionen herleiten. Wenn man der Methode des Mathematikers Euler folgt, so benötigt man dafür die drei Winkel ϑ, ψ und ϕ. Der Winkel ϑ beschreibt den sogenannten
Nutationswinkel, der Winkel ψ steht für den Präzessionswinkel und der Winkel ϕ steht für den Win- kel der reinen Drehung.
Der Nutationswinkel beschreibt hierbei einfach den Win- kel zwischen der alten und der neuen Z-Achse.
Der Präzessionswinkel ist das schon ein wenig kompli- zierter. Kippt man die XY-Ebene, so ergibt sich eine neue X’Y’-Ebene, die sich mit der XY-Ebene überschneidet.
An dieser Stelle, an der sich die beiden Ebenen schnei- den, kann man sich eine Gerade denken, die vom Ur- sprung entlang dieser Schnittkante verläuft. Der Präzessionswinkel entspricht jetzt dem Winkel, der zwi- schen der X-Achse und der sich ergebenden Schnittgerade besteht.
Der Winkel der reinen Drehung steht erneut im Zusammenhang mit der Schnittgeraden. Er ent- spricht dem Winkel, der zwischen dieser Schnittgeraden und der X’-Achse liegt.
Die Berechnung der Richtungskosinusse tätigte Euler folgendermaßen:
X
Y Z
X’
Y’
Z’
ϑ
Schnittgerade ψ
ϕ
Abb.9: Die drei Eulerschen Winkel
X’ Y’ Z’
Z n1 n2 n3
X l1 l2 l3
Y m1 m2 m3
Tab.1: Zusammenhang der Richtungskosinusse
ϕ
⋅ ϑ
=
ϕ
⋅ ψ
⋅ ϑ + ϕ
⋅ ψ
=
ϕ
⋅ ψ
⋅ ϑ
− ϕ
⋅ ψ
=
sin sin n
sin cos cos cos
sin m
sin sin cos cos
cos l
1 1 1
ϕ
⋅ ϑ
=
ϕ
⋅ ψ
⋅ ϑ + ϕ
⋅ ψ
−
=
ϕ
⋅ ψ
⋅ ϑ
− ϕ
⋅ ψ
−
=
cos sin n
sin cos cos sin
sin m
cos sin cos sin
cos l
2 2 2
ϑ
=
ψ
⋅ ϑ
−
=
ψ
⋅ ϑ
= cos n
cos sin m
sin sin l
3 3 3
Da dieser Algorithmus genau das macht, was wir benötigten, nämlich die Veränderung unserer Einheitsvektoren, verwendeten wir ihn in unserem Programm, auch wenn wir den Berechnungen Euler’s nicht ganz folgen konnten und verschoben das wirkliche Verstehen dieser Berechnung zunächst auf ein anderes Mal.
Mit diesen veränderten Einheitsvektoren können wir dann das Koordinatensystem neu zeichnen.
Um in dieses veränderte Koordinatensystem Vektoren einzutragen, müssen wir sie mit der bereits beschriebenen Darstellungs-Prozedur an die Lage der Einheitsvektoren anpassen.
Mit Hilfe dieses Algorithmus’ haben wir nun eine Möglichkeit unser Koordinatensystem samt der darin enthaltenen Daten drehen.
4.2.2 Einzeichnen der Messwerte
Unsere ursprüngliche Idee, die Messwerte als Vektoren mit dem Positionsvektor und dem Messvektor als Endpunkte einzuzeichnen, scheiterte zunächst an der Unübersichtlichkeit, die entsteht, wenn man mehr als 50 Messpunkte einzeichnen ließ. Da allerdings bei einer so geringen Anzahl an Messwerten kaum ein aussagekräftiges Abbild entsteht, mussten wir auf eine andere Methode ausweichen.
Diese andere Methode besteht darin, dass wir - anstatt die Richtung des Feldes mit in unsere Darstellung einzuzeichnen - nur die Feldstärke einzeichneten. Dabei geht zwar die direkte Richtungsinformation verloren, doch ohne diese Reduzierung würde man bei einer so hohen An- zahl an Messwerten nichts mehr erkennen. Für diese Darstellung benutzten wir die X- und Z- Koordinaten um die Position bei der Messung zu markieren. Zu jedem dieser Punkte zeichneten wir dann an der Y-Achse die Feldstärke ein. Um diese Darstellung noch ein wenig deutlicher zu machen, zeichneten wir dann ein Netz ein. Dieses Netz verbindet jeden Messpunkt mit den umlie- genden Messpunkten.
5. Ergebnisse
5.1 Gemessene Felder
Aus Zeitgründen kamen wir leider nicht mehr dazu sonderlich viele verschiedene Messreihen aufnehmen zu können. Im wesentlichen haben wir uns deshalb bei den Versuchen auf Messungen mit einem kleinen Stabmagneten beschränkt.
Bei den ersten Messungen fuhren wir ein Gebiet von 5 x 5 cm in einem 1cm-Raster ab. Dabei erga- ben sich 25 Messwerte, die man schnell darstellen konnte. Da allerdings die Anzahl der Messwerte nicht ausreichte, um wirklich etwas erkennen zu können, gingen wir sehr bald zu Messungen mit mindestens 10 Schritten pro Seite über. Bei 100 Messwerten konnte man dann schon eher etwa erkennen. Eine dieser Messung, allerdings mit ei- ner Schrittzahl von 20 pro Seite, ergab dann das Netz, das in Abbildung 10 zu sehen ist. Dabei ist
eindeutig der Verlauf der Feldstärken zu sehen - je weiter wir uns im Koordinatensystem bewe- gen, um so größer wird die Feldstärke. Dieses ist darauf zurückzuführen, dass unser Messkopf nicht exakt in der Mitte des Koordinatensystems positioniert war, sondern vielmehr in eben die- sem hinteren Bereich. Allerdings bemerkten wir bei dieser Grafik, dass der Verlauf eigentlich da aufhörte, wo es dann interessant wurde.
Daher wählten wir für die weiteren Messungen einen größeren Bereich zum Messen. Leider mussten wir feststellen, dass einer unserer Messkanäle defekt war, so dass wir nur noch zwei Komponenten des Feldes ausmessen konnten. Doch auch bei diesen ergab sich ein interessantes Bild. So zeigt die Abbildung 11 das Messpunkt-Netz einer Messung mit einer Schrittzahl von 35 pro Seite und einer Seitenlänge von 16 cm. Sehr gut zu erkennen ist die Ver- änderung der Feldstärke um die Mitte des Koordinatensystems herums. Ein- gezeichnet ist nur die Feldstärken- Komponente die auf den Z-Sensor wirkt. Die dazugehörige Darstellung der Feldstärken-Komponente in Rich- tung des Y-Sensors ist in Abbildung 12 zu sehen. Bei diesem zeigt sich ebenfalls an der entsprechenden Stelle
Abb.10: grafische Darstellung der Messergebnisse bei 5x5 cm und 20 Schritten pro Seite
Abb. 11: Z-Komponente der Feldstärke, 16x16cm, 35 Schritte
eine Veränderung der Feldstärke. Die- se wird zunächst geringer, nimmt aber anschließend wieder zu, so dass sich eine Art „Hügel“ in einem „Tal“ bil- det.
Bei der Kombination aller drei Feld- stärken sollte sich ein Hügel in der Mitte ergeben. Da aber leider der X- Kanal keine brauchbaren Messwerte lieferte, sondern vielmehr nur noch das Hochlaufen der Ausgangsspannung
durch den Integrator, konnten wir diese Annahme nicht überprüfen.
Wir überlegten uns nun, dass der andere Pol des Magneten doch ein deutlich unterschiedliches Bild aufweisen müsste. Daher nahmen wir ein paar Messungen auf, für welche wir den Magneten umgekehrt in die Halterung steckten. Die Feldstärke die wir dabei mit dem Z-Sensor gemessen haben, zeigt kaum Veränderungen.
Ganz im Gegensatz zu der Kompo- nente des Y-Sensors. Dieser zeigt jetzt nur noch Werte im positiven Bereich auf Die dazugehörige Grafik ist in Abb. 13 zu sehen.
Leider können wir bis jetzt noch nicht viel mehr als Beobachtungen anstel- len, für eine wirkliche Auswertung fehlt uns noch die entsprechende Zahl an Messwerten. Aber es ist bereits deutlich zu erkennen, dass wir mit unserer Apparatur und dem dazugehörigen Programm zwar noch nicht das gesamte magnetische Feld, aber doch zumindest schon die Feldstärke in einer bestimmten Ebene darstellen können.
5.2 Fehlerquellen
Interessant für uns ist natürlich, wie genau unsere Apparatur misst. Um dazu die Reproduzierbar- keit der Messwerte mit unserer Apparatur zu testen, nahmen wir drei Messreihen nahezu direkt hintereinander auf mit genau denselben Bedingungen.
Die dabei entstehenden Messdaten fügten wir in eine Tabelle in Excel 97 ein, errechneten die Mittelwerte und die relative Abweichung unserer Messwerte von diesem Wert. Dabei stellte sich heraus, dass unsere Werte bis zu 10% Abweichung voneinander haben.
Abb. 12: Y-Komponente der Feldstärke, 16x16cm, 35 Schritte
Abb.13: Y-Komponente der Feldstärke bei umgedrehtem Magneten;
16x16cm, 35 Schritte
Diese Messungenauigkeit ist auf mehrere Ursachen zurückzuführen. Der erste Grund hierfür sind die Messsensoren selber. Trotz der verbesserten Schaltung dürfte hier immer noch eine leichte Ungenauigkeit bei der Erzeugung der Rohdaten selbst sein. Zum einen durch die Schwankungen in der Spannungsversorgung, zum anderen durch das Flip-Signal, dass trotz aller Abschirmungs- bemühungen immer noch auf den meisten Signalleitungen durchschlägt.
Weiterhin dürfte auch die Messmethode noch zu verbessern sein, denn da der XY-Schreiber mit elektrischen Motoren arbeitet, dürften auch diese ein magnetisches Feld erzeugen. Dieses versu- chen wir zwar dadurch zu kompensieren, dass wir den Schreiber ein wenig verzögert fahren lassen. Allerdings können wir die Verzögerung auch nicht zu hoch einstellen, da ansonsten eine Messung mehrere Stunden dauern würde. Für eine Messung mit 10000 Messwerten benötigten wir bereits anderthalb Stunden, nur um anschließend festzustellen, dass unser Programm diese Datenflut nicht bewältigen konnte.
Auch die Umgebung darf nicht außer Acht gelassen werden, so lief während der Messungen in etwa einem Meter Abstand zum Versuchsaufbau ein Lautsprecher. Zudem kann schon allein eine kleine Verdrehung des Messkopfes bereits eine Veränderung der Messwerte ergeben.
5.3 Ideen zur Verbesserung
Unser Projekt ist bei weitem noch nicht ausgereift. Zum einen gilt es, die Messgenauigkeit noch zu verbessern. Dieses könnte man unter anderem bewerkstelligen, indem man ein Tiefpass-Filter in die Schaltung mit einbaut, der bei den Signalen das Durchschlagen der Flip-Impulse verhindert.
Zudem wollen wir den Aufbau der Platinen im Inneren des Gehäuses noch verbessern, da sich die Aufsteck-Struktur als nicht besonders zuverlässig erwiesen hat. Da allerdings die Zeit immer knapper wurde, hatten wir diese Umbaumaßnahmen zunächst auf später verschoben.
Weitere zu verbessernde Punkte liegen auf der Programmierebene. So ist unser eigentliches Ziel das Magnetfeld mehr als plastisches Feld darzustellen noch lange nicht erreicht. Dazu muss zum einen die Messmethodik noch verändert werden, so dass wir den Sensor um das zu messende magnetische Feld fahren lassen können. Weiterhin ist zu überlegen, das Programm in einer ande- ren Sprache zu verfassen, da dem Pascal aufgrund seiner DOS-Arbeitsumgebung ein paar we- sentliche Schranken auferlegt sind.
6. Literaturliste
[1] Algebra und Geometrie: Hrsg. Prof. Dr. K. Bögel, 1967;
Harri Deutsch Verlag, Zürich;
[2] Schülerduden Physik: Hrsg. Prof. Dr. Klaus Bethge, 1995;
Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim;
[3] Physik für Gymnasien, Sek.I: Hrsg. Gerd Boysen, Dr. Harri Heise u.a., 1991;
Cornelsen Verlag, Berlin;
[4] Metzler Physik: Joachim Grehn, 1992;
Metzler Schulbuchverlag GmbH, Hannover;
[5] Taschenbuch der Mathematik: Bronstein & Semendjajew, 1956;
Harri Deutsch Verlag, Zürich;
7. Danksagung
Wir danken unserem Betreuungslehrer StD Thomas Biedermann, der uns in vielerlei Hinsicht unterstütz hat und mit Rat und Tat zur Seite stand, wenn wir einfach nicht mehr weiterkamen.
Wir möchten uns auch bei dem Förderverein Jugend Forscht Hermannsburg bedanken, der durch finanzielle und materielle Spenden unsere Arbeit überhaupt erst ermöglicht hat.
Unser Dank gilt auch der Firma CONRAD, die uns die doch recht kostspieligen Bauteile zu günstigen Konditionen verkaufte.
Zudem danken wir auch Frau Biedermann für die leckere Verpflegung während der manchmal doch recht frustrierenden Forschungsnachmittage.
