Theoretische Physik E — Quantenmechanik II

Universit¨at Karlsruhe (TH) WS 2006/07

Theoretische Physik E — Quantenmechanik II

V: Prof. Dr. D. Zeppenfeld, ¨U: Dr. S. Gieseke

Ubungsblatt 3 ¨

Abgabe: Fr, 17.11.’06, 9.45 Uhr, Erdgeschoss Physikhochhaus.

Aufgabe 9: Spin–¹₂ System [4]

Gegeben sind die Operatoren S_x = ^h¯

2(|+ih − |+| − ih+|) , S_y= ^i¯h

2 (| − ih+| − |+ih − |), S_z = ^¯h

2(|+ih+| − | − ih − |) bez ¨uglich der Basis{|+i,| − i}, den Eigenzust¨anden vonS_z.

(a) Bestimmen Sie die 2×2 Matrix–Darstellungen derS_iin dieser Basis und berechnen Sie die Kommutatoren

S_i,S_j

sowie die Antikommutatoren{S_i,S_j}.

(b) ¨Uberpr ¨ufen Sie mit A =S_xundB= S_ydie verallgemeinerte Unsch¨arferelation (^∆A)²(^∆B)² ≥ ¹

4|h[A,B]i|² bez ¨uglich des Zustandes|+i.

Aufgabe 10: Bahndrehimpuls [4]

Ein Teilchen in einem kugelsymmetrischen Potential befinde sich in einem Eigenzustand |l,mi von~_L²_undLz. Wie lauten die ErwartungswertehL_xi,hL_yi,hL_zi,hL²_xi,hL²_yi,hL²_zi, bez ¨uglich dieses Zustandes? Was bedeutet das semiklassisch?

Aufgabe 11: Drehoperatoren [6]

Wir betrachten allgemeine Drehungen um die Achseω~ mit dem Drehwinkelω =|ω~|, R(ω~)_{i j} = ω

iω

j

ω2 +cosωδ_{i j}−ω

iω

j

ω2

−^sinω

ω ε_{i jk}ω_{k .} (a) Zeigen Sie, dassR(ω~)R(−~ω) =1.

(b) Zeigen Sie, dass sich der Ortsoperator~runter einer unit¨aren Transformation U(ω~) = e^{−¯hiω~·~L}, ~_L=~^r×~^p

unabh¨angig von der Darstellung bez ¨uglich seiner Komponenten wie ein Vektor transfor- miert, also

U^†(ω~)~^{r U}(ω~) = R(ω~)~^r.

Verwenden Sie dazu das Baker–Hausdorff Theorem in der allgemeineren Fassung e^BAe^−B =

∑

1

n!A_n, A_n = [B,A_n−1], A₀ = A.

(b.w.)

2 Theoretische Physik E Universit¨at Karlsruhe, WS 2006/07

Aufgabe 12: Drehimpulse und Oszillatoren [6]

Wir untersuchen ein System von zwei unabh¨angigen harmonischen Oszillatoren (im folgenden durch +, - benannt) mit Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren a^†_±,a±, die die ¨ublichen Ver- tauschungsrelationen erf ¨ullen. Damit definieren wir die Operatoren

J_± =ha¯ ^†_±a_∓, J_z = ^¯h 2

a^†₊a₊−a^†₋a₋

, N = N₊+N₋ =a^†₊a₊+a^†₋a₋ . Zeigen Sie, dass dieJ±,J_zeine Drehimpulsalgebra erf ¨ullen, also

[J_z,J_±] = ±hJ¯ _±, h

~_J²_,Jzⁱ =0, [J₊,J₋] =2¯hJ_z. Zeigen Sie weiterhin, dass

~_J² =h¯²N 2

N 2 +1

, (~_J² = J_x²+J_y²+J²_z).

Damit m ¨usste es also einen Zusammenhang zwischen der Besetzungszahldarstellung|n+,n−i und der Drehimpulsdarstellung| j,mi von Zust¨anden dieses Systems geben. Wie lautet dieser Zusammenhang und wie lassen sich damit Drehimpulse ganz allgemein deuten?

∑Blatt3=²⁰

http://www-itp.physik.uni-karlsruhe.de/˜gieseke/TheoE/