Analytische Geometrie – Analytische Geometrie – Die gegenseitige Lage von Die gegenseitige Lage von drei Ebenen im Raum drei Ebenen im Raum

Analytische Geometrie – Analytische Geometrie – Die gegenseitige Lage von Die gegenseitige Lage von

drei Ebenen im Raum drei Ebenen im Raum

Referat von Referat von

Tanja Redmann und Daniel Hesseler Tanja Redmann und Daniel Hesseler

am 28.06.2006

am 28.06.2006

Gliederung Gliederung

1.1. Wiederholung: Analytische GeometrieWiederholung: Analytische Geometrie

1.11.1 Definition: Punktrichtungsgleichung einer EbeneDefinition: Punktrichtungsgleichung einer Ebene 1.21.2 Definition: Dreipunktegleichung einer EbeneDefinition: Dreipunktegleichung einer Ebene

1.31.3 Definition: Achsenabschnittsgleichung einer EbeneDefinition: Achsenabschnittsgleichung einer Ebene 1.3.1

1.3.1 BeispielBeispiel

1.41.4 Zusammenfassung: Punktrichtungs- und DreipunktegleichungZusammenfassung: Punktrichtungs- und Dreipunktegleichung 1.51.5 Rechnung: Parametergleichung in Koordinatengleichung Rechnung: Parametergleichung in Koordinatengleichung

überführen (Tafel) überführen (Tafel) 1.61.6 NormalenvektorNormalenvektor

1.71.7 NormaleneinheitsvektorNormaleneinheitsvektor

1.81.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

1.91.9 Hessesche Normalform einer EbenengleichungHessesche Normalform einer Ebenengleichung 1.101.10 ÄquivalenzumformungenÄquivalenzumformungen

1.111.11 Lösungsmengen linearer GleichungssystemeLösungsmengen linearer Gleichungssysteme 1.12 Lineare Unabhängigkeit

2.2. Die gegenseitige Lage von drei Ebenen im RaumDie gegenseitige Lage von drei Ebenen im Raum 2.12.1 Neun verschiedene BeispieleNeun verschiedene Beispiele

2.22.2 Beispiel: Vereinfachen einer Matrix auf Zeilenstufenform Beispiel: Vereinfachen einer Matrix auf Zeilenstufenform (Gauss-Verfahren)

(Gauss-Verfahren)

2.32.3 Rechnungen in Derive Rechnungen in Derive

2.42.4 Beispiel: Berechnung der Schnittgeraden zweier Ebenen (Tafel)Beispiel: Berechnung der Schnittgeraden zweier Ebenen (Tafel) 2.52.5 Beispiel: Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen (Tafel)Beispiel: Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen (Tafel) 3.3. Literatur Literatur

1. Wiederholung:

1. Wiederholung:

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie

1.1 Definition: Punktrichtungsgleichung einer Ebene

1.1 Definition: Punktrichtungsgleichung einer Ebene

1.2 Definition: Dreipunktegleichung einer Ebene

1.2 Definition: Dreipunktegleichung einer Ebene

1.3 Definition: Achsenabschnittsgleichung einer Ebene 1.3 Definition: Achsenabschnittsgleichung einer Ebene

Schneidet eine Ebene E die Achsen eines Koordinatensystems in den Schneidet eine Ebene E die Achsen eines Koordinatensystems in den

Punkten S

Punkten S_xx (x (x_ss;0;0), S;0;0), S_{Y Y} (0;y(0;y_ss;0) und S;0) und S_zz(0;0;z(0;0;z_ss) (mit x) (mit x_{s, s,} yy_ss,z,z _{s s}≠0), so besitzt ≠0), so besitzt sie die

sie die KoordinatengleichungKoordinatengleichung

x/ x/ x x

_{s s}

+ y/ y + y/ y

_{s s}

+ z/z + z/z

_{s s}

= 1 = 1

1.3.1

1.3.1

Beispiel Beispiel

Für die nebenstehende Für die nebenstehende

dargestellte Ebene E dargestellte Ebene E₁₁

lässt sich als lässt sich als

Koordinatengleichung ablesen:

Koordinatengleichung ablesen:

EE₁₁= x/2 + y/3 + z/0.5 = 1 bzw. = x/2 + y/3 + z/0.5 = 1 bzw.

EE₁₁= 3x + 2y + 12z = 6= 3x + 2y + 12z = 6

1.4 Zusammenfassung: Punktrichtungs- und Dreipunktegleichung

1.4 Zusammenfassung: Punktrichtungs- und Dreipunktegleichung

1.5 Rechnung: Parametergleichung in Koordinatenschreibweise 1.5 Rechnung: Parametergleichung in Koordinatenschreibweise

überführen

überführen

1.6 Normalenvektor

1.6 Normalenvektor

1.7 Normaleneinheitsvektor 1.7 Normaleneinheitsvektor

Dabei sieht der Normaleneinheitsvektor wie folgt aus:

1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) 1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

 Bei der Skalarmultiplikation werden zwei Vektoren multipliziertBei der Skalarmultiplikation werden zwei Vektoren multipliziert

 Das Produkt ist eine reelle Zahl, kein VektorDas Produkt ist eine reelle Zahl, kein Vektor

 Eine Verknüpfung entsteht, die den Vektoren a und b einen Vektor c Eine Verknüpfung entsteht, die den Vektoren a und b einen Vektor c als Produkt zuordnet

als Produkt zuordnet c = a x b.

c = a x b.

1.8 Das Vektorprodukt 1.8 Das Vektorprodukt

Satz: Für Vektoren a und b und Satz: Für Vektoren a und b und

a x b im Raum gilt: a x b im Raum gilt:

(1)(1) a x b ist orthogonal zu a und a x b ist orthogonal zu a und zu bzu b

(2)(2) a, b und a x b bilden ein a, b und a x b bilden ein Rechtssystem

Rechtssystem

(3)(3) Der Betrag von a x b ist Der Betrag von a x b ist

gleich dem Flächeninhalt des gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten von a und b aufgespannten Parallelogramms:

Parallelogramms:

│a x b│=│a│*│b│* sin │a x b│=│a│*│b│* sin φφ

1.8 Das Vektorprodukt: Der kurze Weg zum Normalenvektor 1.8 Das Vektorprodukt: Der kurze Weg zum Normalenvektor

1.8 Das Vektorprodukt: Der kurze Weg zum Normalenvektor 1.8 Das Vektorprodukt: Der kurze Weg zum Normalenvektor

 Der Ergebnisvektor steht senkrecht zu den Vektoren a und b. Er ist Der Ergebnisvektor steht senkrecht zu den Vektoren a und b. Er ist ein Normalenvektor einer von a und b aufgespannten Ebene. Sein ein Normalenvektor einer von a und b aufgespannten Ebene. Sein

Betrag gibt die Inhaltsmaßzahl des von a und b im Raum Betrag gibt die Inhaltsmaßzahl des von a und b im Raum

aufgespannten Parallelogramms an.

aufgespannten Parallelogramms an.

 A = A = │ │= (0)│ │= (0)²²+(0)+(0)²²+(1)+(1)²² = 1 (FE) = 1 (FE)

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

Unter dem Abstand d eines Punktes R von einer Ebene E versteht Unter dem Abstand d eines Punktes R von einer Ebene E versteht man die Länge d seines Lotes von R auf die Ebene, d.h. die Länge d man die Länge d seines Lotes von R auf die Ebene, d.h. die Länge d der Strecke von R zum Lotfußpunkt (Fig. 3)

der Strecke von R zum Lotfußpunkt (Fig. 3)

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

│n₀│= 1

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

1.10 Äquivalenzumformungen 1.10 Äquivalenzumformungen

Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich mit den folgenden Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich mit den folgenden Äquivalenzumformungen auf Stufenform bringen:

Äquivalenzumformungen auf Stufenform bringen:

(1) (1) Gleichungen miteinander vertauschenGleichungen miteinander vertauschen

(2) (2) eine Gleichung mit einer Zahl c eine Gleichung mit einer Zahl c ≠ ≠ 0 multiplizieren0 multiplizieren

(3) (3) eine Gleichung durch die Summe oder Differenz eines eine Gleichung durch die Summe oder Differenz eines Vielfachen von ihr und einem Vielfachen einer

Vielfachen von ihr und einem Vielfachen einer anderen anderen Gleichung ersetzen.

Gleichung ersetzen.

1.11 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 1.11 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme

Satz:

Satz:

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine, keine oder Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine, keine oder

unendlich viele Lösungen.

unendlich viele Lösungen.

Beispiel:

Beispiel:

(1) Genau eine Lösung:

(1) Genau eine Lösung: 2x2x -y-y = 1= 1 4y4y = 1= 1

Lösungsmenge: L={(5/8; 1/4)}

Lösungsmenge: L={(5/8; 1/4)}

(2) Keine Lösung:

(2) Keine Lösung: xx -2y-2y -4z-4z = 2= 2 +3y+3y +2z+2z = 0= 0

00 = -1= -1 L= {L= { }}

(3) Unendlich viele Lösungen:

(3) Unendlich viele Lösungen: 2x2x -y-y +z+z = 2= 2 2y2y -6z-6z = 0= 0

Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme

Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme

1.12 Lineare Unabhängigkeit 1.12 Lineare Unabhängigkeit

Vektoren a₁,a₂,…,a_n heißen linear unabhängig, falls sich kein Vektor von ihnen als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen

lässt. Kann man wenigstens einen der Vektoren a₁,a₂,…,a_n als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen, so heißen die Vektor linear abhängig.

Für ein LGS bestehend aus drei Gleichungen heißt das:

1. Lässt sich mindestens eine Gleichung als Linearkombination einer anderen darstellen (linear abhängig), so hat das LGS keine bzw.

unendlich viele Lösungen

2. Sind alle Gleichungen voneinander linear unabhängig, so existiert genau eine Lösung für das LGS

3. Sind zwei Ebenen parallel, müssen ihre Normalenvektoren kollinear sein (linear abhängig)

 Siehe Punkt 2.1

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

1.13 Spezielle Ebenen

2. Die gegenseitige Lage

2. Die gegenseitige Lage

von drei Ebenen im Raum

von drei Ebenen im Raum

2.1 Neun verschiedene Beispiele 2.1 Neun verschiedene Beispiele

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Alle drei Ebenen sind Alle drei Ebenen sind parallel, aber nicht parallel, aber nicht identisch

identisch

Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Keine Keine

Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Leere Menge Leere Menge

x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = -4 x + 2y + 3z = -4 x + 2y + 3z = 14 x + 2y + 3z = 14

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Zwei identische Ebenen Zwei identische Ebenen sind parallel zur dritten sind parallel zur dritten Ebene

Ebene

Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Keine Keine

Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Leere Menge Leere Menge

x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 8 2x + 4y + 6z = 8 x + 2y + 3z = 14 x + 2y + 3z = 14

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Zwei Ebenen sind parallel Zwei Ebenen sind parallel

und die dritte Ebene und die dritte Ebene

schneidet beide Ebenen schneidet beide Ebenen

in zwei parallelen in zwei parallelen

Schnittgeraden Schnittgeraden

Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Keine Keine

Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Leere Menge Leere Menge

x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 14 x + 2y + 3z = 14

x - y + 2z = 2 x - y + 2z = 2

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Alle drei Ebenen Alle drei Ebenen

schneiden sich in drei schneiden sich in drei

verschiedenen verschiedenen Schnittgeraden Schnittgeraden

Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Keine Keine

Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Leere Menge Leere Menge

x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 4 3x + y + 4z = 1 3x + y + 4z = 1 4x + 3y + 7z = 25 4x + 3y + 7z = 25

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Alle drei Ebenen schneiden Alle drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt

sich in einem Punkt Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Genau ein Punkt Genau ein Punkt Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Eine eindeutige Lösung Eine eindeutige Lösung

x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 4

x + z = 1 x + z = 1 3x + y = 2 3x + y = 2

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Zwei Ebenen sind Zwei Ebenen sind identisch, die dritte identisch, die dritte

Ebene schneidet in einer Ebene schneidet in einer

Schnittgeraden Schnittgeraden

Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Genau eine Gerade Genau eine Gerade

Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Unendlich Unendlich

x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 8 2x + 4y + 6z = 8 x + 2y + 4z = 4 x + 2y + 4z = 4

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Alle drei Ebenen Alle drei Ebenen schneiden sich in schneiden sich in einer Schnittgeraden einer Schnittgeraden Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Eine gemeinsame Eine gemeinsame Schnittgerade

Schnittgerade Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Unendlich Unendlich

x + y + z = 3 x + y + z = 3 x + 7y +z = 3 x + 7y +z = 3 x -5y + z = 3 x -5y + z = 3

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Zwei Ebenen parallel Zwei Ebenen parallel zueinander, die dritte zueinander, die dritte schneidet beide Ebenen schneidet beide Ebenen orthogonal

orthogonal

Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Keine Keine

Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Keine Keine

2x + 5y -3z = -14 2x + 5y -3z = -14 2x + 5y -3z = 4 2x + 5y -3z = 4 x + 2y + 4z = 2 x + 2y + 4z = 2

Lage der Ebenen:

Lage der Ebenen:

Alle drei Ebenen sind Alle drei Ebenen sind

identisch identisch

Gemeinsame Punkte:

Gemeinsame Punkte:

Eine gemeinsame Eine gemeinsame

Ebene Ebene

Lösungsmenge:

Lösungsmenge:

Unendlich Unendlich

x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 8 2x + 4y + 6z = 8 0.5x + y + 1.5z = 2 0.5x + y + 1.5z = 2

2.2 Beispiel: Vereinfachen einer Matrix auf Zeilenstufenform 2.2 Beispiel: Vereinfachen einer Matrix auf Zeilenstufenform

(Gauss-Verfahren) (Gauss-Verfahren)

Löst bitte folgendes lineare Gleichungssystem. Verwendet entweder Löst bitte folgendes lineare Gleichungssystem. Verwendet entweder die ausführliche Schreibweise oder die Matrixschreibweise.

die ausführliche Schreibweise oder die Matrixschreibweise.

3x + 6y -2z = -4 3x + 6y -2z = -4 3x +2y +z = 0 3x +2y +z = 0

1.5x + 5y -5z = -9 1.5x + 5y -5z = -9

Lösung:

Lösung:

Aus IIIb folgt:

Aus IIIb folgt:

Aus x

Aus x_{3 3} = 2 und IIa folgt:= 2 und IIa folgt: xx₃₃ = 2 = 2 xx₂₂= ½= ½

Aus x

Aus x₃₃ = 2, x = 2, x₂₂ = ½ und I folgt: = ½ und I folgt: xx₁₁ = -1 = -1

Lösung: (-1; ½; 2) Lösung: (-1; ½; 2)

2.3 Rechnungen in Derive

2.3 Rechnungen in Derive

E E

1₁

: 3x -4y +z = 1 : 3x -4y +z = 1 E E

₂₂

: 5x +2y -3z = 6 : 5x +2y -3z = 6

2.4 Berechnungen der Schnittgerade (Tafel)

2.4 Berechnungen der Schnittgerade (Tafel)

2.5 Schnittwinkel zweier Ebenen

2.5 Schnittwinkel zweier Ebenen

Bossek, Dr. H. (2003). Duden: Abitur Mathematik. Mannheim:

Bossek, Dr. H. (2003). Duden: Abitur Mathematik. Mannheim:

Verlag für Bildungsmedien, PAETEG Verlag für Bildungsmedien, PAETEG

Baum, M. (1998). Analytische Geometrie mit linearer Algebra – Baum, M. (1998). Analytische Geometrie mit linearer Algebra –

Grundkurs. Stuttgart: Klett Verlag Grundkurs. Stuttgart: Klett Verlag

3. Literatur

3. Literatur

Vielen Dank für Eure Vielen Dank für Eure

Aufmerksamkeit!

Aufmerksamkeit!