Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
040444-4 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: SoSe2007
Wirtschaftsstatistik I [E2]
Krall, christoph
christoph.krall@univie.ac.at
http://homepage.univie.ac.at/christoph.krall March 15, 2007
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
4 6
2 6
x 6
3 5
2 5
4 5
1 5
x 5 4
6 3 5
4 6 2 5
2 6 4 5
2 6 1 5
4 6 2
5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
4 6
2 6
x 6
3 5
2 5
4 5
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6 3 5
4 6 2 5
2 6 4 5
2 6 1 5
4 6 2
5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
4 6
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x 6 3
5
2 5
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x 5
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4 6 2
5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
4 6
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5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
4 6
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x 6 3
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6 3 5
4 6 2 5
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2 6 1 5
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5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
4 6
2 6
x 6 3
5
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4 5
1 5
x 5 4
6 3 5
4 6 2 5
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2 6 1 5
4 6 2
5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = P(A∩B)
P(A)
Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch Wahrscheinlichkeiten, n¨amlich Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren
Stichprobenraum.
Socken:
A=”Beim ersten Ziehen eine rote Socke” B=”Beim zweiten Ziehen eine gelbe Socke” P(A∩B) =P(A)·P(B|A)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = P(A∩B)
P(A)
Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch Wahrscheinlichkeiten, n¨amlich Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren
Stichprobenraum.
Socken:
A=”Beim ersten Ziehen eine rote Socke” B=”Beim zweiten Ziehen eine gelbe Socke” P(A∩B) =P(A)·P(B|A)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = P(A∩B)
P(A)
Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch Wahrscheinlichkeiten, n¨amlich Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren
Stichprobenraum.
Socken:
A=”Beim ersten Ziehen eine rote Socke”
B=”Beim zweiten Ziehen eine gelbe Socke”
P(A∩B) =P(A)·P(B|A)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
totale Wahrscheinlichkeit
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
IstAein Ereignis und sindA1,A2,. . .,An einander ausschließende Ereignisse, d.h.
P(Ai∩Aj) = 0 f¨ur jeweils zwei verschiedene i,j, mitA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An, dann ist
P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
totale Wahrscheinlichkeit
Begr¨undung:
(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨ur i 6=j
A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)
P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)
P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
totale Wahrscheinlichkeit
Begr¨undung:
(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨uri 6=j
A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)
P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)
P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
totale Wahrscheinlichkeit
Begr¨undung:
(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨uri 6=j
A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)
P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)
P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
totale Wahrscheinlichkeit
Begr¨undung:
(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨uri 6=j
A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)
P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)
P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
totale Wahrscheinlichkeit
Begr¨undung:
(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨uri 6=j
A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)
P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)
P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
totale Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
Ein Getr¨ankefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen AltersgruppenA1,A2,A3. 25% der KundInnen geh¨oren zur AltersgruppeA1, 60% zurA2 und 15% zu A3.
Laut Umfrage w¨urden 80% der AltersgruppeA1, 60% vonA2 und 30% vonA3 das neue Erfrischungsgetr¨ank kaufen.
?Wieviel % der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen?
P(K¨auferIn|A1) = 0.8 P(K¨auferIn|A2) = 0.6 P(K¨auferIn|A3) = 0.3
P(A1) = 0.25 P(A2) = 0.6 P(A3) = 0.15
⇒P(K¨auferIn) = 0.8·0.25 + 0.6·0.6 + 0.3·0.15 = 0,605 60.5% der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen!
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bedingte W.
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totale Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
Ein Getr¨ankefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen AltersgruppenA1,A2,A3. 25% der KundInnen geh¨oren zur AltersgruppeA1, 60% zurA2 und 15% zu A3.
Laut Umfrage w¨urden 80% der AltersgruppeA1, 60% vonA2 und 30% vonA3 das neue Erfrischungsgetr¨ank kaufen.
?Wieviel % der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen?
P(K¨auferIn|A1) = 0.8 P(K¨auferIn|A2) = 0.6 P(K¨auferIn|A3) = 0.3
P(A1) = 0.25 P(A2) = 0.6 P(A3) = 0.15
⇒P(K¨auferIn) = 0.8·0.25 + 0.6·0.6 + 0.3·0.15 = 0,605 60.5% der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen!
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Bayes unabh¨angig
totale Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
Ein Getr¨ankefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen AltersgruppenA1,A2,A3. 25% der KundInnen geh¨oren zur AltersgruppeA1, 60% zurA2 und 15% zu A3.
Laut Umfrage w¨urden 80% der AltersgruppeA1, 60% vonA2 und 30% vonA3 das neue Erfrischungsgetr¨ank kaufen.
?Wieviel % der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen?
P(K¨auferIn|A1) = 0.8 P(K¨auferIn|A2) = 0.6 P(K¨auferIn|A3) = 0.3
P(A1) = 0.25 P(A2) = 0.6 P(A3) = 0.15
⇒P(K¨auferIn) = 0.8·0.25 + 0.6·0.6 + 0.3·0.15 = 0,605 60.5% der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen!
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bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
Bedingte Wahrscheinlichkeit
M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:
Bayes-Formel
F¨ur Ereignisse Aund B gilt: P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B) =
P(B|A)P(A)
P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)
Beispiel
?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?
P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)
P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
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Bayes unabh¨angig
Bedingte Wahrscheinlichkeit
M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:
Bayes-Formel
F¨ur Ereignisse Aund B gilt:
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B) = P(B|A)P(A)
P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)
Beispiel
?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?
P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)
P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:
Bayes-Formel
F¨ur Ereignisse Aund B gilt:
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B) = P(B|A)P(A)
P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)
Beispiel
?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?
P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)
P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605
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Bayes unabh¨angig
Bedingte Wahrscheinlichkeit
M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:
Bayes-Formel
F¨ur Ereignisse Aund B gilt:
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B) = P(B|A)P(A)
P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)
Beispiel
?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?
P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)
P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
Bedingte Wahrscheinlichkeit
M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:
Bayes-Formel
F¨ur Ereignisse Aund B gilt:
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B) = P(B|A)P(A)
P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)
Beispiel
?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?
P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)
P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605
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totale W.
Bayes unabh¨angig
Bedingte Wahrscheinlichkeit
H¨aufig sind ein EreignisA und mehrere EreignisseA1, . . . ,An
mitA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An gegeben und man m¨ochte von P(A|Ak) und P(Ak) aufP(Ak|A) schließen.
Satz von Bayes
IstA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An f¨urA1, . . . ,An, dann gilt P(Ak|A) = P(A|Ak)·P(Ak)
P(A)
= P(A|Ak)·P(Ak) Pn
i=1P(A|Ai)P(Ai)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
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Bayes unabh¨angig
Bedingte Wahrscheinlichkeit
H¨aufig sind ein EreignisA und mehrere EreignisseA1, . . . ,An
mitA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An gegeben und man m¨ochte von P(A|Ak) und P(Ak) aufP(Ak|A) schließen.
Satz von Bayes
IstA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An f¨urA1, . . . ,An, dann gilt P(Ak|A) = P(A|Ak)·P(Ak)
P(A)
= P(A|Ak)·P(Ak) Pn
i=1P(A|Ai)P(Ai)
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Bayes unabh¨angig
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unfallversicherung
Eine Versicherung verwendet folgende Werte:
30% aller AutofahrerInnen fahren schlecht und machen mit Wahrscheinlichkeit 0.6 innerhalb des ersten Versicherungsjahres wenigstens einen Unfall.
Die mittleren AutofahrerInnen (60%) machen mind. einen Unfall im ersten Jahr mit Wahrscheinlichkeit 0.1 und die guten (10%) mind. einen mit Wahrscheinlichkeit 0.01.
(1) Mit welcher Wahrsch. macht ein/e beliebige/r AutofahrerIn innerhalb des ersten Jahres wenigstens einen Unfall?
(2) Wenn ein Unfall innerhalb des ersten Jahres passiert, mit welcher Wahrsch. geh¨ort die Person zu den guten
AutofahrerInnen?
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unfallversicherung
Eine Versicherung verwendet folgende Werte:
30% aller AutofahrerInnen fahren schlecht und machen mit Wahrscheinlichkeit 0.6 innerhalb des ersten Versicherungsjahres wenigstens einen Unfall.
Die mittleren AutofahrerInnen (60%) machen mind. einen Unfall im ersten Jahr mit Wahrscheinlichkeit 0.1 und die guten (10%) mind. einen mit Wahrscheinlichkeit 0.01.
(1) Mit welcher Wahrsch. macht ein/e beliebige/r AutofahrerIn innerhalb des ersten Jahres wenigstens einen Unfall?
(2) Wenn ein Unfall innerhalb des ersten Jahres passiert, mit welcher Wahrsch. geh¨ort die Person zu den guten
AutofahrerInnen?
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
Unabh¨ angige Ereignisse:
Das EreignisB ist von Aunabh¨angig wenn gilt:
P(B|A) =P(B).
Umgekehrt istAvon B unabh¨angig wenn gilt:
P(A|B) =P(A).
Es gilt:
P(A|B) = P(A∩B)
P(B) =P(A)
Definition
Zwei Ereignisse heißenunabh¨angig wenn gilt: P(A∩B) =P(A)·P(B)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
bedingte W.
totale W.
Bayes unabh¨angig
Unabh¨ angige Ereignisse:
Das EreignisB ist von Aunabh¨angig wenn gilt:
P(B|A) =P(B).
Umgekehrt istAvon B unabh¨angig wenn gilt:
P(A|B) =P(A).
Es gilt:
P(A|B) = P(A∩B)
P(B) =P(A)
Definition
Zwei Ereignisse heißenunabh¨angig wenn gilt: P(A∩B) =P(A)·P(B)
Wahr- scheinlichkeits- rechnung
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Bayes unabh¨angig
Unabh¨ angige Ereignisse:
Das EreignisB ist von Aunabh¨angig wenn gilt:
P(B|A) =P(B).
Umgekehrt istAvon B unabh¨angig wenn gilt:
P(A|B) =P(A).
Es gilt:
P(A|B) = P(A∩B)
P(B) =P(A) Definition
Zwei Ereignisse heißenunabh¨angig wenn gilt:
P(A∩B) =P(A)·P(B)