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Wirtschaftsstatistik I [E2]

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(1)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

040444-4 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: SoSe2007

Wirtschaftsstatistik I [E2]

Krall, christoph

christoph.krall@univie.ac.at

http://homepage.univie.ac.at/christoph.krall March 15, 2007

(2)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

4 6

2 6

x 6

3 5

2 5

4 5

1 5

x 5 4

6 3 5

4 6 2 5

2 6 4 5

2 6 1 5

4 6 2

5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%

(3)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

4 6

2 6

x 6

3 5

2 5

4 5

1 5

x 5 4

6 3 5

4 6 2 5

2 6 4 5

2 6 1 5

4 6 2

5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

4 6

2 6

x 6 3

5

2 5

4 5

1 5

x 5

4 6 3 5

4 6 2 5

2 6 4 5

2 6 1 5

4 6 2

5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%

(5)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

4 6

2 6

x 6 3

5

2 5

4 5

1 5

x 5

4 6 3 5

4 6 2 5

2 6 4 5

2 6 1 5

4 6 2

5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

4 6

2 6

x 6 3

5

2 5

4 5

1 5

x 5 4

6 3 5

4 6 2 5

2 6 4 5

2 6 1 5

4 6 2

5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

4 6

2 6

x 6 3

5

2 5

4 5

1 5

x 5 4

6 3 5

4 6 2 5

2 6 4 5

2 6 1 5

4 6 2

5 +2645 = 1630 ∼53.˙3%

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = P(A∩B)

P(A)

Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch Wahrscheinlichkeiten, n¨amlich Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren

Stichprobenraum.

Socken:

A=”Beim ersten Ziehen eine rote Socke” B=”Beim zweiten Ziehen eine gelbe Socke” P(A∩B) =P(A)·P(B|A)

(9)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = P(A∩B)

P(A)

Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch Wahrscheinlichkeiten, n¨amlich Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren

Stichprobenraum.

Socken:

A=”Beim ersten Ziehen eine rote Socke” B=”Beim zweiten Ziehen eine gelbe Socke” P(A∩B) =P(A)·P(B|A)

(10)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = P(A∩B)

P(A)

Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch Wahrscheinlichkeiten, n¨amlich Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren

Stichprobenraum.

Socken:

A=”Beim ersten Ziehen eine rote Socke”

B=”Beim zweiten Ziehen eine gelbe Socke”

P(A∩B) =P(A)·P(B|A)

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

IstAein Ereignis und sindA1,A2,. . .,An einander ausschließende Ereignisse, d.h.

P(Ai∩Aj) = 0 f¨ur jeweils zwei verschiedene i,j, mitA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An, dann ist

P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)

(12)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Begr¨undung:

(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨ur i 6=j

A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)

P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)

P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)

(13)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Begr¨undung:

(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨uri 6=j

A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)

P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)

P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)

(14)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Begr¨undung:

(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨uri 6=j

A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)

P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)

P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)

(15)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Begr¨undung:

(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨uri 6=j

A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)

P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)

P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)

(16)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Begr¨undung:

(A∩Ai)∩(A∩Aj) ={} f¨uri 6=j

A= (A∩A1)∪(A∩A2)∪ · · · ∪(A∩An)

P(A) =P(A∩A1) +P(A∩A2) +· · ·+P(A∩An)

P(A) =P(A|A1)·P(A1)+P(A|A2)·P(A2)+· · ·+P(A|An)·P(An)

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Ein Getr¨ankefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen AltersgruppenA1,A2,A3. 25% der KundInnen geh¨oren zur AltersgruppeA1, 60% zurA2 und 15% zu A3.

Laut Umfrage w¨urden 80% der AltersgruppeA1, 60% vonA2 und 30% vonA3 das neue Erfrischungsgetr¨ank kaufen.

?Wieviel % der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen?

P(K¨auferIn|A1) = 0.8 P(K¨auferIn|A2) = 0.6 P(K¨auferIn|A3) = 0.3

P(A1) = 0.25 P(A2) = 0.6 P(A3) = 0.15

⇒P(K¨auferIn) = 0.8·0.25 + 0.6·0.6 + 0.3·0.15 = 0,605 60.5% der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen!

(18)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Ein Getr¨ankefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen AltersgruppenA1,A2,A3. 25% der KundInnen geh¨oren zur AltersgruppeA1, 60% zurA2 und 15% zu A3.

Laut Umfrage w¨urden 80% der AltersgruppeA1, 60% vonA2 und 30% vonA3 das neue Erfrischungsgetr¨ank kaufen.

?Wieviel % der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen?

P(K¨auferIn|A1) = 0.8 P(K¨auferIn|A2) = 0.6 P(K¨auferIn|A3) = 0.3

P(A1) = 0.25 P(A2) = 0.6 P(A3) = 0.15

⇒P(K¨auferIn) = 0.8·0.25 + 0.6·0.6 + 0.3·0.15 = 0,605 60.5% der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen!

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

totale Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Ein Getr¨ankefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen AltersgruppenA1,A2,A3. 25% der KundInnen geh¨oren zur AltersgruppeA1, 60% zurA2 und 15% zu A3.

Laut Umfrage w¨urden 80% der AltersgruppeA1, 60% vonA2 und 30% vonA3 das neue Erfrischungsgetr¨ank kaufen.

?Wieviel % der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen?

P(K¨auferIn|A1) = 0.8 P(K¨auferIn|A2) = 0.6 P(K¨auferIn|A3) = 0.3

P(A1) = 0.25 P(A2) = 0.6 P(A3) = 0.15

⇒P(K¨auferIn) = 0.8·0.25 + 0.6·0.6 + 0.3·0.15 = 0,605 60.5% der KundInnen w¨urden das neue Getr¨ank kaufen!

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:

Bayes-Formel

F¨ur Ereignisse Aund B gilt: P(A|B) = P(B|A)P(A)

P(B) =

P(B|A)P(A)

P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)

Beispiel

?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?

P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)

P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:

Bayes-Formel

F¨ur Ereignisse Aund B gilt:

P(A|B) = P(B|A)P(A)

P(B) = P(B|A)P(A)

P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)

Beispiel

?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?

P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)

P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605

(22)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:

Bayes-Formel

F¨ur Ereignisse Aund B gilt:

P(A|B) = P(B|A)P(A)

P(B) = P(B|A)P(A)

P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)

Beispiel

?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?

P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)

P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:

Bayes-Formel

F¨ur Ereignisse Aund B gilt:

P(A|B) = P(B|A)P(A)

P(B) = P(B|A)P(A)

P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)

Beispiel

?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?

P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)

P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605

(24)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

M¨ochte man vonP(B|A) aufP(A|B) schließen:

Bayes-Formel

F¨ur Ereignisse Aund B gilt:

P(A|B) = P(B|A)P(A)

P(B) = P(B|A)P(A)

P(B|A)·P(A) +P(B|A)·P(A)

Beispiel

?Wie hoch ist der Anteil der AltersgruppeA1 unter den K¨auferInnen?

P(A1|K¨auferInnen) = P(K¨auferInnen|A1)·P(A1) P(K¨auferInnen)

P(A1|K¨auferInnen) = 0.8·0.250.605

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

H¨aufig sind ein EreignisA und mehrere EreignisseA1, . . . ,An

mitA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An gegeben und man m¨ochte von P(A|Ak) und P(Ak) aufP(Ak|A) schließen.

Satz von Bayes

IstA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An f¨urA1, . . . ,An, dann gilt P(Ak|A) = P(A|Ak)·P(Ak)

P(A)

= P(A|Ak)·P(Ak) Pn

i=1P(A|Ai)P(Ai)

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

H¨aufig sind ein EreignisA und mehrere EreignisseA1, . . . ,An

mitA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An gegeben und man m¨ochte von P(A|Ak) und P(Ak) aufP(Ak|A) schließen.

Satz von Bayes

IstA⊂A1∪A2∪ · · · ∪An f¨urA1, . . . ,An, dann gilt P(Ak|A) = P(A|Ak)·P(Ak)

P(A)

= P(A|Ak)·P(Ak) Pn

i=1P(A|Ai)P(Ai)

(27)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unfallversicherung

Eine Versicherung verwendet folgende Werte:

30% aller AutofahrerInnen fahren schlecht und machen mit Wahrscheinlichkeit 0.6 innerhalb des ersten Versicherungsjahres wenigstens einen Unfall.

Die mittleren AutofahrerInnen (60%) machen mind. einen Unfall im ersten Jahr mit Wahrscheinlichkeit 0.1 und die guten (10%) mind. einen mit Wahrscheinlichkeit 0.01.

(1) Mit welcher Wahrsch. macht ein/e beliebige/r AutofahrerIn innerhalb des ersten Jahres wenigstens einen Unfall?

(2) Wenn ein Unfall innerhalb des ersten Jahres passiert, mit welcher Wahrsch. geh¨ort die Person zu den guten

AutofahrerInnen?

(28)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unfallversicherung

Eine Versicherung verwendet folgende Werte:

30% aller AutofahrerInnen fahren schlecht und machen mit Wahrscheinlichkeit 0.6 innerhalb des ersten Versicherungsjahres wenigstens einen Unfall.

Die mittleren AutofahrerInnen (60%) machen mind. einen Unfall im ersten Jahr mit Wahrscheinlichkeit 0.1 und die guten (10%) mind. einen mit Wahrscheinlichkeit 0.01.

(1) Mit welcher Wahrsch. macht ein/e beliebige/r AutofahrerIn innerhalb des ersten Jahres wenigstens einen Unfall?

(2) Wenn ein Unfall innerhalb des ersten Jahres passiert, mit welcher Wahrsch. geh¨ort die Person zu den guten

AutofahrerInnen?

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Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Unabh¨ angige Ereignisse:

Das EreignisB ist von Aunabh¨angig wenn gilt:

P(B|A) =P(B).

Umgekehrt istAvon B unabh¨angig wenn gilt:

P(A|B) =P(A).

Es gilt:

P(A|B) = P(A∩B)

P(B) =P(A)

Definition

Zwei Ereignisse heißenunabh¨angig wenn gilt: P(A∩B) =P(A)·P(B)

(30)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Unabh¨ angige Ereignisse:

Das EreignisB ist von Aunabh¨angig wenn gilt:

P(B|A) =P(B).

Umgekehrt istAvon B unabh¨angig wenn gilt:

P(A|B) =P(A).

Es gilt:

P(A|B) = P(A∩B)

P(B) =P(A)

Definition

Zwei Ereignisse heißenunabh¨angig wenn gilt: P(A∩B) =P(A)·P(B)

(31)

Wahr- scheinlichkeits- rechnung

bedingte W.

totale W.

Bayes unabh¨angig

Unabh¨ angige Ereignisse:

Das EreignisB ist von Aunabh¨angig wenn gilt:

P(B|A) =P(B).

Umgekehrt istAvon B unabh¨angig wenn gilt:

P(A|B) =P(A).

Es gilt:

P(A|B) = P(A∩B)

P(B) =P(A) Definition

Zwei Ereignisse heißenunabh¨angig wenn gilt:

P(A∩B) =P(A)·P(B)

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