L¨ osung der Wellengleichung im R
n:
utt = c24u , x ∈ Rn, t ∈ R+ u(.,0) = u0
ut(.,0) = u1
n = 1 :
u(x, t) = 1 2
u0(x − ct) + u0(x + ct)
+ 1 2c
x+ct
Z
x−ct
u1(ξ)dξ
n = 2 :
u(x, t) = 1 2πc
Z
|x−ξ|≤ct
u1(ξ)
pc2t2 − |x − ξ|2 dξ
+ 1
2πc
∂
∂t Z
|x−ξ|≤ct
u0(ξ)
pc2t2 − |x − ξ|2 dξ
Bem: kein Huygens Prinzip n = 3 :
u(x, t) = 1 4πc2t
Z
Sct(x)
u1(ξ)dFξ + ∂
∂t
1 4πc2t
Z
Sct(x)
u0(ξ)dFξ
Sct(x). . . Sph¨are um x mit Radius ct . . .
”Lichtkegel“
Bem: u(x, t) h¨angt in 3D nur von den Daten auf Sct(x) ab, und nicht von Daten im Inneren: ”‘Huygens Prinzip“.
