3. Mit c n = ( 1) n ist. 4. Mit d n = 2 n ist. 5. Mit y n = ( 1 3) n. 6. Ist x n = (1 + 1 n )n, dann ist. Die Zahl a n heißt die n-te Fibonaccizahl.

(1)

Kapitel 3. Folgen und Reihen

3.1

Folgen

Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als

(a₁, a₂, a₃, . . .) = (an)_n∈N.

Es ist alsoan∈R. Der Indexngibt an, an welcher Stelle in der Folge die Zahl ansteht.

Beispiel 3.1

1. Mitan=n²ista= (an) = (1,4,9,16, . . .)die Folge der Quadratzahlen inN.

2. Mit bn = _n¹ ist b= (bn)_n∈N = (1,¹₂,¹₃,¹₄, . . .) die Folge der sogenannten Hauptbr¨uche inQ.

Mathematik I – WiSe 2004/2005 285

3. Mitcn= (−1)ⁿist

c= (cn)n∈N= (−1,1,−1,1,−1, . . .).

4. Mitdn= 2ⁿist

d= (dn)_n∈N= (2,4,8,16,32,64,128, . . .)die Folge der Zweierpotenzen.

5. Mityn= −¹₃n

ist

y= (yn)_n∈N= −1 3,1

9,−1 27, 1

81,−1 243, . . .

.

6. Istxn= (1 +¹_n)ⁿ, dann ist

x= (xn)n∈N= 2,9 4,64

27,625 256, . . .

Einige weitere Folgenglieder sind in der folgenden Tabelle angegeben:

n 1 10 100 1000

xn 2 2.59374 2.70481 2.71692 n 10000 100000 1000000 xn 2.71814 2.71826 2.71828 7. Die sogenannteFibonacci-Folgeist die Folge(an)n∈Nmit

a₁=a₂= 1undan=a_n−1+a_n−2f¨urn≥3.

Die ersten Folgenglieder sind

a= (1,1,2,3,5,8,13,21,34, . . .).

Die Zahlanheißt dien-te Fibonaccizahl.

Folgen lassen sich auch als Abbildungen auffassen.

Eine Folge ist eine Abbildung a : N −→ R mit Definitionsbereich N. F¨ur den Wert a(n) an der Stelle n schreibt man ¨ublicherweise an. Der Wert an heißt n-tes Folgenglied vona.

Die Fibonacci-Folge heißt rekursiv definiert, da man zur Berechnung eines Folgengliedsan die vorherigen Folgenglieder ben¨otigt (und Anfangswerte). Die anderen Folgen hingegen sindexplizitdefiniert, da sich jedesandirekt aus dem Indexnberechnen l¨aßt.

Man kann auch f¨ur die Fibonacci-Folge eine explizite Formel angeben. Dien-te

Fibonacci-Zahlanist n¨amlich

an= 1+√

5 2

n

−

1−√ 5 2

n

√5 .

Wir können eine Folge a = (an)n∈N graphisch veranschaulichen, indem wir die Punkte mit den Koordinaten (n, an) für einige Werte von n in ein Koordinatensystem zeichnen. Wir tun dies hier für die ersten sechs Beispiele.

Beispiel 3.1.1

0 100 200 300 400

2 4 6 8 10 1214 1618 20

x

Beispiel 3.1.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15 20 25 30

x

Beispiel 3.1.3

–1 –0.5 0 0.5 1

2 4 6 8 101214 1618 20

x

Beispiel 3.1.4

0 200 400 600 800 1000

2 4 6 8 10

x

Beispiel 3.1.6 fuer n<100

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

0 20 40 60 80 100

x

Beispiel 3.1.6 fuer n<20

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

0 2 4 6 8 1012 14 1618 20

x

(2)

Eine Folge a= (an)_n∈N mit an 6= 0 f¨ur alle n∈ Nheißt geometrisch, wenn der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahlq∈Rgibt, so dass gilt

an+1

an

=qf¨ur allen∈N.

Beispiel 3.2 •Die Folge aus Beispiel 3.1.4 ist geometrisch, denn dn+1

dn

=2ⁿ⁺¹

2ⁿ = 2f¨ur allen∈N.

Ebenso ist jede Folge mit der Vorschrift dn =qⁿ f¨ur ein festes q ∈ R geometrisch.

• Die anderen Folgen in Beispiel 3.1 sind nicht geometrisch. So ist etwa f¨ur die Folge mitbn=_n¹

b3

b2

=2 3,aberb4

b3

=3 4.

Beispiel 3.3 Ein AnfangskapitalK0wird zum Zinssatz vonp= 0.05(also 5%) j¨ahrlich verzinst. Dann ist nachnJahren das Kapital angewachsen auf den Wert Kn, der sich wie folgt berechnet (Zinseszinz!);

K1=K0+pK0= (1 +p)K0,

K2=K1+pK1= (1 +p)K1= (1 +p)²K0, K3=K2+pK2= (1 +p)K2= (1 +p)³K0, und allgemein

Kn= (1 +p)ⁿK0.

Die Folge der j¨ahrlichen Kapitalmenge(Kn)n∈Nist also geometrisch, da^K_Kⁿ⁺¹

n = 1 +pf¨ur allen∈N.

F¨ur eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten a_n+1

an

=q giltan+1=qanund daher

a2=qa1, a3=qa2=q²a1, a4=qa3=q³a1

und allgemeinan=a1qⁿ⁻¹oder

an=a0qⁿ

wobeia0:=^a_q¹. Wir k¨onnena0als dasnullteFolgenglied auffassen.

Eine geometrische Folge ist also vollst¨andig durch den Quotientenqund einen Anfangswerta0(odera1) bestimmt.

Eine Folgea= (an)_n∈Nheißtarithmetisch, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahld∈Rgibt, so dass gilt

an+1−an=df¨ur allen∈N.

Beispiel 3.4Die Folgea= (an)n∈Nmitan= 3n−7ist arithmetisch, denn an+1−an= 3(n+ 1)−7− 3n−7

= 3f¨ur allen∈N.

Die ersten Folgenglieder sind−4,−1,2,5,8, . . ..

Ist eine Folgea= (an)n∈Narithmetisch mit der konstanten Differenz a_n+1−an=df¨ur allen∈N,

dann giltan+1=d+anund die einzelnen Folgenglieder ergeben sich durch a2=d+a1,

a3=d+a2=d+d+a1= 2d+a1, a4=d+a3= 3d+a1

und allgemeinan= (n−1)d+a1oder nd+a₀

wobei a₀ =a₁−d wie bei der geometrischen Folge als nulltes Folgenglied interpretiert werden kann.

Eine arithmetische Folge ist also vollst¨andig durch die Differenzd und einen Anfangswerta0(odera1) bestimmt.

Ähnlich wie für Abbildungen wollen wir nun die Begriffe Monotonie und Beschränktheit für Folgen erklären. Zusätzlich gibt es noch den Begriff der alternierenden Folge (machen Sie sich klar, dass die Begriffe Monotonie und Beschränktheit sowohl für Folgen als auch reelle Funktionen sinnvoll sind, alternierend aber für Abbildungen aufRnicht sinnvoll definiert werden kann).

• Eine Folgeaheißtkonstant, fallsa_n+1=anf¨ur allen∈N gilt.

• Eine Folge(an)n∈Nheißtmonoton wachsendbzw.streng monoton wachsend, falls

an+1≥anbzw.an+1> an f¨ur allen∈N.

• Eine Folge(an)_n∈N heißtmonoton fallendbzw. streng monoton fallend, falls

an+1≤anbzw.an+1< an f¨ur alle n∈N.

Eine Folge heißtalternierend, fallsan+1>0ist wennan<0 ist undan+1<0wennan>0ist. Anders gesagt:an+1an<0 f¨ur allen∈N(die Folgenglieder wechseln also in jedem Schritt das Vorzeichen).

Beispiel 3.5 • Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgenaunddmit an=n²unddn= 2ⁿsowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend.

• Die Folgebmitbn=¹_nist streng monoton fallend.

(3)

•Die Folge cmit cn= (−1)ⁿ ist weder monoton wachsend noch monoton fallend. Sie ist alternierend.

•Die Folge x mit xn = (1 +¹_n)ⁿ ist streng monoton wachsend. Das wird zumindest durch den Graphen angedeutet und es l¨asst sich auch nachrechnen.

•Außerdem ist auch die Folge der Kapitalmengen in Beispiel 3.3 bei konstanter j¨ahrlicher Verzinsung streng monoton wachsend. Das sollte nat¨urlich auch so sein!

•Beachte, dass es auch Folgen gibt, die weder monoton wachsend noch monoton fallend noch alternierend sind. Wenn wir mittndie Anzahl der verschiedenen Primteiler vonnbezeichnen, so sieht der Graph der Folge(−1)^t(n)t(n)f¨ur 1000≤n≤1100so aus:

–3 –2 –1 0 1 2 3 4

1020 1040 1060 1080 1100

F¨ur die besonders wichtigen geometrischen Folgen ist das Monotonieverhalten wie folgt:

Seia0>0. Die geometrische Folgeamitan=a0qⁿist streng monoton wachsend, wennq >1ist, streng monoton fallend, wenn q∈(0,1)ist, und konstant, wennq= 0oderq= 1ist. F¨urq <0 ist die geometrische Folgean=a0qⁿalternierend.

Seia0<0. Die geometrische Folgeamitan=a0qⁿist streng monoton fallend, wennq >1ist, streng monoton wachsend, wenn q∈(0,1)ist, und konstant, wennq= 0oderq= 1ist. F¨urq <0 ist die geometrische Folgean=a0qⁿalternierend.

Beispiel 3.6 •Die Folgean= 5 ¹₂n

ist streng monoton fallend. Die ersten Folgenglieder sind

a1=5 2, a2=5

4, a3=5 8, a4= 5

16, a10= 5 1024.

• F¨uran= 5 −¹2

n

erhalten wir

a1=−5 2, a2=5

4, a4= 5

16, a5=−5

32, a10= 5 1024

Die Folge ist alternierend. Wir halten fest, dass die Folge(|an|)der Betr¨age vonanmonoton fallend ist.

Eine Folge (an)_n∈N heißt beschr¨ankt, falls es eine Konstante M∈Rgibt, so dass

|an| ≤M f¨ur alle n∈N, d. h. alle Folgenglieder liegen im Intervall[−M, M].

Beispiel 3.7 •Die Folgen a und d mit an =n² und dn = 2ⁿ sowie die Fibonacci-Folge aus Beispiel 3.1 sind nicht beschr¨ankt.

•Die Folgebmitbn=_n¹ist beschr¨ankt, denn _n¹

<1f¨ur allen∈N.

•Die Folgecmitcn= (−1)ⁿist beschr¨ankt:|(−1)ⁿ|= 1f¨ur allen∈N.

•Die Kapitalzuwachsfolge aus Beispiel 3.3 ist unbeschr¨ankt. Wenn man nur lange genug wartet, wird das Kapital beliebig groß.

•Eine geometrische Folgeamitan=a0qⁿist unbeschr¨ankt, wenn|q|>1ist und beschr¨ankt, wennq∈[−1,1]ist.

Zur Beschreibung des Verhaltens einer Folge bei wachsendem Index wird, wie schon bei Funktionen, der BegriffKonvergenzeingef¨uhrt.

Zun¨achst einige anschauliche Beispiele von Konvergenz.

Beispiel 3.8 • Die Folgenglieder aus Beispiel 3.1.1, 3.1.4 und 3.1.7 werden f¨ur wachsendenimmer gr¨oßer. Anders gesagt: sie gehen gegen+∞.

• Die Folgenglieder aus Beispiel 3.1.2 kommen für wachsendenimmer näher an diex-Achse, anders: die Werte kommen der Null immer näher.

• In der Folge aus Beispiel 3.1.3 wechseln sich die Werte1und−1ab. Die Folge kommt weder dem Wert1noch dem Wert−1beliebig nahe, weil immer wieder der jeweils andere Wert angenommen wird.

• Die Folgenglieder aus Beispiel 3.1.5 wechseln sich mit dem Vorzeichen ab, aber wie in Beispiel 2 kommen die Werte der Null, also derx-Achse, immer n¨aher.

• Der Graph der Folge aus Beispiel 3.1.6 deutet an, dass die Folgenglieder zwar

stets anwachsen, aber nicht beliebig groß werden, sondern sich einem Wert n¨ahern. Was ist der genaue Wert? Diesen Wert nennen wir den Grenzwert der Folge:

Grenzwert (Limes) von Folgen

Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes einer Folge (an)n∈N, wenn es zu jedem vorgegebenen > 0 einen von abh¨angigen Indexn()∈Ngibt, so dass

|an−a| ≤f¨ur alle n≥n().

Eine Folge(an)_n∈Nheißtkonvergentwenn sie einen Grenzwert a∈Rbesitzt. In diesem Fall schreiben wir:

n→∞lim an=a oder an→af¨urn→ ∞.

Sprechweise:Limesngegen unendlich vonanist gleicha, oder: ankonvergiert

(4)

gegenaf¨urngegen unendlich. Ist der Grenzwerta= 0, so heißt die Folge eine Nullfolge.

Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt siedivergent. Man sagt auchdie Folge divergiert. Wir k¨onnen auch noch verschiedene Arten der Divergenz unterscheiden.

Die Folgean=nverh¨alt sich sicherlich anders als die Folge(−1)ⁿ·noder(−1)ⁿ.

Eine Folge(an)_n∈Nheißtbestimmt divergent gegen∞, falls es zu jedemMeinn0so gibt, dass

an≥M f¨ur alle n≥n₀,

gilt, d.h. die Folgenglieder werden beliebig groß. Entsprechend wird bestimmte Divergenz gegen−∞erkl¨art.

Schreibweise: lim

n→∞an=∞, bzw. lim

n→∞an=−∞.

Achtung:Wir sagen nicht, dass die Folge gegen∞konvergiert. Wenn wir von Konvergenz sprechen, meinen wir stets Konvergenz gegen eine reelle Zahl, nie gegen±∞!

Man kann sich die Konvergenz gegenaauch folgendermaßen klar machen:

Eine Folge(an)_n∈N konvergiert gegen ein a∈ Rgenau dann, wenn f¨ur alle > 0 nur endlich viele Folgenglieder nicht im Intervall[a−, a+]liegen; ein solches Intervall heißt auch eine -Umgebung vona.

Alternative Sprechweise: fast alle Folgenglieder (d.h. mit Ausnahme von h¨ochstens endlich vielen) liegen im Intervall [a−, a+]. Insbesondere gibt es also nur einen Grenzwert f¨ur eine konvergierende Folge.

Beispiel 3.9 •Die Folge a mit an =n² aus Beispiel 3.1.1 ist divergent (bestimmte Divergenz gegen∞).

•Die Folgebmitbn=_n¹ist eine Nullfolge.

•Die Folgecmitcn= (−1)ⁿist divergent.

• Die Folgedmitdn= 2ⁿist bestimmt divergent gegen∞.

• Die Folgeymityn= −¹₃n

ist eine Nullfolge.

• Die Folgexmitxn= (1 +¹_n)ⁿist konvergent, ihr Grenzwert ist dieEulersche Zahle, also

e:= lim

n→∞ 1 +1 n n

≈2.7182818 Wir gehen darauf sp¨ater noch genauer ein.

• Die Fibonacci-Folge ist bestimmt divergent gegen∞. Aus der Definition der Konvergenz folgt sofort

Jede konvergente Folge ist beschr¨ankt.

Wir wollen im n¨achsten Beispiel das Konvergenzverhalten der arithmetischen und geometrischen Folgen sowie der Folgen¹_nund⁽⁻¹⁾_nⁿzusammenfassen.

Beispiel 3.10

an a+nd aqⁿ (a >0) ¹_n ⁽⁻¹⁾_nⁿ

(1) d≥0 q≥1 − −

(1a) d >0 q >1 − −

(2) d≤0 0≤q≤1 + −

(2a) d <0 0< q <1 + − (3) d= 0 −1≤q≤1 + + (4) d= 0 −1< q <1 q= 1 + +

Limes a 0 a 0 0

Die Zeileneintr¨age bedeuten dabei folgendes:

(1): monoton steigend; (1a): streng monoton steigend (2): monoton fallend; (2a): streng monoton fallend (3): beschr¨ankt

(4): konvergent

Wir geben jeweils an, f¨ur welche Werte vona, d, qdie Folgen die entsprechende Eigenschaft haben.

Ein sehr wichtigesKonvergenzkriteriumist das folgende:

Jede beschr¨ankte und monotone Folge (an)_n∈N konvergiert, d.h. es gibt ein a ∈ R, so dass

n→∞lim an=a.

Beispiel 3.11Die Folge _(n+1)³ ist monoton (fallend) und beschr¨ankt, also konvergent, und der Grenzwert ist 0. Die Folge ⁽⁻¹⁾ⁿ

2

7n ist nicht monoton (aber beschr¨ankt). Diese Folge ist auch konvergent (ihr Grenzwert ist ebenfalls 0). Es kann also durchaus nicht monotone Folgen geben, die konvergieren.

Unbeschr¨ankt kann eine konvergente Folge aber nicht sein!

Rechenregeln f¨ur Grenzwerte

Seien(an)_n∈N,(bn)_n∈Nkonvergente Folgen mit lim

n→∞an=aund

n→∞lim bn=b. Dann gilt:

1.(an±bn)n∈Nist konvergent mit

n→∞lim(an±bn) =a±b . 2.(an·bn)_n∈Nist konvergent mit

n→∞lim(an·bn) =a·b .

(5)

3. Seib6= 0. Dann gibt es einn0∈Nmitbn6= 0f¨ur allen≥n0, und die Folge

an

bn

n≥n0

ist konvergent mit

n→∞lim an

bn

=a b.

4. Seiλ∈R. Dann ist auch die Folge(λan)n∈Nkonvergent mit

n→∞lim(λan) =λa .

Satz 3.1 Seif eine auf(a, b)stetige Funktion. Ferner seix∈ (a, b)undxneine Folge reeller Zahlen mitxn∈(a, b)f¨ur allen.

Wenn dann lim

n→∞xn=xgilt, so ist

n→∞lim f(xn) =f(x).

Es genügt hier sogar,xn∈(a, b)nur für allen > n₀für eine Zahln₀∈Nzu verlangen.

Dieser Satz hat z.B. wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion folgende Konsequenz:

Istan≥0f¨ur allen∈Nund lim

n→∞an=a, dann ist

n→∞lim

√an=√ a.

Wir geben gleich eine Menge an Beispielen an, wie wir die oben angegebenen Sachverhalte ausnutzen können. Wir müssen, grob gesagt, den algebraischen Ausdruck, der die Folgengliederandefiniert, in Teilausdrücke zerlegen, von denen wir dann jeweils die Grenzwerte kennen. Bevor wir zu den Beispielen kommen, hier ein weiteres wichtiges Konvergenzkriterium:

AusquetschenSeien(a⁰_n),(a⁰⁰_n)konvergente Folgen mit

n→∞lim a⁰_n=a= lim

n→∞a⁰⁰_n. Ist(an)eine Folge mit

a⁰_n≤an≤a⁰⁰_n f¨ur alle n , dann gilt auch

n→∞lim an=a .

Als Spezialfall erhalten wir f¨ur Nullfolgen:

Sei(a⁰n)eine Nullfolge. Ist(an)eine Folge mit

|an| ≤a⁰n f¨ur alle n , dann ist auch(an)eine Nullfolge.

Beispiel 3.12

(1) F¨urk∈Nist

n→∞lim 1 n^k= 0.

(2)

n→∞lim 3n²+ 1

n² = lim

n→∞(3 + 1 n²) = lim

n→∞3 + lim

n→∞

1 n²= 3.

(3) F¨ura∈Rmit|a|<1ist

n→∞lim aⁿ= 0.

(4) Seian=√n+ 1−√n,n∈N.

Bei dieser Folge hilft ein Umformungstrick weiter:

√n+ 1−√n = ⁽^√ⁿ⁺¹⁻√^√ⁿ⁾⁽^√ⁿ⁺¹⁺^√ⁿ⁾ n+1+√

n

= √ⁿ⁺¹⁻ⁿ n+1+√n=√ ¹

n+1+√n

und daher ist

n→∞lim(√

n+ 1−√n) = 0.

Warnung:Bei einem Grenzwertlim_n→∞√n+ 1−√nversuchen viele Anf¨anger etwa wie folgt zu argumentieren:

n→∞lim(√

n+ 1−√n) = lim

n→∞

√n+ 1−lim

n→∞

√n=∞ − ∞= 0.

Das geht aber so nicht, weil der Grenzwert der Summe zweier Folgen nur dann die Summe der Grenzwerte dieser beiden Folgen ist, wenn die beiden Grenzwerte existieren. Das ist aber in unserem Beispiel nicht der Fall.Außerdem macht ein Ausdruck der Form “∞ − ∞” keinen Sinn!Die oben angegebene Umformung ist somit falsch!!!

Uberlegen Sie sich bitte, dass man mit so einem Argument “zeigen” k¨onnte¨ lim_n→∞((n+ 1)−n) = lim_n→∞(n+ 1)−lim_n→∞(n) = 0, obwohl nat¨urlich

n→∞lim(n+ 1−n) = lim

n→∞(1) = 1 gilt.

Beispiel 3.13Als einen etwas komplizierteren Grenzwert wollen wir hier zeigen

n→∞lim

√nn= 1 Dazu ben¨otigen wir den binomischen Lehrsatz

(a+b)ⁿ= Xn i=0

n i

aⁱbⁿ⁻ⁱ

Hier ist

n i

= n!

i!(n−i)!

(gelesen:n¨uberi), wobei

m! =m·(m−1)·(m−2). . .2·1

(6)

die Fakult¨at von mist (das ist das Produkt aller nat¨urlichen Zahlen ≤m).

Machen wir uns dies an einem Beispiel klar:

(a+b)³ = (a+b)²(a+b) = (a²+ 2ab+b²)(a+b) =

= a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Der binomische Lehrsatz verallgemeinert die binomischen Formeln (Spezialfall n= 2).

Wir wollen etwas ¨uber die Konvergenz vonan=√ⁿnaussagen. Dazu definieren wirbn=an−1und berechnen(bn+ 1)ⁿmit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:

n= (bn+ 1)ⁿ= Xn i=0

n i

b_nⁱ1ⁿ⁻ⁱ= Xn i=0

n i

b_nⁱ, (3.1)

weil jabn+ 1 =√ⁿn. Die Gleichung (3.1) zeigt n

2

b_n²≤n,

weilbn≥0(beachte:an≥1), also n(n−1)

2 b²_n≤n,alsobn≤ r 2

n−1. Wegenbn≥0erhalten wir somit

0≤bn≤ r 2

n−1

und deshalb (“Ausquetschen”)

n→∞lim bn= 0, also lim

n→∞(bn+ 1) = lim

n→∞

√nn= 1.

Wir haben bereits ein Beispiel einer Folge gesehen, die die Entwicklung eines AnfangskapitalsK0bei einerp–prozentigen Verzinsung beschreibt. Wennx= p/100ist, gilt f¨ur das Kapital nachmJahren

Kn= (1 +x)^mK0

nach einem Jahr also(1 +x)K0. Nun k¨onnte man es doch als fair empfinden, wenn man statt einmal j¨ahrlichpProzent Zinsen zu bekommen, monatlichp/12

Prozent gutgeschrieben bekommt. Dann w¨are das Kapital nach einem Jahr 1 +x

12 12

K₀ Bei einer t¨aglichen Verzinsung ist das schon

1 + x

365 365

K0

Vergleichen wir, wie stark sich das Kapital bei den diversen Verzinsungssmodellen undx= 0.05, d.h. bei einerp–prozentigen Verzinsung, vergr¨ossert:

1 +x 1 + x

12 12

1 + x 365

365

1.05 1.05116 1.05127

Genauere Untersuchungen zeigen:

n→∞lim

1 +1 n

n

=e≈2.71828. . .

und lim

n→∞

1 +x n

n

=e^x

Die Zahleheißt Eulersche Zahl.

Interessant ist, dass Banken bei Krediten eher eine monatliche Verzinsung w¨ahlen, bei Zinszahlungen aber eher nur j¨ahrlich abrechnen.

Die unterschiedlichen Modelle k¨onnen sich nach mehreren Jahren schon bemerkbar machen, wenn auch nicht sehr dramatisch. Wir k¨onnen die Exponentialfunktion e^xoder, wenn es um das Wachstum inmJahren geht, die Funktione^mx= (e^x)^m

als eineGrenzfunktioninterpretieren, die das Wachstum bei einerkontinuierlichen oderstetigenVerzinsung beschreibt. Wir setzen wiederx= 0.05:

(1 +x)^m 1 +₁₂^x12m

e^mx m= 1 1.05 1.0512 1.0513 m= 2 1.1025 1.1049 1.1052 m= 5 1.2763 1.2834 1.2840 m= 10 1.6289 1.6470 1.6487 m= 20 2.6533 2.7126 2.7183 m= 30 4.3219 4.4677 4.4817 Abschreibungen

Folgen treten in der ¨Okonomie auch beim Thema Abschreibungen auf. Wichtig sind hier die folgenden drei Gr¨oßen:

A: Anschaffungsaufwendungen R: Restwert am Ende der Nutzungsdauer T: Nutzungsdauer (in Jahren)

an Abschreibungsbetrag imn-ten Jahr,n= 1, . . . , T Wir unterscheiden drei Typen von Abschreibungen:

Lineare Abschreibung

Arithmetisch-degressive Abschreibung Geometrisch-degressive Abschreibung

Beginnen wir mit derlinearen Abschreibung. In diesem Fall wird in jedem Jahr derselbe Betragaabgeschrieben, wir erhalten also

a=A−R T .

Die Abschreibungsbetr¨age sind also konstant.

Bei derarithmetisch-degressiven Abschreibungbilden dieaneine arithmetische Folge, d.h.

an=a1−(n−1)d

Wenn hierA, R und T bekannt sind, kann nicht unmittelbar auf a1 und d geschlossen werden. Man kann die Abschreibung aber genau bestimmen, wenn derletzteAbschreibungsbetrag genaudsein soll, alsoaT=d. Dann gilt n¨amlich

d= A−R

1 2T(T+ 1).

Der Grund f¨ur diese Formel ist folgender: Im ersten Jahr wirdT dabgeschrieben, dann (T−1)d, dann(T−2)dusw, bis imT-ten Jahrdabgeschrieben wird.

(7)

Insgesamt gilt dann

A−R= XT i=1

(i·d) =d· XT i=1

i.

Man kann zeigen

XT i=1

i=T(T+ 1)

2 ,

woraus die Formel f¨urdfolgt.

Bei dergeometrisch-degressivenAbschreibung bilden die Abschreibungsbetr¨age aneine geometrische Reihe, bezogen aufAalso

an=Apⁿ

f¨ur ein0< p <1. Der Prozentsatz100pheißt derAbschreibungsprozentsatz:

In jedem Jahr werdenpProzent des Anschaffungswertes abgeschrieben. Setzen

wirq= 1−p, so ist der Buchwert nach einem JahrA−Ap=Aq, nach zwei JahrenAq²und nachT JahrenAq^T, also

R=A(1−p)^T. Man kann diese Formel auch nachpaufl¨osen:

p= 1−^T rR

A.

Beachten Sie: 0< p <1, deshalb entsprichtpgerade einem Prozentsatz von 100pProzent.

3.2

Reihen

Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle.

Die entsprechenden Beispiele werden im n¨achsten Abschnitt behandelt.

Sei(an)_n∈Neine Folge.

Wir definieren die n-te Partialsumme (oder: Teilsumme) der Folge(an)_n∈Ndurch Aufaddieren der erstennFolgenglieder, also

sn=a1+a2+· · ·+an= Xn k=1

akf¨ur allen∈N.

Die Folge (sn)n∈N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reiheund wird auch alsPn

k=1

ak

n∈Ngeschrieben.

Die Bezeichnungn-te Partialsumme bezieht sich auf die Anzahl der aufsummierten Folgenglieder. Beachten Sie, dass zur Darstellung dern-ten Partialsumme mit dem Summenzeichen ein zweiter Laufindex, hierk, ben¨otigt wird.

Bei Reihen treten also immer zwei verschiedene Folgen auf: die Folge(an)_n∈N der einzelnen Glieder und die Folge(sn)_n∈Nder Partialsummen, das ist dann die Reihe.

Beispiel 3.14

1. Seian=_n¹. Dann istsn=1 1+1

2+. . .+1 n=

Xn k=1

1 ketwa s3=1

1+1 2+1

3=11 6, s10=1

1+1 2+. . .+1

10=7381 2520≈2,93, s100≈5,19 s10000≈9,79.

Die Reihe(sn)_n∈Nheißtharmonische Reihe.

2. Istan=₂¹n, dann ist s3=1

2+1 4+1

8=7 8= 0,875 s10=1023

1024≈0,999

s100≈0,99999999999999999999999999999921114

3. Seian=n. Dann ist

s2= 3, s10= 1 + 2 +. . .+ 10 = 55, s100= 5050.

4. Seian= (−1)ⁿ¹_n. Dann ist

s₃=−1 +¹₂−¹₃=−⁵₆, s₁₀=⁻¹⁶²⁷₂₅₂₀ ≈ −0,6456, s5000≈ −0,6930, s10000≈ −0,6931.

In diesem Fall heißt die Folge(sn)_n∈Nalternierende harmonische Reihe.

5. Istan= (−1)ⁿ, dann ist die Folge der Partialsummen gegeben durch s1=−1, s2=−1 + 1 = 0, s3=−1 + 1 + (−1) =−1, s4= 0 und allgemeins2n= 0unds2n−1=−1f¨ur allen∈N.

Die Graphen der Folgen in Beispiel 3.14.1, 2 und 4 sehen folgendermaßen aus.

Beispiel 14.1: Harmonische Reihe

1 2 3 4 5 6

0 100 200x300 400 500

Beispiel 14.2

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 10 20 30 40 50 60

x

(8)

Beispiel 14.4: Alternierende harmonische Reihe

–1 –0.9 –0.8 –0.7 –0.6 –0.5

0 20 40x 60 80 100

Ist (an)_n∈N eine geometrische Folge, so heißt Pn

k=1

ak

n∈Ngeometrische Reihe.

Ist (an)_n∈N eine arithmetische Folge, so heißt Pn

k=1

ak

n∈Narithmetische Reihe.

Da bei geometrischen bzw. arithmetischen Folgen alle Folgenglieder bereits durch

a1und den Quotientenqbzw. die Differenzdvollst¨andig festgelegt sind, lassen sich auch die Partialsummen allein ausa1undqbzw.dberechnen.

1. Sei (an) eine arithmetische Folge mit an+1 = an+d. Dann ist

sn= Xn k=1

ak=n·

a1+(n−1)·d 2

.

2. Ist(an)eine geometrische Folge mitan+1

an

=q, so ist

sn= Xn k=1

ak=









na1 fallsq= 1, a₁1−qⁿ

1−q fallsq6= 1.

Beispiel 3.15

1. Die Folge an = ₂¹n ist geometrisch. Daher bilden die zugeh¨origen Partialsummen eine geometrische Reihe und lassen sich berechnen durch

sn=1

2·1−(1/2)ⁿ 1−1/2 =2ⁿ−1

2ⁿ , siehe etwas10in Beispiel 3.14.2.

2. Die Folgean=naus Beispiel 3.14.3 ist arithmetisch mitd= 1unda1= 1.

Folglich ist die Folge(sn)_n∈Nder Partialsummen eine arithmetische Reihe und die Summen lassen sich berechnen durch

sn=n 1 +n−1

2

=n(n+ 1) 2 .

3. F¨ur die geometrische Folgean= 5·3ⁿergeben sich die Partialsummen sn= 15·3ⁿ−1

2 , etwas10= 442.860.

4. Ist an = 3

4ⁿ⁺¹, dann ist mit Hilfe der Rechenregeln f¨ur Summen aus Abschnitt 1.2

sn= Xn k=1

3 4^k+1=

Xn k=1

3 4 1 4 k

=3 4

Xn k=1

1 4 k

=3 4·1

4·1−(¹₄)ⁿ 1−¹4

= 3

16·4(1−(¹₄)ⁿ)

4−1 =1−(¹₄)ⁿ 4

Zum Beispiel ists₅=¹⁻⁽₄¹⁴⁾⁵=¹⁰²³₄₀₉₆≈0,2498.

Da Reihen nur eine spezielle Form von Folgen sind, lassen sich die Begriffe aus dem letzten Abschnitt ¨ubertragen.

Eine Reihe(sn)n∈Nmit sn=

Xn k=1

ak

heißt (streng) monoton steigend oder fallend bzw. beschr¨ankt, falls die Folge (sn)_n∈N diese Eigenschaften hat.

Beispiel 3.16

•Die harmonische ReiheXⁿ

k=1

1 k

n∈Nist streng monoton steigend, da in jedem Schritt eine positive Zahl addiert wird.

•Allgemein ist jede ReiheXⁿ

k=1

ak

n∈Nstreng monoton steigend (bzw. fallend), wennan>0(bzw.an<0) f¨ur allen∈Nist.

•F¨ur alle a, q > 0 ist die geometrische Reihe Xⁿ

k=1

aq^k

streng monoton steigend.

• F¨ur a >0 undq <0 ist die geometrische ReiheXⁿ

k=1

aq^k

weder streng monoton steigend noch fallend, denn es wird abwechselnd eine positive Zahl addiert oder subtrahiert. So ist etwa f¨urq=−¹2

s1=−0,5, s2=−0,25, s3=−0,375, s4=−0,3125, s5=−0,34375.

Auch der Grenzwertbegriff l¨asst sich ¨ubertragen.

(9)

Eine Reihe(sn)_n∈Nmit sn=

Xn k=1

ak

heißtkonvergent(bzw.divergent), wenn sie als Fol- ge konvergiert (bzw. divergiert). Ist sie konvergent, so schreiben wir f¨ur denGrenzwert

n→∞lim sn= lim

n→∞

Xn k=1

ak= X∞ k=1

ak.

Beachten Sie, dass das Symbol P^∞

k=1

akden Grenzwert der Reihe (und nicht die Reihe selbst) bezeichnet, sofern er existiert.

Entsprechend wird die bestimmte Divergenz f¨ur Folgen auf Reihen ¨ubertragen.

Beispiel 3.17 1.Harmonische Reihe:

Die zur Folge(_k¹)_k∈Ngeh¨orende Reihe(Pn k=11

k)_n∈Nist divergent, also X∞

k=1

1 k=∞.

2. Dezimalzahlen:

Eine Zahlr=r0, r1r2r3· · · mitr0∈N0undrn∈ {0, . . . ,9}f¨urn≥1hat den Wert

r=r0+r11 10+r2 1

100+. . .= X∞ k=0

rk·10^−k

Sie ist also gerade der Grenzwert der zur Folge(rk·10^−k)_k∈N₀geh¨orenden Reihe(Pn

k=0rk·10⁻^k)n∈N0. Dass diese Reihe tatsächlich immer konvergiert, wird später in Beispiel 3.23.2 noch mal begründet.

3. Die zur Folge(_k2¹+k)_k∈Ngeh¨orende Reihe(Pn k=1 1

k²+k)_n∈Nkonvergiert gegen1,

also X^∞

k=1

1 k²+k= 1, denn_k2¹+k=¹_k−k+1¹ und daher

Xn k=1

1 k²+k=

Xn k=1

1 k−

Xn k=1

1

k+ 1= 1− 1 n+ 1

und somit X^∞

k=1

1 k²+k= 1.

Analog zeigt man die Konvergenz der Reihe Xⁿ

k=2

1 k²−k

n∈N

indem man_k2¹−k=_k−1¹ −¹kbenutzt.

Es gibt eine sehr einfache notwendige Bedingung f¨ur die Konvergenz einer Folge.

Satz 3.2 Ist die Reihe (Pn

k=1ak)_n∈N konvergent,

dann gilt lim

n→∞an= 0.

Achtung: die Umkehrung gilt nicht!

Erinnern Sie sich aus Abschnitt 1.3, dass eine ImplikationA B¨aquivalent zu B Aist. Daher l¨aßt sich obige Aussage auch formulieren als

Ist (an)n∈N keine Nullfolge, dann konvergiert die Reihe(Pn

k=1ak)_n∈Nnicht.

Beispiel 3.18

1. Die Folge(an)_n∈Nmitan=³ⁿ⁺⁵_6n−1istkeineNullfolge, daher ist die zugeh¨orige Reihe nicht konvergent.

2. Die Folge(an)n∈Nmitan=_n¹ist eine Nullfolge, aber die zugeh¨orige Reihe ist nicht konvergent. Das ist gerade die harmonische Reihe.

Es folgt nun sofort:

Die arithmetische Reihe zu der Folge mitan+1= an+dkonvergiert nur f¨ura1=d= 0.

Die Beschreibung des Konvergenzverhaltens geometrischer Reihen ist etwas aufw¨andiger.

Grenzwert geometrischer Reihen:

Sei(an)_n∈Neine geometrische Folge mit^aⁿ⁺¹_a

n =q∈Runda16= 0.

1. Ist|q|<1, dann konvergiert die geometrische Reihe(Pn k=1ak)_n∈N, und es gilt

X∞ k=1

ak= lim

n→∞

Xn k=1

ak= lim

n→∞a1

1−qⁿ 1−q= a1

1−q.

2. F¨ur|q| ≥1ist die geometrische Reihe divergent.

Beachten Sie, dass hieran=a1·qⁿ⁻¹gilt. Setzen wira1= 1, so erhalten wir X∞

k=1

q^k−1= X∞ k=0

q^k=



 1

1−q f¨ur|q|<1

∞ f¨urq≥1

Beachten Sie bitte den kleinen Unterschied, wenn die Summation mitk= 1 beginnt:

X∞ k=1

q^k= ( q

1−q f¨ur|q|<1

∞ f¨urq≥1 Beispiel 3.19Seian= ²₇n

undsn=Pn

k=1ak. Dann ist

n→∞lim sn= X∞ k=0

ak= X∞ k=0

2 7 k

= 1 1−²7

=7 5= 1,4.

Die Konvergenz ist “sehr schnell”. Es ist zum Beispiel s10≈1,3999986, s16≈1,399999999.

Durch einige Umformungen l¨asst sich auch Konvergenzverhalten und Grenzwert

der Reihe X^∞

k=0

2^k−3 7^k+1

bestimmen. Diese Reihe ist nicht geometrisch, setzt sich aber aus geometrischen Reihen zusammen. Setzesn=Pn

k=02^k−3

7^k+1. Dann ist nach den Rechenregeln f¨ur Summen (Abschnitt 1.2)

sn= Xn k=0

2^k 7^k+1− 3

7^k+1

= Xn k=0

1 7

2 7

k

− Xn k=0

3 7

1 7 k

=1 7

Xn k=0

2 7

k

−3 7

Xn k=0

1 7 k

.

(10)

Also folgt nach den Grenzwertformeln f¨ur die geometrische Reihe sowie nach den Rechenregeln f¨ur Grenzwerte von Folgen (Abschnitt 3.1)

n→∞lim sn=1 7

X∞ k=0

2 7

k

−3 7

X∞ k=0

1 7

k

=1 7·7

5−3 7· 1

1−¹7

=1 5−1

2=−0,3.

Für Reihen gibt es — im Gegensatz zu Folgen — einige einfache Kriterien für Konvergenz. Sie besagen allerdings nur, obeine gegebene Reihe konvergiert, geben aber nicht den zugehörigen Grenzwert an. Ein hinreichendes Kriterium für spezielle Reihen ist das

Leibnizsches Konvergenzkriterium f¨ur alternierende Reihen:

Sei (an)_n∈N eine monoton fallende Folge nicht- negativer Zahlen mit lim

n→∞an = 0. Dann ist die alternierende Reihe

Xn k=1

(−1)^kak

!

n∈N

konvergent.

Es ist wichtig, dassan>0f¨ur allen∈N.

Beispiel 3.20Die alternierende harmonische Reihe Xⁿ

k=1

(−1)^k k

n∈N

konvergiert.

Ohne den genauen Grenzwert zu kennen, zeigen die in Beispiel 3.144 ausgerechneten Partialsummen, dass die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe “sehr langsam” ist. Die Partialsummens5000unds10000

unterscheiden sich noch in der 4. Dezimalstelle. Vergleichen Sie dies auch mit der Konvergenz der geometrischen Reihe in Beispiel 3.19

Quotientenkriterium I Sei(Pn

k=1ak)_n∈Neine Reihe, und es gebe eink0∈Nmitak6= 0 f¨ur allek≥k0. Gibt es einc∈(0,1)mit

ak+1

ak

≤c f¨ur allek≥k0,

dann konvergiert die Reihe(Pn k=1ak)_n∈N.

Quotientenkriterium II Gibt es eine Zahlc >1mit

ak+1

ak

≥c f¨ur allek≥k0,

dann ist die Reihe(Pn

k=1ak)_n∈Ndivergent.

Wenn weder Quotientenkriterium I noch II erfüllt sind, ist auf den ersten Blick keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe möglich.

Als Folgerung erhalten wir:

Ist die Folge der Quotienten Qk:=

ak+1

ak

konvergent, dann gilt: k∈N

ist lim

k→∞Qk<1,so konvergiert die Reihe Xn k=1

ak

n∈N

ist lim

k→∞Qk>1,so divergiert die Reihe Xn k=1

ak

n∈N

ist lim

k→∞Qk= 1,so ist keine Aussage m¨oglich.

Beispiel 3.21

1. Die Reihe(sn)_n∈N mitsn= Xn k=1

k³−2k

3^k ist konvergent, denn es istak=

k³−2k

3^k >0f¨ur allek >1und

ak+1

ak

=

(k+ 1)³−2(k+ 1) 3^k+1 · 3^k

k³−2k

=

3^k(k³+ 3k²+ 3k+ 1−2k−2) 3^k+1(k³−2k)

=

k³+ 3k²+k−1 3(k³−2k)

^k→∞−→ 1

3. Also ist für genügend großeskder Quotientâ^k+1

ak

stets kleiner als1und die Reihe konvergiert.

2. Die Reihe(sn)n∈N mitsn= Xn k=1

3^k

k² konvergiert nicht, dennak=³_k^k2>0f¨ur allek∈Nund

ak+1

ak

= 3^k+1

(k+ 1)²·k²

3^k= 3k² k²+ 2k+ 1

k→∞−→3

Also ist für genügend großeskder Quotient echt größer als1.

3. F¨ur die Reihe(sn)n∈Nmitsn= Xn k=1

1

k²ist keine Aussage m¨oglich, denn

ak+1

ak

= 1

(k+ 1)²·k² 1 = k²

k²+ 2k+ 1

k→∞−→1.

Ubrigens konvergiert diese Reihe, und zwar gegen¨ ^π₆².

(11)

Besonders wichtig ist das folgende Beispiel.

Beispiel 3.22Die Reihe Xⁿ

k=0

x^k k!

n∈N

konvergiert f¨ur jedes festex∈Rnach dem Quotientenkriterium, denn mitak=^x_k!^k

ist

ak+1

ak

= |x|^k+1·k!

|x|^k·(k+ 1)!= |x| k+ 1. Also ist f¨urk≥2· |x|

ak+1

ak

≤ |x|

2|x|+ 1< |x| 2|x|=1

2

Somit ist mitc=¹₂das Quotientenkriterium erf¨ullt, und die Reihe konvergiert.

Der Grenzwert der Reihe Pn k=0x^k

k!

n∈Nstimmt mit dem fr¨uher definierten Wert

e^xbzw.exp(x)¨uberein, es gilt also e^x= lim

n→∞

1 +x n

n

= X∞ k=0

x^k

k!= 1 +x+x² 2!+x³

3!+· · ·. Insbesondere ist f¨urx= 1

e= lim

n→∞

1 +1

n n

= X∞ k=0

1

k!= 1 + 1 +1 2+1

6+1 24+· · ·.

Beachten Sie wieder, dass die Summation hier mit dem Indexk= 0beginnt. F¨ur die Frage nach der Konvergenz der Reihe ist das unerheblich, es ist aber wichtig, wenn man konkret den Grenzwert ausrechnen will, vgl. auch Seite 355.

Für kleine Werte vonx— wie sie z.B. in der Zinsrechnung auftreten — liefert die Reihendarstellung vone^xbessere Näherungswerte für die Exponentialfunktion

als die Folge 1 +x

n n

. Das zeigen etwa folgende N¨aherungswerte von e≈ 2,718281828indem manx= 1einsetzt:

n (1 +_n¹)ⁿ Pn k=01

k!

1 2 2

2 2,25 2,5

3 ≈2,370 ≈2,667 4 ≈2,441 ≈2,708 5 ≈2,488 ≈2,717 10 ≈2,594 ≈2,718281801

Ein sehr praktisches Hilfsmittel zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens einer Reihe ist noch

Majoranten-Kriterium:

Sei(an)n∈Neine gegebene Folge. Außerdem sei (Pn

k=1bk)_n∈_N

eine konvergente Reihe, und es gebe einn0∈Nmit

|an| ≤bnf¨ur allen≥n0. Dann konvergiert auch die Reihe

(Pn k=1ak)_n∈N.

Beispiel 3.23

1. Die zur Folge(_n¹2)_n∈Ngeh¨orende Reihe(Pn k=11

k²)_n∈Nkonvergiert, denn 1

k²≤ 1

k²−kf¨ur allek≥2 und die Reihe(Pn

k=2 1

k²−k)_n∈Nkonvergiert nach Beispiel 3.17.3.

2. Die Reihe f¨ur Dezimalzahlen r=r0+r11

10+r2 1 100+. . .=

X∞ k=0

rk·10⁻^k,

wobeirk∈ {0, . . . ,9}f¨urk∈N, konvergiert, dark·10^−k≤9·10^−kf¨ur alle k∈Nund X^∞

k=0

9·10^−k= 9 X∞ k=0

1 10

k

= 9

1−10¹

= 10

aufgrund der Formel f¨ur den Grenzwert einer geometrischen Reihe.

3.3

Grundbegriffe der Finanzmathematik

Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt:

K0 Anfangskapital

p Zinsfuß pro Zeiteinheit (in %) d=₁₀₀^p Zinssatz pro Zeiteinheit q= 1 +d Aufzinsungsfaktor

n Anzahl der Zeiteinheiten (i.a. Jahre) Zn Zinsen nachnZeiteinheiten Kn Kapital nachnZeiteinheiten

Zinsrechnung

(A) Die lineare (einfache) Verzinsung, bei der innerhalb eines Kapital¨uberlassungszeitraumes kein Zinszuschlagtermin (oder Zinsverrechnungstermin) liegt, wird durch eine arithmetische Folge beschrieben.

Beispiel 3.24Zum Zinssatzd= 0,06 = 6% p.a. wird das KapitalK0= 100.000 (¤oder Maltesische Lira) f¨ur einen Zeitraum von6Jahren ausgeliehen. Damit ergibt sich K0= 100.000,

K1=K0·(1 +d), Z1=K0·d, K2=K0·(1 + 2·d), Z2=K0·2·d, K₃=K₀·(1 + 3·d), Z₃=K₀·3·d,

... ...

Nach6Jahren belaufen sich die Zinsen auf Z6=K0·6·d= 36.000

(12)

und das (End)-Kapital betr¨agt

K6=K0·(1 + 6·d) = 136.000.

Lineare Verzinsung:

Bei der linearen Verzinsung zum Zinssatzdergeben sich die folgenden expliziten Formeln f¨ur das Kapital und die Zinsen nachnJahren:

Kn=K0·(1 +n·d) und Zn=K0·n·d.

Beispiel 3.25Welches AnfangskapitalK0muss bei einfacher Verzinsung angelegt werden, wenn nach7Jahren ein Kapital von100.000¤vorhanden sein soll und der Zinssatz0,05bzw.0,06betr¨agt?

Im ersten Fall muss die Gleichung

K7= 100.000 =K0(1 + 7·0,05) =K0·1,35 nachK0aufgel¨ost werden. Das ergibt ein ben¨otigtes Anfangskapital von

K0=100000

1,35 ≈74.074¤. Im zweiten Fall ergibt sich analog

K0=100000

1,42 ≈70.422¤.

(B) Neben der einfachen Verzinsung spielt natürlich dieZinseszinsrechnung eine wichtige Rolle. Hier gibt es innerhalb der Kapitalüberlassungsfrist weitere Zinsverrechnungs- oder Zinszuschlagtermine, in denen die bis dahin entstandenen Zinsen dem Kapital als Zinszuschlag hinzugefügt werden und mit ihm zusammen das weiter zu verzinsende Kapital bilden.

Wir betrachten noch einmal das obige Beispiel, wobei diesmal die Zinsen j¨ahrlich nachtr¨aglich dem Kapital zugeschlagen und ebenfalls verzinst werden.

Beispiel 3.26Es wird das KapitalK0= 100.000¤f¨ur einen Zeitraum von6 Jahren angelegt. Nach jeder Zinsperiode (1 Jahr) erfolgt ein Zinszuschlag von d= 0,06 = 6%. Damit ergibt sich

K0= 100.000, K1=K0·(1 +d),

K2=K1·(1 +d) =K0·(1 +d)², ...

Nach6Jahren ist also das Gesamtkapital

K6=K0·(1 +d)⁶≈141.852¤. Zinseszinsrechnung:

Bei Berücksichtigungnachschüssiger Zinseszinsen ergeben sich die folgenden Formeln für das Kapital und die Zinsen nachnJahren:

Kn=K0·(1 +d)ⁿ und Zn=Kn−K0. Nachsch¨ussigkeit bedeutet, dass die Zinsen am Ende des Jahres gezahlt werden.

Beispiel 3.27Der Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und (nachsch¨ussigem) Zinseszins bezogen auf einen Zeitraum von bis zu50Jahren ist

in der folgenden Tabelle f¨ur

K0= 1.000undd= 0,05 = 5%

zu erkennen.

n 1 5 10 20 50

K₀(1 +nd) 1050 1250 1500 2000 3500 K0(1 +d)ⁿ 1050 1276 1629 2653 11467

Beispiel 3.28Welches AnfangskapitalK₀muss bei nachsch¨ussigem Zinseszins angelegt werden, wenn nach7Jahren ein Kapital von100.000¤vorhanden sein soll und der Zinssatz0,05bzw.0,06betr¨agt?

Im ersten Fall muss die Gleichung

K7= 100000 =K0·(1 + 0,05)⁷

nachK0aufgel¨ost werden. Das ergibt ein ben¨otigtes Anfangskapital von K₀=100000

1,05⁷ ≈71068¤. Analog ergibt sich im zweiten Fall

K0=100000

1,06⁷ ≈66506¤.

Die Berechnung vonK0aus gegebenemn, dundKnwird auch als Bestimmung desBarwertes einer zuk¨unftigen Zahlungbezeichnet.

Barwertformel der Zinseszinsrechnung:

Der heute zahlbare BetragK₀, der benötigt wird, um eine innZeitperioden fällige SchuldKnabzulösen, beträgt

K0= Kn

(1 +d)ⁿ=Kn(1 +d)⁻ⁿ, wobeidder Zinssatz pro Zeitperiode ist. K0heißt Barwertdes nachnZeitperioden f¨alligen BetragsKn

oder auch n-mal abgezinstes bzw. diskontiertes KapitalKn.

Das Abzinsen erlaubt den Vergleich von Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten: eine Zahlung K, fällig in n0 Zeitperioden, und eine Zahlung Ke, fällig inn˜₀Zeitperioden, heißenäquivalentbzgl. eines Zinssatzesd, wenn gilt K(1 +e d)^−˜ⁿ⁰=K(1 +d)⁻ⁿ⁰

oder, anders geschrieben,

Ke=K(1 +d)ⁿ^˜⁰⁻ⁿ⁰.

Es gilt das folgendeAquivalenzprinzip der Finanzmathematik:¨ Sind zwei zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällige Zahlungen äquivalent bezüglich eines Zeitpunktes, so auch in Bezug auf jeden anderen Zeitpunkt.