Q ua n te nh y p o the se n

(1)

K a pi te l 1

Q ua n te nh y p o the se n

N = 1N = 17

Photon No. 17

1.1 ¨Ub e rsic h t

DieQuantenmechanikentstandalsmanAnfangdes20JhdtsexperimentellinBe-reichevorstieß,derenL

¨ang

en-,Energie-undandere-Skalensichnichtnureinerun-mittelbarenAnschauungentzogen–dastatendiemeistenExperimentedes19Jhdtsauch–sondernsichdar¨uberhinausselbstgegen

¨ub

erdenschondamalshoch-artifiziellenErkl

VerkleinerunggroßerSachenerwarteth Sachenverhieltensichirgendwienichtso,wiemanesaufgrundeinergedanklichen ¨arungsmusternundBegri↵ssystemenderPhysikalsresistenterwiesen:kleine

¨atte

. N = 5063

InsbesonderewiesenDinge,diemaneigentlichf¨urTeilchenbzwTeilchenschw

hielt,unterbestimmtenBedingungenEigenschaftenauf,diemaneherbeiWellen ¨arme

cMartinWilkens731.M

¨arz2016

(2)

8Quantenhypothesen

vermuteth

¨atte(Interferenz,Beugung)w

renBedingungenaberweiterhinhervorragendzueinerWellenvorstellungpassten. Teilchenschwarmzuerkl¨arenwaren(Hohlraumstrahlung,Photoe↵ekt),unterande- gabunterbestimmtenBedinungenzuErscheinungenAnlass,diebessermiteinem genausoverhielten,wiemanesvoneinemTeilchschwarmgewohntwar.AuchLicht ¨ahrendsiesichunteranderenBedinungen

Danunaber“Welle”und“Teilchen”sicheinanderausschließendeBegri↵esindgerietmitdiesenBefundendieganzesch

¨one

EinteilungphysikalischerGegenst¨andein“Welle”und“Teilchen”ineinegewisseUnordnung.

TeilchenWellelokalisiertaufBahnausgedehntinRaumundZeitunteilbarteilbarOrtundImpulsAmplitudeundPhase

AlsbesondersirritierenderwiessichdabeidieTatsache,dassindividuelleMessergeb-nisseankleinenDingennichtimmerreproduzierbarwaren,sondernvonZufallsele-mentenbeeinflusstschienen,dieselbstunterBedingungenh

elimierbarwaren.Beispielsweiseistesschlichtunm öchsterPräzisionnicht E↵ektvorauszusagen,wanndasn öglich,beimPhotoelektrischen

¨achsteElektronherausgeschlagenwird.

Abb1.1BeugungmonochromatischenLichtesamDoppelspalt. EsfolgteeineintensiveDebatte,beiderdiePhysikerstmalsauchdieBeziehungvonExperimentundTheoriegenauerunterdieLupenahm:wenndenndasElektroneinTeilchenist,wiek

¨onne

nwirunsvonseinerBahnvergewissern?UndwenneseineWelleist–welchesExperimentg¨abedennAuskunft

¨ub

erseinePhaseundseineAmplitude?ImLaufedieserDebattegelangtemanzurEinsicht,dasseinsognai-verRealismus–dasElektron“ist”TeilchenmitBahnundallemwasdazugeh

¨ort

–sichf¨urphysikalischeErkl¨arungenaufderatomarenundsub-atomarenSkalanichteignet.AndieStellederWelle-TeilchenDichotomietratalsbalddieVorstellungvoneinemsogWelle-TeilchenDualismus:TeilchenundWellesindverschiedene,

31.M

¨arz20168cMartinWilkens

(3)

1.1¨Ubersicht9

sicherg¨anzendeAspekteein-und-derselbenEntit

Teilchencharakter. individuellenNachweis–dem“Click”–aberauchdemStoß,o↵enbartsichsein pagation,aberauchimInterferenzmuster,o↵enbartsichseinWellencharakter.Im ¨at“Elektron”.InderfreienPro-

Diegr

¨oßte

Ersch

W’keitendesAusgangseinerMessungvorausgesagtwerdenk ledesklassischenDeterminismustratdersogProbabilismusdemzufolgezwardie ebensounhaltbarwiedieEinteilungderWeltinWelleundTeilchen.AndieStel- nebstAnfangsbedinungen,undichsageDirwasderFallseinwird”erwiessichals sogklassischenDeterminismus.DieAu↵assung“GibmirdieNewtonschenGesetze ¨utterung,diedieQuantenmechanikbewirkte,betrafjedochden

¨onne

n,nichtaberderMesswerteinerindividuellenMessung.DasStreifenmusterimInterferenzexperimentistdemnachnichtdieIntensit

¨atsverteilungeinerklassischenWelle,sondernH

¨aufig

-keitsverteilungr¨aumlichlokalisierterSchw

denEinschl ärzungendieihrenatürlicheErklärungin

¨agenvonteilchenartigenDingenfindet.

Abb1.2BeugungmonoenergetischerTeilchenamDoppelspalt. MitderprobabilistischenInterpretationderQuantenmechanikhattederWelle-TeilchenDualismus,verstandenals(Quanten-)EigenschafteineskonkretenIndivi-duums,eigentlichausgedient.InterferenzmustersindH

¨aufig

keitsverteilungen,unddiecharakterisiereneinstatistischesEnsembleundnichteinIndividuum.DassderWelle-TeilchenDualismustrotzdemmunterfortlebt–schauenSienurmalinIhrSchulbuchoderIhrLehrbuch–verdanktervermutlichseinergleichnishaftenBild-lichkeit.

F¨ur

dieBelangederPhysikgiltdieDebatteumdieGrundlagenderQuantenme-chanikgr

senbesuchen... jede(r)PhysikerIneinmaleinSeminarbeidenPhilosophenzudiesenThemenkrei- nistheorieundWissenschaftstheoriewirdsiemunterfortgef¨uhrt.Eigentlichsollte dieAnregungendieserFelder–aberinderPhilosophie,hierinsbesondereErkennt- ¨oßtenteilsabgeschlossen–alles“ist”(Quanten-)Feld,undTeilchensind

cMartinWilkens931.M

¨arz2016

(4)

10Quantenhypothesen

1 .2 D ie G e bur t v o n ~

Abb1.3MaxKarlErnstLudwigPlanck(1858–1947);Nobelpreisf¨urPhysik1918“inreckognitionoftheservicesherende-redtotheadvancementofPhysicsbyhisdiscoveryofenergyquanta” GeborenwurdedieQuantenmechanikaufeinerSitzungderDeutschenPhysika-lischenGesellschaftam14.Dezemberanno1900zuBerlin.Hierh

¨alt MaxPlanckseinenVortragZurTheoriedesGesetzesderEnergieverteilungimNormalspektrum. 1

HinterdemetwassperrigenTitelverbirgtsichdieL

lungsspekturmeinesschwarzenK ¨osungeinesPuzzles–dasStrah- datoheftigwidersprachen.Vorhangauf: ¨orpers–beidemsichTheorieundExperimentbis

MaxPlanck(1900):DieSchwarzk

E=~!mit 2 sorbiert–dieEnergieeinerelementarenPortionStrahlungderFrequenz!ist MaterieelektromagnetischeStrahlungingranularerFormemittiertundab- ¨orperstrahlungistspektralsoverteiltalsob

~⇡10 34JsecPlanck’schesWirkungsquantum.(1.1)

Inder

¨alterenLiteraturwirdh

¨aufig

h=2⇡~alsWirkungsquantumbezeichnetund~(sprich:h-quer;engl:aitsch-bar)alsreduziertesWirkungsquantum.StattE=~!liestmandannE=h⌫,vonPlanckgenanntEnergieelement.

UntereinemschwarzenK

¨orperverstehtmaneinenK

haltensichEmissionundAbsorptionnat¨urlichdieWaage.ImFalleeinesidealen sorbiertundemittiert,nichtaberreflektiert.ImthermodynamischenGleichgewicht ¨orper,derStrahlungzwarab-

1Abgedrucktin:Verhandlungend.Deutschenphysikal.Gesellschaft2,p.237(1900).Einede-taillierteAusarbeitungfindetsichin:

Genauer~⇡(1.05457266±0.00000063)⇥10Jsec.234 Deutsch(1997),ISBN3-8171-3206-9. gesetzimFaksimile:OstwaldsKlassikerderExaktenWissenschaften,Band206,VerlagHarri DrudesAnnalen(AnnalenderPhysik)p.553(1901).DiePlanckschenArbeitenzumStrahlungs- ¨uberdasGesetzderEnergieverteilungimNormalspektrum,

31.M

(5)

1.2DieGeburtvon~11

schwarzenK

¨orp

ersh

¨ang

tdasEmissionsspektrum–dassogNormalspekturm–de-finitionsgem

¨aßausschließlichvonderTemperaturdesK

materiellenBescha↵enheit.NahezuperfekteschwarzeK ¨orpersab,nichtaberseiner

Hohlk ¨orperlassensichdurcheinen

¨orperrealisieren,dessenW

¨ande

aufkonstanterTemperaturgehaltenwerden.EinkleinesLochineinerderW

¨ande

machtesm

schwarzenK einemOfenbishinzumUniversum(Mirowellenhintergrund!)kommendemidealen imInnereneinstellt,zuanalysieren.VieleDingeinIhrerUmgebung,angefangenvon ¨oglich,dasStrahlungsfeld,dassich

¨orp

er¨ubr

igensrechtnahe.

DasPuzzle,dessenL

Hohlraumeineabz zusammenfassen:NachderElektrodynamikistdaselektromagnetischeFeldineinem ¨osungPlanckmitseinerHypothesegelang,l¨asstsichkurz 3

¨ahlba runendlicheMengevonharmonischenOszillatoren.NachdemGleichverteilungssatzderklassischenThermodynamikhatjederOszillatorimMitteldieEnergiekBT(kBistdieBoltzmannkonstante,undTistdieTemperaturderW

¨ande

).DasStrahlungsfeldh

sogStefan-Boltzmann-Gesetz(Stefan1879;Boltzmann1884). verdampft.StattdessenistdieEnergieimHohlraum(VolumenV)gegeben/VT, 4 nicht–schließlichistbislangnochniemandbeim↵nenseinerOfenklappeinstantan¨O ¨attedemzufolgeunendlicheEnergie.Hatesaber undStr InRaumbereichenwosichkeineLadungen

¨om ebefindengen¨ugtdaselektroma-gnetischeFelddenMaxwellschenGleichungen~r·~E=0,~r⇥~B=c2˙~E,~r⇥~E= ˙~B,~r·~B=0,unddieineinemVolumenVgespei-cherteelektromagnetischeEnergieberechnetsichzu

U= "02 Z

V h~E 2+c 2~B 2 id 3x.(1.2) F¨ur

einestehendeelektromagnetischeWel-le,~E(~x,t)=E(t)~eycos(kx),~B(~x,t)=B(t)~ezsin(kx)impliziertM’wllBewegungs-gleichungenf¨urdieAmplituden˙E=!cB,c˙B=!E,wobei!=ck.MitderBe-zeichnungQ:=cB/A,P:=E/A,worinA= p2!/("0V),lesensichdieBewegungs-gleichungen

˙Q=!P,˙P=!Q,(1.3)

undesistU⌘H(P,Q)mit

H(P,Q)= !2 P 2+Q 2(1.4)

Hamiltonfunktionzu(1.3)!Verallgemeinert:jederModedesStrahlungfeldesentsprichteinharmonischerOszillatordessenFrequenzdurchdieFrequenzderModegegebenist.DieAuslenkungQentsprichtdermagnetischenFeldamplitudederjeweiligenModeundderkanonischkonjugierteImpulsentsprichtihrerelektrischenFeldamplitude. PlanckhattesichschonlangemitdemProblemauseinandergesetzt–erwargewisser-maßeneinExpertederHohlraumstrahlung.EinentscheidenderDurchbrauchgelangihmeinigeMonatevorderdenkw einen.UnterdemTitelbereineVerbesserungderWienschenSpektralgleichungÜ4 mitdenvergleichsweiseneuenDatenfürkleineFrequenzenineinerFormelzuver- 7.Oktoberwaresihmgelungen,diebereitslängerbekanntenHochfrequenzdaten ürdigenDezember-Sitzung.BereitsamAbenddes

3...unddessenL

¨osunginsbesondereauchf¨urdieGl

Verhandlungend.Deutschenphysikal.Gesellschaft2,p.202(1900)4 ab? deutunggewann:wiehängenLichtausbeuteundSpektrumeinesGlühfadesvondessenTemperatur Interessewar,dieangesichtsderzunehmendenElektrifizierungumdieJahruhundertwendeanBe- ühbirnenfertigungvontechnologischem

cMartinWilkens1131.M

¨arz2016

(6)

12Quantenhypothesen

pr¨as

entierterseineInterpolationsformelaufderOktober-SitzungderDeutschenPhysikalischenGesellschaftam19.Okt.1900.Inderheutzutagegebr

tation ¨auchlichenNo-

⇢(!,T)= ! 2

⇡2c3 ~!exp{ ~!kBT }1 + ~!2 !

.(1.5)

DerVorfaktoristdieZahlderModen(wegenPolarisation2f¨urjedeWellenzahl~k= 2⇡

V 13 (nx,ny,nz),ni=0,±1,...)proVolumenVundFrequenzintervalld!.F

¨ur

kleineFrequenzen~!⌧kBTerh

¨alt

mandasRayleigh-JeansGesetz⇢⇡ !2

⇡2c3kBTdas,derklassischenPhysikzufolge,eigentlichf¨uralleFrequenzengeltensollte.F

¨ur

großeFrequenzenerh

ält mandasWienscheGesetz(Wien1896),dasempirischbe-reitsgutgesichertwar,fürdasesjedochbisdatokeineErklärunggab.DasIntegralu:= R10 ⇢(!,T)(ohneNullpunkts-Energie) 5berechnetsichzuu=bT 4,inÜberein-stimmungmitStefan-Boltzmann-Gesetz(Stefan1879;Boltzmann1884).[BenutzeR10 x3ex1 dx= ⇡415 .]

PlanckwolltedieFormelabernichtnuraufstellen,sondernsieauchphysikalischin-terpretieren.DaswarihmimDezemberschließlichauchgelungen,abersorechtan-freundenkonnteersichmitseinemeigenenKustgri↵nicht.Noch30Jahresp

¨ate

rbe-zeichneterseineArbeitals“AktderVerzweiflung...,dassichunterallenUmst¨anden,kosteeswaseswolle,einpositivesResultatherbeif

¨uhr

enm

¨usste.”

EinsteinerkanntewohlalsErsterdieTragweitederPlanckschenArbeitunddie“neuePhysik”diedarinaufblitzte.InseinerArbeit¨UbereinedieErzeugungundVerwandlungdesLichtsbetre↵endenheuristischenGesichtspunkt 6interessierter

5DerTerm ~!2inderKlammer,diesogNullpunktsenergie,wurdevonPlanckerstsp¨at

ergefun-den(1912).SeineBegr

¨undung

f¨urdenTermgiltausheutigerSichtals“falsch”,derTermselberalskorrekt.6Ann.Phys.17,132(1905);dieEinsteinschenAnnalenArbeitensindalsSammelwerkerschie-nen:Einstein’sAnnalenPapers–TheCompleteCollection1901–1922,HerausgegebenvonJ¨urgen

31.M

(7)

1.2DieGeburtvon~13

sichinbesonderef¨urdenHochfrequenzlimesderPlanckschenStrahlungsformel–dasWienscheGesetz–indemsichdie“neuePhysik”amdeutlichstenmanifestiert.Einsteinstelltfest,dassdieThermodynamikdesentsprechendenStrahlungsfeldesvonderThermodynamikeinesidealenGasesnichtzuunterscheidenist.

MonochromatischeStrahlungvongeringerDichte(innerhalbdesG

¨ult

ig-keitsbereichsderWienschenStrahlungsformel)verh

¨alt

sichimw

theoretischerBeziehungso,wiewennsieausvoneinanderunabh ¨arme-

¨ang

igenEnergiequantenvonderGr¨oßeh⌫best

¨unde

.

Abb1.4AlbertEinstein(1879–1955);Nobelpreisf¨urPhysik1921“forhisser-vicestoTheoreticalPhysics,andespeciallyforthediscoveryofthelawofthephoto-electrice↵ect” Ineinerheutzutagegebr

¨auchlichenFormulierung:

AlbertEinstein(1905):PlanckselementareEnergieportioneinerFeldmodemitWellenvektor~kundFrequenz!=ckkannalseinTeilchen(“Lichtteilchen”=Photon)mitEnergieEundImpuls~paufgefasstwerden,

E=~!~p=~~k Planck-EinsteinBeziehung.(1.6)

Begr

¨undung

:DiespezielleRelativit

¨atstheoriesagtE=mc+cp;f 22422

¨ur

einTeilchenderMassem=0alsoE 2=c 2p 2.NachPlanckistaberE=~!,undmitderDispersionsrelation!=ckergibtsichp=~k. 7 NAtomeimLichtfeld,zumZeitpunkttN2(t)angeregt,N1(t)imGrundzustand.Ratenglei-chungenddt N2=AN2B21⇢N2+B12⇢N1(1.7)

ddt N=0(1.8)

mitEinsteinAundBKoeffizientenf¨urdiespontanteEmission,dieinduzierteEmissionunddieAbsorption,und⇢SpektraleEnergie-dichtedesLichtfeldes.Imstation

21N/N=e.F21(EE) 1,2N=0.MitAnleihebeiklassischerStatistik˙ ¨arenRegime

⇡c23SpektrumliefertA/B=. ~!3 e1~!B,somit⇢=,vergleichmitPlanck- A/B 211221meraturenN⇡NimpliziertB=B= ¨urgen¨ugendhoheTe- schePrinzip).ImGegensatzzuPlanckabererweitererdas“alsob”undschreibt ZwarbleibtauchEinsteinwieschonPlanckhierbeimalsob(dasistdasheuristi-

Renn,Wiley-VCHWeinheim(2005),ISBN-10:3-527-40564-X7ObwohldieIdentifikationderPhotonenbeiEinsteinzun¨achstaufdenHochfrequenzlimesein-geschr

universelleG ¨anktwurde,giltsieheutzutagealsuniversell–alsounabh¨angigvomFrequenzbereich.Die

¨ultigkeitverdankenwireinerweiterenErkenntnis

zipielleUnunterscheidbarkeit. ¨uberdieLichtteilchen–ihreprin-

¨arz2016

(8)

14Quantenhypothesen

demStrahlungsfeldselbereinegranulareStrukturzu,undnichtnurdemEner-gieaustauschzwischenMaterieundFeld,undererkenntdieBedeutungf¨uranderephysikalischeProbleme,wiebeispielsweisedenphotoelektrischenE↵ekt(Hertz1887,Lenard1902).

BestrahltmanMetallmitLicht,erwartetmandassdiekinetischeEnergiederher-ausgel¨ostenElektronenmitderIntensit

Zwarw ¨atdesLichtszunimmt.Tutsieabernicht.

¨achstdieZahlderherausgel¨ostenElektronenproportionalderIntensit

¨at

–dieimExperimentermitteltekinetischeEnergieeinesjedenElektronsistje-dochunabh

¨ang

igvonderIntensit

kinE=~!W,worinWeinematerialabh ¨at,stattdesseninhomogenlinearinderFrequenz,

¨ang

igesogAustrittsarbeitund~ei-nematerialunabh

¨ang

igeKonstante,vonEinsteininderzitiertenArbeitmitdemPlanck’schenWirkungsquantumidentifiziert.

EineweitereBest¨atigungfindet(1.6)imCompton-E↵ekt(1922/23).BeiderStreu-ungvonLichtanElektronenerwartetmanimRahmenderklassichenElektrody-namikelastischeStreuung.StattdessenbeobachtetmaneineinelastischeStreuung,diemitderTeilchenvorstellungvonLichteinfacherkl¨artwerdenkann.

DieTeilchenvorstellungvonLichtliefertzwareinesch

¨one

ErklärungfürdieHohl-raumstrahlungunddenphotoelektrischenE↵ekt,versagtallerdingskläglichbeiderErkl

¨arungvonBeugung,InterferenzundanderenPh

¨ano

mendiebisdatoaufdieWellennaturdesLichtszur

dessensehrwohlbewußt. Welle(Huygens)oderTeilchen(Newton)”wardamitwiedero↵en.Einsteinwarsich ¨uckgef¨uhrtwurde.DiealteFrage“WasististLicht–

DeshalbistesmeineMeinung,dassdien

onstheoriedesLichtesau↵assenl¨asst. welchesichalseineArtVerschmelzungvonUndulations-undEmissi- derTheoretischenPhysikunseineTheoriedesLichtesbringenwird, ¨achstePhasederEntwicklung

31.M

(9)

1.3BohrschesAtommodell15

AufdieseVerschmelzungmussteEinsteinlangewarten.ErstEndeder1920erJahrewaressoweit.DerStreitWellevsTeilchengehterstmalindiePause.DerVorhangsenktsich–aufderB

¨uhne

bereitetmandenn

desAtoms. ¨achstenAktvor:dieQuantenphysik

1 .3 B o hr sc he s A to m m o de ll

Auchwennesverwunderlichklingt,die¨Uberzeugung,dassdieMaterieausAto-men(imheutigenSinne)aufgebautist,hatsichvergleichsweisesp

nganzeZahl. 8 elektrischenElementarladungjedebeliebigeLadungsmengequantisiert,Q=nemit auchwenndasnichtsoforterkanntwurde:schließlichistmitderEntdeckungder teilchenphysikundderAtomphysik.UndsienimmtdieQuantenhypothesevorweg, Jahr1897.AusheutigerSichtmarkiertdieseEntdeckungdenBeginnderElementar- EinwichtigerSchrittwarhierdieEntdeckungdesElektronsdurchJ.J.Thomsonim ¨atdurchgesestzt.

IndemvonThomsonentwickeltenAtommodellistdiepositiveLadungeinku-gelf

ab–innerhalbk diePlantenumdieSonne.NunstrahlenbeschleunigteLadungenallerdingsEnergie sontrateindynamischesModellbeidemdieElektronendenKernumkreisenwie winzigkleinenKernkonzentriertist.AndieStelledesstatischenModellsvonThom- feststellte,dassdasAtomimwesentlichenleerist,unddiepositiveLadungineinem dingsineineKrise,alsRutherfordimJahr1911ineinerReihevonStreuexperiment einemRosinenkuchen(engl.:Muffin).DasThomsonscheAtommodellgerietaller- ¨ormigesKontinuum,indemdieElektroneneingebettetsindwiedieRosinenin

¨urzesterZeitsolltealsodasElektronimRutherfordschenAtommo-

8Quarkshaben“Drittel-Ladungen”.Siesindzwarisoliertnochniebeobachtetworden,weraberwillkanneinDrittelderElektronenladungalsElementarladungbezeichnen.

¨arz2016

(10)

16Quantenhypothesen

dellinspositivgeladeneZentrumst

unsereExistenz,istimmungegenStrahlungsinstabilit ¨urzen.Tutesabernicht.Materie,davonzeugt

¨at.

UmdieserAnomalieHerrzuwerdenbeauftragteRutherfordseinenjungenAssistetn,NielsBohr,sichderSacheanzunehmen.InspiriertdurchVorarbeitenvonArnoldSommerfeldbestandBohrsAnsatzimwesentlichendarin,dieQuantenhypthesenvonPlanckundEinsteinmiteinerReihevonad-hocAnnahmenaufdasRutherfordscheAtommodellzu

¨ub

ertragen:

NielsHendrikDavidBohr(1914):ErlaubteBahnenimRutherford’schenMo-dellvonWassersto↵sindKreisbahnenf¨urdieI

H=E ~p·d~q=2⇡n~,n=1,2,...(1.9)

wobeiH=H(~p,~q)dieHamiltonfunktiondesWassersto↵atomsbezeichnet.

Abb1.5NielsHenrikDavidBohr(1885–1962);Nobelpreisf¨urPhysik1922“forhisservicesintheinvestigationofthestruc-tureofatomsandoftheradiationemana-tingfromthem” DieGleichung(1.9)formulierteineBedingungenandieEnergieE.DieerlaubtenEnergiensinddemzufolgediskret,E=En,mit

En= ✓14⇡"0 ◆2me 4

2n2~2 ,n=1,2,....(1.10)

EmissionvonLichtfindetnurstatt,wenndasLeuchtelektronvoneinererlaubtenBahnaufeineandereerlaubteBahnineinemsog.Quantensprung(engl.:quantumjump)wechselt.DiediskretenFrequenzendesemittiertenLichts

!mn=|EmEn|/~(1.11)

gen

¨ug endemRitzschenKombinationsprinzip(1908).DieLagederentsprechendenSpektrallinienbefindensichbeiatomaremWassersto↵inziemlichguter¨Uberein-stimmungmitdemExperiment.BeiAtomenmitmehrerenElektronen,odergarMolek

¨ule

n,istdie¨Ubereinstimmungallderdingsmehralsmiserabel.

31.M

(11)

1.3BohrschesAtommodell17

DasBohrscheAtommodellliefertaucheinesch

¨one

Erkl¨arungf¨urdenFranck-HertzVersuch(1913):SchießtmanElektronenaufeinatomaresGas,erwartetmandassdieZahldergestreutenElektronenmitderenEnergieverlustaufgrundinelastischerStreuungmonotonabnimmt.Tutsieabernicht.Stattdessenbeobachtetmanausge-pr

imBohrschenAtommodellihrenatürlicheErklärungfinden. ägteMaximabeibestimmten,diskretenWerten,diedurchdiediskretenEnergien

DieTheorie(1.9)wurdevonSommerfeldundanderenweiterausgebaut(Bohr-SommerfeldscheQuantisierungsbedingungen);siefirmiertheutzutageunterdemStich-wort“Semiklassik”undspieltweiterhineinegewisseRolle,etwabeiderAnalysevonQuantenchaos.

AufBohrgehtauchderName“Quantenmechanik”f¨urdieneuentstehendePhysikzur

mechanikimGrenzfallgrosserQuantenzahlenasymptotischindieklassischePhysik ¨uck,underistderErfinderdessog.KorrespondenzprinzipswonachdieQuante-

¨ub

ergehensollte.IndenÜbungenzeigenSie,dassfürgroßeQuantenzahlenn,dieBohrscheÜbergangsfrequenz!n+1,nmitderWinkelgeschwindigkeitdesklassischenElektronsvergleichbarerEnergien

¨aherungsweise

¨ub

ereinstimmt.

DasBohrscheAtommodellhattemitderendg

¨ult

igenFormulierungderQuantenme-chanikMitteder1920erJahreeigentlichausgediehnt:seine“diskretenKreisbahen”lassensichselbstmitgr

mus)bisheute TrotzdemhatdasBohrscheAtommodell(gepaartmitdemWelle-TeilchenDualis- ¨oßterAnstrengungquantenmechanischnichtrechtfertigen.

¨ub

erlebt–schauenSienurmalinIhrSchulbuch.AlsangehendePhysikerInd

etwas ¨urfenSiedasModellauchweiterhinbenutzen–etwaumihrenEltern

¨ub

erdieQuantenmechanikzuerz¨ahlen.F

¨ur

IhrVordiplomoderIhrenweiternBerufsweginderPhysiksolltenSieesaberganzschnellvergessen.SchließlichwollenSienichtdurchfallenodersichgarl¨acherlichmachen...

¨arz2016

(12)

18Quantenhypothesen

1 .4 W e lle nm e cha ni k

DankderBohrschenHypothesederquantisiertenWirkungkanndasElekronimWassersto↵nichtinsZentrumfallenweildieentsprechendeBahnschlichtverbotenist.Warumdasallerdingssoeinsollte,warumalsodieWirkungbeigebunderenBewegungquantisiertseinsollte,bliebjedochlangeZeitunbeantwortet.Mitteder’20JahrewurdedieseFrageallerdingsschlagartigbeantwortet.

DiePauseistzuEnde,derVorhanghebtsichwieder.AuftritteinPrinz...

Abb1.6PrinceLouis-VictorPierreRay-monddeBroglie(1892–1987);Nobelpreisf¨urPhysik1929“forhisdiscoveryofthewavenatureofelectrons” LouisVictorPrincedeBroglie(1924):FreieTeilchensmitImpuls~pundEner-gieE= ~p22m werdendurcheineebeneWellebeschrieben,

(~x,t)/e i(~k·~x!(k)t),(1.12)

wobeiWellenvektor~kundFrequenz!inUmkehrungderPlanck-EinsteinBe-ziehung(1.6)

~k= ~p~ ,!(k)= E~ = ~k 2

2m .(1.13)

ZuEhrendesPrinzenheißtdieWellenl

¨ang

evonMateriewellen,

= 2⇡~p DeBroglieWellenl¨ange.(1.14)

DeBrogliesModell“erkl¨art”dieBohr-Sommerfeld’schenQuantisierungsbedingung–denerlaubtenBahnenentsprechenstehendeWellen–undbehauptetdieInter-ferenzvonTeilchen.DavissonundGermerhabenInterferenzerscheinungenbeiderElektronenbeugunganKristallen1927erstmalsbeobachtet.

31.M

(13)

1.4Wellenmechanik19

AllerdingsselbstvorBeobachtungderInterferenzvonMateriewellenwardieDeBrogliescheAnalogie(wenn–nachEinstein–eineLichtwelleeinTeilchenschwarm,danndochwohlauch–SymmetrieSymmetrie!–einTeilchenschwarmeineWelle)verf

¨uhr

erischgenug,umsichdamitzubesch

¨aftigen.

ErwinSchr

¨oding

er–sodieAnekdote–wurdevonEinsteinaufdieDeBroglie’scheArbeitenaufmerksamgemacht.Alserdar¨uberEnde1925inZ

FrankDebeyeihmmitderBemerkunginsWort“AberWellengen ürichvorträgt,fällt

¨ug

eneinerWel-lengleichung–wasistdennnundieWellengleichung?”.Weihnachten1925verbringtSchr

¨oding

ermiteinerFreundininArosa.BeimSkifahrenaufderPistefindeterdieAntwort,dieerkurzeZeitsp

EigenwertproblemI–IVindenAnnalenderPhysikver¨o↵entlicht. 9 ¨atereineinerSerievonArbeitenQuantisierungals

Abb1.7ErwinSchr

¨odinger

(1887–1961);Nobelpreisf¨urPhysik1933(geteiltmitPaulAdrienMauriceDirac)“forthediscoveryofnewproductiveformsofatomictheory” ErwinSchr TeilchensimPotentialV(~q,t)gen ¨odinger(1926):DeBrogliesWellenfunktion(~x,t)einesnicht-relativistischen

¨ug

t

i~ @@t (~x,t)= ~ 2

2m +V(~x,t)(~x,t)

Schr¨odingergleichung.(1.15)

DieSchr

¨oding

ergleichungbringtdieDeBroglieHypotheseunddieBohrscheAtom-physikuntereinDach:istVdasCoulombpotential,sinddieEigenwertedesDif-ferentialoperators ~22m +V(~x)genaudiediskretenEnergiewerteimBohrschenAtommmodell,undf¨urfreieTeilchenV=0istdieDeBroglieWelle(1.12)eineL

¨osungderSchr

¨oding

ergleichung(1.15).

UnklarblieballerdingsdieBedeutungvon.Schr¨odingergingzun

kurzeZeitsp dass||dieDichteverteilungdesElektronsbedeutet.DieseInterpreationwurde 2 ¨achstdavonaus,

¨aterverworfen,unddurcheineW’keitsinterpretationersetzt.

9Ann.Phys.(4)79361,489;80437;81109(1926).

¨arz2016

(14)

20Quantenhypothesen

MaxBorn(1926)DasDi↵erential

|(~x,t)| 2d 3x(1.16)

istdieWahrscheinlichkeit,beieinerOrtsmessungdasTeilchenineinerd 3x-Umgebungbei~xzufinden.

Abb1.8MaxBorn(1872–1970);Nobel-preisf¨urPhysik1954“forhisfundamentalresearchinquantummechanics,especiallyforhisstatisticalinterpretationofthewa-vefunction” KurzeZeitsp

¨aterhabenPauliundHeisenbergeine

¨ahnlic

heFormulierungf¨urImpul-messungengefunden(dieinvolviertdieFouriertransformiertederOrtswellenfunkti-on).Waszutunblieb,wardieentstehendeQuantenmechanikmathematischsauberzuformulieren,mitAxiomen,S

¨atzen,Lemmataundwassonstnochsodazugeh

¨ort.

JohnvonNeumann(1932):Pr

jeweiligesSpektrumwirdmitdenm ipulkomponentenˆp,i=x,y,z,sindlineareOperatorenindiesemRaum.Ihr iStruktureinesHilbertraumes).Messgr¨oßenwieOrtskoordinatenˆqoderIm- (~x,t)istdemnachElementeineslinearenRaumes(Funktionenraummitder tenmechanikundersteProblematisierungdes“Messprozesses”.DieFunktion ¨azisierungdermathematischenStrukturderQuan-

¨oglichenMesswertenidentifiziert.

1 .5 M a tr ize nm e cha ni k

DieGleichung(1.15)istdasHerzst

nichtderEinzige.EinpaarMonatebevorSchr nikisteinguterAusgangspunktf¨urdieAbhandlungderQuantenmechanik–aber ¨uckdersog.Wellenmechanik.DieWellenmecha-

¨oding

erseineGleichungaufstellt,wirddieQuantenmechanikvoneinemanderenEndeaufgerollt–voneinemEndedaszun

¨achteherandieklassischeMechanikerinnert.

Wirerinnernuns.InderklassischenMechanikistderZustandeinesMassepunktes(Elektron)zueinembeliebigenZeitpunktdurchdieAngabeseinerverallgemeinerten

31.M

(15)

1.5Matrizenmechanik21

Koordinaten~q=(qx,qy,qz)undKomponentendeskanonischkonjugiertemImpul-ses~p=(px,py,pz)vollst¨andigfestgelegt.DieKoordinatenundkanonischkonjugier-tenImpulskomponentensinddynamischeVariable;ihreFestlegunggeschiehtdurchMessung.DieMesswertederKoordinaten(Ortsmessung)werdenmit~x=(x,y,z)bezeichnet,diedesImpulsesmit~~k,~k=(kx,ky,kz) 10WerdenamMassepunktzumZeitpunktt0dieMesswerte~x0und~~k0gemessen,sosindentsprechend~q(t0)=~x0und~p(t0)=~~k0alsAnfangwertef¨urdieL

wegungsgleichungenzusetzen.Werdenzueinemsp ¨osung~q(t)bzw.~p(t)derklassischenBe-

st undImpulsgemessensoversprichtdieklassischeMechanik,dassbeieineridealen 0¨aterenZeitpunktttOrt Messungzubeeinflussen. Bahn~q(t)desTeilchensprinzipiellbeobachtbaristohnedieBewegungdurchdie denwerden.Insbesondere,datbeliebig,versprichtdieklassischeMechanik,daßdie ¨orungsfreienMessungmitSicherheitdieWerte~x=~q(t)und~k=~p(t)gefun-~

EinderartigesVersprechenkanndieQuantenmechaniknichtmachen.InHeisenbergsWorten“...auchbeideneinfachstenquantentheoretischenProblemenkannaneineG

¨ult igkeitderklassischenMechaniknichtgedachtwerden.”DasZitatistausderAr-beitHeisenbergs,derenzentraleIdee–diePartialamplitudeneinesanharmonischenOszillatorsals¨Ubergangsamplitudenq(m,n)zwischenBohr’schenOrbitszudeuten–beieinemHeuschnupfen-bedingtenAufenthaltaufHelgolandimJuni1925ihreendg

¨ult

igeGestaltannahm.AufseinerR

¨uckfahrtnachG

l¨osen.DanachwerdendiemeistenPhysikervonderMatrizenmechanik 11 nochimgleichenJahrdasWassersto↵problemimHeisenberg’schenFormalismus inHamburgaufPauli.HeisenbergskizziertseineIdeen.Pauliistbegeistert.Erwird ¨ottingentri↵tHeisenberg

¨ub

erzeugtsein...abernochistesnichtsoweit.NochstehtderSommervorderT

¨ur,undder

10~istindiesemParagrapheneinebeliebiggew

einerWirkung.DieMessgr ¨ahlteKonstantemitderphysikalischenDimension

36,336(1926). W.PaulierdasWassersto↵spektrumvomStandpunktderneuenQuantenmechanik,Z.Phys.¨Ub11 ¨osseistdemnachk,wobeik=|k|dieDimension[Laenge]hat.~~1

¨arz2016

(16)

22Quantenhypothesen

entwickeltsichzumechtenKnaller: 12

9.Juli:HeisenbergreichtseinManuskriptzurVer

licheGedanke(inBorn’scherFormulierung) ¨o↵entlichungein.Derwesent- 13

dynamischeVariableqi,pj!ˆqi,ˆpjMatrizen,i,j=x,y,z.(1.17)

Abb1.9WernerKarlHeisenberg(1901–1976);Nobelpreisf¨urPhysik1932“forthecreationofquantummechanics,theappli-cationofwhichhas,interalia,ledtothediscoveryoftheallotropicformsofhydro-gen” 11.Juli:HeisenberggibtBorndieendg

¨ult

igeVersiondesManuskripts.Bornisttiefbeeindruckt,fragtsichaber,welchemathematischeStrukturdaeigentlichdurchschimmert.NochistderHeisenberg’scheKalk

¨ul

schliesslichin2-fachindiziertenGr¨ossenformuliert,dieIdentifikationmit“Matrixelementen”istebennochnichtvollzogen.

15.Juli:BornineinemBriefanEinstein“...Heisenberg’sneueArbeit,diebalderscheint,siehtsehrmystischaus,istabersicherrichtigundtief...”. 14

19.Juli:ZugKopenhagen–Hannover(TagungderPhysikalischenGesellschaft).Bornstelltfestdass(i)ˆpundˆqMatrizensind,diejedoch(ii)nichtkommutieren.AufderStreckeG

Einsichtenundschl ¨ottingen–Hannovertri↵tBornaufPauli,erz¨ahltvonseinen

¨agtZusammenarbeitvor.Paulilehntbr

manm ¨uskab.Erfindet,

¨usseHeisenbergsgenialeIdee“...nochetwasmehrvomG

9.Oktober1925).Gemeintsinddamitu.a.Kapazit malenGelehrsamkeitsschwallbefreien[...]”(auseinemBriefanKronigvom ¨ottingerfor-

Jordan.... ¨atenwieHilbert,Born,

Abb1.10WolfgangPauli(1900–1958);NobelpreisfürPhysik1945“forthedisco-veryoftheExclusionPrinciple,alsocalledthePauliPrinciple” 12DerfolgendeAbschnittistmaßgeblichinspiriertvonSourcesofQuantumMechanics,B.L.vanderWaerden(Hrsg.),Dover,NewYork(1968).13ÜberquantentheoretischeUmdeutungkinematischerundmechanischerBeziehungen,Z.Phys.33,879(1925).14ImGegensatzzurHeisenberg’schenArbeit,woinderTatmiteinemgewissenPathosziem-lichimDunkelngestochertwird,sinddieSchröd

inger’schen’26erArbeitenvonluziderKlarheit.UnbedingtimOriginallesen!

31.M

(17)

20.Juli:Hannover.BornbittetseinenSch

¨ule

rJordanihmzuhelfen.JordanmachtsichansWerkundhatnacheinigenTageneineAntwortparat:derKom-mutatorvonˆpundˆqisteinezeitlicherhalteneDiagonalmatrix.InheutigerNotation 15

[ˆqi,ˆpj]=i~ij.(1.18)

BornundJordansetzensichdaran,eineArbeitzuschreibeninderneben(1.18)auchdieQuantisierungdesStrahlungsfeldesmalebensomiterledigtwird. 16

28.Juli:Cambridge,KapitzaClub.Heisenbergh

¨alt

einenVortrag“TermzoologieundZeemanbotanik”.Fowlererz¨ahltDiracdavonundgibtihmdieKorrek-turfahnenderHeisenberg’schenArbeit.Dirac,derdieentstehendeArbeitvonBornundJordannichtkennt,findet(1.18),unddar¨uberhinausdasbisheuteg

¨ult

igeRezeptder“kanonischenQuantisierung”, 17

Poisson-Klammern{,}! i~ [,]Kommutator.(1.19)

Abb1.11PaulAdrienMauriceDirac(1902–1984);Nobelpreisf¨urPhysik1933(geteiltmitErwinSchr

¨odinger )“forthediscoveryofnewproductiveformsofato-mictheory” 12.Sept:Kopenhagen.Heisenbergerh

¨alt

einenBriefvonJordanmitdemBorn-JordanManuskript.BeginneinerintensivenZusammenarbeitvonHeisenberg,JordanundBorndieschließlichzur“Dreim

¨anne

rarbeit”f¨uhrt. 18DieseAr-beitenth

¨altdieerstelogischkonsistenteAusarbeitungderMatrizenmechanik.

15DieVerallgemeinerungaufmehrereFreiheitsgradewurdeerstmalsinderDreim

M.Born,W.HeisenbergundP.JordanZurQuantenmechanikII,Z.Phys.35,557(1926).18 (1926). P.A.M.DiracTheFundamentalEquationsofQuantumMechanics,Proc.Roy.Soc.A109,64217 M.BornundP.JordanZurQuantenmechanik,Z.Phys.34,858(1925). 16 undunabh¨angigdavonvonPauli,WeylundDiracangegeben. ¨annerarbeit,

¨arz2016

(18)

24Quantenhypothesen

NebenBegri↵enwieHauptachsentransformationen,EigenwertenundEigen-vektorenh

xyzl,l=i~l,(xyzzyklisch).(1.20)ˆˆˆ hi ¨althierauchdieDrehimpulsalgebraEinzugindieQuantenmechanik

DasfolgendeJahr1926istdieZeitderErnte.DieDreim

¨anne

rarbeit,dieArbeitvonPauliunddieArbeitvonDiracerscheinen.HeisenbergerarbeitetseineAussage,wonachOrtundImpulsnichtgemeinsammitbeliebigerGenaugkeitvorhersagbarsind;stattdessen(ver

¨o↵entlicht1927)

qipj ~2 ijHeisenberg’scheUnsch¨arferelation(1.21)

undErwinSchr

¨oding

erweistdie¨AquivalenzvonMatrizenmechanikundWellenme-chaniknach.

DerVorhangf¨allt,dieQuantenmechaniksteht.Waszutunbleibt,ist(i)dieQuan-tenmechanikbegri✏ichzuerfassen,(ii)dieVerallgemeinerungaufandereSysteme.

UmhiereinG’schm

aufgeführt. äcklezuvermitteln,seieneinPaarSchritteindieserRichtung PaulAdrienneMauriceDirac(1928):RelativistischeWellengleichungfürsElek-tronundVoraussagedesPositrons.DamitistderWegfreifüreinekonsistenteQuantisierungderElektrodynamik–genanntQuantenelektrodynamik–dienachwievoreinederreifstenTheoriendarstellt,diedieWeltkennt.Un-schlagbarinihrenVorhersagen,ihrerÜbereinstimmungmitdemExperiment,undihrer“Modellbildungs-Potenz”fürdieElementarteilchentheorie(Stich-wort:nicht-abelscheQuantenfeldtheorien).

31.M

(19)

Einstein,Podolsky,Rosen(1935):EntwurfeinesGedankenexperimentsdasals“EPRParadoxon”nochheutedieGem

warvonseinenAutorenurspr ¨uterbewegt.DasGedankenexperiment

¨ung

lichdazugedacht,dieUnvollst¨andigkeitderQuantenmachanikargumentativzuuntermauern.Dasistwohlnichtgelungen.AllerdingserweistsichdaserdachteSzenario,insbesonderediedarinimplizier-tensogEPR-Korrelationen,alsaußerordentlichfruchtbarf¨urdieGrundlagen-debattederQuantenmechanik.

JohnStuartBell(1964):Formuliertseinber

¨uhm

tenUngleichungenundverweistdamitdasEPRParadoxonausdemplatonischenIdeenhimmelandieExperi-mentierpl

¨atz

e.

DasBellschenUngleichungensindUngleichugenf¨urdiestatistischenKorrelationenvonMessergebnissenzweierraum-zeitlichgetrenntenSystemen,dieeinegemeinsameVergangenheithaben.Siebasierenaufwenigen,zun

Annahmen,diederklassischenPhysik–hierinsbesondereeinerLokalit ¨achstplausibelerscheinenden

demonstriert. vonAlainAspectAnfangundseinemTeamAnfangder1980erJahreeindrucksvoll ExperimentenvonClauserundanderenwurdedieseVerletzungf¨urPhotonenpaare durchdieEPR-KorrelationenderQuantenmechanikverletztwerden.NachPionier- me–entlehntsind.DerWitzderBellschenUngleichungenbestehtdarin,dasssie ¨atsannah-

DieEPR-KorrelationenstehenauchimengenZusammenhangmitderj¨ungstenSerievonspektakul

derSchl ¨arenExperimentenzumKodierenzweierBitsineinem“Quantenbit”, bev Art“beamen”ausderSerie“Raumschi↵Enterprise”[engl.StarTrek]).Seitdem aufeinem“Quantencomputer”,undnichtzuletztder“QuantenTeleportation”(eine ¨usselverteilunginder“Quantenkryptographie”,derschnellenFaktorisierung

¨olkerndieGrundlagenderQuantenmechanikTalkShowsundandere

R ¨o↵entliche

¨aume

.

¨arz2016

(20)

26Quantenhypothesen

Wirkommengelegentlichdaraufzur

¨uck.Im

¨ubr

igenseiaufdieVorlesungzurQuanteninformationsverarbeitungverwiesen,dieinPotsdammehr-oder-wenigerre-gelm

¨aßigangebotenwird...

1 .6 A us bl ic k – da s G e r¨us t de r Q ua n te n the o ri e

WirddieQuantenmechanikbegri✏ichverallgemeinertumauchandereSysteme,etwadiebin

¨areAlternativeeinesM

¨unz

wurfs,Licht,StringsoderGravitationswellenzubeschreiben,redetmanvonQuantentheorie.

DasGer

¨ustderQuantentheoriel¨aßtsichindreiGrunds

¨atzenskizzieren.

PostulatI(Zustandspostulat)JedemphysikalischenSystemisteinHilbertraumHzugeordnet.JedernichttrivialeVektor2HbeschreibteinenZustanddesSystems. 19

PostulatII(Observablenpostulat)ObservablensindlineareOperatoreninH.ImZustandistderErwartungswertderObservablenˆA

hˆAi= h|ˆA|ih|i .(1.22)

PostulatIII(Zeitentwicklungspostulat)DiezeitlicheEntwicklungeinesZu-standesvonderPr¨aparationbiszurMessungistdurchdieSchr

¨oding

erglei-chungbestimmt,

i~ @@t (t)=ˆH(t)(t),(1.23)

19NichttrivialsindalleVektoren–ausserdemo-Vektor.

31.M

(21)

1.6Ausblick–dasGer¨ustderQuantentheorie27

wobeiˆH(t)derHamiltonoperatordesSystemsist.

DasistabernurdasKnochenger

physikalischesSystemzubeschreiben,beispielsweiseeinenMassepunkt,m ¨ust,undeinmageresnochdazu.Umeinspezifisches

ratorenidentifizieren.Ausserdemm punktesbetre↵en,undsolche,diedieObservablen“Ort”und“Impuls”mitOpe- tereVerabredungengetro↵enwerden,etwasolche,diedenHilbertraumdesMasse- ¨ussenwei-

¨ussendiePostulatenocheinwenigpr

etwa,kannmansch werden.DieZuordnungvonphysikalischenZuständenundHilbertraumElementen, äzisiert danndengleichenphysikalischenZustand,wennsieproportionalsind. ärferfassen:zweiWellenfunktionenbeschreibendannundnur

Im

¨ubr

igenbleibtanzumerken,daßes“die”PostulatederQuantentheorieeigentlichgarnichtgibt.BeimLesenderLehrb

vablenaxiomwirddannm werdendurchpositiveOperatorenmitSpur1beschrieben”begegnen.DasObser- DasZustandsaxiom,beispielsweise,kannIhnendurchausinderForm“Zust¨ande ¨ucherwirdIhnendasschonaufgefallensein.

¨oglicherweiseunterR

formuliert,unddasZeitentwicklungsaxiomunterR ückgri↵aufoperatorwertigeMaße Abbildungen.Dasmagverschiedenklingen,erweistsichaberbein ückgri↵aufvollständigpositive

als ¨aheremHinsehen

¨aquivalent:derAutorhatsichhaltentschlossen,SiebeiIhremVorwissen

¨ub

erdiealgebraischeWahrscheinlichkeitstheoriezupacken,statt–wiehier–eingewissesVorwissenausderklassischenMechanikvorauszusetzen.

Auchk

¨onne

nIhnenbeimSchm

ZahlderPostulatem DrittenArt.WirverzichtenhieraufderartigePostulate–mansollteschliesslichdie nannten“KollapsderWellenfunktion”–dererstenArt,derzweitenArtundder ¨okernweiterePostulateau↵allen,etwazumsoge- lichaufeineSelbstverst ¨oglichstgeringhalten–undberufenunsstattdessengelegent-

¨andlic

hkeitempirischerWissenschaften,das

Gebot(Rationalitaetsgebot)Behauptungenm

¨ussen

¨ub

erpr

¨ufbarsein

¨arz2016

(22)

28Quantenhypothesen

31.M